Funciones y Análisis
desde la perspectiva del proyecto Felix Klein
Michèle Artigue
Université Paris Diderot – Paris 7
ĺndice
• Funciones y análisis en la obra de Felix Klein
• Las evoluciones del siglo XX:
–
–
–
–
Evolución matemática
Evolución tecnológica
Evolución del contexto educativo
Evolución didáctica
• ¿ Qué se puede esperar del proyecto Felix Klein en este
tema?
• Relacionando la enseñanza secundaria con las
matemáticas actuales: el teorema del punto fijo como
ejemplo ilustrativo
Funciones y análisis en la obra de Felix
Klein: el contexto
Un período de intenso movimiento de reforma y
un consenso general para (Beke, 1914) :
– considerar el concepto de función como un concepto
clave en la educación secundaria,
– promover la generalización del cálculo diferencial e
integral (CDI) en las escuelas secundarias, con una
particular insistencia en la importancia de este cálculo
para las aplicaciones,
– rechazar la metafísica de los infinitesimales, y
promover la teoría de los límites como la
fundamentación adecuada del CDI.
La visión de Felix Klein sobre funciones
• Importancia del concepto de función, importancia de las
aplicaciones y promoción del método gráfico:
« Nosotros, los llamados reformadores, queremos colocar el
centro de la enseñanza en el concepto de función como
concepto de la Matemática de los dos últimos siglos que
desempeña el papel fundamental en cuantos sitios intervienen
nociones matemáticas. Con este concepto quisiéramos que
comenzara a familiarizarse el alumno tan pronto como sea
posible, siempre sobre la base del constante empleo de los
métodos gráficos, de la representación de cualquier ley en el
plano de las variables (x, y), que hoy se utiliza en todas las
aplicaciones de la Matemática por el carácter de evidencia
que presta.” (p.4)
La visión de Felix Klein sobre funciones
• Una visión genética de la enseñanza « siguiendo »
con cierta histéresis el desarrollo histórico,
utilizando métodos inductivos y heurísticos
apoyados en la percepción.
• La referencia a la visión dual de la noción de
función presente en la obra de Euler y a su
evolución que condujó:
– por un lado, a la teoría de funciones analíticas de
Lagrange,
– por otro lado, a la definición general en términos de
correspondencia arbitraria formulada por Dirichlet en
relación con el estudio de las series de Fourier.
La visión de Felix Klein sobre funciones
« Deseamos solamente que el concepto
general de función de Euler en la forma
restringida o en la más amplia penetre como
un fermento en toda la enseñanza media; pero
nunca por definiciones abstractas sino por
medio de ejemplos elementales - de los cuales
hay en abundancia en el mismo Euler- que
llegasen al alumno como algo vivo que le
pertenece. »(p.205)
La visión de Felix Klein sobre funciones
• Pero también una visión por lo menos crítica de
la afición reciente para funciones que contienen
“singularidades complicadísimas acumuladas ‘en
abigarrado montón’ ».
• Y asociada, la distinción que hace entre dos tipos
de generalizaciones:
– las que se desarrollan en referencia a las aplicaciones,
– las que « son producto de especulaciones
matemáticas puras, no debidas a necesidades
planteadas por el estudio de los fenómenos naturales,
y que hasta la fecha, puede decirse, no han tenido
aplicación directa alguna.”
La visión de Felix Klein sobre análisis
• Según Felix Klein, el desarrollo histórico de este dominio
ilustra particularmente bien la importancia de los métodos
inductivos, de las ayudas heurísticas apoyadas en la
percepción para el descubrimiento matemático, una
importancia que se ve "negada por los que reducen las
matemáticas a la construcción deductiva que éstas toman en
su forma cristalizada "
• El rechazo de una introducción del análisis en términos
formales y abstractos, y la visión de una progresión suave a
partir de ejemplos sencillos, siguiendo el camino del
desarrollo histórico.
• “We desire that the concepts which are expressed by the
symbols y=f(x), dy/dx, ydx be made familiar to pupils, under
these designations; not, indeed, as a new abstract discipline,
but as an organic part of the total instruction; and that one
advances slowly, beginning with the simplest examples.”
(p.223)
La visión de Felix Klein sobre análisis
• El rechazo de la metafísica de los infinitesimales que Klein considera
responsable de una instrucción que falta al mismo tiempo rigor y
entendimiento, y cuyo efecto es que “marked aversion arose to the
treatment of infinitesimal calculus at all in the schools.”
• La atención prestada a la definición de funciones trascendentes
(“the most important thing for us to discuss”) y a la representación
de funciones mediante series trigonométricas.
• La crítica de la aproximación formal de Lagrange a la noción de
derivada, pero un estudio muy detallado de la noción de
aproximación local apoyándose en las expansiones de Taylor.
• El papel central que se da al teorema del valor medio en sus varias
formas para la conexión entre propiedades locales y globales de
funciones.
• Es decir, un enfasis en los valores de aproximación del análisis que
va mucho más allá del tipo de cálculo algebraico que predomina
en las escuelas secundarias en esta época.
LA EVOLUCIÓN A LO LARGO DEL SIGLO XX
Matemáticas: una evolución
multidimensional
Topología
teoría de la
medida
teoría de
conjuntos
Funciones y análisis
Estructuras
algebraicas
lineales
Sistemas
dinámicos
Teoría de las
probabilidades
Consecuencias importantes
• Sobre la visión del campo:
– nuevas perspectivas sobre la noción de función
– nuevas perspectivas sobre la noción de medida y
dimensión
– nuevas perspectivas sobre las relaciones entre lo
normal y lo patológico
– Una visión renovada de lo lineal (local/global)
– renovadas y nuevas conexiones
• Sobre las prácticas matemáticas , especialmente por
causa de la evolución tecnológica.
• ¿ Qué transmitir de esta evolución a profesores de
secundaria, porqué y cómo? ¿ Cómo puede
contribuir el proyecto Felix Klein?
¿ Cómo puede contribuir el proyecto
Felix Klein?
La necesidad de tener en cuenta:
• La evolución de los contextos educativos, de
los modos de acceso a la información y de las
prácticas sociales, de los nuevos recursos
disponibles
• La evolución del profesorado
• La evolución del conocimiento didáctico, con
sus potencialidades y limitaciones
Leys, Ghys, Alvarez
Selección de temas inspiradores:
¿Qué criterios?
• El potencial epistemológico: considerando las ideas matemáticas y metamatemáticas que potencialmente el tema permite encontrar, trabajar,
profundizar.
• El potencial práctico: considerando las prácticas matemáticas que el
trabajo en el tema potencialmente involucra, permite consolidar o
desarrollar.
• El potencial didáctico: considerando el potencial del tema para identificar
y abordar las dificultades de aprendizaje y / o las cuestiones curriculares,
para hacer conexiones con las matemáticas de secundaria.
• El potencial de conexión: considerando las conexiones que el tema puede
permitir entre puntos de vista, areas matematicas o incluso con otros
campos científicos.
• El potencial de desafío: considerando el potencial ofrecido para
cuestionar puntos de vista comunes, estimular el interés y la vinculación
con el mundo real.
• El potencial cultural: considerando el potencial ofrecido para reflejar las
matemáticas como una empresa cultural e histórica, así como una ciencia
viva.
Un ejemplo: el teorema del punto fijo
de Banach
• Un teorema central en análisis para asegurar la existencia
de objetos y para aproximarlos.
• Un teorema que permite hacer conexiones entre el trabajo
cualitatico y el trabajo cuantitativo en análisis en sus
formas más actuales.
• Un teorema ya presente, por lo menos implicitamente, en
la enseñanza secundaria en el contexto de las funciones de
variables reales pero cuya extensión a espacios funcionales
más generales muestra la potencia del análisis.
• Un teorema que tiene aplicaciones en dominios muy
diversos, tantos internos como externos a las matematicas
• Un teorema que permite revisitar y entender de otro modo
situaciones matemáticas ya conocidas, hacer conexiones
entre la historia de las matemáticas y las matemáticas
actuales.
¿Qué relaciones existen entre estas
situaciones?
La sucesión de
Heron
Xn+1=0.5(xn+a/xn)
La generación de fractales por
iteración
El método de Newton
implementado en su
calculadora
El método de Heron
La sucesión de Heron
La conexión con el método de Newton
f(x)=x² - 720
Ecuación de la tangente en (xn, f(xn)):
y-f(xn) = 2xn (x-xn)
xn+1 = xn – f(xn)/2xn
xn+1 = (xn + 720/xn)/2
Un punto fijo super-atractivo
Más generalmente: xn+1 = xn - f(xn )/f’(xn)
xn+1 = g(xn) con g(x) = x – f(x)/f’(x)
g’(x) = 1 – 1 +f(x).f’’(x)/[f’(x)]²
Si f(a)=0 entonces g’(a)=0
http://images.math.cnrs.fr/Lamethode-de-Newton-et-son.html
http://iremp7.math.jussieu.fr/
La generación de fractales
Tres transformaciones afines
(x,y)
(x/2 + 1/2 , y/2 + 1/2)
(x,y) (x/2 + 1/2 , y/2 - 1/2)
(x,y) (x/2 – 1/2, y/2 – 1/2)
Image compression
The easiest way to store an image inside the
memory of a computer is to store the color of each
pixel.
This requires an enormous quantity of memory!
Can we do better?
Let’s suppose we have drawn a city:
We store in memory the line segments, circle arcs,
etc…, which approximate our image.
We approximate our image by known
geometric objects
To store a line segment in memory it is
sufficient to store:
• the two endpoints of the line segment
• a program explaining to the computer how to
draw a line segment with given endpoints.
The geometric objects are our
alphabet.
How to store more complex images, for instance
landscapes?
• We use the same
principle but we
enlarge our alphabet:
• We approximate our
landscape by fractals,
for instance the fern.
We store in memory a program to draw the fern.
Such a program on Mathematica
m=15000
L[n_]:=If[1<n<87,2,n]
H[n_]:=If[86<n<94,3,L[n]]
K[n_]:=If[n>93,4,H[n]]
R=Table[K[Random[Integer,{1,100}]],{m}];
F[1,x_,y_]:=0
G[1,x_,y_]:=0.16*y
F[2,x_,y_]:=x*0.85+y*0.04
G[2,x_,y_]:=-x*0.04+y*0.85+1.6
F[3,x_,y_]:=x*0.2-y*0.26
G[3,x_,y_]:=0.23*x+0.22*y+1.6
F[4,x_,y_]:=-x*0.15+y*0.28
G[4,x_,y_]:=x*0.26+y*0.24+0.44
x[1]:=0
y[1]:=0
Do[{x[n+1],y[n+1]}={F[R[[n]],x[n],y[n]],G[R[[n]],x[n],y[n]]},{n,1,m}]
T=Table[{x[n],y[n]},{n,m}];
ListPlot[T, AspectRatio->1, Axes-> False]
Why does it work?
Let’s look at the Sierpinski
carpet:
It is a union of three
Sierpinski carpets.
Let us start with a square
and iterate a construction
algorithm
This works with any initial set! Let’s try another
one:
In practice
• Coding:
We replace any small square by
the image of a similar larger
square under a homothety of ratio
½ composed with one of 8
transformations:
• Identity plus 3 rotations
• 4 symetries
We adjust contrast.
We make a translation of the level
of grey.
Example
First iterate
Sixth iterate
Un ejemplo entre muchos otros
posibles
• Ecuaciones diferenciales con enfoque cualitativo, su
uso en la modelización de una diversidad de
fenómenos, la interacción entre lo contínuo y lo
discreto y los fénomenos específicos de lo discreto.
• Importancia de revisitar en el contexto de la tecnología
dinámica nociones más elementales como la de
aproximación lineal local, conectando los
conocimientos matemáticos y tecnológicos que se
necesitan para interpretar, cuestionar las
visualizaciones asociadas y pensar su explotación
didáctica.
Muchas gracias por su atención!
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Funciones y Análisis desde la perspectiva del proyecto Felix