Matrices
Pág. 1
MATRICES
Matrices
Historia
La definición de matriz aparece por primera
vez en el año 1850, introducida por J. J.
Sylvester.
Sin embargo, hace más de dos mil años los
matemáticos chinos habían descubierto ya un
método de resolución de sistemas de
ecuaciones lineales empleando tablas con
números.
Matrices
Historia
El inicio de la teoría de matrices se debe al
matemático W. R. Hamilton, en 1853.
En 1858, Arthur Cayley introduce
la notación matricial como una
forma abreviada de escribir un
sistema de m ecuaciones lineales
con n incógnitas y publicado en
su escrito “Memorias sobre la
teoría de matrices”. Donde define
a las matrices y sus operaciones.
Matrices
Definición
Una matriz es un arreglo rectangular de
números reales dispuestos en filas y columnas.
 a11 a12
a
a
21
22
A

 
a
 m1 am 2
 a1n 
 a2 n 
  
 amn 
Columnas de la matriz A
Filas de la matriz A
Matrices
Notación
 Las matrices se denotan con letras
mayúsculas: A, B, C..
 Los elementos con letras minúsculas y
subíndices que indican el lugar que ocupan:
aij, bij, cij
 “i”, indica la fila, “j”, la columna en la que se
encuentra el elemento. Ej. a23 está en la fila 2
y columna 3.
 Se la puede expresar abreviadamente:
A = (aij ).
Matrices
Pág. 6
Dimensión
 Si la matriz A tiene m filas y n columnas, se
dice que es de dimensión u orden m x n (se
lee “m por n”).
 Siempre en primer lugar el número de filas y
en segundo lugar el de columnas.
 Se denota como:
Amxn
Matrices
Pág. 7
Ejemplos
A continuación algunos ejemplos de matrices:
 2 1
A

3
4


A tiene 2 filas y 2
columnas, diremos que
su dimensión 2 x 2.
¿Qué elemento es a21?
 6  4 0
B

1
2
1


B tiene 2 filas y 3
columnas, diremos que
su tamaño es 2 x 3.
¿Qué elemento es b23?
1
3
 2 4
C 
 1 5
1
0

0
0 
2
0 
C tiene 4 filas y 3
columnas, diremos que
su dimensión 4 x 3.
¿Qué elemento es c32?
Matrices
Pág. 8
Diagonal principal
Aparece dentro de las matrices cuadradas y se
forma por los elementos a11, a22, a33, . . ., ann.
 a11 a12
a
a22
21

A

 
a
 n1 an 2
 a1n 
 a2 n 
  
 ann 
Diagonal principal
La diagonal secundaria es la formada por los elementos:
a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . ., an1.
2 3
 1
D   6
5 4 
  3  4 0


En la matriz D, la diagonal principal
está formada por 1, 5, 0 y la diagonal
secundaria está formada por 3, 5, -3.
Matrices
Pág. 9
TIPOS
DE
MATRICES
Matrices
Pág. 10
Tipos de matrices
Matriz fila.- es la que sólo tiene una fila, es
decir su dimensión es 1 x n.
Ejemplo:
B  1 0  4 9
B es una matriz fila de dimensión 1 x 4
B1x4
Matrices
Pág. 11
Tipos de matrices
Matriz columna.- Es la que sólo consta de una
columna, es decir su dimensión será m x 1.
Ejemplo:
 1 


C  0 
  8
 
Es una matriz columna de dimensión 3 x 1.
Matrices
Pág. 12
Tipos de matrices
Matriz Rectangular.- Es una matriz que tiene
el número de filas diferente al de columnas,
siendo su orden m x n, m ≠ n.
Ejemplo:
Es una matriz de dimensión 3 x 2.
Matrices
Pág. 13
Tipos de matrices
Matriz Cuadrada.- cuando tiene el mismo
número de filas que de columnas, es decir su
dimensión es n x n.
2 3
 1


 2 1
D 6
5 4
 3 4
  3  4 0




Matriz cuadrada
dimensión 2x2 o
simplemente de orden 2.
Matriz cuadrada de
orden 3.
Matrices
Pág. 14
Tipos de matrices
Matriz Triangular superior.- Es una matriz
cuadrada que tiene todos los elementos bajo la
diagonal principal iguales a cero.
1 4 3 


F   0 9  5
0 0 3 


Triangular superior
Matrices
Pág. 15
Tipos de matrices
Matriz Triangular Inferior.- Es una matriz
cuadrada que tiene todos los elementos sobre
la diagonal principal iguales a cero.
0 
1 0 0
0  4 0

0 

E
0 
3 4 5
 1 3 16  78


Triangular inferior
Matrices
Pág. 16
Tipos de matrices
Matriz Diagonal .- Es una matriz cuadrada que
tiene todos sus elementos sobre y bajo la
diagonal principal iguales a cero. Esto es aij = 0
si i ≠ j.
0
1
 0  45
G 
0
0
0
0

0
0
3
0
0
0 
0
0 
Matrices
Pág. 17
Tipos de matrices
Matriz Escalar. Es una matriz cuadrada que
tiene todos sus elementos sobre y bajo la
diagonal principal iguales a cero, y los
elementos de la diagonal principal iguales entre
sí.
Matrices
Pág. 18
Tipos de matrices
Matriz Identidad. Es una matriz cuadrada que
tiene todos sus elementos iguales a cero,
excepto los de la diagonal principal que son
iguales a 1 y se denota por Inxn
1 0

I 2  
0 1
1 0 0
I 3   0 1 0 
0 0 1


1
0
I4  
0
0

0
1
0
0
0
0
1
0
0
0 
0
1 
Matrices
Pág. 19
2.- Tipos de matrices
Matriz nula.- Es la que todos sus
elementos son iguales a cero
 0 0 0 0 0
A

0
0
0
0
0


Matrices
Pág. 20
3.-Transformaciones elementales
Existen una serie de operaciones que se pueden hacer con las filas de una
matriz y que permiten convertirla en una matriz escalonada: las
transformaciones elementales.
En general, si llamamos Fi a la fila i-ésima y Fj a la fila j-ésima, las
transformaciones elementales son:
Ejemplo
 Intercambiar dos filas. Fi  Fj.
 Sumar a una fila los elementos
correspondientes de otra fila
multiplicada por un nº real k.
Fi  Fi + kFj
 Multiplicar todos los elementos
de una fila por un número real no
nulo.
Fi  kFi
 2 0 2 
 4 2  1


 1 5 3
F2  F3
 2 0 2 
 1 5 3


 4 2  1
  2 0 2  F1  F1 + 2F3  0 10 8 
 4 2  1
 4 2  1




 1 5 3
1 5 3 
  2 0 2  F2  2F2
 4 2  1


 1 5 3
  2 0 2
  8  4 2


5 3
 1
Matrices
Pág. 21
3.-Transformaciones elementales
Estas transformaciones permiten definir una equivalencia entre las matrices
de igual dimensión.
Dos matrices son equivalentes si una de ellas se obtiene a partir de
la otra mediante transformaciones elementales.
EJEMPLO
Reducir a forma escalonada la matriz
Para facilitar los cálculos posteriores,
hacemos que el elemento a11 sea 1:
 2 1 3 1  F F
2
1 1 2 2 1


  1 4 3  1
2 
1 1 2
 0 1 1  3


1 
0 5 5
1 1 2 2
2 1 3 1


  1 4 3  1
F3  F3 + 5F2
Hacemos que el
elemento a32 sea 0:
2 1 3 1
A   1 1 2 2 
  1 4 3  1


F2  F2 – 2F1
F3  F3 + F1
Hacemos que los demás elementos
de la primera fila sean 0:
2 
1 1 2
 0 1 1  3 


 0 0 0  14
Que está en
forma
escalonada
Matrices
Pág. 22
3.-Transformaciones elementales
EJERCICIO
Reduce a forma escalonada las matrices:
1 2 3 
A   2 5 7 
 3 6 10


 1 3 1 5 
C    1 2 6 4 
 0 8 8 2


 2 3 4 9
B    4 1 0 1 
 3 1 2 0


 2 1 5 1 8 
D    1 2 3 4 5 
 1 3 10 11 13


Matrices
Pág. 23
OPERACIONES
DE
MATRICES
Matrices
Pág. 24
Igualdad
Dos matrices A y B son iguales cuando
contienen los mismos elementos, dispuestos
en los mismos lugares:
A = B  aij = bij  i, j
Lógicamente, para que dos matrices sean
iguales es necesario que tengan la misma
dimensión.
Matrices
Pág. 25
Halle los valores de cada incógnita para que
cada una de las siguientes igualdades se
cumpla:
X-5
0
2
0
9
y+4
=
9
14
Matrices
Pág. 26
Suma
Dadas dos matrices A y B de la misma
dimensión m  n, la matriz suma, A + B, es la
que se obtiene sumando los elementos que en
cada una de ellas ocupan la misma posición.
 a11 ... a1n   b11 ... b1n   a11  b11 ... a1n  b1n 
A  B   ... ... ...    ... ... ...    ...
...
... 
a
 
 

 m1 ... amn   bm1 ... bmn   am1  bm1 ... amn  bmn 
De forma abreviada:
(aij) + (bij) = (aij + bij)
Matrices
Pág. 27
Suma
EJEMPLO
 2 1 3  2 0 4   4 1 7 
  4 2 1   3 2 5     1 4 6 

 
 

23
23
23
Recuerde: Si las matrices tienen diferente
tamaño, no se pueden sumar o restar entre sí.
Matrices
Pág. 28
Suma y diferencia
Propiedades de la suma de matrices:
a) Conmutativa: A + B = B + A
b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente. A + 0 = 0 + A
d) Elemento opuesto de A: La matriz –A, que resulta de cambiar de signo a
los elementos de A.
A + (– A) = (– A) + A = 0
La existencia de elemento opuesto permite definir la matriz diferencia
(resta), A – B. Es la que se obtiene al sumar A con – B:
A – B = A + (– B)
EJEMPLO
 2 1 3  2 0 4   0 1  1 
  4 2 1   3 2 5     7 0  4 

 
 

23
23
23
Matrices
Pág. 29
4.- Operaciones con matrices
EJEMPLO
Si
4. 1. Suma y diferencia
Opuesta de una matriz
 0 1 
A    4  2  
 3  9


 0 1
 A   4 2 
 3 9


32
32
porque:
 0 1   0 1   0 0 
  4  2   4 2    0 0 

 
 

3

9

3
9
0
0

 
 

32
32
32
Matrices
Pág. 30
4.- Operaciones con matrices
4. 1. Suma y diferencia
EJERCICIOS
1. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A, B, C a otros tres X,
Y, Z, en los años 2000 y 2001 vienen dadas por las matrices:
X
Y Z
X Y
Z
1  A
 11 6,7 0,5  A
 13,3 7



A2000   14,5 10 1,2  B
A2001  15,7 11,1 3,2  B
 20,9 3,2 2,3  C
 21 0,2 4,3  C




Calcula y expresa en forma de matriz el total de exportaciones para el
conjunto de los dos años.
¿Cuántos millones ha exportado el país B al Z en total?
Calcula el incremento de las exportaciones del año 2000 al 2001.
2. Calcula x, y, z en
la suma:
 x  y 1 2   y 0 z   1 1 3 
 1
    z 2 3   0

y

x
4
4

 
 

z
2   2 3 x  2 4 1
 0
3. Calcula a, b, c
para que se cumpla  3  a
la igualdad:
 4
b
 2   2 a  b 4   1 a 2 


 c  1 6  1  c
2
0   2 0 6 
Matrices
Pág. 31
Producto por un nº real
Dada una matriz cualquiera A de dimensión mxn
y un número real k, el producto k·A se realiza
multiplicando todos los elementos de A por k,
resultando otra matriz de igual dimensión.
 a11 ... a1n   k  a11 ... k  a1n 




k  A  k   ... ... ...    ...
...
... 
a
 k a

...
a
...
k

a
mn 
m1
mn 
 m1

Nota: la misma regla sirve para dividir una matriz por un
número real.
Matrices
Pág. 32
Producto por un nº real
EJEMPLO
 2 1 3    10  5  15
 5



  4 2 1   20  10  5 
23
23
Matrices
Pág. 33
Producto por un nº real
Propiedades:
a) Distributiva respecto de la suma de matrices:
k·(A + B) = k·A + k·B
b) Distributiva respecto de la suma de números:
(k + d)·A= k·A + d·A
c) Asociativa: k·(d·A)=(k·d)·A
d) Elemento neutro, el número 1: 1·A=A
Matrices
Pág. 34
4.- Operaciones con matrices
4. 2. Producto por un nº real
EJERCICIOS
 1 1
 1 0 
A

y
B

1. Si
 0 1
 0 2




halla una matriz X que verifique la ecuación: 2·X – 4·A = B
2. Determina las matrices X e Y sabiendo que:
1  2
3 X  5Y  

8 1 
 2 4
 X  3Y  

 3 0
Matrices
Pág. 35
4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
Producto de una matriz fila por una matriz columna.
Sea A una matriz fila y B una matriz columna:
A  2  3 1
1x3
1
B   2 
5
 
3x1
Definimos el producto de la matriz A por la matriz B (en este orden):
1
A  B  2  3 1   2   2·1 + (−3)·2 + 1·5 = 2 − 6 + 5 = 1
 5
 
1x3
3x1
Hemos emparejado cada elemento de A con un
elemento de B, luego el número de estos
elementos (nº de columnas de A y nº de filas de
B) debe coincidir para poder realizar este
producto.
Observa que el
resultado es un
número
Matrices
Pág. 36
4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
Producto de una matriz fila por una matriz columna.
Sea A una matriz fila y B una matriz columna:
A  2  3 1
1x3
1
B   2 
5
 
3x1
Definimos el producto de la matriz A por la matriz B (en este orden):
1
A  B  2  3 1   2   2·1 + (−3)·2 + 1·5 = 2 − 6 + 5 = 1
 5
 
1x3
3x1
Hemos emparejado cada elemento de A con un
elemento de B, luego el número de estos
elementos (nº de columnas de A y nº de filas de
B) debe coincidir para poder realizar este
producto.
Observa que el
resultado es un
número
Matrices
Pág. 37
Producto de matrices
Dos matrices se pueden multiplicar cuando se
cumple la siguiente condición:
“El número de columnas de la matriz A es
igual al número de filas de la matriz B”
Filas
A · B = A·B
mn
np
mp
Columnas
Es posible
el producto
Matrices
Pág. 38
Producto de matrices
si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p,
entonces el producto A·B da como resultado
una matriz C de tamaño n x p.
Matrices
Pág. 39
Producto de matrices
PROCEDIMIENTO
Los elemento de la matriz A·B, se obtiene
multiplicando los elementos de la fila i de A por
la columna j de B y sumando los resultados
C1
 a11 ... a1k   b11 ... b1n   F1  C1 ... F1  Cn 






A  B   ... ... ...    ... ... ...    ... ... ... 
 a ... a   b ... b   F  C ... F  C 
mk   k 1
kn   m 1
m n
 m1
F1
Matrices
Pág. 40
EJEMPLO
Para multiplicar las matrices:
3 2 1 4 
A

2
5
3

2


24
0  4 1
1  2 1

B
 2 0 2
3 2 1


43
1º.- Comprobamos que se puede realizar el producto A·B, pues el nº de
columnas de A es 4 y el nº de filas de B también es 4.
2º.- El resultado, según lo dicho será una matriz de dimensión 2 x 3, tiene 2
filas y 3 columnas:
0  4 1


  3 2 1 4  1  2 1
 2 5 3  2 
=

  2 0 2
 3 2 1


24
43
23
3º.- Sólo nos falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello,
seguimos la regla anterior:
Matrices
Pág. 41
4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
C1
F1
0  4 1
  3 2 1 4  1  2 1
 =
 2 5 3  2  

  2 0 2
 3 2 1


24
43
16
23
El elemento de la fila 1 y columna 1 de A·B proviene de multiplicar elemento a
elemento la fila 1 de A por la columna 1 de B y sumar, es decir:
F1 · C1 = (–3 2 1 4) ·
0
1
2
3
= (−3)·0 + 2·1 + 1·2 + 4·3 = 0 + 2 + 2 + 12 = 16
Matrices
Pág. 42
4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
C2
F1
0  4 1
  3 2 1 4  1  2 1
 =
 2 5 3  2  

  2 0 2
 3 2 1


24
43
16 16
23
El elemento de la fila 1 y columna 2 de A·B proviene de multiplicar elemento a
elemento la fila 1 de A y la columna 2 de B y sumar:
F1·C2 = (–3 2 1 4) ·
−4
−2
0
2
= (−3)·(−4) + 2·(−2) + 1·0 + 4·2 = 12 − 4 + 0 + 8 = 16
Matrices
Pág. 43
4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
C3
F1
0  4 1
  3 2 1 4  1  2 1
 =
 2 5 3  2  

  2 0 2
 3 2 1


24
43
16
16
5
23
El elemento de la fila 1 y columna 3 de A·B proviene de multiplicar elemento a
elemento la fila 1 de A y la columna 3 de B y sumar:
1
1
F1·C3 = (–3 2 1 4) ·
2
1
= (−3)·1 + 2·1 + 1·2 + 4·1 = − 3 + 2 + 2 + 4 = 5
Matrices
Pág. 44
4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
Así sucesivamente se obtienen los demás elementos de la matriz producto:
C1
F2
0  4 1
  3 2 1 4  1  2 1
=
 2 5 3  2  

  2 0 2
 3 2 1


24
43
16 16
5
23
5
Matrices
Pág. 45
4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
Así sucesivamente se obtienen los demás elementos de la matriz producto:
C2
F2
0  4 1
  3 2 1 4  1  2 1
 =
 2 5 3  2  

  2 0 2
 3 2 1


24
43
16
16
5
–22
23
5
Matrices
Pág. 46
4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
Así sucesivamente se obtienen los demás elementos de la matriz producto:
C3
F2
0  4 1
  3 2 1 4  1  2 1
 =
 2 5 3  2  

  2 0 2
 3 2 1


24
16
5
43
Así la matriz producto es:
16
5
–22 11
23
16 16 5 
A B  

5

22
11


Observa que el producto B·A no se puede hacer:
B · A
43
24

Matrices
Pág. 47
4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
EJERCICIOS
 1  3
 3  5
B


 2 1  calcula, si es posible, A·B y B·A.

2
6




¿Coinciden?
1. Si A  
 1 1 
2. Lo mismo si
A   0  2 ,
4 1 


3 0 2
B

1

1
5


3. Calcula todos los productos posibles entre las matrices:
1 2 3 
A   1 1 1 
 0 2  1


Además, calcula A2 y A3.
1
B   2 
1
 
 2 1 0
C 

 3 4 5
Matrices
Pág. 48
4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
Propiedades del producto de matrices
a) Asociativa: A·(B·C) = (A·B)·C
b) Distributiva respecto de la suma: A  ( B  C )  A  B  A  C
(B  C)  A  B  A  C  A
c) Elemento neutro: la matriz identidad correspondiente. Si A es m x n:
A In  A
Im  A  A
d) En general el producto de matrices no es conmutativo
A B  B  A
Pueden verse ejemplos en los
ejercicios anteriores. Ten
cuidado con esta propiedad.
e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz
nula:
 5 
 2 1 3    0 
 0 2 1   2    0 

   4  
  21
23
31
Se dice que el conjunto de las matrices
con la operación producto tiene divisores
de cero, es decir, hay matrices no nulas
cuyo producto es nulo.
Matrices
Pág. 49
4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
EJERCICIOS
1. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, ¿son ciertas las
propiedades siguientes, que son ciertas para las operaciones con números
reales?:
a) (A + B)2 = A2 + B2 + 2 · A · B
b) (A − B)2 = A2 + B2 − 2 · A · B
c) (A + B) · (A − B) = A2 − B2
 2  1

a b 
2. Determina los valores de a y b de la matriz A  
para que A2 = A.
1 2
?
0
1


3. ¿Qué matrices conmutan con la matriz 
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