Tópicos de Astronomía
Simulando la distribución de galaxias
Gaspar Galaz
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Formato del curso:
• Habrá pocas clases y bastante trabajo personal.
• La nota de esta parte del curso será sólo la evaluación de un trabajo personal o grupal,
dependiendo del número de computadores disponibles.
• La duración será entre 3 y 4 semanas.
Introducción:
• En este curso estudiaremos las herramientas fundamentales para describir la
distribución de galaxias en el espacio.
• Estas herramientas nos permiten medir la distribución de las galaxias, corregiendo
las distribuciones observadas de varios efectos indeseables, entre los cuales los más
importantes son:
• Bias de Malmquist.
• Efectos de selección cosmológicos.
• Efectos de selección evolutivos.
• Efectos de selección instrumentales.
• Las herramientas fundamentales son la Función de Luminosidad y la Función de
Correlación.
Pregunta: ¿Cómo difiere la distribución espacial de galaxias de la distribución observada
de ellas ?
1986: Se “descubre” el gran muro de galaxias.
de Lapparent, Geller & Huchra 1986, ApJ 302, 1
¿Cuáles estructuras son reales y cuáles son efecto de las velocidades peculiares de las galaxias?
Es necesario ir lejos en el flijo de Hubble para despreciar las velocidades peculiares
Consideremos una galaxia a un redshift z pequeño. Entonces su magnitud absoluta
Se puede escribir como:
M  m  5 log(cz / Ho)  25
Supongamos que existe una velocidad peculiar que puede ser expresada en redshift
Entonces la magnitud absoluta medida será:
Vpec  cz pec
M ´ m  5 log[c( z  zpec) / Ho]  25
Resulta:
M ´ M  5 log(1  zpec / z)
Entonces sólo tendrá sentido relacionar las magnitudes absolutas y el redshift cuando se
conozca Vpec ó cuando se tenga que
M ´M  5 log(1  zpec / z)
<< errores fotométricos.
Por lo tanto para trazar la distribución real de galaxias debemos salir del Grupo Local y
En particular del flujo de Virgo del orden de 600 km/seg.
Ejemplo: Las Campanas Redshift Survey (LCRS): 22,000 galaxias.
Notar Bias de Malmquist
en el número de galaxias
como función del redshift.
Shectman et al. 1996, ApJ, 470, 172
Notar las estructuras
Veamos una representación tridimensional...
Bias de Malmquist:
Dada una distribución de magnitudes absolutas, la magnitud absoluta promedio observada
será más brillante a medida que las galaxias están más distantes.
80,000 galaxias
En el espacio de magnitudes absolutas se observa lo siguiente:
80,000 galaxias
La Función de Luminosidad
• Permite modelar la distribución observada de galaxias, y por lo tanto corregir el Bias de
Malmquist.
• Entrega el número de galaxias por unidad de volúmen comovil y por unidad de magnitud
absoluta o luminosidad.
• La comparación de FL obtenidas para diferentes muestras permite estudiar la evolución de
galaxias suponiendo que las diferentes muestras han sido obtenidas de manera similar.
El número de galaxias por unidad de volúmen comóvil y por unidad de luminosidad:
 n( L)L 

( L) L  
 V ( L) 
Notar que se ha asumido
separabilidad!
Schechter 1976:

 L 
 L   L 
( L)dL      exp 
d  
 L*
 L*  L*
*
L*
3
Constante de normalización, expesada en Mpc
Luminosidad caracaterística, típicamente expresada en Lsolar.
Ejemplo: ESS survey.
La función de Schechter se puede escribir en términos de la magnitud absoluta usando
 L 
m  M *  2.5 log

 L*
Resulta
 (M )  0.4 ln10 * 10

0.4 M  M * 1

exp  100.4M M *

La tarea es encontrar los parámetros  y M*.
Notar que la cosmología entra en el cálculo de las magnitudes absolutas:
M  m  5 log d L  k ( z)  e( z)
Con


c
dL 
q0 z  1  q0  1  1  2q0 z
2
H 0 q0
La distancia de luminosidad medida en Mpc.

Corrección k
y corrección
por evolución.
Correcciones K para el survey anterior presentan este aspecto:
80,000 galaxias
¿Y las correcciones por evolución?
E(z) depende fuertemente de la época de formación de las galaxias, de la tasa de
formación estelar, y nada de la cosmología.
Existen una serie de métodos para calcular numéricamente la FL. Todos ellos arrojan
valores que en general difieren un poco. Por lo tanto los métodos son llamados
estimadores. El hecho de que exista el bias de Malmquist dado por el límite en magnitud
aparente (y el deseo de tomarlo en cuenta), nos fuerza a pensar que el sólo cálculo
del número de galaxias por unidad de volúmen y por unidad de magnitud absoluta no sirve.
Los estimadores más conocidos y usados son los siguientes:
• El estimador tradicional de Felten (1977).
• Estimador de Davis & Huchra (1982).
• Estimador de Sandage, Tammann & Yahil (1979) (STY).
• Estimador de Efstathiou, Ellis & Peterson (1988) (EEP).
Estimadores de
máxima probabilidad
Nosotros nos vamos a concentrar en los estimadores STY y EEP....¿Por qué?
STY y EEP se basan en estimadores de máxima probabilidad, los cuales permiten corregir
De las inhomogeneidades en la distribución espacial de galaxias.
Sin embargo, un primer estimador que vale la pena ver es el llamado estimador 1/Vmax.
Este estimador fue creado por Schmidt en 1968 para estudiar la distribución de cuasares.
Un estudio posterior de Felten (1976) mostró que éste es un estimador de máxima
probabilidad.
EL método asume que para una magnitud absoluta dada la función de luminosidad integrada
en el espacio de volúmen se puede escribir como
Ng
1
( M )  
,
j 1 Vmax ( j )
Donde Vmax(j) es el volúmen correpondiente a la distancia máxima hasta la cual es posible
detectar la galaxia j y todavía ser incluída en el catálogo considerando el límite en magnitud
aparente de éste.
La FL diferencial (es decir la FL por unidad de magnitud y de volúmen) se puede calcular
sumando las galaxias por intervalo de magnitud y de volúmen, es decir

 (M ) 
Ng
i 1
N ( M  dM 2  M i  M  dM 2)
Vmax ( M )

Ng es el número total de galaxias. La ventaja del método es que entrega simultáneamente
la forma y la normalización para la FL. Sin embargo es fuertemente afectado por las
fluctuaciones de densidad.
El método de máxima probabilidad (en inglés maximum likelihood).
Idea: las galaxias dejan de pertenecer al espacio de posiciones y magnitudes determinadas.
En vez de eso, se asigna una probabilidad a cada galaxia de que ésta pueda ser detectada
tomando en cuenta el límite de detección de mi muestra.
La probabilidad que una galaxia cualquiera i tenga una magnitud absoluta Mi está dada
por
pi  p( M i | zi ) 
 (M i )

M max ( zi )
M min ( zi )
 ( M )dM
Donde los límites en magnitud absoluta a zi son
M min ( zi )  mmin,i  25  5 log d Li  k ( zi ),
M max ( zi )  mmax,i  25  5 log d Li  k ( zi ).
Entonces la probabilidad se escribe como
Magnitud aparente límite del survey
N
L  p( M 1 ,...,M N | z1 ,..., z N )   pi
i 1
O equivalentemente
M max ( zi )


ln L   ln  ( M i )  ln   ( M )dM .
i 1 

M min ( zi )

N
En la ecuación anterior, (M) puede ser la FL de Schechter. Entonces el problema se
reduce a encontrar el mínimo de L. Notar que a partir de la ecuación para (M) se ha
eliminado la normalización de la Fl, en caso de que ésta esté representada por *.
Esta normalización debe ser determinada de manera independiente.
También es posible demostrar que los parámetros M* y  describen una elipse en dicho
plano. Esta elipse está dada por
1
ln L  ln Lmax    .
2
Donde  2 es el cambio en
2
con 2 grados de libertad.
2
apropiado para el error tolerado en la distribución de
Pero es posible usar también un estimador de máxima probabilidad que no sea parametrizado.
En ese caso se usa el llamado estimador de Efstathiou, Ellis & Peterson (1988), también
Llamado EEP o Stepwise Maximum Likelihood (SWML). En este método se considera que la
FL se puede escribir como la composición de varias FL pequeñitas que llamamos i :
M
M
 ( M )  k , M k 
 M  Mk 
2
2
Entonces se puede escribir
 Np

ln L  W ( M i  M k ) ln k   ln  k MH M k , M min ( zi ), M max ( zi )
i 1 k 1
i 1
 k 1

N
Np
N
Donde W y H son funciones definidas como
M
M 

1 Si M k 

 Mi  Mk 
W (M i  M k )  
2
2 
0

Cualquierotro valor


M
M
M
M




, M max ( zi )  max M k 
, M min ( zi ) si M k 
 M min ( zi ) y M k 
 M max ( zi ) 
min M k 
H M k , M min ( zi ), M max ( zi )  

2
2
2
2






0
c ualquierotro valor
Tanto aquí como con el método STY, la normalización de los k se esfuma de las ecuaciones.
Usamos entonces una normalización ad-hoc:
Np
V (M k )
g   k M
 1  0,
V (M f )
k 1
Donde V(M) es el volúmen relativista en el cual una galaxia de magnitud M puede ser
detectada en el survey dada la magnitud límite. Mf es una magnitud absoluta fiducial (que
se puede aproximar a un valor estimativo), siendo similar a M*.
Es posible encontrar una expresión para los errores asociados a las funciones k
con el método de la máxima probabilidad. La demostración es complicada, pero después
de mucho sufrimiento que ustedes se ahorrarán, se muestra que éstos están dados por
la matriz de covariancia:
cov(k )  I1 (k )
Donde la matriz
I(k ) se puede escribir como
  2 ln L  g  g  g 


 




 
 
 j 
I(k )    i j  i  j 


g
0 

i

  ,
i
j k
Es posible recuperar la distribución en redshift de las galaxias para las cuales se calculó la
FL. Esto permite, además de reproducir la distribución espacial, verificar que los parámetros
Obtenidos para la FL son los correctos. La distribución esperada está dada por
N ( z) z  
z2
1
z2
z1
dV
M min ( z´) (M ) dz´dMdz ´.
M max ( z´)
Donde V es el volúmen considerando efectos relativistas.
Otro útil estadístico que permite verificar la validez de la FL estimada es la recuperación
del número de galaxias por grado cuadrado en el cielo y por unidad de magnitud:

m  m
m
dn (m)  

0
M  M
dV
dz 
 ( M ´)dM ´.
M
dz
Estimación de la normalización
Como se vio anteriormente, los métodos de máxima probabilidad no permiten determinar
la normalización para la FL. En el caso del método de STY, podemos encontrar el valor
de * usando
* 
n

M faint
M bright
El número promedio
n
 (M )dM
.
está dado por la estimación de la densidad promedio.
Podemos usar, por ejemplo, el estimador de Davis & Huchra (1982):
n3 
NT

z max
0
s( z )dz
Con NT el número total de galaxias en el survey.
,
s(z) es la función de selección definida como
s( z ) 

min( M max ( zi ) , M faint )
M bright

M faint
M bright
 ( M )dM
 ( M )dM
.
También es posible usar otro estimador propuesto por Davis & Huchra:
N ( z)
0 s( z) dz
n1  z
.
max dV
0 dz dz
z max
En la última ecuación N(z) es el número de galaxias observadas. El problema de este método
es que entrega mayor peso a las galaxias lejanas, que es donde s(z) es más incierta.
Notar que los valores que se obtienen para M* y para  usando distintos
métodos varian.
Willmer (1997)
En la primera parte de este curso se obtendrá la FL de un catálogo galaxias. Este
católogo consiste en un gran número de galaxias para las cuales se conoce el redshift, la
magnitud aparente y la corrección K asociada a cada galaxia. El catalogo es accesible
desde mi página web.
En esta primera parte se pide:
• Elegir la cosmología más apropiada y determinar la magnitud absoluta para cada galaxia.
• Estimar la FL usando el método de 1/Vmax.
• Estimar la FL usando el método STY y EEP.
• Encontrar la distribución esperada N(z) y compararla con la distribución observada Nobs(z).
• Calcular la FL usando el método EEP.
• Calcular el número esperado de galaxias por unidad de grado cuadrado. Asuma que el ángulo
sólido del survey es 0.008275 strad. Comparar este resultado con el número observado de
galaxias por grado cuadrado.
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