José Luis Gómez Muñoz

Cuando yo tenía dieciséis años, mi
profesor Rubén Andonegui solía
preguntarnos: “¿Cuándo te has
encontrado un cinco tirado en la calle?
¿O un tres?”

¿Cuándo te has encontrado un cinco
tirado en la calle? ¿O un tres?

¿Cuándo te has encontrado un cinco
tirado en la calle? ¿O un tres?
Seguramente nunca, porque un cinco
no es un objeto real, es una abstracción
mental, una idea.
Aprendiendo a contar

Esto se hace más evidente cuando
convivimos con una niña muy pequeña que
apenas está aprendiendo a contar. La
mamá, o el hermano mayor, o la tía, repite
una y otra vez con la niña “uno, dos,
tres…” contando pelotas, o piezas de un
rompecabezas, o las teclas de un pianito.
El significado del juego

Quizás al principio, para la niña sólo
será un juego, una cancioncita que se
repite en orden al mismo tiempo que se
señalan objetos; tendrá que pasar algún
tiempo antes de que pueda abstraer la
idea de cantidad
El cinco como abstracción

Por ejemplo, si a cinco manzanas le
quitamos dos manzanas quedan tres
manzanas
El cinco como abstracción

Por ejemplo, si a cinco manzanas le
quitamos dos manzanas quedan tres
manzanas. Si a cinco pasteles le
quitamos dos pasteles quedan tres
pasteles.
El cinco como abstracción

Como esto sigue siendo cierto para
cualquier tipo de objeto que contemos,
podemos decir que si a cinco le
quitamos dos, quedan tres. ¿Cinco qué?
¿Cinco manzanas? ¿Cinco pasteles?
¿Cinco juguetes? No importa, si a cinco
le quitas dos, quedan tres
Un cinco no es un objeto

Pero un cinco no es un objeto, jamás
encontrarás un cinco tirado en la calle.
Un cinco no es un objeto
Pero un cinco no es un objeto, jamás
encontrarás un cinco tirado en la calle.
 Lo que si podrías encontrar tirado es un
papel donde estuviera escrito el símbolo
que utilizamos para representar la idea
abstracta de cinco, es decir, un papel
que tuviera escrito “5”.

Otro paso en la abstracción

Y eso nos lleva a otro paso más en la
abstracción que la niña tendrá que dar;
cuando llegue a la escuela, ya ni
siquiera dirá la frase con palabras: “si a
cinco le quitas dos, quedan tres”, en
lugar de eso utilizará símbolos: 5-2=3
¿Porqué sufrir con las abstracciones?

Ya ni siquiera dirá la frase con palabras:
“si a cinco le quitas dos, quedan tres”,
en lugar de eso utilizará símbolos:
5-2=3.

¿Por qué debe esforzarse la niña en
aprender estas abstracciones y
simbología?

Porque esas abstracciones son útiles
para la vida diaria.
Hasta para comprar refrescos son útiles
las abstracciones

Cuando la niña sea más grande y vaya
a comprar cinco refrescos de a ocho
pesos cada uno, y pague con un billete
de cien pesos, tendrá que trabajar con
esas abstracciones para saber si le
dieron el cambio correcto.
¿Qué pasa con los niños que no aprenden
a manejar esas abstracciones?

Si ella no aprendiera a manejar los
números, entonces durante su vida
sería víctima fácil de los estafadores.
Jorge Luis Borges

“Si uno dijera que en un planeta lejano
hay caballos azules, podríamos creerlo.
Pero si nos dicen que tres [mas] cuatro
caballos forman noventa y siete
caballos, sabríamos que es imposible”
Ernesto Sábato

“Es la diferencia entre probable y
posible. Es probable que haya caballos
azules, pero es imposible que tres
caballos azules mas cuatro caballos
azules formen noventa y siete caballos
azules. Esa suma es universal, y vale
para siempre, en cualquiera de los
mundos reales o imaginarios”
Las Matemáticas según un gran
Matemático

Bertrand Russell, un gran Matemático
del siglo XX, alguna vez definió las
Matemáticas como el área de estudio
donde “…nunca sabemos de que
estamos hablando…”
Las Matemáticas según un gran
Matemático
Bertrand Russell, un gran Matemático
del siglo XX, alguna vez definió las
Matemáticas como el área de estudio
donde “…nunca sabemos de que
estamos hablando…”
 Esta frase no se refiere al pobre
estudiante que sufre con los exámenes
y que no tiene ni… idea de lo que está
calculando. No, Bertrand Russell no se
refería a eso

Las Matemáticas según un gran
Matemático

Una de las ventajas de las Matemáticas
es que no tenemos necesidad de saber
de que estamos hablando

Por eso las Matemáticas son el área de
estudio donde “…nunca sabemos de
que estamos hablando…”
Dos problemas distintos con el
mismo método de solución
Se tiene 1000 metros de alambre y se
quiere cercar un terreno cuadrado.
¿Cuánto debe medir cada lado?
Se llenan 4 jarras de igual volumen con
1000 mililitros de agua. ¿Cuánto es el
volumen de cada jarra?
Cada lado de la cerca debe medir 250 El volumen de cada jarra es de 250
metros.
mililitros.
Eric Temple Bell

La abstracción, a veces manejada como
un reproche a las Matemáticas, es de
hecho su mayor gloria y su más segura
[ventaja] en las aplicaciones prácticas
Entonces, ¿Porqué que le reprochamos a las
Matemáticas que sean abstractas?

Para la mayoría de los seres humanos,
es más sencillo el razonamiento
concreto que el abstracto, es decir, es
más sencillo cuando sabemos de que
estamos hablando.
Pero incluso la abstracción no es suficiente para
un profesionista

Muchos estudiantes sí logran manejar
las abstracciones (por ejemplo, resolver
exitosamente ecuaciones), pero eso,
que de por sí ya es difícil, no es
suficiente para un profesionista.
Un profesionista debe poder “modelar” la
realidad

Un profesionista debe transformar las
situaciones de la vida real en
abstracciones, lo suficientemente
“sencillas” para poder trabajar con ellas,
pero lo suficientemente “elaboradas”
para que reflejen adecuadamente la
realidad, al menos la parte de la
realidad que le interesa.
La abstracción no es exclusiva de las
Matemáticas
Arte Concreto
Arte Abstracto

Entonces la abstracción, tan útil y tan
poderosa, tiene como desagradable
efecto secundario que las Matemáticas
sean difíciles

Pero hay más razones por las cuales se
nos dificultan las Matemáticas
¿Porqué los contratos son tan
difíciles de leer?
Usualmente es muy tedioso y aburrido
leer los contratos
 http://www.esunaganga.com/mis.contrat
os/contrato_cv_vehiculos.doc


¿Porqué son tan difíciles de leer?

Un contrato debe ser muy específico,
debe tratar de explicar que pasará en
cualquier caso posible

Un contrato debe ser muy específico,
debe tratar de explicar que pasará en
cualquier caso posible

En caso de que haya un conflicto entre
las firmantes de un contrato bien
redactado, idealmente cualquier juez
llegaría al mismo veredicto acerca de
quien es el culpable

Ese nivel de certidumbre jurídica, que
ante un conflicto, cualquier juez llegue a
la misma conclusión, no se logra en la
vida real

Ese nivel de certidumbre jurídica, que
ante un conflicto, cualquier juez llegue a
la misma conclusión, no se logra en la
vida real

Pero los contratos y las leyes deben ser
redactadas de tal manera que se
acerquen lo más posible a ese ideal de
justicia

Desafortunadamente, una redacción de
un contrato que implique una única
interpretación en cada posible caso,
tiene que ser tan específica y técnica
que se vuelve difícil de leer, incluso
aburrida

Intenten leer sin aburrirse todas las
cláusulas del contrato para que el banco
les de una tarjeta de crédito
Las Matemáticas aspiran también a
ese nivel de certidumbre

Para que una definición Matemática
signifique exactamente lo mismo para
cualquier matemático, ingeniero o
científico, debe ser muy específica
Las Matemáticas aspiran también a
ese nivel de certidumbre

Para que una definición Matemática
signifique exactamente lo mismo para
cualquier matemático, ingeniero o
científico, debe ser muy específica

Tan específica, que se vuelve difícil de
leer, incluso aburrida
Ejemplo de definición
Matemática
http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/polinomio.html

Entonces las Matemáticas son abstractas y
precisas

Ambas características dan a las
Matemáticas su poder en las aplicaciones
prácticas

Pero ambas características también
contribuyen a que las Matemáticas sean
difíciles
Pero todavía hay más razones que
contribuyen a que las Matemáticas sean
difíciles

Las Matemáticas son también un
lenguaje humano, y todos los lenguajes
humanos contienen sinónimos,
homónimos, excepciones, etc.
Homónimos en Español: Tres
significados distintos de la palabra
llama

Llama a la llama para que no le queme
la llama
¿Cómo sabes que significa “llama”?

Llama a la llama para que no le queme
la llama

¿Cómo sabes cuándo “llama” significa
fuego, cuándo “llama” significa llamar, y
cuándo “llama” es un animal
sudamericano?
Homónimos en Matemáticas: Tres
significados distintos del signo =
“A cada número que te den, multiplícalo
por veinte y súmale cuatro”
“¿Cuál es el numero cuyo cuadrado mas
veinticinco veces el número mas
cuarenta y uno da cero?”
“El cuadrado del coseno de un ángulo
mas el cuadrado del seno del mismo
ángulo siempre da uno”..
Reglas, preguntas y afirmaciones
Esta es una regla:
“A cada número que te den, multiplícalo
por veinte y súmale cuatro”
Esta es una pregunta:
“¿Cuál es el numero cuyo cuadrado mas
veinticinco veces el número mas
cuarenta y uno da cero?”
Esta es una afirmación:
“El cuadrado del coseno de un ángulo
mas el cuadrado del seno del mismo
ángulo siempre da uno”..
Funciones, ecuaciones e identidades
son tres cosas distintas
En Matemáticas, a las reglas se les
llama FUNCIONES
En Matemáticas, a las preguntas se les
llama ECUACIONES
En Matemáticas, a las afirmaciones se
les llama IDENTIDADES
¿Cómo distinguir entre funciones,
ecuaciones e identidades?
¿Cómo saber cuando el signo =
representa una Función, cuando
representa una Ecuación y
cuando representa una
Identidad?
De la misma forma que distingues
homónimos en Español
¿Cómo saber cuando el signo =
representa una Función, cuando
representa una Ecuación y
cuando representa una
Identidad?
De la misma forma como sabes
cuando “llama” significa fuego y
cuando “llama” significa llamar
Más homónimos en Matemáticas: Dos
significados distintos del superíndice -1
Escrito de esta manera, el
superíndice indica un exponente
negativo.
Escrito de esta manera, el
superíndice NO indica un
exponente
Fallas en la inducción en Español

Todo niño pequeño, en algún momento
de su vida, dice “escribido”.
Inmediatamente sus parientes le
corrigen: “escrito”
Fallas en la inducción en Español

Si el niño jamás escuchó a nadie decir
“escribido”, ¿Porqué lo dice? ¿Cómo se
le ocurrió?
Fallas en la inducción en
Matemáticas

Todo alumno de Ingeniería, en algún
momento de su carrera, escribe en algún
procedimiento:

Inmediatamente sus profesores le corrigen:
Fallas en la inducción en
Matemáticas

Si el estudiante de ingeniería jamás vio
en libros de Matemáticas la siguiente
identidad errónea,
¿Porqué la escribe? ¿Cómo se le
ocurrió?
¿Por qué son poderosas las
Matemáticas?
Las Matemáticas son poderosas porque:

Son abstractas

Son precisas

Son un lenguaje humano
¿Por qué son difíciles las
Matemáticas?
Las Matemáticas son difíciles porque:

Son abstractas

Son precisas

Son un lenguaje humano
Descargar

¿Porqué tengo que estudiar matemáticas?