Los 17 grupos cristalográficos
planos
Elementos de Matemáticas y
Aplicaciones. Capítulo 2.
Elementos de Matemáticas y Aplicaciones.
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1
Procedimiento general
• Clasificaremos los grupos cristalográficos
usando su retículo y grupo puntual.
• De G se obtienen T,J.
• De T se obtiene el retículo L.
• J debe ser un subgrupo del grupo de
isometrías lineales que fijan L.
• En algunos casos, hay varias posibilidades para
G a partir de los mismos T y J.
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Retículo oblicuo
• En este caso, las unicas isometrías lineales que
dejan fijo el retículo son Id, Aπ
• Los posibles subgrupos de {Id,Aπ} son
– {Id}
– {Id,Aπ}
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(p1)
Si el grupo de isometrías lineales es {Id}, G=T
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(p2)
Si J={Id,Aπ}, aparece una rotación de ángulo π
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Retículo rectangular
• Las isometrías lineales que son simetrías de un
retículo rectangular son {Id,Aπ,B0,Bπ}.
• Los posibles subgrupos, es decir, los candidatos a
ser J, son:
– {Id} (p1)
– {Id,Aπ} (p2)
– {Id,B0}
– {Id,Bπ} (análogo al anterior)
– {Id,Aπ,B0,Bπ}
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(pm)
J={Id,Bπ}, si Bπ viene de una reflexión en G (ídem con B0)
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(pg)
J={Id,Bπ}, si Bπ no viene de una reflexión en G (y por
tanto viene de una reflexión con deslizamiento) (id. B0)
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(pmm)
J={Id,Aπ,B0,Bπ} y B0,Bπ vienen de reflexiones en G
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(pmg)
J={Id,Aπ,B0,Bπ} y sólo B0 (o Bπ) viene de una reflexión en G
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(pgg)
J={Id,Aπ,B0,Bπ} y no hay reflexiones en G
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Retículo rectangular centrado
• Las isometrías lineales que son simetrías
vuelven a ser {Id,Aπ,B0,Bπ}.
• Los posibles subgrupos, es decir, los
candidatos a ser J, son:
– {Id} (de nuevo es (p1))
– {Id,Aπ} (p2)
– {Id,B0} o {Id, Bπ}
– {Id,Aπ,B0,Bπ}
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(cm)
J={Id,Bπ}. Se demuestra que Bπ viene de una reflexión de
G. (sería análogo con B0)
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(cmm)
J={Id, Aπ,B0,Bπ}. Se demuestra que B0,Bπ vienen de reflexiones
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Retículo cuadrado
• Las isometrías lineales que dejan fijo el
retículo son D4=< Aπ/2,B0>.
• Los únicos casos nuevos que aparecen
corresponden a los subgrupos
– <Aπ/2>
– D4
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(p4)
J=<Aπ/2>. En G sólo hay rotaciones y traslaciones
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(p4m)
J=D4 y B0 (o Bπ) viene de una reflexión en G
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17
(p4g)
J=D4 y B0 (o Bπ) no viene de una reflexión en G
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18
Retículo hexagonal
• Las simetrías del retículo en este caso son
D6=<Aπ/3,B0>
• Los únicos subgrupos que suponen casos
nuevos son
– <A2π/3>
– <A2π/3,B0>
– <A2π/3,Bπ/3>
– <Aπ/3>
– <Aπ/3,B0>
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(p3)
J=<A2π/3>. En G sólo hay rotaciones y traslaciones
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(p31m)
J=<A2π/3,B0> y B0 viene de una reflexión en G.
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(p3m1)
J=<A2π/3,B π/3 >. Por tanto, no hay reflexiones con eje
paralelo al retículo.
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(p6)
J=<Aπ/3>. En G sólo hay rotaciones y traslaciones.
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(p6m)
J=D6. Se puede demostrar que B0 viene de una reflexión.
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Teselaciones aperiódicas
• Penrose: “darts” and “kites”.
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27
Prob 15: Hawaii
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Prob 15: Egipto1
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Prob 15: Egipto2
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Prob 15: Alhambra
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31
Prob 15: Tapiz persa
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32
Prob 15: Asiria
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33
Prob 15: Linóleo (EEUU)
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34
Prob 15: China
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