Cinemática
en la Kinesiología Introducción
Dr. Willy H. Gerber
Objetivos: Comprender los conceptos de posición, velocidad,
aceleración y rotación sobre la base del movimiento
del cuerpo humano.
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Caminando …
Caminar lo hacemos tan automático que no nos damos cuenta la física
que inconscientemente estamos aplicando (en teoría ya pasamos la prueba) …
Un símbolo cotidiano … Johnnie Walker (Whisky)
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Caminando …
Estudiemos primero como caminamos …
luego veremos como corremos.
Al caminar solo
desprendemos
un pie una vez
que hemos
posado el otro.
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Orientación … un punto de referencia
Como en una carrera podemos definir el punto de partida y la distancia
que lleva nuestro corredor (o “caminador” por ahora).
El punto de partida lo denominamos origen
La distancia recorrida la medimos (por ejemplo) en metros o kilómetros y la
podemos indicar mediante una letra (por ejemplo x o s).
El punto de partida lo denominamos x0 y puede ser seteado en cero.
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El tiempo
La otra variable que necesitamos es el tiempo que se denota por
lo general con la letra t.
x
t
x es la distancia recorrida al tiempo t
lo que se indica con la “función”
x(t)
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Aquí se puso complicado!
Una función !?!?!?!?
Que no cunda el pánico!
Una función es como una “maquina”
t
x(t)
Ejemplo:
A los 30 segundos nuestro corredor
avanzo 20 metros:
x(30 seg) = 20 metros
x
O sea con la función x(t) podemos indicar en todo tiempo t donde se
encuentra nuestro corredor.
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Formas de representar una función
Hay varias formas de representar una función:
Una tabla
t
x(t)
t
x(t)
1
5.7
2
15.3
3
31.3
4
53.7
5
82.5
6
117.5
Una curva
Una formula
120
x(t) = a + bt2
o por ejemplo
x(t) = 2.5 + 3.2 t2
x(t)
0
0
t
6
t=6
t = 5.8
t = 5.8
x(6.0) = 117.5
x(5.8) = 110
x(5.8) = 110.148
x
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Velocidad
Una forma de caracterizar el movimiento es calculándole la Velocidad
que tiene en un momento t. La velocidad se define como:
Velocidad* =
Camino recorrido
Tiempo transcurrido
=
Metros
Segundos
O como ecuación:
v=
x
=
t
x2 – x1
t 2 – t1
[ ]
m
s
Donde x1 es el punto en que nuestro corredor pasa en el tiempo t1 y
x2 el punto en que pasa en el tiempo t2.
t2
t1
x1
x2
*En realidad es “rapidez” ya que velocidad incluye dirección.
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Unidades
Las Unidades
Metros [m]
Segundos [s]
Kilómetros [km]
Horas [Hrs]
Conversión de Unidades
1 km = 1000 m
1 Hrs = 3600 s
1
m
s
1
km
(1000) m
=
Hrs
(3600) s
=
1 m = (1/1000) km
1 s = (1/3600) Hrs
(1/1000) km
km
= 3.6
(1/3600) Hrs
hrs
= 0.2777
m
s
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Caminante hace tu camino
Ejemplo:
Nuestro caminante da en 40 segundos un total de 35 pasos de 60 cm
cada uno. A que velocidad va?
1.
2.
3.
4.
Que distancia recorrió? ( 21 m)
Que velocidad tiene en m/s? ( 0.525 m/s)
Que velocidad tiene en km/hrs? ( 1.89 km/hrs)
Da sentido esta velocidad?
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Función posición como grafica
Para el caso de velocidad constante la posición se describe por una recta:
Santiago
x(t)
Distancia
Valdivia – Santiago
840 km
Tiempo de viaje
20:00 – 09:00 =
11 Horas
Temuco
Valdivia
20:00
09:00 11:00
t
Esto se puede expresar mediante la formula (como iniciamos el viaje en
el origen x0 = 0):
x(t) = x0 + v t = 0 km + 76.36 km/Hrs * t = 76.36 km/Hrs * t
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Ejemplo mas complejo
Ejercicio:
Santiago
189 km
x(t)
Curicó
479 km
Temuco
Valdivia
172 km
00:00 02:00 12:00
t
19:00 21:00
24:00
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La velocidad calculada
La Velocidad:
Santiago
189 km
x(t)
Curicó
479 km
Temuco
Valdivia
172 km
00:00 02:00 12:00
t
19:00 21:00
24:00
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Distancia calculada de la velocidad
Se puede calcular el camino recorrido en base a la velocidad y
el tiempo:
Como:
v=
x
t
x = v t
o “camino recorrido” = velocidad * tiempo que transcurrió
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Distancia calculada de la velocidad
Sin embargo en la representación grafica de velocidad en
función del tiempo
x = v t = área debajo
de la curva
Velocidad
v(t)
Altura v
t
Tiempo
Base t
v Δt es el área debajo de la curva corresponde al camino recorrido.
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Distancia calculada de la velocidad
Si medimos la velocidad en función del tiempo podemos reconstruir
la distancia recorrida:
Tacometro
Nota: debemos medir también la dirección del desplazamiento
En realidad la velocidad es un vector, mas de ello luego.
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Aceleración
Si la velocidad varia hablamos de que el cuerpo acelera. Si la velocidad
disminuye obtenemos aceleración negativa lo que corresponde a frenar.
Aceleración =
Variación de Velocidad
Tiempo transcurrido
=
Metros
Segundos2
O como ecuación:
a=
v
=
t
v2 – v1
t 2 – t1
[ ]
m
s2
Donde en el tiempo t1 nuestro corredor esta en x1 y tiene una velocidad
v1 para luego en el punto x2 en el tiempo t2 tiene una velocidad v2
x1
v1 (t1)
v2(t2)
t1
t2
x2
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Representación con grafica y formula
Si la aceración es constante, la velocidad crece en forma pareja en
el tiempo
Velocidad
v(t)
t
Tiempo
Esto se puede expresar mediante la función
v(t) = v0 + a t
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Caída libre
Un ejemplo es la caída libre
La aceleración es a = 9.8 m/s2 que denominamos g.
Si caemos durante 2 segundos en caída libre … que velocidad tendríamos
si no existiera roce?
v = g t = 9.8 m/s2 2 s = 19.6 m/s = 70.56 km/hrs
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Calculo de la posición (caso aceleración constante)
Como la posición se deja calcular de la superficie debajo de la curva de
Velocidad podemos, en el caso de aceleración constante, calcular el camino:
Si nuestra posición inicial fuera x0 y el cuerpo tuviera una velocidad inicial
v0 el área seria:
Velocidad
v(t)
v = v0 + at
v0
t
Tiempo
Después del tiempo t la velocidad será v = v0 + at
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Calculo de la posición (caso aceleración constante)
Para determinar la superficie debajo de la recta podemos dividir la
zona en un rectángulo y un triangulo:
Velocidad
Triangulo = ½ altura * base
v = v0 + at
= ½ at * t = ½ a t2
at
altura at
Rectángulo = altura * base
altura v0
v0
t
= v0 *t = v0 t
Tiempo
base t
Camino recorrido:
x = x0 + v0t + ½ a t2
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Ecuaciones caso caída libre
En el caso de la caída libre tenemos
a = g = 9.8 m/s2
v(t) = v0 + at = v0 + gt
x(t) = x0 + v0 t + ½ a t2 = x0 + v0 t + ½ g t2
Cuando Galileo soltó una piedra desde lo
alto de la torre de Pisa; cuanto tardo en
llegar abajo y a que velocidad impacto?
Altura = 58.36 m
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Ejercicio Galileo
Si medimos desde la posición de Galileo (x0 = 0) y solo se deja caer
(v0 = 0) las ecuaciones se reducen a:
a = 9.8 m/s2
v(t) = gt
x(t) = ½ g t2
Si la altura es h, al tiempo de impacto T vale:
x(T) = h = ½ g T2
Despejando:
2h = g T2

T =  2h/g
T =  2h/g =  2*58m / 9.8 m/s2 = 11.8 s2 = 3.44 s
Y la velocidad de impacto
v(T) = gT = 9.8 m/s2 3.44 s = 33.7 m/s = 121.4 km/hrs
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Volvamos al cuerpo humano
Cuando caminamos nuestro cuerpo gira en torno al punto de apoyo.
Punto de giro
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Angulo de la pierna
Al igual que la posición podemos definir un ángulo θ

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Velocidad angular
En analogía podemos definir una velocidad angular
Velocidad angular =
Angulo recorrido
Tiempo transcurrido
=
Radianes
Segundos
O como ecuación:
=

t
=
2 – 1
t 2 – t1
[ ]
rad
s
Donde 1 es el ángulo en que nuestro corredor pasa en el tiempo t1 y
2 el punto en que pasa en el tiempo t2.
x1
1
2
t1
t2
x2
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Ejemplo del caminante
Que velocidad angular tiene nuestro caminante?
30
30
30 = 30 2/360 rad = 0.5235 rad

60 = 1.047 rad
Si en dar un paso nos demoramos 1.4 segundo la velocidad angular será:
=
1.047 rad
= 0.748 rad/s
1.4 s
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Relación velocidad angular y velocidad tangencial
Porque en radianes?
r

r
Conversión: 2 [rad] = 360 [grad]
Porque radianes multiplicados
por el radio nos da el arco
o fracción de la circunferencia
 1 rad = 360/2 grad = 57.3 grad
 1 grad = 2/360 rad = 0.0174 rad
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Relación entre velocidad tangencial y angular
r

r
Un objeto que rota en un radio r
recorre al dar una vuelta una
distancia 2r en un tiempo t.
En el mismo tiempo t el ángulo
varia en 2
O sea
v=
=
2r
t
v = r
2
t
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Un ejemplo “global”
Al rotar la tierra tiene una velocidad angular de
=
2 rad
= 7.27 x 10-5 rad/s = 0.0000727 rad/s
24*60*60 s
2 rad
=
= 0.2818 rad/hrs
24 Hrs
Una persona en el ecuador de la tierra
viaja a una velocidad de:
R

R

vt = R  = 6378 km 0.2818 rad/hrs
= 1669.7 km/Hrs
En Valdivia (latitud  = -39.61)
vt = R cos  =1286.4 km/Hrs
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Un paréntesis climatológico
Un ejemplo del efecto de diferentes
velocidades tangenciales sobre la
superficie de la tierra.
Solo un ejemplo, no se considera en las futuras pruebas.
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Un paréntesis climatológico
Si calentamos agua observamos convección
Agua
fría
desciende
Agua
caliente
asciende
Un efecto similar se
observa en la atmósfera:
se forman celdas.
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Corrientes sobre la superficie de la tierra
En total se forman tres tipos de celdas, la de Hadley, la de Ferrel y la
Polar. Estas provocan tanto vientos verticales como horizontales:
Celda Polar
Aire sube
Celda de Ferrel
Aire baja
Celda de Hadley
Aire sube
Celda de Hadley
Aire baja
Celda de Ferrel
Aire sube
Celda Polar
El movimiento horizontal desplaza masas de aire entre zonas de distinta
velocidad de rotación.
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Un efecto global
En el ecuador, la velocidad es
máxima mientras que en los
polos, mínima.
De esa forma, una corriente
desde el ecuador hacia el norte
(ej. celda de Hardle) se adelanta
al aire en el lugar:
Una corriente que se acerca al
ecuador (ej. celda de Ferrel),
se atrasa respecto del aire en el
lugar.
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Huracanes
La combinación de ambos movimientos llevan a la generación de huracanes.
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Aceleración centrifuga
Inercia
Todo cuerpo “trata”
de mantener su
estado actual.
Ej. Continuar
con la misma velocidad
en forma rectilínea.
Si un cuerpo no esta
amarado se “alejaría”.
el observador que no gira con
el objeto percibe como que
este acelera hacia la tierra (aceleración centrípeta)
Debemos definir una aceleración angular
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Aceleración angular
Si la velocidad angular varia hablamos de que el cuerpo acelera. Si la
velocidad angular disminuye obtenemos aceleración negativa lo que
corresponde a frenar.
Variación de Velocidad angular
Radianes
Aceleración angular =
=
Tiempo transcurrido
Segundos2
O como ecuación:
=

=
t
2 – 1
t 2 – t1
[ ]
rad
s2
Donde en el tiempo t1 nuestro corredor esta en x1 y tiene una velocidad
v1 para luego en el punto x2 en el tiempo t2 tiene una velocidad v2
x1
1 (t1)
2(t2)
t1
t2
x2
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Relación entre aceleración tangencial y angular
De la definición de la aceleración
tangencial y angular se obtiene:
a=
v
=
t
r
t
a = r
= 
t
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Relación entre aceleración tangencial y angular
x = ½ a t2
v t
r
r
x
Pitagoras:

r
(r + x)2 = r2 + (v t)2
Si x << r
2rx = (vt)2
x = 1/2r (v t)2
v2
at =
r
= r2
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Pregunta para el taller de mañana
Que pasa cuando la aceleración centrifuga es mayor que la
gravitacional?
v2
r > g
30
30
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Taller de mañana
Y para mañana:
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Introduccion