CAPITULO XII :
• METODO DE CROSS.
Lección 21 :
• 21.1 .- Rigidez en un extremo apoyado
de una barra. Coeficiente de
transmisión.
• 21.2 .- Rigidez de un nudo. Coeficientes
de reparto o factores de distribución.
• 21.3 .- Momentos de empotramiento
perfecto.
• 21.4 .- Método de Cross para nudos no
traslacionales. Simplificaciones.
• 21.5 .- Método de Cross para nudos
traslacionales. Simplificaciones.
21.1 .- Rigidez en un extremo apoyado de una barra.
dvb = 0
dhb = 0
dva = 0
MA
f Flb = 0
B
Rigidez = KAB = MA / fA
Flexibilidad = 1/KAB = fA / MA
fA =0= MA ·L ·L/2EIz 3/3EI
RfA·L
z
=M ·L/EI
- R ·L2/2EI
A
A
z
A
MA·3/2·L = RA
fA =MA·L/EIz – 3/2·MA·L/2EIz
KAB = MA / fA= 4·E·Iz /
L
z
21.1 .- Coeficiente de transmisión.
dvb = 0
dva = 0
B
MA
KAB = MA / fA= 4·E·Iz/L
MA
dhb = 0
f Flb = 0
BM
B
fA = MA·L/3EIz - MB·L/6EIz
fB = 0 = - MBL/3EIz + MAL/6EIz
MA =
2·MB
=>
CtAB = MB/MA= 1/2
21.1 .- Coeficiente de transmisión.
dvb = 0
dva = 0
MA
dhb = 0
B
fA = MA·L/3EIz
KAB = MA / fA= 3·E·Iz/L = 0,75·
4·E·Iz/L
CtAB = MB/MA= 0
21.1 .- Coeficiente de transmisión.
KAB = MA / fA= 4·E·Iz/L
MA
B
MA
B
CtAB = MB/MA= 1/2
KAB = MA / fA= 3·E·Iz/L
CtAB = MB/MA= 0
KAB = MA / fA= 0
CtAB = MB/MA= 0
MA
B
21.2 .- Rigidez de un nudo. Coeficientes de
reparto o factores de distribución.
MB
MB
B
MAB
MAB
E
MAE
C
MA
MAE
MA
MAC
MAD
MAD
D
MA= MAB + MAC + MAD + MAE
MAC
21.2 .- Rigidez de un nudo. Coeficientes de
reparto o factores de distribución.
KAB = MAB / fA=
4·E·Iz/L
CtAB = MB/MAB= 1/2
MAB
B
KAC = MAC/ fA=
3·E·Iz/L
CtAC = MC/MAC= 0
MAC
C
KAD = MAD/ fA= 0
MAD
D
MAE
E
CtAD= MD/MAD= 0
KAE = MAE/ fA= 3·E·Iz/L
CtAE = ME/MAE= 0
21.2 .- Rigidez de un nudo. Coeficientes de
reparto o factores de distribución.
KAB = MAB / fA= 4·E·Iz/L = (4/10)·KA
B
CtAB = MB/MAB= 1/2
KAC = MAC / fA= 3·E·Iz/L = (3/10)·KA
C
E
MA
CtAC = MC/MAC= 0
KAD = MAD / fA= 0 = (0/10)·KA
CtAD = MD/MAD= 0
KAE = MAE / fA= 3·E·Iz/L= (3/10)·KA
D
MA= MAB + MAC + MAD + MAE
CtAE = MC/MAE= 0
MAB= (4/10)·MA
KA = KAB + KAC + KAD + KAE
KA = MA / fA = 4·E·Iz/L + 3·E·Iz/L + 0 + 3·E·Iz/L = 10·E·Iz/L
MB = (2/10)·MA
MAC= (3/10)·MA
MAD= (0/10)·MA
MAE= (3/10)·MA
21.3 .- Momentos de empotramiento
perfecto (no admiten giro)
A
B
L
MA
MB
fB = 0 =q·L3/24EIz - MBL/3EIz - MAL/6EIz
| MB | = | MA | = M =>
q·L3/24EIz = M·L/2EIz
M = q·L2/12
MA = + q·L2/12
MB = - q·L2/12
21.3 .- Momentos de empotramiento
dvb = 0
perfecto (no admiten giro)
dhb = 0
dva = 0
A
P
B
f Flb = 0
P
BM
B
fA = 0 = (P·L/2·L/2·1/2·(2/3·L/2+L/2)-RA·L·L·1/2·2/3·L)/EIz = (5/48·P·L3- 1/3·RAL3)/E
5/16·P = RA
MB = -1/2·P·L + RAL = -3/16·P·L
MA = 0
21.3 .- Momentos de empotramiento
perfecto (no admiten giro)
A
B
C
a
L
b
MA
MB
RA
RB
a·RA
SMA = 0 = MA + M - MB + RB·L
SMC = 0 = MA + M - MB + RB·b - RA·a
b·RB
a·RA
R’A
b·RB
fB = 0 = (RA·a2/2·(b+1/3·a) + RB·b3/3 - MBL2/6 - MAL2/3)/EIz
fA = 0 = (RB·b2/2·(a+1/3·b) + RA·a3/3 - MAL2/6 - MBL2/3)/EIz
fB = 0 = (RA·a2/2 + RB·b2/2 - MBL/2 - MAL/2)/EIz
=>
R’B
21.3 .- Momentos de empotramiento
perfecto (no admiten giro)
Tipo de carga y Ligaduras
a
a
b
b
c
MA
MB
+ q·L2/12
- q·L2/12
0
- q·L2/8
+ q/L2·[L2·1/2·((a+c)2-a2) - 2/3·L·((a+c)3-a3) + 1/4·(a+c)4-a4)]
- q/L2·[ 1/3·L·((a+c)3-a3) - 1/4·(a+c)4-a4)]
0
- q/8L2·[a4 -(a+c)4 + 2·L2·c(2·a+c)]
+ q·L2/30
- q·L2/20
0
- q·L2/15
0
- 7·q·L2/120
+ 5/96 · q·L2
- 5/96 · q·L2
c
q
q
q
q
21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto
(no admiten giro)
Tipo de carga y Ligaduras
q
A
A
A
A
P
P
B
b
a
P
a
P
b
c
P
a
b
b
a
0
- 5/64 · q·L2
+ P·a·b2/L2
- P·b·a2/L2
0
- P·a·b(2·a+b) / 2·L2
+ P·a·(a+c)/L
- P·a·(a+c)/L
+ P/L2·(a·b2 - a2·b)
- P/L2·(a·b2 - a2·b)
+ M/L3·[a·b·(2a+b) - b3)
+ M/L3·[a·b·(a+2b) - a3)
B
B
P
M
A
MB
B
b
a
MA
a
B
b
21.4 .- Método de Cross
.Introducción.
Objetivo: determinar los momentos que los nudos de una
estructura ejercen sobre las barras. Conocidos estos, puede determinarse
el Diagrama de MF de cada barra,
supuesta apoyada en sus extremos.
Tipos de nudos rígidos:
•Inamovibles o absolutamente fijos (fv, fh y f nulos)
•No traslacionales (fv, fh nulos, pero pueden girar)
•Traslacionales: permiten desplazarse y girar.
Las deformaciones debidas a esfuerzos Normales y Cortantes se
suelen despreciar frente a las de Flexión.
21.4 .- Método de Cross .Etapas.
Se usa en nudos no traslacionales
1.- Cálculo de los momentos de empotramiento perfecto (como
si los nudos fuesen absolutamente fijos)
2.- Equilibrado de los nudos, repartiendo el momento de
equilibrado entre las barras concurrentes proporcionalmente a
sus rigideces.
21.4 .- Método de Cross .Ejemplo.
IAB = IAC = Iz
P
C
A
L
L
KAC = 4·E· Iz/2L = 2·E· Iz/L
KAB = 3·E· Iz/L
KA = KAB + KAC = 5·E· Iz/L
L
CrAB = KAB/ KA = 3/5 = 0,6
B
P
A
CrAC = KAC/ KA = 2/5 = 0,4
C
P
A
L
B
B
C
L
L
A
21.4 .- Método de Cross .Ejemplo.
P
MB
MBA
A
CtAB = 0
-3PL/20
0
-3PL/20
B
0
B
L
CrAB = 0,6
CrAC = 0,4
MAB
MAE
CrAB = 0,6
0
C
A
MAC
MC
CrAC = 0,4
CtAC = 1/2
+ PL/4
- PL/4
-PL/10
-PL/20
3PL/20
-3PL/10
MA
MAD
CtAC = 1/2
P
A
L
C
L
MA = + Pab2/L2 = + PL3/(2L)2 = + PL/4
MC = - Pba2/L2 = - PL3/(2L)2 = - PL/4
MAC
21.4 .- Método de Cross :
ESPECIFICACIÓN DE MOMENTOS.
P
D
C
3I
I
I
L
A
L
B
hoja
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Cross. - Cálculo de estructuras y construcción