VALOR ESPERADO DE LA
DISTRIBUCIÓN
Se define el valor esperado de una distribución
discreta de probabilidad como sigue
E(Xj) = Ʃ Xj*Pj
VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN
Se define la varianza de una distribución
discreta de probabilidad como:
V(Xj) = Ʃ[Xj – E(Xj)]² * P(Xj)
Ejemplo:
Suponga que el 10% de los rollos de tela que se
fabrican en una compañía textil tienen varios tipos de
defectos, si se tiene un lote de producción de 100
rollos de tela.
a. Cuántos de esos rollos se espera que estén
defectuosos?
b. Cuál es la variabilidad promedio del número de
rollos de tela
que se espera estén defectuosos
Respuesta:
a. Se trata del valor esperado:
V(Xj) = 100 rollos por la probabilidad de rollos con defectos
V(Xj) = 100 * 0,10 = 10
Se espera que 10 de los 100 rollos tengan defectos
b. Se trata de la variabilidad esperada
V(Xj) = 100 * 0,10 * 0,9 = √9 = 3
Se puede concluir que el número estimado de rollos con
defectos que se espera encontrar en el lote tiene una
variabilidad promedio de 3 rollos
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
• Tiene sentido utilizarla cuando se está
interesado en encontrar la probabilidad de que
existan “x” éxitos en un proceso de “n” pruebas,
si existe la probabilidad “p” de éxito en cada
prueba
b(x;n,p) =
CARACTERÍSTICAS
• Existen solo dos resultados posibles: éxito
y fracaso
• La probabilidad de un éxito es la misma en
cada ensayo
• Hay n ensayos en donde “n” es constante
• Los “n” ensayos son independientes
Ejemplo
Se lanza al aire una moneda normal tres (3) veces,
determine la probabilidad de que aparezcan dos (2)
coronas.
c=0,5
Respuesta:
c=0,5
c= 0,5
e =0,5
c=0,5
e=0,5
c=0,5
e=0,5
e=0,5
e=0,5
c=0,5
e=0,5
c=0,5
e=0,5
Cuál es su espacio muestral?
E=
ccc, cce, cec, cee, ecc, ece, eec, eee
Por lo tanto P(2 coronas) =
3
8
= 0,375
Por fórmula Binomial
2
3 -2
3
b(2;3,0,5)=
* 0,5 * (1 - 0,5)
= 0,375
2
Ejemplo
• Cada muestra de aire tiene 10% de posibilidades de contener
una molécula rara particular. Suponga que las muestras son
independientes con respecto a la presencia de la molécula
rara.
• Encuentre la probabilidad de que en
exactamente 2 contengan la molécula rara.
18
muestras,
Sea X = número de muestras de aire que contienen la molécula
rara en las siguientes 18 muestras autorizadas. Entonces X es
una variable aleatoria binomial con p = 0,1 y n = 18. Por lo tanto:
P(X=2) =
2
16
*(0,1) * (0,9) = 0,284
Cuando se pregunta la probabilidad de que exactamente algo suceda,
se debe tener presente:
b(x; n, p)
la fórmula siempre va a calcular la exacta.
Pero si la pregunta es: “al menos”, “a lo sumo”, “a lo más”, “más
de”, “menos de”, etc., el cálculo de éstas cambia, ya que se habla
de probabilidades acumuladas
B(x; n, p)
Se puede utilizar la fórmula para calcularlas, pero tiene cierto grado
de dificultad, por lo tanto, se hace uso de la tabla de probabilidades
acumuladas de la distribución binomial
Se debe recordar que los valores son acumulados y se
utilizan las siguientes reglas:
•Si nos preguntan “exactamente”
b(x; n, p) = B(x; n, p) – B(x - 1; n, p)
• Si nos preguntan “a lo sumo”, “a lo más”, “menos de”
B(x; n, p) = Será lo que diga la tabla
•Si nos preguntan “al menos”, “más de”,
B(x; n, p) = 1 – B(x – 1;n, p)
Cómo se utiliza la tabla?
Esta tiene en su encabezado los valores de “ p” (probabilidades) que van
desde 0.05 hasta 0.95
Además, tiene 2 columnas principales con los valores de “n” (Tamaño de la
muestra) y “x” (éxitos o fracasos)
Ejemplo:
Se sabe que el 60% de los ratones vacunados con un suero quedan
protegidos contra cierta enfermedad. Si se vacunan 5 ratones, encuentre
la probabilidad de que:
a. 1 contraiga la enfermedad
b. Menos de 2 contraigan la enfermedad
c. Más de 3 contraigan la enfermedad
d. A lo sumo 3 contraigan la enfermedad
Respuesta
a. Significa exactamente 1, por lo que se emplea
b(1; 5, 0.6) = B(1; 5, 0.6) – B(0; 5, 0.6) = 0.0870 – 0.0102 = 0.0768
b. Menos de 2 contraigan la enfermedad significa a lo sumo 1, entonces será la
acumulada de 1 y se busca en la tabla.
B(1; 5, 0.6) = 0.0870
c. Más de 3 significa de 4 a 5, entonces se utiliza
B(4; 5, 0.6) = 1 – B( 1 - 4; 5, 0.6) = 1 – B(3; 5, 0.6) = 1 – 0.6630 = 0.337
d. En este punto se trata de a lo sumo 3 y se utiliza lo que diga la tabla en ese
punto
B(3; 5, 0.6) = 0.6630
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Determina la probabilidad de encontrar “x” éxitos en una muestra
de tamaño “n”, extraída mediante muestreo sin remplazo de una
población finita de tamaño “N”, en la cual existen “a” éxitos
Características:
N: Tamaño de la población
n–x≤N-a
a: Número total de éxitos o fracasos
n: Tamaño de la muestra
x: Probabilidad de éxito o fracaso
x≤a
Su fórmula es la siguiente:
h(x ;n, a, N) =

− 
*

− 
-----------------

Ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de que una auditoría de hacienda detecte
solamente 4 declaraciones de impuestos con deducciones ilegales, si
selecciona aleatoriamente 8 de 18 declaraciones, 10 de las cuales
contienen declaraciones ilegales?
Se refiere a exactamente y se utiliza la fórmula:
h(4 ; 8, 10, 18) =
 − 

*
= 0.3359

−

-----------------------

Lo anterior son combinaciones, que al igual que en la distribución
binomial, h(x; n, a, N) se refiere a exactamente, además existe una tabla
para las probabilidades acumuladas para la distribución hipergeométrica y
que se utiliza de forma similar a la tabla de la distribución binomial,
lógicamente cambiando la nomenclatura.
Ejemplo
Si 6 de 15 edificios en una ciudad violan el código de construcción,
¿cuál es la probabilidad de que un inspector de edificios, quien
selecciona aleatoriamente 4 de ellos para inspección, descubra:
a. Ninguno de los edificios viola el código de construcción
b. Uno viola el código de construcción
c. Dos violan el código de construcción
d. Al menos tres violan el código de construcción
Solución:
a. Se trata de la exacta de 0 y se toma el valor de
la tabla en h(0, 4, 6, 15) = 0.0923
b. Se trata de exactamente 1
h(1, 4, 6, 15) = H(1, 4, 6, 15) = H(0, 4, 6, 15) = 0.3692
c. Se trata de exactamente 2
h(2, 4, 6, 15) = H(2, 4, 6, 15) - H(1, 4, 6, 15) = 0.3956
d. Se refiere a que de 3 a 4 violan el código
h(3, 4, 6, 15) = 1 – (3 – 1; 4, 6, 15) = 0.1429
APROXIMACIÓN DE HIPERGEOMÉTRICA A
BINOMIAL
Se puede asegurar que cuando en una distribución
hipergeométrica, N
∞ y n es pequeño
comparado con N, podemos hacer una
aproximación a la binomial utilizando los
parámetros
h(x; n, a, N) = b(x; n,

)

Ejemplo:
Un cargamento de 120 alarmas contra robo
contienen 5 defectuosas. Si 3 de ellas son
seleccionadas aleatoriamente y embarcadas para un
cliente, encuentre la probabilidad de que al cliente le
toque una defectuosa:
a. Por fórmula Hipergeométrica
b. Por aproximación a la distribución binomial
¡ Muchas gracias !
Descargar

VALOR ESPERADO DE LA DISTRIBUCIÓN