Tema 10
Expresiones algebraicas (fraccionarias y radicales)
1ª Parte
FRACCIONES
ALGEBRAICAS
Fracciones algebraicas.Valor numérico
Una expresión algebraica no es más
que una combinación de números y
letras ligados polos símbolos de
operaciones matemáticas, como:
El valor numérico de cualquier
expresión algébrica se obtiene al
sustituir las “letras” (indeterminadas
en lenguaje matemático) por valores
numéricos y efectuar las operaciones
indicadas, y esta es una operación
corriente en matemáticas:
Cálculo de la superficie
del círculo de radio 1
Solución de
x2+ 2x -3=0
Expresión
Valores de las indeterminadas
Valor numérico final
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fracción algebraica es un cociente
de polinomios
EXEMPLOS:
Como para cualquier expresión
algebraica, el valor numérico de una
expresión algebraica es el número
que se obtiene cuando se sustituye
cada una de las indeterminadas por
un valor numérico, y se efectúan las
operaciones.
Expresión
Valor de la
indeterminada
Los tipos de fracciones algebraicas
están ligados a los tipos de polinomios:
en los no vamos a estudiar más que
los cocientes de polinomios enteros, y
preferentemente con una sola
indeterminada.
Valor
numérico
final
Ejemplo 2
EJEMPLO 3:
Expresión
Valor de la indeterminada
Valor numérico final
Debe recordarse que el valor
numérico de una expresión
cambiará se cambiamos los valores
asignados a las indeterminadas..
Tomemos por ejemplo
cambiemos los valores asignados a
las “letras” y calculemos valores
numéricos.
En ocasiones no es posible
calcular este valor
No puede calcularse el
resultado de una fracción de
denominador nulo!
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-0,3125
-0,44444444
-0,75
-2
#¡DIV/0!
0
0,25
0,22222222
0,1875
0,16
0,13888889
SUGERENCIA: Comprueba los resultados
de la tabla utilizando una calculadora.
EXPRESIÓNS INDETERMINADAS.
Se dice de una expresión que es
indeterminada cuando su cálculo no es
posible.
Los matemáticos decidieron que las
siguientes expresiones son expresiones
indeterminadas:
La indeterminación 0/0 es en realidad
un caso particular de la primera (k/0) y
es la única con la que hemos de tratar
aquí
Una raíz de índice par y radicando
negativo como:
Contrariamente a lo que pudiera
pensarse, no es una expresión
indeterminada.
La raíz citada sí puede calcularse. De
hecho, el problema de cálculo de las
raíces cuadradas de números
negativos ha originado una nueva
clase de números, los números
complejos, con los cuáles es posible
calcular la raíz de cualquier índice de
cualquier número.
Los números complejos, intuidos ya
por Herón de Alejandría en el siglo I
antes de Cristo, y popularizados por
Gauss en el XVIII, originaron una
rama especial de las matemáticas
conocida cómo análisis complejo.
Fracciones algebraicas equivalentes
La definición corriente de fracciones
numéricas equivalentes establece que
lo son aquellas cuyo valor coincide.
En el caso de fracciones algebraicas
eso significaría que su valor numérico
debe ser lo incluso, para cualquier
valor por el que se sustituya la
indeterminada.
Consideremos las fracciones:
Si consideramos los valores numéricos
de estas fracciones en distintos casos
observamos
En general los valores coinciden,
con todo existen valores que
ofrecen discrepancias, ya que no se
puede calcular el valor numérico de
la fracción en ese caso.
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-0,3125
-0,3125
-0,44444444 -0,44444444
-0,75
-0,75
-2
-2
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
0 #¡DIV/0!
0,25
0,25
0,22222222 0,22222222
0,1875
0,1875
0,16
0,16
0,13888889 0,13888889
Para evitar este problema se define la
equivalencia de fracciones algebraicas
como:
Entonces:
Obtención de fraccións equivalentes
El procedimiento para obtener
fracciones algebraicas equivalentes es
similar al procedimiento para obtener
fracciones numéricas equivalentes: se
multiplicamos o dividimos numerador y
denominador de una fracción algebraicas
por un mismo polinomio, obtendremos
una fracción algebraica equivalente:
Multiplicando en cruz en:
UN EJEMPLO SENCILLO
Se tiene:
Comprobándose que efectivamente son
equivalentes
Para obtener una fracción equivalente
a:
Simplemente multiplicamos
numerador y denominador por
el mismo polinomio
Al efectuar las operaciones indicadas
obtenemos::
SOLUCIÓN:
Factorizamos numerador y
denominador por el procedimiento
más simple:
a) Resolviendo la ecuación:
Fracciones
equivalentes
Simplificación de fracciones algebraicas
La simplificación de fracciones consiste en
lo contrario: en factorizar las expresiones
complejas, y suprimir los factores comunes
a numerador y denominador
EJEMPLO:
Simplifiquemos la fracción:
b) Utilizando la factorización de
polinomios
Hacemos lo mismo con el
denominador:
Factores de
METODO 1
1
X+3
-3
1
X+2
-2
METODO II
5
6
-3
-6
2
0
-2
1
0
Obtenemos:
Fracciones equivalentes
Fracción simplificada
Claro no es necesario factorizar
empleando ambos métodos: con uno
es suficiente.
En ocasiones podremos factorizar de
forma aun más sencilla, si podemos
utilizar igualdades notables
Suma y diferencia de fracciones
algebraicas
SUMA
Para efectuar una suma de fracciones
algébricas procederemos básicamente
al igual que para efectuar una suma de
fracciones corrientes
1.- Factorizamos denominadores:
2.- Mínimo común múltiplo de los
denominadores:
3.- Transformamos la expresión.
4.- Efectuamos la suma
Ejemplo:
1.- Factorizamos denominadores:
2.- Mínimo común múltiplo de los
denominadores:
Mínimo=(x-1)(x+2)(x+3)
Factores no comunes
Factores comunes elevados al
mayor exponente
3.- Transformamos la expresión.
4.- Efectuamos la suma
DIFERENCIA (RESTA)
Dado que la diferencia no es sino la
suma del opuesto, el procedimiento
para efectuar una resta es el mismo que
para efectuar una suma, igual que
ocurría con las fracciones numéricas.
EJEMPLO:
1.- Factorizamos denominadores:
2.- Mínimo común múltiplo de los
denominadores:
3.- Transformamos la expresión.
4.- Efectuamos la resta
1
2
4
3
Producto y cociente
La regla para multiplicar fracciones
algébricas es la misma que la regla
del producto fracciones numéricas.
Se multiplican los numeradores, que
formarán el nuevo numerador, y
por otra parte el denominador será
el producto de los denominadores.
Análogamente al caso anterior, la
división de fracciones algébricas es
también idéntica a la división de
fracciones numéricas. Se multiplican
los dos extremos para obtener el
nuevo numerador, y el producto de
los medios los darán el
denominador.
2ª parte
EXPRESIONES
RADICALES
Clase 76
DEFINICIÓN. VALOR
NUMÉRICO Y
EQUIVALENCIA DE
RADICALES
Una expresión radical es una
expresión que incluye una raíz. La raíz
pode englobar varios términos o pode
encontrarse en medio de la expresión.
Valor numérico de una expresión
radical es lo que se obtiene cuando
se sustituyen las indeterminadas por
valores numéricos
Valor numérico
cuando x=1 e y=2.
Sustituimos las indeterminadas los
pones sus valores, efectuamos las
operaciones y obtenemos:
x=1
y=2.
Como podemos apreciar, esta
definición es formalmente idéntica la
todas las definiciones de valor
numérico, con todo en el caso de las
raíces, presenta una ambigüedad, ya
que las raíces de índice par, con un
valor numérico del radicando positivo
ofrecerán dos resultados: un positivo y
otro negativo.
Cuando se nos pida el valor
numérico de una raíz indicaremos el
valor positivo, salvo petición
explícita.
Ejemplo:
Valor numérico cuando x=2 e y=3.
RADICALES EQUIVALENTES
La equivalencia de radicales se vincula
al valor numérico: podríamos decir
que dos expresiones radicales son
equivalentes se ambas tienen el
mismo valor numérico
Esta definición presenta la
ambigüedad anteriormente citada con
respeto a los valores que se obtienen
en raíces de índice par e impar.
Abordaremos a continuación el
problema de determinar la
equivalencia de expresiones radicales y
ver en que casos se presenta esta
ambigüedad y como se resuelve..
Obtención de expresiones
radicales equivalentes.
La obtención de expresiones radicales
equivalentes se rige por el incluso
procedimiento que la obtención a
obtención de radicales numéricos
Ejemplo:
Igualmente válida para expresiones
radicales.
Debe tenerse en cuenta que al decir
exponente del radicando nos referimos
a este en su conjunto.
En el caso de radicales complejos:
Valor numérico y equivalencia
Formalmente:
Ambas son raíces equivalentes, como
explicamos. Con todo la raíz de índice
par siempre nos ofrecerá dos valores
como resultado, mientras que la de
índice impar solamente nos ha dar uno.
A pesar de esto, mantenemos la
definición de equivalencia, ya que uno
de los resultados de la raíz par siempre
coincide con el resultado del índice
impar:
Con esto en cuenta podemos definir
las expresiones radicales
equivalentes cómo:
Clase 77
SIMPLIFICACIÓN Y
REDUCCIÓN DE
RADICALES A ÍNDICE
COMÚN. INTRODUCIR Y
EXTRAER FACTORES
Simplificación y redución de radicales
A simplificación y reducción son
procedimientos para obtener radicales
equivalentes más simple
Se basan en la propiedad:
Que pode escribirse
igualmente:
Si se multiplican o dividen el índice
y el exponente del radicando de
una expresión radical por un
mismo número se obtienen
radicales equivalentes
EXEMPLOS:
Radicales equivalentes a
La obtención de radicales
equivalentes pode hacerse de las dos
maneras: multiplicando obtenemos
una más compleja, dividiendo una más
simple.
Simplificar radicales es obtener una
expresión radical equivalente de
menor índice.
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
La simplificación de radicales consiste
en reducir al máximo mediante este
procedimiento los exponentes del
radicando y el índice de la raíz,
dividiendo todos estos entre su máximo
común divisor, de la misma forma que se
hace con números.
REDUCIÓN A ÍNDICE COMÚN
Es un procedimiento previo a
operaciones como la suma o la
diferencia, o a la aplicación de
propiedades que permiten la
realización de operaciones como el
producto o el cociente..
Exemplo:
MCD (12,6,8,2)=2
se realiza tomando cómo índice común
el mínimo común múltiplo de los
índices considerados, este se divide
entre el índice de cada raíz y el
resultado es el exponente del
radicando:
Introducir factores en una expresión
radical
En el ejemplo
queremos introducir
x2 dentro de la raíz
Explicaremos simplemente el
procedimiento sin justificarlo:
Para hacerlo debemos elevar
el factor al índice de la raíz
Operamos las
potencias
Extraer factores de una expresión radical
Explicaremos simplemente el
procedimiento sin justificarlo:
Solo se pueden extraer factores elevados a
exponentes mayores que el índice de la raíz
Se dividimos el exponente interior entre el
radicando, el cociente nos dará el
exponente que sale de la raíz, y el resto lo
que queda en el interior
Podremos
extraer factores
x e y porque 5 y
7 son >3
5
3
7
3
2
1
1
2
No podemos
extraer
factores z: 2<3
Que escribiremos realmente
Clase 78
OPERACIONES CON
RADICALES
Las operaciones aritméticas con
expresiones radicales son
formalmente idénticas a las
operaciones numéricas: las reglas que
estudiamos para los números siguen
siendo válidas para las operaciones
con expresiones algébricas
1
El producto de las raíces es la raíz
del producto
2
Recordemos estas reglas:
Las estudiaremos con más detalle
y veremos algunos casos
particulares
El cociente de las raíces es la raíz del
cociente
3
La potencia de una raíz es igual a la
raíz de la potencia
4
La raíz de una raíz es igual a la raíz
de índice igual al producto de los
índices
1
El producto de las raíces es la raíz
del producto
Ejemplo:
En este
caso:
Aplicando:
(n=2,
que se
omite)
Reordenando:
a=x3y
b=xy2
El resultado obtenido debe
expresarse extrayendo todos los
factores que se pueda:
En ocasiones se nos presentará
el producto de radicales de
distinto índice
En estos casos habremos de
reducir a índice común ambos
radicales para efectuar luego el
producto
2
El cociente de las raíces es la raíz del
cociente
El cociente de expresiones radicales se
realiza de la misma forma que el
cociente de expresiones numérica
EjEMPLO:
También aquí puede darse el
caso de cociente de radicales
con diferente índice,
Procederemos de la misma
forma: reduciremos a índice
común y simplificaremos, a
ser posible, la expresión
resultante:
El resultado
obtenido debe
expresarse
extrayendo todos
los factores que se
pueda, si es
necesario debe
racionalizarse la
expresión
3
La potencia de una raíz es igual a la
raíz de la potencia
EJEMPLO:
Elevar una expresión radical la una
potencia es el incluso que elevar el
radicando al mismo exponente
aplicamos
Una vez introducida la potencia en el
radicando operamos siguiendo las
reglas de las potencias
y simplificamos la expresión radical
extrayendo todos los factores
posibles:
4
La raíz de una raíz es igual a la raíz de
índice igual al producto de los índices
Igual que en los casos anteriores, es
suficiente con aplicar la regla y simplificar
la expresión resultante siempre que sea
posible
Aplicamos:
EJEMPLO:
Estes cálculos pueden
complicarse si los
radicandos no son
consecutivos,
En estos casos hemos
de ir introduciendo
todos los elementos
intermedios bajo el
último radical, para
obtener finalmente el
índice resultante:
Para introducir
factores en la
raíz deben
elevarse al
índice: la siete
en este caso
Clase 79
RACIONALIZACIÓN
La racionalización en expresiones
radicales se realiza de la misma forma
que en las expresiones numéricas. Su
objeto es facilitar el cálculo de los
valores numéricos en las expresiones
radicales que incluyan cocientes
Para eliminar raíces cadradas
Si en el
denominador
está presente
una única raíz:
Si en el
denominador
hay una suma o
una resta
Se multiplica numerador y denominador
por el binomio conjugado del
denominador :
Operando:
Se multiplica numerador y
denominador por esa raíz:
Se llama binomio conjugado al ligado por la operación
contraria:
Conjugado de a+b
a-b
de a-b
a+b
Operamos:
Conjugado de
Raíces no cuadradas (de índice superior a dos)
Se multiplica el denominador por la
raíz del mismo índice que el
radicando elevado a las unidades
que falten a la potencia del
radicando para eliminar la raíz:
Para llegar a 53
necesito
multiplicar por
52
Para llegar a
z3 necesito
multiplicar
por z
En consecuencia, multiplico y
divido por
Operando
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Expresiones radicales