Propagación de las Ondas
Ultrasónicas (Cont…)
Carlos Correia
Propagación
Estudio del Campo de Radiación
Propagación
La emisión de una perturbación acústica y su
propagación en el medio circundante se
conoce como campo de radiación.
La variable de mayor interés es la Presión
Acústica, tanto es su modulo como en su fase.
Propagación
Utilizando el principio de que conservación de
la masa, podemos llegar a la siguiente
conclusión importante para una onda esférica
 p
2
t
2
 ( rp )
2
2
t
2
Coord. cartesianas
c  p
2
 ( rp )
2
c
2
r
2
Coord. Esféricas
Propagación
Existen muchas funciones que cumplen con la
relación expresada en la ecuación diferencial:
 ( rp )
2
t
2
 ( rp )
2
c
2
r
2
Propagación
La solución general de la ecuación diferencial,
tiene la forma:
rp  f 1 ( ct  r )  f 2 ( ct  r )
 ( rp )
2
t
2
 ( rp )
2

r
2
Propagación
La función f1, es la solución llamada divergente,
se utiliza para estudiar las ondas que se alejan de
del agente emisor. La función f2, es la solución
convergente y se utiliza para estudiar las ondas
que convergen en un punto.
rp  f 1 ( ct  r )  f 2 ( ct  r )
Nos interesa estudiar la situación divergente.
Propagación
Vemos que la presión
expresarse como:
p
acústica
f 1 ( ct  r )
r
En general utilizamos una función exponencial
compleja:
p
A
r
e
j ( t  kr )
puede
Propagación
La emisor más simple por su simetría es una
fuente puntual :
En general utilizamos una función exponencial
compleja:
p
A
r
e
j ( t  kr )
Propagación
Utilizando la definición de impedancia y velocidad e la
vibración de la esfera, tenemos que para una fuente
puntual, la presión acústica está dada por :
j  o ca U o
2
p
r
e
j ( t  kr )
Propagación
Veamos el caso de un radiador tipo pistón:
Radiación
La radiación ultrasónica emitida por un
transductor piezoeléctrico, puede ser
modelada como un pistón que mediante
su oscilación, irradia energía hacia el
medio circundante.
Radiación
Se desea calcular la presión acústica en un punto
arbitrario del medio que es irradiado:
Radiación
Una representación en 3D:
z
x
Radiación
Si asumimos que cada diferencial de área, se
comporta como una fuente puntual de ultrasonido,
podemos encontrar la presión acústica en el punto Po,
sumando las contribuciones de cada elemento
Radiación
Si asumimos además que la velocidad de
cada punto en la superficie del transductor
es igual y es constante, se tiene que:
Radiación
Además por geometría se tiene que:
Radiación
Sin embargo, la expresión resultante, no es
de fácil integración. Hay que hacer
aproximaciones, supongamos que estamos
en el campo lejano (Fraunhofer):
r  a
Po
r
a
Radiación
Estando en el campo lejano se pueden hacer algunas
aproximaciones que permiten resolver la integral:
Y la presión acústica queda dada por:
Radiación
La solución tiene un factor de directividad:
DF 
2 J 1 ( ka sin  )
ka sin 
Radiación
Notemos que la función DF es del tipo:
DF 
2 J1( x)
x
DF 
2 J 1 ( ka sin  )
ka sin 
Radiación
Si graficamos la Función
DF 
2 J1( x)
x
DF 
2 J 1 ( ka sin  )
ka sin 
Radiación
Vemos que hay varios CEROS…
DF 
2 J1( x)
x
DF 
2 J 1 ( ka sin  )
ka sin 
Radiación
Esto Implica que existen lóbulos laterales…
Radiación
Los lóbulos laterales en general son
indeseables y hay que minimizarlos. Como
hacerlo?
El numero de lóbulos laterales depende del
valor ka, En general cuando:
• Ka>>1 hay muchos lóbulos laterales
• Ka <<1 hay un solo lóbulo lateral.
Radiación
El valor de Ka está dado por:
2
a
ka 
a  2  

 
En el fondo se está evaluando la relación entre el
díametro del transductor y la longitud de onda:
Radiación
También se puede optimizar el sistema para que
habiendo muchos lóbulos laterales, éstos posean
muy baja energía, y la energía esté concentrada
en el LOBULO PRINCIPAL
Radiación
Una conclusión importante que se deriva del
estudio de la radiación acústica es la divergencia
del haz ultrasónico o el ángulo que ocupa el
lóbulo principal. Este está dado por:
sin   1 . 22

d

d

Radiación
Campo de Radiación en el eje Z
Radiación
La solución de la expresión de presión
acústica, para zonas cercanas al transductor
solo se puede resolver analíticamente para
puntos en el eje z
r’
s
r
z
Radiación
La parte real de la solución y utilizando el
concepto e Intensidad acústica se obtiene:
k
I  2  o cU o sin 
2
2



r a r 

2
2
Dada la oscilacíón de la función seno, la Intensidad tiene
varios máximos y mínimos. El ultimo máximo esta dado por:
k

2


 
r a r 
 2
2
2
Radiación
Si graficamos la Intensidad acústica en función
de la distancia desde el transductor:
No 
r
r
2

Radiación
El limite que separa los comportamientos acústicos
es No: conocido como campo cercano
N
o

r
2

Radiación
Campo Cercano
(Fresnel)
Campo Lejano
(Fraunhofer)
Radiación
Campo Cercano
(Fresnel)
Campo Lejano
(Fraunhofer)
Radiación
El estudio del campo de radiación
produjo dos resultados importantes,
la divergencia del haz y el campo
cercano.
Radiación
Ejercicio 1. Dados los siguientes
transductores, calcule el campo
cercano y la divergencia del haz en
acero al carbono y en agua:
• d=3 mm, f=15 MHz
• d= 3mm, f=2,25 MHz
• D=9 mm, f=10MHz
• D=9 mm, f=2,25 MHz
Radiación
Proyecto 2. Grafique la presión
acústica en el eje Z (al menos 100
puntos), para un transductor de
diámetro 6 mm, frecuencia 5 MHz,
inmerso en agua.
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Propagación de las Ondas Ultrasonicas