Álgebra Linear
Revisão De Alguns Conceitos
Básicos
Conceitos
• Escalar
• Vector
• Matriz
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
–
–
–
–
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
2
Conceitos: Vector e Escalar
• Sempre que temos um conjunto E e um corpo K
tal que:
– Está definida uma adição em E que goza das
propriedades associativa, comutativa, existência de um
só elemento neutro (0) e um só elemento simétrico.
– Está definida uma multiplicação de K por E que goza
das propriedades de distribuição relativamente às
adições de E e K, associatividade e elemento neutro (I).
Temos que E é um espaço vectorial relativo ao corpo K,
os elementos de E designam-se por vectores e os de K
por escalares.
3
Exemplificação
• Vectores
 v1 
 u1 




v2
u2
; U  

V  
  
  




v
u
 n
 n
• Escalar – kn 
(V+U)+T = V+(U+T)
V+U = U + V
V+0=V
V + (-V) = 0
k1(V+U)= k1 V+ k1 U
(k1+ k2)V= k1 V+ k2 V
k1 (k2 U)=(k1 k2 )U
1.V=V
4
Matrizes
 a 11

a 21

A 
 

 a i1
a 12

a 22



a i2

a1j 

a2j

 

a ij 
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
5
Matrizes
 a 11

a 21

A 
 

 a i1
 b 11

b 21

B
 

 b i1
a 12

a 22



a i2

b 12

b 22



b i2

a1j 

a2j

 

a ij 
b1 j 

b2j

 

b ij 
A  B  a mn  b mn ;

–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
m  1 , 2 , 3 ..., i
n  1 , 2 , 3 ..., j
6
Matrizes
 a 11

a 21

A 
 

 a i1
A
T
a 12

a 22



a i2

 a 11

a 12

 A'
 

 a 1 j
a1j 

a2j

 

a ij 
a 21

a 22



a2j

a i1 

a i2

 

a ij 
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
7
Matrizes
 a 11

a 21

A 
 

 a i1
a 12

a 22



a i2

a1j 

a2j

 

a ij 
Se e só se i  j
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
8
Matrizes
 a 11

0

A 
 

 0
0

a 22



0

0 

0

 

a nn 
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
9
Matrizes
a

0

E 
 

0
0

a



0

0

0
,a  


a
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
10
Matrizes
1

0

I


0
0

1



0

0

0



1
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
11
Matrizes
 a 11

a 21

A 
 

 a n1
a 12

a 22



a n2

a 1n 

a 2n
 , se a  a
ij
ji
 

a nn 
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
12
Matrizes
0

0

N 


0
0

0



0

0

0



0
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
13
Matrizes
 a 11

a 21

A 
 

 a i1
a 12

a 22



a i2

a1j 

a2j

 

a ij 
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
14
Adição de Matrizes
 a 11

a
 21
 

 a i1
 a 11

a
 21


 a i1
a 12

a 22



a i2

a 1 j   b 11
 
a2j
b
   21
   
 
a ij   b i1
 b 11
a 12  b 12

 b 21
a 22  b 22



a i2  b i2


 b i1
b 12

b 22



b i2

b1 j 

b2j

 

b ij 
a 1 j  b1 j 

a2j  b2j




a ij  b ij 
15
Multiplicação de Matrizes por
um escalar
 a 11

a 21


 

 a i1
a 12

a 22



a i2

a 1 j    a 11
 
a2j
a
   21
   
 
a ij    a i1
 a 12

 a 22



a i2

a1j 

a 2 j

 

 a ij 

16
Multiplicação de Matrizes
 a 11

a
 21
 

a m1
a 12

a 22



a m2

a 1n 

a 2n

 

a mn  mn
 b 11

b
 21
 

 b n 1
 a 11 b 11  a 12 b 21  ...  a 1 n b n 1

...




...

b 12

b 22



bn2

b1 j 

b2j
 
 

b nj 
nj
...




a m 1 b 12  a m 2 b 22  ...  a mn b n 2

17
... 

...



...  mj
Traço de uma matriz
 a 11

a 21

A 
 

a n1
a 12

a 22



a n2

a 1n 

a 2n

 

a nn 
tr ( A )  a 11  a 22  a 33  ...  a nn
18
Determinante de uma Matriz
Exemplo para uma matriz 3x3
 a 11

A  a 21

 a 31




 
a 13 

a 23

a 33 
a 12
a 22
a 32







 
a 11
a 12
a 13
Det ( A )  a 21
a 22
a 23 
a 31
a 32
a 33
a 11
a 22
a 23
a 32
a 33
 a 12
a 22
a 23
a 32
a 33
a 21
a 23
a 31
a 33
 a 13
a 21
a 22
a 31
a 32
 a 22 a 33  a 23 a 32
19
Determinante de uma Matriz3x3
Regra de Sarrus
 a 11

A  a 21

 a 31
a 32
a 13 

a 23

a 33 
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
a 12
a 22
Det ( A ) 
a 11 a 22 a 33
 a 21 a 32 a 23  a 31 a 12 a 23  
 a 13 a 22 a 31  a 23 a 32 a 11  a 33 a 12 a 21 
20
Inversa de uma matriz
AA
A
1

adj A

1
, elemento
1
A AI
b ij 
genérico
A
em que, por exemplo,
A 21  (  1)
2 1
A ji
A
a 11
a 12

a 1n
a 21
a 22

a 2n




a n1
a n2

a nn
A matriz adjunta de A – Adj A – é a transposta da matriz que
resulta da substituição de cada elemento pelo seu complemento
algébrico.
21
•Combinação linear de vectores
•(In)dependência linear de vectores
•Característica de uma matriz - Rank(A)
22
Formas quadráticas
x ' Ax  x 1
x2

 a 11

a 21

xn
 

 a n1
Se x ' Ax  0 então A é definida
a 12

a 22



a n2

 x1 
 
x
 2
  
 
x n 
positiva
Se x ' Ax  0 então A é semi - definida
Se x ' Ax  0 então A é definida
a 1n 

a 2n

 

a nn 
positiva
negativa
Se x ' Ax  0 então A é semi - definida
negativa
23
Matriz definida positiva-negativa



...



...
a 12
a 13
a 22
a 23
a 32
a 33


 a 11

a 21
A  
 a 31

 
Definida positiva
Definida negativa







24
Regras de Diferenciação de
Matrizes
y  Ax
dy
A
dx
y  z ' Ax
y
x
y
z
y  x ' Ax
 x'A'
 x ' (A  A ' )
dx
se
 z' A
dy
A é
 2x' A
simétrica
y  z' Ax z e x funções
de b então :
dy
db
 z' A
dx
db
 x'A'
dz
db
25
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Matriz escalar