Matrices y
Determinantes
1
Matrices
CONTENIDO
1. ¿CÓMO SURGIERON?
2. ¿EN QUÉ SE APLICAN?
3. MATRICES
•
•
•
•
•
Definición
Orden o Dimensión de una Matriz
Forma general de una matriz
Igualdad de matrices
Clases de matrices
4. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
5. OPERACIONES CON MATRICES
2
Matrices
¿CÓMO SURGIÓ?
El estudio de la teoría de matrices se desarrolló en su mayoría,
en el siglo XIX. Sin embargo, las primeras nociones aparecieron
alrededor del año 150 d.C.; durante la dinastía Han, los chinos
emplearon las matrices en la solución de sistemas de
ecuaciones. Igual sucedió con los babilonios en el año 400 d.C.
Al contrario de muchos temas que ya hemos estudiado, las
matrices no representan ideas matemáticas profundas ni
novedosas, sino que básicamente son innovaciones muy útiles en
el lenguaje matemático. Es decir, la teoría correspondiente fue
estudiada al analizar los sistemas de ecuaciones lineales, y las
matrices permitieron expresar esta teoría de manera más
compacta.
Matrices
¿EN QUÉ SE APLICA?
La noción de matriz es útil como método simplificado para
representar información. Por ejemplo, cuando deseamos
informar sobre los mismos aspectos de varios entes, podemos
hacerlo en forma simplificada a través de una matriz, es decir
podemos organizar los datos en filas y columnas.
En una tabla de posiciones de los equipos que participan en el
campeonato de futbol, cada fila (datos en forma horizontal)
presenta los resultados logrados por cada equipo (partidos
jugados, ganados, empatados, perdidos, etc.); cada columna
(datos en forma vertical) muestra una misma información
referente a todos los equipos (puntos totales).
Matrices y Determinantes
Matrices y Determinantes
¿EN QUÉ SE APLICA?
Las operaciones que uno pueda realizar con la información
depende del campo de aplicación en donde se empleen
matrices; esos campos pueden ser: economía, teoría de juegos,
genética, sociología, estudios sobre flujo de tránsito, modelos de
crecimiento de una población, manejo de información secreta,
etc.
Matrices
Al realizar el inventario en los tres almacenes



de una tienda se obtuvo:
Almacén 1: 12 computadoras, 8 impresoras
y 5 escáneres.
Almacén 2: 20 computadoras, 18 impresoras
y 9 escáneres.
Almacén 3: 2 computadoras, 3 impresoras
y 15 escáneres.
¿Cuántos artículos de cada tipo hay en la tienda?
Organizamos los datos, en filas y
columnas formando un arreglo
rectangular.
La fila indica el almacén y la columna
el artículo.
C
I
E
Almacén 1
12
8
5
Almacén 2
20
18
9
Almacén 3
2
3
15
34
29
29
Total
En total hay 34 computadoras, 29 impresoras y 29 escáneres.
7
Matrices
DEFINICIÓN
Se denomina matriz a un arreglo rectangular ordenado de
elementos dispuestos en filas y columnas, que se encierran
entre corchetes o paréntesis. Para representar a una matriz se
utilizan letras mayúsculas. Veamos por ejemplo:
1

A  4
6

2
3
 1
0
8
 1
5 

9 
3

FILA
C
O
L
U
M
N
A
8
Matrices
Orden o Dimensión de una Matriz
Se llama así a la siguiente representación: m x n (se lee “m por n”),
donde m es el número de filas y n el número de columnas.
1
A  
3

2

4 

 2
B  
 3

2
4
0 

 1

 0, 4
2
3


C   5
 1
0 


 3
4
 1


A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 2. ¿Qué
elemento es a21?
B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 3. ¿Qué
elemento es b23?
C tiene 3 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 3 x 3. ¿Qué
elemento es c23?
Si el número de filas y de columnas es igual (m = n), entonces se
dice que la matriz es de orden n.
9
Matrices
Forma general de una matriz
Sea A una matriz de m filas y n columnas, es decir A es de orden
m x n, luego ésta se representa así:
a
11

 a21
a
31
A  
 .....
 .....

a
 m1
a12
a13
a32
a33
a22
.........
a1 n
aa23
23
.........
......
.......
.........
......
......
.......
.........
......
am 2
am 3
.........
.........
a2n
a3n
amn










a23 representa al elemento que está en la segunda fila (2) y en la
tercera columna (3).
10
Matrices
A veces, tenemos que hacer referencia a una entrada específica,
para ello existe un "etiquetado" especial. Está basado en filas y
columnas.:
aij
Es la entrada en la fila
i y la columna j
Ejemplo
 5

 2
 0

4 

11 
3 

a
 11
 a21
a
 31
a12
a22
a32





5 es la entrada a11
-2 es la entrada a21
0 es la entrada a31
4 es la entrada a12
11 es la entrada a22
3 es la entrada a32
11
Matrices
Igualdad de matrices
Dos o más matrices son iguales si y sólo si son del mismo
orden, siendo todos sus elementos correspondientes iguales
3 8 
3



A  2 a ; B  2
b 6 
5



8 

7
6

Para que las matrices A y B sean iguales, se tiene que
cumplir que a = 7 y b = 5.
Matrices
EJERCICIOS
01. Escribe una matriz 3x1 tal que aij = i2 - j
02. Escribe una matriz 3x3 tal que aij = 2i - 3j
03. Escribe una matriz 4x3 tal que
ai j

 i  j ; si i  j
 
i  j ; si i  j


04. Dadas las matrices:
A = (aij)2x2 / aij = i - 2j
y  x
B  
 0
x  3y

2 

Determina los valores de x e y, si A = B
13
Matrices
CLASES DE MATRICES
Atendiendo a la forma:
Matriz
fila
Matriz
columna
Matriz
cuadrada
Matriz
rectangular
Tiene una fila
y n columnas
Tiene m filas
y una columna
Tiene el mismo
número de filas
y columnas
Tiene distinto
número de filas
y columnas
Ejemplo:
F  1

Ejemplo:
2
3
4

Matriz de 1x4
1 
 
C  2 
3 
 
Matriz de 3x1
Ejemplo:
1

A  4
7

Ejemplo:
2
5
8
3

6
9 

Matriz de 3x3
1

B  3
5

2

4 
6 

Matriz de 3x2
Matrices
CLASES DE MATRICES
Atendiendo a los elementos:
Matriz
nula
Matriz
diagonal
Matriz
escalar
Matriz
unidad
Tiene todos sus
elementos
iguales a cero.
Todos los
elementos que no
están en la
diagonal principal
son 0.
Matriz diagonal en
la que todos los
elementos de la
diagonal principal
son iguales.
Matriz escalar en
la que todos los
elementos de la
diagonal principal
son 1.
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
0
N  
 0
Ejemplo:
0
0
0

0

1

D  0
0

0
6
0
0

0
3

3

E  0
0

0
3
0
0

0
3

I3
1

 0
0

0
1
0
0

0
1

Matrices
CLASES DE MATRICES
Atendiendo a los elementos:
Matriz
triangular
Matriz cuadrada en la que
todos los elementos situados
por debajo (o por encima) de la
diagonal principal son cero.
Ejemplos:
1

A  0
0

2
6
0
1
3 


4  ; B  2
3
5


0
6
4
0

0
5 

Matrices
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
Se llama traspuesta de A, y se representa por AT, a aquella
matriz construida a partir de la matriz A intercambiando sus
filas por sus respectivas columnas. La primera fila de A es la
primera columna de At, la segunda fila de A es la segunda
columna de AT, etc. De la definición se deduce que si A es de
orden m x n, entonces At es de orden n x m.
T
S i : A   a ij 
 A   a ji 
  m xn

 n xm
Así por ejemplo:
2

A  3
7

 1

5 
4 

su transpuesta será:
A
T
 2
 
 1

3
5
7 

4

Matrices
EJERCICIOS
05. Determina las transpuestas de las siguientes matrices:
2
A  
 1
1
3
 ; B  
0
9

3
2
0

1

06. Dada la matriz cuadrada de orden 3 tal que aij = 3i – 2j.
Encuentra su transpuesta.
18
Matrices
OPERACIONES CON MATRICES
Adición y/o sustracción de matrices
La suma (diferencia) de dos matrices A = (aij), B =(bij) de la
misma dimensión, es otra matriz S = (sij) de la misma
dimensión que los sumandos y con término genérico
sij = aij ± bij
Así por ejemplo:
Halla A + B y A – B dadas las matrices:
1
A  
0

2
2
 3
3 
 ; B  
 1
1


2
3
5

4 

Matrices
OPERACIONES CON MATRICES
Adición y/o sustracción de matrices
 1  (3 )
A  B  
 0  (1 )

2  2
 1  (3 )
A  B  
 0  (1 )

2  2
2  3
2  3
3  5 

1  4 

 2
A  B  
 1

3  5 

1  4 

4
A  B  
1

4
5
0
1
2

5

8 

3 

Matrices
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedades de la suma de matrices
P1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
P2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)
P3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)
P4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos
los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A,
ya que A + (–A) = 0.
Matrices
OPERACIONES CON MATRICES
Producto de un número por una matriz
El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es
otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que
cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es
decir:
bij = k·aij
Así por ejemplo:
Efectúa 3A, si A es:
 2 1
A  
 3 4

0

5 

Matrices
OPERACIONES CON MATRICES
Producto de un número por una matriz
 2 1
3A  3 
 3 4

  3  1 
  3 4 
3 2
0
  
 3 3
5 


 6
3A  
 9

3
12
0 

15 

 
 
3 0 

3 5 

Matrices
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedades del producto de una matriz por un número
P1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva)
P2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva)
P3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa)
P4. 1·A = A (elemento unidad)
P5. Si A + C = B + C → A = B.
Matrices
OPERACIONES CON MATRICES
Producto de dos matrices
Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la
primera matriz debe ser igual al número de filas de la
segunda. El producto es otra matriz que se obtiene
multiplicando cada fila de la primera matriz por cada
columna de la segunda matriz.
Matrices
OPERACIONES CON MATRICES
Producto de dos matrices
Ejemplo:
3
Calcula A.B, si: A   1 2  y B  


 5
Solución:
A .B   1

A .B   7

3 0

2 .
 5 2

4
10 


 1



4



  1
3



 1
 
0
2
4

3

3 

2 .
  1 3  2 5  7

 5 
 0

2 .
 1 0  2 2  4
 2 


4 
2  .    1 4  2 3  10
 3
 

 
 

 

 

Matrices
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedades del producto de matrices
P1. A·(B·C) = (A·B)·C
P2. El producto de matrices en general no es conmutativo.
P3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene
A·In = In·A = A
P4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre
existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha
matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se
representa por A–1 .
5. El producto de matrices es distributivo respecto de la
suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C
Matrices
EJERCICIOS
07. Dadas las matrices:
2 x  1
A  
 3  y
5  y
y
 ; B  
2
 x  1

y
2  x
 ; C  
2 
 3

x

4

Determina la suma de los elementos de la matriz A + C, si A = B.
08. Sean las matrices:
2
A  
 4
5
5 
 ; B  
1 
 7

1
9
 ; I2  
4 
 0

0

1

Halla las matrices:
i. A + B
ii. 3A – 2B
iii. A + 2B – 3I
28
Matrices
TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA
Dada la matriz cuadrada A, la traza de dicha matriz se
denota así: Traz(A) y se define como la suma de todos los
elementos de la diagonal principal.
 
T raz A
n


i 1
a ii  a 1 1  a 2 2  ................  a n n
2

Ejemplo: Calcula Traz(A) si: A   3
4

5
7
8
8

0
2

De acuerdo a lo expuesto en la teoría tenemos:
Traz(A) = 2 + 7 + 2
Traz(A) = 11
Matrices
TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA
Propiedades de la traza
P1. Traz (A + B) = Traz (A) + Traz (B)
P2. Traz (k.A) = k.Traz (A)
P3. Traz (A.B) = Traz (B.A)
Matrices
EJERCICIOS
2

01. Dada la matriz: A   0
 3

3
2
0
1 

4 
5 

Calcula el valor de E = a12 + a212 + a33
02. Calcula el valor de P = 4x + 2y – z, si:
2 x  1
A  
4

 3y
3 
 ; B  
1 
  2 z

6y
  A  B
1 

03. Calcula la traza de C, si:
 1
A  
  2
 3
4
 ; B  
5
  2

2
  C  2 A  3B
1

Matrices
EJERCICIOS
3

04. Dada la matriz: A   1
7

Determina 2AT
2

4
6

05. Calcula el valor de M = a + b + c, si:
 7

A  a  3
b  2

c  1
6
c  1
A es una matriz triangular superior.
b  7

a  4
7 

Determinantes
CONTENIDO
1. ¿CÓMO SURGIERON?
2. DEFINICIÓN
3. CÁLCULO DE DETERMINANTES
•
•
•
Orden 1
Orden 2
Orden 3
4. CÁLCULO DE ÁREAS CON DETERMINANTES
5. SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES - REGLA DE CRAMER
6. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN USANDO DETERMINANTES
33
Determinante
CÓMO SURGIÓ?
La noción de determinante surgió primero en Japón en
1 863, cuando el matemático japonés Takakasu Seki
Kôwa (1 642 – 1 708) los utilizó para una construir una
resolvente de un sistema de ecuaciones polinómicas.
Por la misma época, en Europa Gottfried Wilhelm von Leibniz
(1 646 – 1 716) logró varios resultados acerca de los
determinantes y estableció una regla análoga al método que
posteriormente desarrolló Gabriel Cramer (1 704 – 1 752).
Sin embargo el término determinante lo introdujo Karl F.
Gauss solo hasta 1 801 y su famoso método de eliminación
apareció en uno de sus trabajos relacionados con la órbita del
asteroide Pallas.
Determinante
CÓMO SURGIÓ?
La forma de expresar los determinantes, tal y como la
conocemos hoy en día, se la debemos a Cauchy, que hacia
1 812, expresó los términos de los determinantes con
doble subíndice.
Sheldon Axler en su polémico artículo, de
1 995, titulado ¡Abajo los determinantes!
los define como el producto de sus valores
propios (contando multiplicidades)
Determinante
DEFINICIÓN
El determinante es una función que aplicada a una matriz
cuadrada, nos proporciona un número real.
Su notación es la siguiente:
 
D et A
 A
CÁLCULO DE DETERMINANTES
Determinante de una matriz de orden 1
Sea A una matriz de orden uno, es decir A   a 1 1  su
determinante se denota así:
 
D et A
 a11  a11
Determinante
CÁLCULO DE DETERMINANTES
Determinante de una matriz de orden 2
Sea A una matriz de orden dos, su determinante se define
como la diferencia del producto de los elementos de la diagonal
principal con el producto de los elementos de la diagonal
secundaria. Esto es:
a
11
Si A  
 a 2 1
a12 
  D et A
a22 

 

a11
a21
a12
a22
 a 1 1 .a 2 2  a 2 1 .a 1 2
Ejemplo
5
Si A  
 7
2

9

 
D et A

5
2
7
9

  5  . 9    7  .  2 
 59
Determinante
CÁLCULO DE DETERMINANTES
Determinante de una matriz de orden 3
El determinante de orden 3 se obtiene por la llamada regla de
SARRUS. Consiste en repetir las dos primeras columnas a
continuación de la matriz, sumar los productos de las
diagonales principales y restar los productos de las diagonales
Secundarias.
a
11

S i A   a 21
a
 31
D et
A

a
11
a12
a 22
a32
a13 

a 2 3   D et A
a33 

 
.a 2 2 .a 3 3  a 1 2 .a 2 3 .a 3 1  a 1 3 .a 2 1 .a 3 2
a11
 a 21
  a
a31
31
a12
a 22
a32
a13 a11
a 23 a 21
a33 a31
a12
a22
a32
.a 2 2 .a 1 3  a 3 2 .a 2 3 .a 1 1  a 3 3 .a 2 1 .a 1 2

Determinante
CÁLCULO DE DETERMINANTES
Ejemplo
 1

Si A   1
2

0
1
3

4
5

 
D et A
1
2
3
 1
0
2
1
1
2
3 1
2
4  1
0
4 1
0
5
1
5 2
1
2
 

  1 .0 .5    2 .4 .  2    3 .  1 .1       2 .0 .3    1 .4 .1    5 .  1 .2  
 

0
 

 19   6 
A
 13
D et A
D et A
D et A
D et
2
 0
 16  3 
 4  10

Determinante
PROPIEDADES
P1.
P2.
P3.
P4.
P5.
Determinante
CÁLCULO DE ÁREAS CON DETERMINANTES
Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos
vértices nombrados en sentido antihorario, tiene como
coordenadas : A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3), ……… An(xn; yn).
Entonces el área de la región poligonal S correspondiente, se
puede calcular mediante la expresión:
x1
S 
1
2
y1
x2
y2
....
....
xn
yn
....
....
Llamada también formula determinante de Gauss
Determinante
CÁLCULO DE ÁREAS CON DETERMINANTES
Ejemplo
Halla el área del triángulo cuyos vértices son: (-3; -2), (7; 2),
(1; 6)
Solución:
Hacemos un gráfico aproximado:
Determinante
CÁLCULO DE ÁREAS CON DETERMINANTES
Solución:
Elejimos como primer vértice al par ordenado
(x1; y1) = (-3; -2)
Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos,
teniendo en cuenta el sentido anti horario serán:
(x2; y2) = (7; 2)
(x3; y3) = (1; 6)
Reemplazando estos valores:
:
S 
1
2
3
2
7
2
1
6
S 
1

 34
2 
    3 0  
 32
Determinante
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES - REGLA DE CRAMER
Esta regla permite resolver un sistema de
ecuaciones lineales mediante determinantes.
Resuelve sistemas de ecuaciones que tienen el
mismo número de ecuaciones que de
incógnitas.
 a x  b y  cz  d
1
1
1
1

 a x 2  b y 2  cz 2  d 2
 a x  b y  cz  d
3
3
3
3

Con los coeficientes y términos
independientes formamos
matrices y calculamos sus
determinantes.
Determinante
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES - REGLA DE CRAMER
 a x  b y  cz  d
1
1
1
1

 a x 2  b y 2  cz 2  d 2
 a x  b y  cz  d
3
3
3
3

Determinante
principal
a1
D  a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
Determinante
de x
d1
D x  d2
d3
b1
b2
b3
Determinante
de y
c1
a1
c3
a3
c2 D y  a2
El valor de cada incógnita es:
x 
Dx
D
d1
d2
d3
c1
c2
c3
Determinante
de z
a1
D y  a2
y 
a3
Dy
D
b1
b2
b3
z 
d1
d2
d3
Dz
D
Determinante
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES - REGLA DE CRAMER
Ejemplo
Halla el conjunto solución del sistema:
3 x  y  z  7

 x  3y  2 z  0
2 x  2 y  z  2

Solución:
Hallamos el determinante principal del sistema:
3
1
1
D  1
3
2
2
2
1
 2
Hallamos el determinante de cada una de las incógnitas:
7
Dx  0
2
1
1
3
2
2
1
x 
 5
3
7
1
Dy  1
0
2
2
1
2
5
2
y 
 7
3
Dz  1
2
7
2
1
7
3
0
2
2
z  4
 8
Determinante
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN USANDO DETERMINANTES
Ejemplo
Determina el año en que murió el notable
matemático Johann Carl Friedrich Gauss, si se da
como dato que la primera cifra es 1 y que en las
tres restantes se cumple: cinco veces la cifra de
las unidades, más diez veces la cifra de las
decenas, menos cinco veces la de las centenas es
35. La cifra de las unidades, menos la cifra de las
decenas, más cinco veces la de las centenas, es
igual a 40. Además, el doble de la cifra de las
centenas, menos la de las unidades, más el doble
de la de las decenas, es 21.
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Matrices y Determinantes