RESISTENCIA DE MATERIALES
INGENIERÍA EN PREVENCIÓN DE RIESGOS
PROFESOR: JORGE BRAVO G.
Introducción
En
Ingeniería, se requiere el uso de materiales apropiados
para la construcción de obras civiles, edificaciones y
maquinarias.
Sin
embargo, se requiere también definir un sistema de
unidades de medida con el que se trabajará.
Sistemas de Unidades
Existen
dos sistemas de unidades principales:
Sistema
Métrico: Aceptado internacionalmente, se conoce
por el nombre Sistema Internacional de unidades, el cual se
abrevia SI.
Sistema
Inglés: de uso en los EEUU, cuyo nombre es English
Gravitational Unit System (EGU). Lo que significa unidades
gravitacionales inglesas.
Unidades
TABLA Nº 1. DIMENSIONES BÁSICAS EN EL SISTEMA SI Y EGU.
SISTEMA
INTERNACIONAL (SI)
SISTEMA ANGLOSAJÓN
(EGU)
METRO (m)
PIE (ft)
TIEMPO
SEGUNDO (s)
SEGUNDO (s)
FUERZA
NEWTON (N)
LIBRA (lbf)
KILOGRAMO (kg)
SLUG
KELVIN (K)
ºF
MAGNITUD
LONGITUD
MASA
TEMPERATURA
Fuerzas
De
acuerdo a las Leyes de Newton, a toda acción corresponde
una reacción.
Cuando
se aplica una fuerza externa a un cuerpo sólido y este
permanece estático, se produce una reacción interna que
equilibra la fuerza externa.
La
magnitud de la reacción interna es el esfuerzo y la
consecuencia inmediata de la existencia de un esfuerzo es la
deformación.
Efecto de una Fuerza sobre un Sólido
Efecto de una Fuerza sobre un Sólido
La magnitud de la reacción en cada enlace depende de la
magnitud de la fuerza aplicada y de la cantidad de partículas que
resisten la acción de esa fuerza.
La cantidad de enlaces que soporta tal fuerza esta directamente
relacionada con el área transversal a la dirección en que actúa la
fuerza.
La magnitud del efecto es directamente proporcional a F e
inversamente proporcional a A
F

A
Resistencia de Materiales
 Se ocupa del estudio de los efectos causados por la acción de
cargas externas que actúan sobre un sistema deformable.
Calcula las deformaciones correspondientes y las relaciones que
existen entre la acción de las cargas externas y las fuerzas internas
inducidas.
En base al análisis, concluye si una pieza es capaz de resistir un
sistema de cargas propuesto.
Materiales de Construcción y Montaje
 Los principales materiales de construcción son:
Acero: Muy utilizado en instalaciones industriales.
Hormigón Armado: Hormigón con barras de refuerzo de acero.
Muy utilizado en la construcción de edificios.
Madera: Se utiliza en instalaciones provisorias y como parte
de la estructura de viviendas. No tiene un uso masivo en Chile.
Acero
El acero es una aleación de hierro y carbono, donde este último
no supera el 2,1% en peso.
Es un metal muy duro y tenaz, pero también es dúctil, es decir, se
deforma antes de romperse, por lo que es un muy buen material de
construcción.
Existen perfiles normalizados para vigas, columnas, y otros
elementos estructurales.
Su densidad es de alrededor de 7.850 kg/m3.
Acero
Ejemplo de estructura de acero
Hormigón Armado
El hormigón corresponde a una mezcla de cemento, arena, agua y
áridos (piedras) con una dosificación determinada.
El hormigón en masa es un material rígido y duro, que una vez
fraguado resiste esfuerzos de compresión considerables.
No obstante, el hormigón no tiene buena resistencia a la tracción,
por lo que se combina con barras de acero, las que resisten esos
esfuerzos.
Hormigón Armado
Madera
La madera es un material estructural caracterizado por su ligereza,
su resistencia y su calidad de recurso renovable.
La madera es un material anisotrópico, es decir, presenta distintas
propiedades en cada dirección.
En la dirección longitudinal a las fibras, su resistencia es mucho
mayor que en dirección transversal.
Sus desventajas son su poca durabilidad en ambientes agresivos y
su baja resistencia al fuego.
Madera
Ensayos Mecánicos
a) Estáticos; que simulan el comportamiento del material con pequeñas
velocidades de aplicación de las cargas:
. Tracción
. Compresión
. Dureza
b) Dinámicos; que modelizan el comportamiento frente a cargas variables
con el tiempo:
. Fatiga
. Resiliencia
Algunos Conceptos
1. Ductilidad: Es la habilidad de un material para deformarse antes de
fracturarse.
• Es una característica muy importante en el diseño, puesto que un
material dúctil es usualmente muy resistente a cargas por impacto.
• Tiene además la ventaja de “avisar” cuando va a ocurrir la fractura, al
hacerse visible su gran deformación.
Algunos Conceptos
2. Elasticidad: Es la habilidad que tiene un material que ha sido deformado
de alguna manera para regresar a su estado y tamaño original, cuando
cesa la acción que ha producido la deformación.
• Cuando el material se deforma permanentemente, de tal manera que
no pueda regresar a su estado original, se dice que ha pasado su límite
elástico.
3. Dureza: Mide la resistencia a la penetración sobre la superficie de un
material, efectuada por un objeto duro.
Algunos Conceptos
4. Fragilidad: Es lo opuesto de ductilidad.
• Un material frágil no tiene resistencia a cargas de impacto y se fractura
aún en cargas estática sin previo aviso.
• Tanto la fragilidad como la ductilidad de un material son mediadas
arbitrarias, pero puede decirse que un material con un alargamiento
mayor de 5% es dúctil y menor de 5% es frágil.
Algunos Conceptos
5. Maleabilidad: Es la propiedad que permite que un material se deforme
mediante martilleo, rolado o prensado, sin romperse. La maleabilidad,
se aumenta normalmente cuando el metal esta caliente.
6. Plasticidad: Es la habilidad de un material para adoptar nuevas formas
bajo la presión y retener esa nueva forma.
7. Carga: Las cargas son fuerzas externas que actúan sobre las estructuras.
Los tipos de carga más habituales son:
7.1 Los pesos situados sobre las estructuras.
7.2 El peso de la propia estructura.
7.3 La presión del agua.
7.4 La fuerza del viento.
Algunos Conceptos
8.
Esfuerzo (σ): Fuerza aplicada a un área A conocida (kg/cm2).
Tracción y Compresión
8.1 Esfuerzo de Tensión o Tracción: Los extremos del material son estirados
hacia afuera para alargar al objeto.
TRACCIÓN
8.2 Esfuerzo de Compresión: Los extremos del material son empujados para
contraer al mismo.
COMPRESIÓN
Corte
8.3 Esfuerzo de Corte: Ocurre cuando sobre el cuerpo actúan fuerzas que
tienden a cortarlo o desgarrarlo. En este caso, la superficie de corte es
perpendicular a la fuerza aplicada.
CORTE
Flexión
8.4 Esfuerzo de Flexión: Ocurre cuando sobre el cuerpo actúan fuerzas que
tienden a doblarlo. En este caso, una parte del cuerpo se comprime y la
otra se tracciona.
FLEXIÓN
Torsión
8.5 Esfuerzo de Torsión: Ocurre cuando sobre el cuerpo actúan fuerzas que
tienden a retorcerlo. Un caso es cuando se usa una llave para abrir una
puerta.
TORSIÓN
Esfuerzos en la Práctica
Deformaciones
9. Deformación Unitaria (ε):
Consideremos a la barra de sección constante que soportan una carga
axial P en su extremo.
Bajo la acción de la carga, la barra sufrirá una
deformación que denominaremos con la letra
griega  (delta)
 (épsilon): deformación unitaria
 : deformación total (LF – LI )
Lo : longitud original
Deformaciones
9. Deformación Elástica
• Deformación restaurable, debido a un esfuerzo aplicado. Se presenta
tan pronto como se aplica la fuerza, permanece mientras se aplica el
esfuerzo y desaparece tan pronto como se retira la fuerza.
10.Deformación Plástica
• Deformación permanente de un material, cuando se quita el esfuerzo,
el material no regresa a su forma original.
Ensayo de Tensión en Metales
El Ensayo de Tensión mide la resistencia de un material (metales,
aleaciones y plásticos) a una fuerza estática o aplicada lentamente,

Este ensayo es utilizado para determinar la resistencia, ductilidad y
elasticidad del metal.

El ensayo de tensión se realiza bajo la norma ASTM E-8 o bien la norma
chilena NCH 200, entre otras.

Ensayo de Tensión
Probetas que se utilizan en el ensayo de tracción
Ensayo de Tensión
Esquema de probetas que se utilizan en el ensayo de tracción
Esfuerzo y Deformación
Esfuerzo Real y Deformación Real
Curva típica de tracción hasta la fractura, punto F. La resistencia a la
tracción está indicada en el punto M.
Resistencia a la Tracción (σmáx)

Esfuerzo obtenido con la máxima fuerza aplicada.
Es el esfuerzo máximo, basado en la sección transversal original, que
puede resistir un material.


Es el esfuerzo en el cual comienza la estricción en los materiales dúctiles.
Estricción: Reducción de la sección de la
probeta, momento a partir del cual las
deformaciones continuarán
acumulándose hasta la rotura de la
probeta por ese zona. La estricción es la
responsable del descenso de la curva
tensión-deformación
Esfuerzo de Ruptura (σr)
Es el esfuerzo basado en la sección original, que produce la fractura del
material.

La deformación se concentra en la zona del cuello, provocando que la fuerza
deje de subir. Al adelgazarse la probeta por estricción, la fuerza queda aplicada
en menor área, provocando la ruptura.

Esquema de la secuencia de
ruptura de las probetas en un
ensayo de tracción
Diagrama Tensión-Deformación
Ensayamos a tracción una probeta de un determinado material. Para distintos
valores de la carga medimos la tensión () y la deformación unitaria (ε)
producidas. Representando gráficamente, se obtiene el siguiente diagrama.
Conceptos Tensión-Deformación
1)
Zona Elástica: Es la parte donde al retirar la carga el material
regresa a su forma y tamaño inicial.
2)
Zona de Fluencia: Región en donde el material se comporta
plásticamente; es decir, en la que continúa deformándose bajo
una tensión “constante”.
3)
Zona de Endurecimiento: Zona en donde el material retoma
tensión para seguir deformándose; va hasta el punto de tensión
máxima.
4)
Zona de Estricción: En éste último tramo el material se va
poniendo menos tenso hasta el momento de la fractura.
Conceptos Tensión-Deformación
5)
Límite proporcional: Tensión máxima para la cual la deformación
es proporcional a la tensión.
6)
Módulo de Elasticidad (E): Relación entre la tensión y la
deformación del acero. Válida hasta el límite proporcional.
7)
Tensión de Fluencia: Tensión para la cual el material se comporta
plásticamente, el cual fluye a un valor constante de tensión.
8)
Límite Elástico: Tensión máxima para la cual la deformación es
completamente recuperable. Pasado ese valor, queda una
deformación permanente.
Ejemplo Diagrama Tensión-Deformación
Diagrama Tensión-Deformación para una aleación de aluminio
Ley de Hooke
 Para materiales sometidos a esfuerzos tensionantes, a relativamente
bajos niveles, el esfuerzo y la deformación son proporcionales
 La constante E es conocida como el Módulo de Elasticidad, o Módulo de
Young. Es una medida de la rigidez de un material.
 Es medida en MPa y puede valer de ~4.5 x 104 a 4 x 107 MPa
Esfuerzo Cortante (τ)
 El Esfuerzo Cortante es usado en aquellos casos donde se aplican fuerzas
puramente torsionantes a un objeto y se denota por el símbolo τ.
 La fórmula de cálculo y las unidades permanecen iguales como en el
caso de esfuerzo de tensión.
 Se diferencia del esfuerzo de tensión sólo en la dirección de la fuerza
aplicada (paralela para cortante y perpendicular para tensión).
Esfuerzo Cortante y Deformación
 Deformación de Corte o Cizalle (γ) es definida como la tangente del
ángulo θ y, en esencia, determina qué extensión del plano fue
desplazado.
Esfuerzo Cortante y Deformación
 El Esfuerzo Cortante y la Deformación se relacionan de manera similar,
pero con una constante de proporcionalidad diferente.
 La constante G es conocida como el Módulo de Corte y relaciona el
Esfuerzo Cortante con la deformación en la región elástica.
Coeficiente de Poisson (ν)
 Cuando un cuerpo es colocado
bajo un esfuerzo tensionante, se
crea una deformación
acompañante en la misma
dirección.
 Como resultado de esta
elongación, habrá constricciones
en las otras dos direcciones.
 El Coeficiente de Poisson (ν) es la
relación entre las deformaciones
lateral y axial.
Coeficiente de Poisson (ν)
• Teóricamente, los materiales isotrópicos tienen un valor de Coeficiente
de Poisson de 0.25.
• El máximo valor de ν es 0.5
• No hay cambio de volumen durante el proceso.
• La mayoría de los metales presentan valores entre 0.25 y 0.35.
• Se usa además para relacionar los Módulos Elástico y de Corte.
Resiliencia
Es
la capacidad de un material para absorber energía cuando es deformado
elásticamente y devolverla cuando se elimina la carga (área bajo la curva
elástica).
Módulo
de resiliencia: corresponde a la energía de deformación por unidad
de volumen, requerida para llevar el material desde una tensión cero hasta el
límite elástico.
Tenacidad
Capacidad de absorber energía en el campo plástico, antes de
fracturarse (trabajo de fractura).

Se determina como el área bajo la curva esfuerzo-deformación
ingenieril. Esta superficie es una indicación del trabajo total, por unidad de
volumen que puede realizarse sobre el material sin que se produzca rotura

Convención de Signos
Esfuerzo Axial Simple:
Tensión Admisible
Es un valor que indica el nivel máximo de solicitación al cual puede
trabajar un material.

La
tensión de trabajo no debe sobrepasar la tensión admisible.
Este valor se determina arbitrariamente, aunque procurando no
sobrepasar el rango elástico del material, pues de otro modo, podría sufrir
deformaciones permanentes

Factor de Seguridad
Es un valor que permite reducir los niveles de incertidumbre en los
cálculos de Ingeniería. Este coeficiente debe ser mayor a 1.

Este valor relaciona la resistencia que posee el material con las cargas a
las que va a estar sometido.

Elasticidad Volumétrica
Al igual que en el caso lineal, existen módulos de elasticidad de área y
volumen.

Para
el caso del módulo de elasticidad de volumen, se tiene lo siguiente.
B = - (F/A)/ (V/V)
B = - P/ (V/V)
Expansión Térmica
Corresponde a las variaciones de dimensión en un material producto de
los cambios de temperatura en el mismo. Y la ecuación es la siguiente:

T   .L.T
En donde:
T :
:
L:
T
Expansión Térmica
Coeficiente de Expansión Térmica
Longitud inicial del miembro
Cambio de temperatura
Expansión Térmica
Coeficiente
de expansión térmica (α): es la propiedad de un material que
indica la cantidad de cambio unitario dimensional con un cambio unitario
de temperatura.
Las
unidades en que se exprese el coeficiente de expansión térmica son:
in
1
;
; F 1
in * F  F
mm
1
;
;C 1
mm * C  C
E.U.G
SI
Deformación que Causa la
Expansión Térmica
Esfuerzo Térmico: Estos esfuerzos se generan cuando a un elemento
sometido a cambios de temperaturas se le sujeta de tal modo que impida
la deformación del mismo, esto genera esfuerzos en la pieza.
Recordando que:
 
T
L

 .L.T
L
    .T
Por la Ley de Hooke:
  E.
  E  .T 
En donde:
:
:
E:
T
Expansión Térmica
Coeficiente de Expansión Térmica
Módulo de elasticidad
Cambio de temperatura
CENTRO DE MASA

El Centro de Masa es el punto en donde se considera que se encuentra
concentrada la masa de un cuerpo.

Es un punto único, independiente de la posición y orientación del
sólido.
CENTRO DE MASA

Para un conjunto de masas puntuales, el Centro de Masa se calcula:
m r

m
y
i i
rCM
i
m4
m3
i
i
r4
m2
r1
m1
m5
x
r6
m6
CENTRO DE MASA

Para una distribución continua de masa, el Centro de Masa se calcula:
mi
y
r
rCM
x
z
rCM
1
  rdm
M
MOMENTO DE INERCIA
Es la forma en que se distribuye la masa en torno al eje de giro.
Por ejemplo, para una misma varilla que gira en torno a dos ejes
distintos, los momentos de inercia también son distintos.
MOMENTO DE INERCIA
Se ha definido el momento de inercia de
un objeto con respecto al eje z como:
Caso Sistema Discreto (masas puntuales)
Caso Sistema Continuo (masa distribuida)
MOMENTO DE INERCIA: EJEMPLOS
TEOREMA DE STEINER
MOMENTO DE INERCIA DE SECCIONES PLANAS

En general, el momento de inercia es aplicable a cuerpos con una masa
definida que rotan alrededor de un eje.

Sin embargo, el concepto también es aplicable a áreas de secciones de
cuerpos.

En otras palabras, se pueden reemplazar los términos de masa por
términos de superficie cuando lo que rota es una sección completa
(flexión de una viga, por ejemplo).
MOMENTO DE INERCIA DE SECCIONES PLANAS

Recordando, en el caso de un sistema distribuido y continuo, el
momento de inercia respecto al eje Z es:

Para el caso de secciones, sólo se reemplaza dm por dA
MOMENTO DE INERCIA DE SECCIONES PLANAS

Esto significa que si tenemos una superficie o sección completa que
rota alrededor de un eje, los momentos de inercia en X, en Y y en Z
serán los siguientes:

Se debe notar que el momento de inercia en Z corresponde a la suma
de los momentos de inercia en Y y en X.
MOMENTO POLAR DE INERCIA

A Iz se le denomina “Momento Polar de Inercia”, pues la sección gira
en torno al eje Z, es decir, gira dentro del plano XY.

El momento polar de inercia (M.P.I.) se aplica en caso de Torsión de
un cuerpo (torsión en la sección de un cuerpo).
TORSIÓN

En el caso en que se aplique torsión sobre un cuerpo, éste no gira
uniformemente alrededor de un eje, sino que el giro varía linealmente
según la longitud del cuerpo.
Ej: Sea un cilindro macizo de sección circular de radio R y longitud L,
sometida a un momento torsor:
TORSIÓN

Considerando la igualdad de arcos entre los puntos a y b, según el radio
R y la generatriz L, se deduce lo siguiente:
Rθ ≈ γL

(1)
Donde θ es el ángulo de torsión, y γ es la deformación angular por
cortante.

Para determinar el esfuerzo cortante máximo τmáx del material, se
puede utilizar la ley elástica de Hooke para la torsión, que establece:
τmáx = G.γ
(2)
TORSIÓN

Si los esfuerzos cortantes no sobrepasan el límite de proporcionalidad,
dicho esfuerzo se distribuye linealmente, siendo cero en el eje central
de la probeta y logrando un valor máximo en la periferia.

Así, es posible utilizar otra fórmula para calcular el esfuerzo cortante
máximo, la cual considera el momento torsor T aplicado y el momento
polar de inercia J de la sección de la pieza que resiste la torsión:
(3)
TORSIÓN

En el caso de secciones circulares macizas de radio R, el momento
polar de inercia J es:
(4)

Por lo tanto, el esfuerzo cortante en la periferia del cilindro es igual a:
(5)

Igualando las ecuaciones (2) y (3), finalmente permite obtener:
(6)
TORSIÓN

De la ecuación (1) se puede obtener una expresión para el ángulo γ en
función del ángulo de torsión θ, el que se sustituye en la ecuación (4)
para llegar a :

Este valor se sustituye en la ecuación (4) para llegar a :

El valor del ángulo θ es:
ALGUNOS EJEMPLOS DE M.P.I.
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS

La flexión induce esfuerzos de tensión en las vigas, los cuales son muy
importantes en Ingeniería.

Consideremos que una viga tiene el siguiente sistema de coordenadas:

Los ejes Y y Z son los ejes principales de Inercia
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
Convención de signos para
Corte:
Convención de signos para
Momento en Z:
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
Convención de signos para
Momento en Y:
En la práctica, sólo se trabaja con el caso en que n > 0
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
Convención de signos
(caso Mz):
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
Convención de signos
(caso My):
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
SUPERFICIE NEUTRA:
Al flexionar una viga, las secciones transversales giran y hacen que las fibras
longitudinales, inicialmente rectas, se curven, alargándose o acortándose
según su posición en la viga.
Existen

fibras que no se alargan ni se acortan, éstas son las fibras neutras.
La superficie que forman las líneas neutras se denomina superficie neutra.
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
SUPERFICIE NEUTRA:
La superficie que forman las líneas neutras se denomina superficie neutra.
El eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección de la viga.
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
TENSIONES NORMALES:
Los ejes Y y Z son los ejes principales de Inercia. Si existe momento en ambos
ejes, tendemos que la tensión longitudinal será:
En el caso en que My = 0:
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
En el caso en que Mz = 0:
Y la distribución de tensiones normales para este caso será:
RADIO DE GIRO
“El radio de giro de un objeto, respecto de un eje que pasa a través del
CG, es la distancia desde el eje en el cual se puede concentrar toda la
masa del objeto sin cambiar su momento de inercia”.

El radio de giro es siempre medido desde el CG y se define como:
MÓDULO DE RESISTENCIA (W)

Habíamos visto que en el caso en que My = 0:

También tenemos que para las fibra extremas de la sección se alcanzan
las tensiones máximas de tracción y compresión:

Otra forma de expresar la ecuación anterior es la siguiente:
MÓDULO DE RESISTENCIA (W)

Al denominador de la ecuación anterior le llamamos “Módulo de
Resistencia” (W).

Con lo cual la expresión de la tensión máxima en Z queda así:

Análogamente, la tensión máxima en Y queda expresada de la siguiente
manera:

En que:
MÓDULO DE RESISTENCIA (W)

En el caso de una sección rectangular:

Y por tanto:
MÓDULO DE RESISTENCIA (W)

En el caso de una sección circular:

Y por tanto:
TENSIONES ADMISIBLES

En numerosos materiales los esfuerzos límites de tracción y de
compresión son diferentes y, en consecuencia, serán diferentes
sus esfuerzos admisibles a tracción σadm,t y a compresión σadm,c.

Para dimensionar una sección transversal solicitada a flexión pura
utilizando este tipo de materiales, se ha de verificar:
TENSIONES ADMISIBLES
• Cuando se utilizan materiales que tienen el mismo esfuerzo límite
de tracción y de compresión y, por tanto, el mismo esfuerzo
admisible, el anterior criterio de dimensionamiento se reduce a:
σmáx = σadm
siendo σmáx el máximo esfuerzo normal, ya sea de tracción o de
compresión.

Al dimensionar una sección solicitada por el momento flector Mz
utilizando un material que tenga el mismo esfuerzo límite de
tracción que de compresión, el módulo resistente necesario será:
TENSIONES ADMISIBLES

De ella se deduce inmediatamente que las secciones más económicas
en flexión serán aquellas que tengan el mayor módulo resistente Wz
con el menor gasto de material, lo que se consigue situando la
superficie de la sección lo más alejada posible del eje neutro.

Esta es la razón de que en flexión tengan utilización preferente los
perfiles delgados esquematizados en la siguiente figura:
FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER

Sean DE y CF las trazas
de los planos que
contienen a dos
secciones rectas
indefinidamente
próximas de un prisma
mecánico, sometido a
flexión pura.
FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER

Si unas fibras se alargan
y otras se acortan, por la
continuidad de las
deformaciones existirá
una fibra neutra que no
experimente variación
de longitud alguna.
FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER

Sea AB la traza de la
superficie neutra, cuyo
radio de curvatura es rz.

Es fácil demostrar que
los triángulos MNB y
ABO son semejantes,
por lo que se podrá
escribir:
FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER
Como
MN dx
ABdx
MB y
AO 
se tiene:
FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER
En virtud de la ley de Hooke:
Δdx/dx = ε = σ/E
por lo que:
o lo que es lo mismo:
FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER
• Como el cociente E/r es constante en cada sección, podemos
enunciar la Ley de Navier:
• «En una sección sometida a flexión pura, los módulos de las
tensiones que se ejercen sobre las distintas fibras son
directamente proporcionales a sus distancias a la fibra neutra».
• La representación gráfica de dichas tensiones será lineal y, como
era de esperar, las máximas tensiones de compresión y de
tracción corresponden a las fibras extremas.
RIGIDEZ A FLEXIÓN

Por otra parte, puesto que:
se obtiene que:

Según esta expresión, la curvatura de la elástica es directamente
proporcional al momento flector Mz e inversamente proporcional a la
magnitud EIz , llamada “Rigidez a Flexión”.

Rigidez a Flexión: Oposición que pone el prisma mecánico a
deformarse.
FLEXIÓN SIMPLE: CONVENIO DE SIGNOS

En una viga apoyada en sus extremos
A y B, tal como la indicada en la
figura siguiente, el Momento en una
sección mn a distancia x de A,
considerando las fuerzas situadas a
su izquierda, será:
Mi(x) = RAx - P(x - a)
Y el esfuerzo cortante:
Ti(x) = RA – P
FLEXIÓN SIMPLE: CONVENIO DE SIGNOS

Si consideramos las fuerzas
situadas a la derecha de la sección,
se tendría:
Md(x) = RB (a + b - x)
Td(x) = -RB

Evidentemente, se habrá de
cumplir:
Mi(x) = Md(x)
Ti(x) = Td(x)
FLEXIÓN SIMPLE: CONVENIO DE SIGNOS

El esfuerzo cortante y el momento
flector serán funciones de la
abscisa x de la sección:
T = T(x)
M = M(x)

La representación gráfica de estas
funciones da lugar al “diagrama de
esfuerzos cortantes” y al
“diagrama de momentos
flectores”, respectivamente.
FLEXIÓN SIMPLE




El dimensionado de una viga, exclusivamente a flexión, exige el
conocimiento de los valores que adopta el momento flector en cada
sección de la viga.
Vamos, por tanto, a determinar los momentos flectores insistiendo
especialmente en su valor máximo.
Como norma general, la determinación de momentos implica el
conocimiento de todas las fuerzas que actúan sobre el prisma
mecánico.
Se tratarán los siguientes casos de sustentación: viga simplemente
apoyada y viga en voladizo.
MOMENTOS FLECTORES
Viga simplemente apoyada.

En todos los casos que se estudian a continuación se supone el peso
propio de la viga despreciable respecto a las cargas que actúan
sobre la misma.
MOMENTOS FLECTORES CARGA CENTRADA
a.-Carga centrada y concentrada.

En primer lugar se determinan las reacciones teniendo en cuenta
que la suma de componentes verticales ha de ser nula:
RA + RB - P = 0
MOMENTOS FLECTORES CARGA CENTRADA

Tomando momentos respecto del punto medio:
de donde:
MOMENTOS FLECTORES CARGA CENTRADA

Haciendo uso ahora de las leyes de los momentos flectores:
M x1  R A x 
P
x, válida en
2
0 x 
l
2
l P
l

M x 2  R A x  P  x    (l  x ), para
 x l
2 2
2

MOMENTOS FLECTORES CARGA CENTRADA


El momento flector máximo se presentará en el punto medio de la
viga.
Su valor será:
Pl
M m áx 
4
MOMENTOS FLECTORES CARGA DESCENTRADA
b.-Carga descentrada y concentrada.

En primer lugar se determinan las reacciones imponiendo la
condición de componente vertical nula:
RA + RB - P = 0
MOMENTOS FLECTORES CARGA DESCENTRADA
• Tomando momentos respecto del extremo B:
RAL - Pb = 0,
de donde:
Pb
Pa
RA  ; RB
l
l
MOMENTOS FLECTORES CARGA DESCENTRADA
• Haciendo uso de las leyes de los momentos flectores:
M x1  R A x 
Pb
x, válida en 0  x  a
l
Pa
M x2 =
RA x P( x a )= (l x), para a ≤x≤l
l
MOMENTOS FLECTORES CARGA DESCENTRADA

El momento flector máximo tendrá lugar en la sección en la que
está aplicada la carga y su valor se obtiene haciendo x = a en
cualquiera de las ecuaciones de momentos:
M máx
Pab

l
MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME
c.-Carga uniformemente repartida.
MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME


Representaremos por p la carga por unidad de longitud.
Se suele expresar en toneladas por metro lineal (ton/m).
MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME

La determinación de las reacciones es muy simple, ya que por
simetría:
R A R B 
pl
2
MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME

En este caso rige una sola ecuación de momentos para toda la viga:
x
pl
p x2
M  RA x  p x 
x
, para 0  x  l
2
2
2

Es la ecuación de una parábola, por lo que el diagrama de
momentos flectores será un arco de este tipo de cónica.
MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME

El momento máximo será:
M máx
p l2

8
MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO

Vamos a suponerla perfectamente empotrada en un extremo
(imposibilidad de giro en él) en todos los casos que se estudian a
continuación:
MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO
a) CARGA CONCENTRADA EN EL EXTREMO LIBRE
 La ecuación de momentos puede escribirse directamente:
M = -Px, válida en 0 ≤ x ≤ L
MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO

El momento flector máximo se dará en el empotramiento y valdrá:
Mmáx = - pL

Se trata de un máximo absoluto.
MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO
b) CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA.
 Sea p la carga por unidad de longitud.
 La ecuación de momentos será:
x
p x2
M  p x  
,
2
2
válida en 0  x  l
MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO

El momento flector máximo se dará en el empotramiento y valdrá:
M máx
p l2

2
y como antes, se trata de un máximo absoluto.
ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA
SIMPLEMENTE APOYADA
a) Carga centrada y concentrada sobre viga simplemente apoyada.

Para una sección mn el valor del esfuerzo cortante será la suma
geométrica de las fuerzas que actúan sobre la viga a uno de sus
lados (consideraremos las fuerzas situadas a la izquierda).
ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA
SIMPLEMENTE APOYADA
a) Carga centrada y concentrada sobre viga simplemente apoyada.
Así tendremos:
Tx1  RA 
P
,
2
Tx2  RA  P  
válida para 0 x 
P
 RB
2
para
l
2
l
 xl
2
ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA
SIMPLEMENTE APOYADA
b) Carga descentrada y concentrada sobre viga simplemente apoyada.
Tx1  RA 
Pb
l
Tx2  RA  P  
válida para 0  x  a
Pa
  RB
l
para a  x  l
ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA
SIMPLEMENTE APOYADA
c) Carga uniformemente repartida sobre viga simplemente apoyada.
• La ley de esfuerzos cortantes será:
T  RA  p x 
pl
 px
2
• La ecuación válida para cualquier sección de la viga.
ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA EN
VOLADIZO
e) Carga uniformemente repartida.

La ley del esfuerzo cortante es:
T = -px, para 0 ≤ x ≤ L

La ecuación es válida para cualquier sección de la viga.
ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA EN
VOLADIZO
e) Carga uniformemente repartida.


El valor máximo corresponde a la sección de empotramiento.
Haciendo x = L en la ecuación anterior, se obtiene:
Tmáx = -pL = -P

Se trata de un máximo absoluto.
RELACIONES ENTRE EL ESFUERZO CORTANTE,
EL MOMENTO FLECTOR Y LA CARGA
VÍNCULOS Y REACCIONES DE VÍNCULO
1) Biela o Cable: Ambos poseen una reacción de vínculo de
carga a lo largo de su eje principal.
2) Apoyo deslizante: Posee una reacción en la dirección
restringida, si se halla en un plano.
VÍNCULOS Y REACCIONES DE VÍNCULO
3) Articulación o Rótula: Posee dos reacciones de carga en las
direcciones restringidas.
4) Empotramiento: Posee dos restricciones de tipo carga y una
de tipo momento.
ESTRUCTURAS

Definición: Conjunto de elementos unidos entre sí, destinado a resistir
las fuerzas que actúan entre ellos.
CONDICIONES DE LAS ESTRUCTURAS
1) Que sea rígida: Es decir, que no se deforme o se deforme dentro de unos
límites. Para conseguirlo, se hace triangulando los elementos (excepto si es
una viga).
2) Que se estable: es decir que no vuelque. Se puede conseguir haciendo más
ancha la base, o colocando tirantes.
3) Debe ser resistente: es decir que cada elemento de la estructura sea capaz
de soportar el esfuerzo al que se va a ver sometido.
4) Debe ser los más ligera posible, así ahorraremos en material y tendrá
menos cargas fijas.
EQUILIBRIO

Las condiciones de equilibrio de una estructura son:
a)
Suma neta de esfuerzos verticales igual a cero.
b)
Suma neta de esfuerzos horizontales igual a cero
c)
Suma neta de momentos igual a cero.
“ECUACIONES DE EQUILIBRIO ESTÁTICO”.
DETERMINACIÓN ESTÁTICA
Se habla de que una estructura es
ESTÁTICAMENTE
DETERMINADA
cuando posee los apoyos necesarios
para evitar todos los posibles
movimientos de la estructura.

Cuando la estructura posee menos
apoyos de los necesarios para evitar
movimientos en la estructura, se
dice que es ESTÁTICAMENTE
INDETERMINADA y se le llama
hipostática o “mecanismo”.

DETERMINACIÓN ESTÁTICA

Cuando una estructura es estáticamente determinada pueden ocurrir
dos casos:
1. Estructura Isostática: Posee los apoyos estrictamente necesarios para
evitar los movimientos de la estructura. Es sencillo calcular los
esfuerzos, pues hay el mismo número de ecuaciones de equilibrio que
de incógnitas.
Ej:
Viga con un extremo articulado fijo (2 incógnitas) y otro articulado
móvil (1 incógnita). SISTEMA ISOSTÁTICO
DETERMINACIÓN ESTÁTICA
2.
Estructura Hiperestática: Posee más apoyos de los estrictamente
necesarios para evitar los movimientos de la estructura. En este caso,
existen más incógnitas que ecuaciones, por lo que se deben ingresar
ecuaciones de deformación para calcular los esfuerzos.
El grado de hiperestaticidad es igual a la diferencia entre el número
de incógnitas y el número de ecuaciones.
Ej:
Viga con dos extremos articulados fijos (4 incógnitas).
HIPERESTÁTICO DE 1° GRADO.
SISTEMA
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