El modelo ARIMA con Función de Transferencia
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1
El modelo ARIMA con Función de Transferencia
Indice
1. Descripción del problema
2. Evaluación del modelo ARMA
3. Búsqueda de la solución máximo-verosímil
4. Búsqueda de la solución inicial
5. La regresión lineal
6. Algoritmo del estimador
7. Guía de referencia
8. Simulación
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2
Descripción del Problema
El modelo ARIMA con Función de Transferencia
(Box y Jenkins, 1976)
Noise
Output
zt
rt  z t 
Input
Función de
transferencia

i
 i B 
x i ,t
 i B 
x i ,t
Residuals N(0,I)
Differenced noise
w t    B rt
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Filtro ARMA
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at 
 B 
 B 
wt
3
Descripción del Problema
El modelo ARIMA con Función de Transferencia
es altamente no lineal
 B 

at 
  B  z t 
 B 


i
 i B 
 i B 
x i ,t




Estacionalidad
 B  
 
  j B
j
 B  
Efectos
y it 
 i B 
 i B 
 
   j B
j
x i ,t
B  
sj

sj
 
  j B
sj
j
y it   i 1 y i , t 1     iq i y i , t  i  x it   i 1 x i , t 1     ip i x i , t  i
a t   1 a t 1     q a t  q  w t   1 w t 1    p w t  p
Pi-Weights
 B  
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 B 
 B 
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Psi-Weights
 B  
 B 
 B 
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i B  
 i B 
 i B 
4
Evaluación del modelo ARMA
La función de distribución conjunta
La matriz de las autocovarianzas de orden k del ruido diferenciado es simétrica y
de Toeplitz
 k   i , j 
i , j  1 .. k
 0

1

k 


 k 1
  i, j  
 E ( wt  j , wt i ) /  ;
2
i j
1

 k 1 
0




1

1
0





La matriz de las covarianzas de orden k del ruido diferenciado con los residuos es
triangular inferior y de Toeplitz
 k   i , j 
2
i , j  1 .. k
0

1

k 
 

 k 1
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  i , j   i  j  E ( a t  j , w t  i ) /  ; l  0  l  0
0

0




1
0 



0 

 0
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5
Evaluación del modelo ARMA
La función de distribución conjunta
Las ecuaciones en recurrencia precisan de valores iniciales
a t   1 a t 1     q a t  q  w t   1 w t 1    p w t  p

u a  a0

a1 q

T

; u w  w0

w1  p

T
La distribución conjunta de los valores iniciales y posteriores es
  a 
N    ,
 w
 
T
 p  m ,q  m  
u a  
u w 


  a  
; w  

 p  m  
a
w 




 I qm
2

  p  m , q  m
 ua 

 a 
,
N
 u w 
 w 


  u ,u  I q
a
a

 u a ,a  0
2 

 q
u a ,u w

  u a , w   u a
 u w ,w  0
 u a ,u w   q
 a ,a  I m
 a ,u w  0
 a ,u w  0
 u w ,u w  
T
 a ,w   m  
T
T
T
p
 u w ,w   u w


T
T
T 
 a ,w   m    
T
T

 u w ,w   u w

 w , w   m    

 u w ,w   u a
T
T
Estimación mediante la esperanza condicionada por el ruido diferenciado
uˆ a  E u a | w    u a 
T
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1
w ; aˆ
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 E a | w    
T
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1
w ; uˆ w  E u w | w    u w 
T
1
w
6
Evaluación del modelo ARMA
La función de distribución conjunta
Los psi-weights se calculan por expansión finita
  B   B     B    0  1; k   k   1 k 1  ...   p k  p
Si en la ecuación en diferencias del modelo ARMA
w t   1 w t 1  ...   p w t  p  a t   1 a t 1  ...   q a t  q
Multiplicamos por w t  k y tomamos esperanzas

k
  1
k 1
 ...   p 
kp

k
  1
k 1
 ...   q
k q
 mk
Tomando en cuenta la simetría de la función de autocovarianzas
p
 0 k 

i
( k  i   k  i )  m k  k  0  p  1
i 1
 0


 0





 0



 0
1
2

2

p



p
0

0
0

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 0



0
 1

0    2


 
 

0 
 p
p
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0
0

0
0

1
0




 p 1

1
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0    0 
 m0 

 



0  1
m1
 




0    2    m2 
 



    




m

 0     p 1 
 p 1 

7
Evaluación del modelo ARMA
Matrices de Toeplitz y matrices circulantes
Una matriz circulante se diagonaliza mediante la transformada rápida de
Fourier (FFT) en O(n·log(n)) flops y almacenamiento en memoria O(n)
C  a j , k   
n n
 a
j ,k
 c a jk  c  l  c n  l
C  F n  n F n  F n  e
H
 n  Diagonal


k
2  ijk / n

j , k  0 .. n  1
n 1
2  ijk / n
 1
 c e
n k 0 j

;
C
 c0

c
 1
 c2

 
c
 n2
 c n 1
c n 1
cn2

c2
c0
c n 1

c3
c1
c0

c4




c n 3
cn4

c0
cn2
c n3

c1
c1 

c2

c3 


c n 1 

c 0 
El producto de una matriz de Toeplitz por un vector se calcula en O(n·log(n))
flops y almacenamiento en memoria O(n)
T  a
T
j ,k
 
de Toeplitz
u 
T
C   
0 
X
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n m
 a
T

C  X
 2
 t jk
j ,k
X
X
1
3


circulante

X   u 
 y
    Tu  y



X    0 
z
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8
Evaluación del modelo ARMA
Inversión de matrices simétricas de Toeplitz
Una matriz de Toeplitz simétrica cumple la ecuación de desplazamiento de Schur
T  ZTZ
a

Lx
t
0
 aa
T
t /
1
t

0
 l 
i, j
i , j  1 .. n
T
t
 bb ; Z   z ij
n 1
T
/
t
0
; b   0
t /
1
t
0

i , j  1 .. n

t
 z i , j 1 i 1  j
  z  0  i 1 j
 i, j
n 1
/
t
0

 li , j  x i  j  i  j
T
T
  l  0 i j ; T  L a L a  Lb Lb
 i, j
Su inversa no es de Toeplitz pero sí cumple el mismo tipo de ecuación
T
T
1
 ZT
1
1
 L a  L a   Lb Lb
T
Z
T
 a a 
T
 b b 
T
 b 0  0 ; b k  a n  k  k
 1 .. n  1
T
Así pues el producto de la inversa de una matriz de Toeplitz por un vector también
tiene coste O(n·log(n)). Con el método de Durbin o el de Schur se calcula la inversa
y el determinante de una matriz de Toeplitz en O(n2) flops e incluso existen métodos
de O(n·log(n)) flops. El almacenamiento en memoria es siempre O(n)
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9
Evaluación del modelo ARMA
Estacionariedad de los polinomios AR y MA
Para que el modelo ARMA esté bien definido los polinomios AR y MA han de ser
estacionarios, esto es, todas sus raíces han de tener módulo mayor que la unidad.
Puesto que
 B  F
    B   F  

sj

sj
  j  B
   F 
sj
j
j
 j B
   F 
;F  B
1
sj
j
j
Resulta evidente que las autocovarianzas no varían al sustituir por su inversa
cualquiera de las raíces de los factores estacionales AR ó MA. Por tanto se puede
forzar la estacionariedad del modelo invirtiendo aquellas raíces reales o complejas
cuyo módulo sea inferior a la unidad.
Teniendo en cuenta que

p B
s
   r
j
 B
js
  p  B    r
j
j
 B
j
 r
1
j
 C ; rj
s
 1  rj  1
j
Bastará con factorizar los polinomios desestacionalizados mediante el cambio de
variable correspondiente
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10
Evaluación del modelo ARMA
Factorización de polinomios
Para factorizar un polinomio es necesario un método de búsqueda de raíces reales
o complejas que sea rápido y robusto como la iteración de Laguerre de
convergencia global y de orden cúbico
n
p z  

p jz
j
j0
a  p  z k ; b  p   z k ; c  p   z k ;
A  b / a
B  A
2
D 
 n  1 nB
C 
1
n
 2c / a
A 
z k 1  z k 
 A
2

D   C  max
  A  D  ,  A  D 
1
n
1
n
1
C
Una vez hallada una raíz real o compleja se divide el polinomio por el monomio o
binomio respectivamente correspondiente y se continúa el proceso. Es conveniente
reajustar las raíces sobre el polinomio original y buscar las raíces en orden de
mayor módulo a menor.
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11
Búsqueda de la solución máximo-verosímil
El máximo de la función de verosimilitud
La función de densidad de una muestra normal de tamaño m y media nula
L (w x,
2
)  ( 2 
2
)
m
2


1
2

e
1
2
T
w 
2
1
w
Tomando logaritmos
(log 2   log 
m
2
2
)
1
2
log  
w 
T
1
2
2
1
w
Maximizando respecto a 2
m
2
2

T
w 
2
1
 0  
w
4
2

w 
T
1
m
1
w
La máxima verosimilitud se alcanza en el mínimo de
F 


1
m
w 
T
1
w  
a
1
m
T
1
a  u u u
T

Que también se puede expresar como la suma de cuadrados
F 

1
2m
  
1
T
u u u
T
a a
~Ta
~ ;a
~  a ;
a
t
t
t
t
T
w 
1
w
T
a a
 0; 
m
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1
m
 
1
2m
1
1
T
u u u
T
a a
;
 1;   1
m
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m
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12
Búsqueda de la solución máximo-verosímil
Métodos iterativos de minimización no lineal
Gradiente
Objetivo
 xF
1

minn F  x ;  F  x    
x 
 F
 x n
Hessiano

 x Fx
1
1


; H x    

 2F

  x n  x1
2
2

 F
 x1  x n



 F
x n x n
2





Iteración diferencial o del gradiente
x
 k 1 
 x
k 
Steepest descent
Newton
Cuasi-Newton
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 p
k 
;  p
k 

  F x
k 

  I
Convergencia lineal
  H x 
Convergencia cuadrática
~
  H x 
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Convergencia super-lineal
13
Búsqueda de la solución máximo-verosímil
Minimización de sumas de cuadrados no lineales
min
x 
n

 F x  

Jacobiano
J 
mn
1
2

ft x  
2
1
2
f
t 1
 
f t
xi

mn
Hessiano
H  J
J 

f t ht ; ht 

t 1
Gauss-Newton
  J
T
J
Marquardt
  J
T
J  I
J
T
2
Jp
k 

2
ft
xi x
T
F
xi
T
j



t 1
F
xi
 J
(J
m
  
;  F x  
m
T
T

f 

n
f t
xi
 J
T
ft x 
f
i , j  1 .. n
f  p
J   I)p
2
k 
k 
 J
 J

T
f
f

p
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k 
 J  f 
 
  

I

 0
14
Búsqueda de la solución máximo-verosímil
Minimización de sumas de cuadrados no lineales
Búsqueda curvilínea : Optimización escalar del tamaño de paso
p
k 
 J

f;x
 k 1 
 x
k 
 hp
k 
Interpolación polinómica de grado 2 de las componentes

k 
 hp
 p
k 
; y  0  
y t , h   t , 0   t ,1 h   t , 2 h ; f t x
2

y t ,0  f t x
k 
; y
t ,1

 ft x
k 
k 

 
y t ,h  O h
dy  0 
dh
 Jp
3
k 
 t , 0  y t , 0 ;  t ,1  y t, 0 ;  t , 0   t ,1   t , 2  y t ,1 ;  t , 2  y t ,1  y t , 0  y t, 0
Reducción a la factorización de un polinomio de grado 3

min t  Y  h  
h

m
dY
dh


t 1
dy t
dh
m
1
2

t 1
y t h  
2 
y t h  

m
 
t ,1

 2  t , 2 h   t , 0   t ,1 h   t , 2 h
t ,0
 0
t 1
m
 
2
  t ,1 h   t , 2 h
2
  t ,3 h
3
 
t ,0

t ,1
h
t ,2
h
2

t ,3
h
3
 0
t 1
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15
Búsqueda de la solución máximo-verosímil
Cálculo del Jacobiano del modelo ARIMA
con Función De Transferencia
En este caso tenemos
   i , j
f t 

 i, j
~  a  
 a
t
t
wt  zt 

 i, j  ;
 i, j
T
 B




y i ,t ; y i ,t 
i
B


wt ;
i
B

i
B

  
1
2m
  
1
2m
T
w 
1
w
T
a a
x i ,t
T
w 
T
w 
1
1

w
T

1
w
Aproximación al Jacobiano Analítico en las variables de las series input
 0;

yi
w

t
w

t
i, j

y i

  B 


j
B 

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i
i
B
~
a
t
 0 

i
yi
B
z 
t
i  i B
B


2
x
i ,t



B


i
x
i ,t
j
B

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
;

at
yi
 
wt

 B


i, j
y
B

i
 B 
wt
 B
yi
j
B


 B  x i ,t ;
i ,t
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16
Búsqueda de la solución máximo-verosímil
Cálculo del Jacobiano del modelo ARIMA
con Función De Transferencia
Para las variables ARMA se calcula el Jacobiano numéricamente por el método de
extrapolación recursiva de Richardson
D i 0 , 0   f 
D i k , 0  
D i k , j  
 f t 
 i
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


D  k 1, 0    e i h / 2
h/2
4
j
1 4
j
k 1
 D  k 1 , 0  
k 1
D i k , j  1  
1
1 4
j
D i k  1, j  1 j  1  k
 
 D k , k   O h
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2
k
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17
Búsqueda de la solución inicial
Optimización global
La existencia de mínimos locales, las zonas de fuerte curvatura y las altas
correlaciones entre las variables pueden dar lugar a divergencias, ciclos de puntos
de acumulación o estancamientos en mínimos locales.
6
5
4
3
2
1
-15
-10
-5
0
Log 1  x
"x"
2
  Sin  x
"f(x)"
5

10
15
2 
El punto límite de un proceso iterativo depende del punto de partida inicial, por eso
muchos de los métodos de optimización global, como por ejemplo los algoritmos
genéticos o los de branch and bound se basan en probar un método iterativo para
diferentes puntos iniciales.
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18
Búsqueda de la solución inicial
Estimación inicial por bloques
Un método para conseguir una aproximación inicial consiste en la estimación
parcial sucesiva de los parámetros, bien uno a uno bien en bloques cuya
estimación por separado sea sencilla.
Fi
Box-Jenkins Autocov
Min. Cuad. Autocov
Fact. ARMA 1
ARMA 2
Teta
Fun. Transf. Filtrada
Función de
Transferencia
Expandida
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Delta
ARMA Max Verosim
ARMA 3
Omega
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19
Búsqueda de la solución inicial
Estimación inicial por bloques
Estimación ARMA inicial de Box-Jenkins basada en las autocovarianzas
muestrales
Las autocovarianzas de un proceso ARMA cumplen la ecuación homogénea de la parte
autoregresiva a partir del mayor de entre los grados p y q

k
  1
k 1
  2
k 2
    p
k p
 k  Max ( p , q )
Si las sustituimos por las muestrales quedan las ecuaciones de una regresión lineal.
Las autocovarianzas filtradas de la parte AR son las de un proceso MA puro por lo que los
psi-weights son la parte MA y se cumple
 k 

 i j 
k i j
   B  F     B   F 
qk
  k 

 j k  j
j0
i, j
Que son las ecuaciones de una regresión no lineal de grado 2 y por tanto unimodal, por lo
que el método de Newton asegura la convergencia global.
Una vez estimados los polinomios AR y MA se calculan los factores estacionales por
extracción de coeficientes y división sucesiva de mayor a menor longitud del ciclo
 *S   B     B 

 j B
s
j
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     B    
*
j
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*
j 1 
 B  /   j 1  B s
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j 1

20
Búsqueda de la solución inicial
Estimación inicial por bloques
Refinación de la estimación ARMA basada en las diferencias entre
autocovarianzas muestrales y las teóricas
Partiendo de la estimación ARMA se puede emplear un método iterativo de optimización para
minimizar la distancia de Majaranovitz entre las autococorrelaciones muestrales y las teóricas


Min F     r     r  r   

T
1
Puesto que la distribución asintótica de las autocovarianzas muestrales se aproxima a una
normal de media igual a las autocovarianzas teóricas y cuya matriz de covarianzas viene dada
por las fórmulas de Barlett
Var  rk  

1
m
 
2
v
  vk  vk  4  k  v  vk  2  v  k
2
2

v  
Cov  rk , rk  s  

1
m
 
v
 vs 
v  
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21
Búsqueda de la solución inicial
Estimación inicial por bloques
Estimación de las funciones de transferencia
Si aplicamos el filtro ARMA a las series output e input
 B 

at 
  B  z t 
 B 


i
 i B 

x i , t   z t 
 i B 


i
 i B 
 i B 
x i, t
Expandiendo las funciones de transferencia hasta cierto grado se obtiene el modelo lineal
a t  z t  
i
 i B 
 i B 
x i, t  z t    i  B  x i, t
i
Una vez estimadas las expansiones podemos calcular los delta mediante las regresiones lineales
 i  B    i  B  i  B    i , k 

i, jk
 i, j  0 
j

i, jk
 i , j  k  gr  
j
Para evitar la sobre-parametrización de la expansión se filtra ahora por los delta estimados
a t  z t 

i
 i B 
 i B 
x i, t  z t 
   B  x 
i
i ,t
i
Que es de nuevo una regresión lineal
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22
Búsqueda de la solución inicial
Estimación inicial por bloques
Refinación máximo-verosímil de la estimación ARMA
Si aplicamos el filtro de las funciones de transferencia tenemos un modelo ARIMA puro
at 
 B 
 B 
  B w t
que usualmente no tendrá un número demasiado grande de parámetros comparado con los de
los parámetros omega, pero en cambio es el máximo responsable de la no linealidad del
problema.
Resulta por lo tanto interesante aplicar un método iterativo de optimización, a partir de la
solución generada en el paso 2, para la estimación por máxima verosimilitud expuesta
anteriormente.
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23
La regresión lineal
El método de Lanczos
Como se ha podido observar es esencial disponer de un método de regresión
lineal rápido y robusto incluso para una gran cantidad de variables con altas
correlaciones e incluso colinealidad como el método de Lanczos
Ax  b
min
x
2
 A
mn
r0  b  Ax 0 ; p 0  s 0  A r0 ; 
;b  
T

Mientras
i
0
 s0
m
;x   ;m  n
n
2
 tolerancia
q i  Ax i
i  
qi
i
2
x i 1  x i   i p i
ri  1  ri   i q i
s i  1  A ri  1
T

i 1
 s i 1
 i 1  
i 1
2

i
p i 1  s i 1   i p i
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24
Algoritmo Del Estimador
1. Carga de datos
2. Chequeo de datos
3. Estimación inicial por partes
4. Estimación iterativa máximo-verosímil
5. Estadísticas del modelo
6. Diagnosis del modelo
1. Carga de datos
1.1. Extracción de datos de la serie output entre las fechas de estimación
1.2. Extracción de datos de las series input entre las fechas de
estimación ampliadas por las funciones de transferencia
1.3. Transformación de Box-Cox de la serie output
(A partir de aquí se llamará serie output a la serie transformada)
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Algoritmo Del Estimador
2. Chequeo de datos
2.1. Búsqueda de interrupciones en la serie output
2.2. Anulación de las interrupciones en las series input
2.3. Eliminación de variables nulas y repetidas (con correlación unitaria)
2.4. Eliminación de variables que sólo tomen valor en las interrupciones
de la serie output
2.5. Chequeo del número de variables, datos, polinomios, ...
3. Estimación inicial por bloques (Opcional)
3.1. Estimación ARMA inicial de Box-Jenkins
3.2. Refinación ARMA por autocovarianzas
3.3. Estimación de las funciones de transferencia
3.4. Refinación ARMA máximo verosímil
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Algoritmo Del Estimador
4. Estimación de los parámetros del modelo
4.1. Evaluación del modelo en cada iteración de Marquardt
4.1.1. Cálculo del filtro, el ruido y el ruido diferenciado
4.1.2. Establecimiento de la estacionariedad forzada de los factores ARMA
4.1.3. Cálculo de la matriz de autocovarianzas teóricas su inversa y su
determinante
4.1.5. Cálculo de los residuos condicionados y las interrupciones
4.2. Evaluación del jacobiano
4.3. Iteración de la minimización cuadrática
4.3.1. Cálculo de la dirección de búsqueda (Stepest descent, Gauss-Newton,
Marquardt, Búsqueda curvilínea)
4.3.2. Estudio de la evolución de la norma. El algoritmo se detiene si
4.3.2.a. Se sobrepasa el número máximo de iteraciones
4.3.2.b. La norma aumenta
4.3.2.c. La disminución de la norma es inferior a cierta tolerancia dada
4.3.2.d. Se produce algún tipo de error como no estacionariedad, falta de datos,
datos numéricamente mal condicionados ( demasiado grandes o demasiado
pequeños), ...
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Algoritmo Del Estimador
5. Estadísticas del modelo
5.1. Estadísticos de los residuos
5.1.1. Estadísticos escalares (media, desviación estandar, kurtosis, ...)
5.1.2. Estadísticos vectoriales (autocorrelaciones ACF, PACF, ...)
5.2. Estadísticos de los parámetros
5.2.1. Estadísticos escalares (desviación estandar, t-student, probabilidad de
rechazo)
5.2.2. Estadísticos matriciales (jacobiano, matriz de información y su
descomposición, covarianza, correlación, ...)
(En este capítulo quizá deben ser los analistas quienes digan qué información adicional les puede ser útil)
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Algoritmo Del Estimador
6. Diagnosis del modelo
6.1. Diagnosis de los residuos
6.1.1. Test de normalidad
6.1.2. Test de independencia
6.1.2.1. Test sobre las primeras autocorrelaciones de cada ciclo
6.1.2.2. Test de Box-Pierce-Ljung para cada ciclo
6.2. Diagnosis de los parámetros
6.2.1. Test de significación
6.2.2. Test de correlación
6.2.3. Test de estacionariedad de los polinomios ARMA
(En este capítulo debería sustituirse los tests de contraste clásicos por una valoración de corte bayesiano
todavía por definir y que entroncaría con los métodos de comparación e identificación de modelos ARIMA)
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Guía de Referencia
Funciones de Transferencia con denominador
En el campo Input de la estructura ModelDef se puede pasar un conjunto de inputs con
estructura InputDef como hasta ahora, o bien, con estructura TransferFunctionStruct
si se quiere introducir funciones de transferencia con denominador distinto de la unidad.
Struct ModelDef
{
Serie Output,
Real FstTransfor,
Real SndTransfor,
Real Period,
Real Constant,
Polyn Dif,
Set
AR,
Set
MA,
Set
Input,
Set
NonLinInput
};
Struct InputDef
{
Polyn Omega,
Serie X
};
Struct TransferFunctionStruct
{
Polyn Omega,
Polyn Delta,
Serie X,
Serie InitValues
};
El campo InitValues de la nueva estructura es para poder introducir los valores iniciales de la
ecuación en diferencias, aunque de momento no se usa pues se toman valores iniciales nulos,
por lo que se puede pasar la serie 0.
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30
Guía de Referencia
Estacionalidad múltiple
Otra novedad importante es que ya no se restringe la factorización estacional ARMA a dos
factores, uno regular y otro estacional, sino que se permite cualquier número de ciclos
estacionales superpuestos.
Debido a esta limitación el analista se veía obligado a escribir cosas tan horribles como
Set AR = SetOfPolyn(1-0.1*B,
1-0.1*B^7 );
Set MA = SetOfPolyn(1-0.2*B^7, 1-0.1*B^364);
Ahora se puede y se debe escribir
Set AR = SetOfPolyn(1-0.1*B,
Set MA = SetOfPolyn(1,
1-0.1*B^7, 1
);
1-0.2*B^7, 1-0.1*B^364);
Obsérvese que ha de mantenerse el orden de menor a mayor longitud del ciclo tanto en la parte
AR como en la parte MA de forma que los polinomios que ocupan la misma posición en cada una
de ellas se refiere a la misma periodicidad, insertando el polinomio 1 para explicitar que no existe
determinado factor estacional AR ó MA.
Obviamente, ahora se puede introducir estructuras antes imposibles como
Set AR = SetOfPolyn(1-0.1*B,
Set MA = SetOfPolyn(1-0.2*B,
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1-0.1*B^7, 1-0.1*B^364);
1-0.2*B^7, 1-0.2*B^364);
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31
Guía de Referencia
Variables globales de control
Tipo
Nombre
Real DiffDist
Real DoDiagnostics
Real DoInitialEstimation
Real DoKernel
Real DoStatistics
Defecto
Descripción
0.001 Distancia de puntos para aproximaciones diferenciales numericas
1 La función Estimate de modelos ARIMA realizará los diagnósticos de los modelos si esta variable es TRUE.
0 La función Estimate de modelos ARIMA hará una estimación inicial de los parámetros si esta variable es TRUE. Si no
utilizará los valores iniciales dados.
0 La función Estimate de modelos ARIMA realizará el análisis del kernel de los modelos si esta variable es TRUE y
DoStatistics también.
1 La función Estimate de modelos ARIMA realizará las estadísticas de los modelos si esta variable es TRUE.
1 Por compatibilidad con versiones anteriores, el objetivo de la estimación de modelos ARIMA puede ser
MinimumResiduals o MaximumLikelyhood
JacobianMethod
Analytical El método de cálculo del Jacobiano puede ser Analítico o Numérico
LeastSquaresMethod
4 La función de optimización no lineal del problema de los mínimos cuadrados utilizada en las estimaciones de modelos
no lineales permite al usuario seleccionar el método de cálculo de la dirección de búsqueda entre las siguientes
opciones : (1) Stepest descent, (2) Gauss-Newton, (3) Marquardt, (4) Curvilinear search. Este último es el método
por defecto por ser el que presenta mejores condiciones de convergencia aunque también es el de mayor coste
computacional. El de Marquardt converge peor pero con menor coste por iteración mientras que el de GaussNewton presenta el coste mínimo y la peor convergencia.
LSM_StepDescent
1 Mirar la variable Real LeastSquaresMethod
LSM_GaussNew ton
2 Mirar la variable Real LeastSquaresMethod
LSM_Marquardt
3 Mirar la variable Real LeastSquaresMethod
LSM_Curv ilinearSearch
4 Mirar la variable Real LeastSquaresMethod
MarqFactor
3 Parámetro de factor lambda en el método de minimización cuadrática de Marquardt
Max imumLikely hood
1 Mirar la variable Real EstimationObjective
Max Iter
15 Máximo de iteraciones para métodos numéricos iterativos
MinimumResiduals
0 Mirar la variable Real EstimationObjective
Relativ eTolerance
0.001 Tolerancia relkativa para métodos numéricos iterativos
Tolerance
0.0001 Tolerancia para métodos numéricos iterativos
TraceNonLinearLeastSquares
1 Permite o no las trazas y el control para el algoritmo de mínimos cuadrados no lineales, como el estimador de
modelos ARIMA.
Real EstimationObjectiv e
Text
Real
Real
Real
Real
Real
Real
Real
Real
Real
Real
Real
Real
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Simulación
La serie output
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Simulación
Las series intput
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34
Simulación
Las series de efectos
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35
Simulación
La serie filtro o efecto conjunto
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36
Simulación
La serie noise o ruido ARIMA
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37
Simulación
Output = ruido + filtro
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38
Simulación
La serie differenced noise o ruido diferenciado ARMA
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39
Simulación
La función de autocorrelación del ruido diferenciado
Autocorrelation function of OutputDifNoise
0.8
0.6
0.5
0.3
2*Sig
0.2
0.0
-0.2
-2*Sig
-0.3
-0.5
-0.6
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14
7
0
-0.8
40
Simulación
La serie de residuos o ruido blanco
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41
Simulación
La función de autocorrelación de los residuos
Autocorrelation function of OutputRes
0.21
2*Sig
0.17
0.12
0.08
0.04
0.00
-0.04
-0.08
-0.12
-0.17
-2*Sig
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14
7
0
-0.21
42
Simulación
Análisis de los parámetros estimados
Name
V1
PaymentDaysEffect
PrePaymentEffect
PosPaymentEffect
GoodWeekEndEffect
GoodWeekEndEffect
PaymentDaysEffect
RegularAR
RegularAR
RegularAR
Estacional (1)MA
Factor Order
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
2
1
1
1
1
2
1
3
2
7
Estimated
Value
0.9988
2.0036
-3.0412
4.0361
4.9921
6.0021
0.9026
0.7766
0.0646
-0.1564
-0.1771
Real
Value
1
2
-3
4
5
6
0.9
0.6896
0.0733
-0.0829
-0.1031
Error
0.0012
-0.0036
0.0412
-0.0361
0.0081
-0.0021
-0.0026
-0.0871
0.0087
0.0735
0.0741
Standard Standarized
Refuse
deviation
Error
TStudent Probability
0.0018
0.6667 551.9215
0
0.0201
-0.1791 99.4561
0
0.0261
1.5785 -116.7065
0
0.0283
-1.2756 142.3929
0
0.0281
0.2847 177.3379
0
0.0277
-0.0758 216.7287
0
0.0021
-1.2381 426.2729
0
0.1016
-0.8563 7.6468
0
0.1295
0.0672 0.4985
0.6181
0.1058
0.6947 -1.4781
0.1394
0.1123
0.6598 -1.5768
0.1148
Periodicity
1
7
AR
1.0000-0.6896*B-0.0733*B^2+0.0829*B^3
1
MA
1 1.0000+0.1030*B^7
DIF
1 1.0000-B^7
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43
Simulación
Residuos : simulados y estimados
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44
Simulación
Ruido diferenciado : simulado y estimado
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45
Descargar

El modelo ARIMA con Función de Transferencia - TOL