Introducción al Método
de los Elementos Finitos
Alberto Cardona, Víctor Fachinotti
Cimec-Intec (UNL/Conicet), Santa Fe, Argentina
Introducción
Modelos matemáticos en ciencia e ingeniería
diferenciales o integrales
Ecuaciones algebraicas,
El desarrollo de las computadoras permitió usar estos modelos para resolver
problemas prácticos. Se pueden simular y resolver sistemas altamente
complicados en ciencia e ingeniería.
Permiten:
1. Reducir la necesidad de experiencias con modelos y prototipos (caras y
lentas).
2. Comparar fácilmente distintas alternativas de diseño para llegar al óptimo
ingenieril.
Disciplinas relacionadas:
1. CAD: Computer Aided Design
2. CAE: Computer Aided Engineering
3. CAM: Computer Aided Manufacturing
Introducción al Método de los Elementos Finitos
2
Introducción (cont)
Soluciones analíticas
Sólo casos simples
Modelos matemáticos
Casos prácticos, en computadora
Soluciones numéricas
Método de los Elementos Finitos (MEF) : técnica general para hallar soluciones
numéricas de sistemas de ecuaciones diferenciales e integrales.
Origen: ingeniería estructural, años 50/60, para solución de ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales en elasticidad.
Su aplicación se generalizó, integrado a sistemas de CAD/CAE.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
3
Introducción (cont)
Aplicaciones del MEF:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Ingeniería estructural
Resistencia de materiales
Mecánica de fluidos
Ingeniería nuclear
Electromagnetismo
Campos eléctricos
Propagación de ondas
Conducción del calor
Procesos de convección – difusión
Ingeniería de petróleo
Procesos de reacción – difusión
........
Introducción al Método de los Elementos Finitos
4
Método de diferencias finitas vs. MEF
•Idea básica de un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales:
Continuo con
infinitos GDL
Discretización
Problema discreto
c/ # GDL finito
•El problema discreto puede resolverse en una computadora !!!
Solución discreta,
aproximada, con N GDL
•Diferencias finitas: método numérico clásico para resolver ecuaciones
diferenciales donde el problema discreto se obtiene reemplazando:
u
x

u n 1  u n
x
Introducción al Método de los Elementos Finitos
5
Discretización en el MEF
1. Reformulación de la ecuación diferencial en un problema variacional
equivalente.
Ej: en ecuaciones elípticas, en casos simples, toma la forma de problema de
minimización:
(M )
H allar u  V
/
F (u )  F ( v)  v  V
donde:
V: conjunto de funciones admisibles
F :V 
es un funcional
F (v ) 

v V
las funciones v  V a menudo representan cantidades que varían en forma
continua (ej.. desplazamiento de un cuerpo elástico, temperatura, etc.)
F(v) es la energía total asociada a v.
(M) es una caracterización equivalente de la solución de la ecuación diferencial
como aquella función en V que minimiza la energía total del sistema
considerado.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
6
Discretización en el MEF (cont)
2. En general, la dimensión de V es infinita (las funciones de V no pueden
expresarse a través de un número finito de parámetros). Luego, (M) no puede
resolverse en forma analítica.
Para hallar una solución, la idea del MEF es reemplazar V por un conjunto V h
de funciones simples que dependen de un número finito de parámetros:
(M h )
Hallar u h  V h / F ( u h )  F ( v )  v  V h
Este problema es equivalente a un sistema de ecs. algebraicas. Se espera que u h
sea una aproximación suficientemente buena de u , la solución de (M).
3. Usualmente elegimos:
Vh  V
/
vh  Vh  vh  V
En este caso, (M h ) corresponde al método clásico de Ritz-Galerkin
Introducción al Método de los Elementos Finitos
7
Discretización en el MEF (cont)
4. Característica particular del MEF: funciones de V h son funciones polinomiales por tramos
Veremos más adelante que se pueden
hacer formulaciones variacionales más
generales que el problema de
minimización; ej.: métodos de Galerkin
Pasos para resolver por MEF:
1.
Formulación variacional del problema
2.
Discretización por MEF: construcción del espacio dimensional finito V h
3.
Solución del problema discreto
4.
Implementación del método en computadora: programación
Introducción al Método de los Elementos Finitos
8
Comentarios
• Existen distintas formulaciones variacionales dependiendo, por ejemplo, de
la elección de las variables independientes
• La elección del subespacio de aproximación de dimensión finita V h , o sea la
elección del tipo de elemento finito, está influenciada por:
– Formulación variacional
– Requerimientos de precisión
– Propiedades de regularidad de la solución exacta
– ...
• Para resolver el problema discreto necesitamos algoritmos de optimización
y/o algoritmos de solución de grandes sistemas de ecs. algebraicas lineales o
no lineales
Introducción al Método de los Elementos Finitos
9
Ventajas del MEF respecto de DF
– Tratamiento de geometrías complicadas
– Condiciones de borde generales
– Propiedades materiales no lineales o variables
– La estructura clara del método permite crear códigos multipropósito
generales
– Fundamentos teóricos sólidos
– Confiabilidad
– Posibilidad de estimación de error
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10
1. Introducción al MEF para problemas elípticos
• Problemas elípticos “modelo” y solución por MEF
– Problema simple 1-D
– Generalización a 2-D
• Propiedades básicas del método
Introducción al Método de los Elementos Finitos
11
(1.1) Formulación variacional del problema 1-D
•
Sea el problema de valores de frontera:
(D )
donde u ' 
du
dx
;
 u ''  f ( x )
,
0  x 1
u (0)  u (1)  0
f ( x ) es una función continua dada.
•
Integrando 2 veces, vemos que el problema tiene solución única u.
•
(D) puede describir cualquiera de los siguientes problemas de Mecánica del
continuo:
A. Barra elástica
B. Cuerda elástica
C. Conducción del calor en una barra
Introducción al Método de los Elementos Finitos
12
A) Barra elástica
Barra elástica sujeta en ambos extremos y sometida a carga axial de intensidad f(x)
Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos y material elástico lineal:
  Eu '
Ley de H ooke
 '  f
E c. de equilibrio
u (0)  u (1)  0
C ond. de borde
donde E es el módulo de elasticidad. Asumiendo E=1
(D )
 u ''  f ( x )
,
0  x 1
u (0)  u (1)  0
Introducción al Método de los Elementos Finitos
13
B) Cuerda elástica
Cuerda elástica sujeta en ambos extremos, con tensión unitaria y sometida a carga
transversal de intensidad f(x)
Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos y material elástico lineal:
(D )
 u ''  f ( x )
,
0  x 1
u (0)  u (1)  0
Introducción al Método de los Elementos Finitos
14
C) Conducción de calor en una barra
Barra sometida a fuente de calor distribuida f(x), con temperatura nula en ambos
extremos.
Bajo condiciones estacionarias y material lineal:
 q  ku '
Ley de Fourier
q '  f
E c de equilibrio
u (0)  u (1)  0
C ond de borde
donde k es el conductividad. Asumiendo k=1
(D )
 u ''  f ( x ) ,
0  x 1
u (0)  u (1)  0
Introducción al Método de los Elementos Finitos
15
Problemas de minimización y variacional
Veremos que la solución al problema (D) es también solución del problema de
minimización (M) y de un problema variacional (V)
Para formular (M) y (V) introducimos nueva notación.
1. Producto interno (v,w):
(v, w ) 

1
v( x) w( x) dx
0
para funciones reales acotadas continuas por tramos v, w.
2. Espacio lineal V:
V   v / v funcion continua sobre  0,1  ,
v ' es continua p/tram os y acotada en  0,1  ,
v (0)  v (1)  0
3. Funcional lineal

F :V 
F (v ) 
1
( v ', v ')  ( f , v )
2
Introducción al Método de los Elementos Finitos
16
Problemas de minimización y variacional (cont)
Problema (M):
(M )
H allar u  V
/
F (u )  F ( v)  v  V
(V )
H allar u  V
/
( u ', v ')  ( f , v )  v  V
Problema (V):
Nota: en el contexto de los problemas (A) y (B)
F (v )
es la energía potencial total asociada al desplazamiento v
1
( v ', v ')
es la energía elástica interna
2
( f , v)
es el potencial de cargas
Problema (M): principio de mínima energía potencial en Mecánica
Problema (V): principio de trabajos virtuales en Mecánica
Veremos la equivalencia de los problemas (D), (V) y (M)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
17
La solución de (D) es solución de (V)
1. Multiplicamos  u ''  f por una función arbitraria v  V (func. de test).
Integramos sobre (0,1):
 ( u '', v )  ( f , v )
2. Integramos por partes el lado izquierdo, y usamos v(0)=v(1)=0:
 ( u '', v )   u '(1) v (1)  u '(0) v (0)  ( u ', v ')  ( u ', v ')
3. Al ser v arbitraria:
( u ', v ')  ( f , v )
 v V
(1.1)
o sea, u es solución de (V)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
18
Los problemas (M) y (V) tienen la misma solución
v V y w  v  u / v  u  w  w V .
1. Sea u solución de (V). Sea
1
Luego:
F ( v )  F ( u  w )   u ' w ', u ' w '   ( f , u  w ) 
2

1
2
1
 u ', u '   ( f , u )  ( u ', w ')  ( f , w )   w ', w '  
2
 0 por (1.1)
F (u )
F (u )
 0
o sea, u es solución del problema (M).
•
 v V y  
Sea u solución de (M). Luego
Definiendo:
g ( )
F (u   v ) 
1
( u ', u ')   ( u ', v ') 
2
Por (*) g (  ) tiene un mínimo en   0 . Luego :
g '(0)

( u ', v ')  ( f , v )
F (u )  F (u   v )
:

(* )
2
( v ', v ')  ( f , u )   ( f , v )
2

0
g (  ) m in en 0
o sea, u es solución del problema (V).
Introducción al Método de los Elementos Finitos
19
La solución de (V) es única
1. Sean u1 , u 2
soluciones de (V ):
u1 , u 2  V
y
( u '1 , v ')  ( f , v )

v V
( u '2 , v ')  ( f , v )

v V
2. Sustrayendo, y eligiendo v  u1  u 2  V

1
0
( u '1  u ' 2 ) d x  0
2
lo cual muestra que:
u '1 ( x )  u '2 ( x )  ( u1  u 2 ) ' ( x )  0
 x  (0,1)
3. Usando la condición de borde:
u 1 (0 )  u 2 (0 )  0

u1 ( x )  u 2 ( x )
 x   0,1 
o sea, la solución a (V) es única.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
20
Equivalencia de soluciones a (D), (V) y (M)
1. Hasta ahora hemos visto que si u es solución a (D), luego es solución a los
problemas equivalentes (V) y (M) :

(D)
(V )

(M )
Mostraremos que si u es solución de (V), luego u satisface (D).
2. Sea
u V
/

1
0
1
u ' v ' d x   fv d x  0

v V
0
Asumimos u '' existe y es continua. Integ.p/partes y usando v (0)  v (1)  0
1
1
1
0
0
0
  u '' v dx   fv dx  u ' v
1
  ( u '' f ) v dx  0

0
v V
0
Como
( u '' f )
es continua, luego:
( u '' f ) ( x )  0
0  x 1
o sea, u es solución de (D).
Introducción al Método de los Elementos Finitos
21
Equivalencia de soluciones (D), (V) y (M)
Resumiendo: Hemos demostrado que
1. La solución de la ecuación diferencial es solución de un problema
variacional
2. La solución del problema variacional es también solución de un problema de
minimización y viceversa
3. La solución del problema variacional es única
4. Si se cumple un requisito de regularidad (u” continua), la solución del
problema variacional es también solución de la ecuación diferencial
Notar: Las soluciones a los problemas variacional y de minimización vistos hasta
ahora tienen dimensión infinita, no pueden hallarse en computadora.
Veremos ahora cómo el MEF construye aproximaciones de dimensión finita a las
soluciones de (V) y (M).
Introducción al Método de los Elementos Finitos
22
(1.2) MEF p/problema modelo c/funciones lineales p/tramos
1. Construiremos un subespacio de dimensión finita V h del espacio V ,
consistente en funciones lineales p/tramos.
2. Sea
0  x 0  x1
x M  x M 1  1
una partición del intervalo (0,1) en subintervalos I j  ( x j 1 , x j ) de longitud
h j  x j  x j 1 ,
j  1,
M 1
La cantidad h  m ax h j es una medida de la densidad de la partición.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
23
Subespacio de funciones lineales por tramos
1. Sea
V h   v / v es lin eal en cad a su b in tervalo I j
v es co n tin u a en el  0 ,1 

v (0 )  v (1)  0
Ejem plo de v  V h
N otar que
Vh  V
2. Para describir v  V h elegimos los valores
 j  v( x j )
en los nodos x j ,
Introducción al Método de los Elementos Finitos
j  1,
M
24
Subespacio de funciones lineales por tramos
3. Definimos funciones de base  j ( x )  V h ,
1
 j ( x i )   ij  
0
si i  j
si i  j
j  1,
M
i , j  1,
M
 j ( x ) : función continua
lineal por tramos que verifica
la propiedad delta.
4. Toda función v  V h puede ser escrita en forma única como combinación
lineal de las funciones de base  i ( x ) :
M
v( x) 

i i ( x)
x   0,1
,
 i  v ( xi )
i 1
Luego, V h es un espacio vectorial lineal de dimensión M con base:
Introducción al Método de los Elementos Finitos
 i  i  1
M
25
MEF para problema modelo (D)
1. Formulación como problema de minimización discreto:
(M h )
Hallar u h  V h
/
F (u h )  F ( v )  v  Vh
(método Ritz)
2. De la manera ya vista, es equivalente al problema variacional discreto:
(1.2)
(Vh )
Hallar u h  V h
/
( u h ', v ')  ( f , v )  v  V h
(método Galerkin)
3. Notar, que si u h  V h satisface (1.2), luego en particular
( u h ',  j ')  ( f ,  j )
(1.3)
j  1,
M
(además, si se cumple (1.3), luego vale (1.2)  v  V h )
M
4. Siendo u h ( x ) 

i i ( x)
,
 i  u h ( x i ) , escribimos (1.3) en la forma:
i 1
M

 i   i ',  j '  
 f , 
j
j  1,
,M
i 1
Sistema de M ecuaciones algebraicas lineales con M incógnitas  i
Introducción al Método de los Elementos Finitos
26
Forma matricial
(1.5)
A
 ( 1 ',  1 ')

( ',  1 ')
 2


 ( M ',  1 ')
( 1 ',  2 ')
( 2 ',  2 ')


b
( 1 ',  M ')    1


 2




( M ',  M ')    M
  b1 
 

  b2 


 

 

  bM 
A : matriz de rigidez
b : vector de cargas
bi  ( f ,  i )
Los elementos a ij    i ',  j '  pueden
calcularse fácilmente.
Notar:

i
',  j '   0
si
ik 1
Luego A es tridiagonal
Introducción al Método de los Elementos Finitos
27
Sistema de ecuaciones
Entonces:
a jj  ( j ',  j ') 

xj
x j 1
1
h
2
j
a j ( j 1)  ( j ',  j 1 ')   
1. A es simétrica pues:

i

dx 
xj
x j 1
1
h
2
j
1
x j 1
xj
h
2
j 1
dx  
dx 
1

hj
1
j  1,
M
j  2,
M
h j 1
1
hj
',  j '     j ',  i ' 
M
2. A es definida positiva pues siendo v ( x ) 

i i ( x)
luego:
i 1
M

i , j 1
M
 M
 i   i ',  j '   j     i  i ',   j  j
j 1
 i 1
Como v (0)  0
luego ( v ', v ')  0

'    v ', v '   0


v0
  0 casi siem pre

  0 solo si v '  0
o sea:  j  0
j  2, M
Entonces:
η Aη  0
T

η
M
,η  0
A simétrica y definida positiva
Introducción al Método de los Elementos Finitos
28
Propiedades sistema de ecuaciones (1.5)
1. A sim > 0
A es no singular y el sistema (1.5) tiene solución única
2. A es rala, o sea pocos elementos de A son distintos de cero.
Esto se debe a que  j tiene soporte local (  j  0 en un intervalo pequeño,
interfiriendo con pocas funciones  k ).
3. Si la partición es uniforme, h j  h 
 2

1

1
A  
h

 0
1
y logramos
M 1
1
2
1
1
2
1
0 




 1
2 
Introducción al Método de los Elementos Finitos
29
(1.3) Estimación de error del MEF para problema modelo
Sean
u solucion de (D )
 u ''  f ( x )



0  x 1
,
u (0)  u (1)  0
Hallar u h  V h
u h solucion de (V h )
/
( u h ', v ')  ( f , v )  v  V h
Recordando que
( u ', v ')  ( f , v )
y como V h  V
  u  u  ', v '   0
h
 v V
 v V
Ecuación del error
donde u  u h es el error de la aproximación
Veremos que en cierto modo, u h es la mejor aprox posible a la sol exacta u
Norma asociada al producto escalar ( , ):
Desigualdad de Cauchy:
 v, w 
 v
w
 w, w 
1
2

  w dx 
1
2
1
2
0
w
Introducción al Método de los Elementos Finitos
30
Estimación de error del MEF para problema modelo
Teo 1.1)
u  uh  '

u  v  '
 v  Vh
D) Sean v  V h arbitraria y w  u h  v  V h . Reemplazando v por w en la
ecuación del error:
u  uh  '
2

  u  u  ',  u  u  '     u  u  ', w '     u  u  ',  u  u
h
h
h
0

  u  u  ',  u  v  ' 
h
h
 w  ' 
ecuacion del error
u  uh  ' u  v  '

h
 v V
C auch y
Luego
u  uh  '

u  v  '
 v  Vh
Para lograr una estimación cuantitativa del error, usamos una u h  V h elegida
convenientemente. Por el resultado anterior:
u  uh  '

u  uh  '
Introducción al Método de los Elementos Finitos
31
Estimación del error
Haremos u h  V h interpolante de u , o sea:
uh ( x j )  u ( x j )
j  0,
M 1
En Análisis Numérico, se ve que:
u ( x )  u h ( x )  h m ax u ( y )
0  y 1
Luego, por el teorema y (1.12):
u ( x)  uh ( x) 
 u  u h 
Mediante análisis detallado, se puede mostrar :
h
2
8
m ax 0  y 1 u ( y )
 h m ax u ( y )
0  y 1
u  uh 
 o h
2

Notar:
• No necesitamos construir explícitamente u , sino sólo la estimación de error
h
del interpolante.
• u  es una deformación o tensión, y tiene interés práctico la estimación de su
error
Introducción al Método de los Elementos Finitos
32
(1.4) MEF para la ecuación de Poisson
Sea el problema:
(D )
con
 u
2
u 
x
2
1
en 
u  f

sobre 
u  0
 u
2

x2
2
Puede corresponder a muchos problemas físicos: conducción de calor, potencial
electromagnético, desplazamiento de una membrana fija en la frontera, etc.
Teorema de la divergencia:
con:
 A1 
A  
 A2 
Fórmula de Green:
div A 

 A1
 x1


div A d x 
 A2
x2




A  n ds
 n1 
n 
 n2 
 v   w dx 
 v  w  n  ds  

Introducción al Método de los Elementos Finitos

v w dx
33
Formulación variacional
1. Si u satisface (D), luego es solución de:
H allar u  V
(V )
con
a (u , v ) 


 u   v dx
a(u, v)  ( f , v)
/
 v V
( f , v) 
(form a bilineal)
V   v : (i) v es continua en  ; (ii)
v
,
v
 x1  x 2


f v dx
continuas a trozos en  ;
(iii) v  0 sobre 
D) Multiplicamos (D) por una v  V h arbitraria e integramos
( f , v )    v  u d x    v   u  n  ds 




 u   v d x  a (u , v )
 0 ( v  0 en  )
a ( u ,v )
2. Como en el caso 1-D, si u suficientemente regular :
(D)
con
(M )
H allar u  V

(V )

(M )
F (u )  F (v)  v  V
/
Energía potencial total:
F (v ) 
1

a (v , v )  ( f , v )
2
Introducción al Método de los Elementos Finitos
34
Subespacio de funciones lineales por tramos
1. Construiremos un subespacio de dimensión finita V h  V consistente en
funciones lineales p/tramos.
2. Asumimos  poligonal. Sea una triangulación de  : Th  K 1 , K 2 , K m con
triángulos no superpuestos K i /
  K1  K 2 
 Km 
K
K   
K T h
K T h
y de forma que no haya ningún vértice de algún triángulo ubicado sobre el
lado de otro.
d iam ( K ) mide la densidad de triangulación.
El parámetro de malla h  mK ax
T
h
Introducción al Método de los Elementos Finitos
35
Subespacio de funciones lineales por tramos (cont)
3. Definimos
V h   v : (i) v
es continua en  ; (ii) v
K
es lineal para K  T h ;
(iii) v  0 sobre 

Notar V h  V
4. Parámetros p/def. v  V h : valores v ( N i ) de v en los nodos N i
Excluimos los nodos de frontera pues
5. Def. funciones de base :  j ( x )  V h
i  1,
M de Th
v  0 so b re  .
/
1
 j ( N i )   ij  
0
si i  j
si i  j
Soporte de  j ( x )   x
Introducción al Método de los Elementos Finitos
i , j  1,
M
/ x  Th con nodo N
36
j

Subespacio de funciones lineales por tramos (cont)
6. Toda función v  V h tiene luego la representación:
M
v(x) 

 i  i (x)
x
,
i  v( N i )
i 1
7. Formulamos luego el siguiente MEF p/el problema de Poisson (D):
Hallar u h  V h
(Vh )
a (u h , v )  ( f , v )  v  Vh
/
8. De manera similar al caso 1-D, este problema es equivalente a resolver el
sistema de ecuaciones:

A
donde ahora:
a ij  a   i ,  j  



b
  i    j dx
bi  ( f ,  i ) 


f i dx
i  uh ( N i )
9. Nuevamente A es simétrica, definida positiva y no singular, con lo cual el
sistema de ecuaciones tiene solución única. Además, A es rala pues:
a ij  0
si
N i , N j  al m ism o triángulo
Introducción al Método de los Elementos Finitos
37
Noción de mejor aproximación
1. u h  V h es la mejor aproximación a la solución u en el sentido:
 u   uh   u   v
con
v
a  v, v 
1
2



v
2
dx

 v  Vh
1
2
2. En particular, si encontramos u h  V h tal que
u  uh  u  uh
podremos probar convergencia. Ejemplo, usando el interpolante
uh ( N j )  u ( N j )
tendremos:
•
•
u  uh  Ch
j  1,
M
con C>0 cte independiente de h, que depende de:
tamaño derivadas segundas de u
menor ángulo de los triángulos K  Th
3. Puede mostrarse luego:
u  uh 
   u  u h 
2
dx

1
2
 Ch
2
4. Así, si u es sufic. regular, el error y su gradiente tienden a cero con
Introducción al Método de los Elementos Finitos
h 0
38
Cálculo matriz rigidez
1. Los elementos a ij  a   i ,  j  son calculadas por suma de contribuciones de
los distintos triángulos:
a  i ,  j  
Notar que
2. Sean N i , N j
elemento K:


  i    j dx 
K Th
a K  i ,  j   0
y Nk

sólo si
K
  i    j dx 

a K  i ,  j 
K Th
Ni, N j  K
los nodos del triángulo K. Luego, la matriz de rigidez del
AK
 a K  i ,  i 



sim .


a K  i ,  j 
a K  j ,  j 
a K  i ,  k  

a K  j ,  k  

a K  k ,  k  

3. La matriz de rigidez global A es armada luego en 2 etapas:
1. Cálculo de las matrices de rigidez elementales
2. Sumatoria de las contribuciones de cada elemento (ensamble)
El vector de cargas b es armado de la misma manera.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
39
Cálculo matriz rigidez elemental
1. Trabajamos con las restricciones de las funciones de base al triángulo K:
i
2.  i es una función lineal /
1
i  
i

en el nodo i
i
K
( x ), j ( x ), k ( x ) base de fcs lineales en K
 0 en los nodos j , k
3. Si
w( x)
es una función lineal en K, tiene luego la representación:
w ( x )  w ( N i ) i ( x )  w ( N j ) j ( x )  w ( N k ) k ( x )
4. La matriz de rigidez elemental:
AK
 a  i , i 



 sim .

a  i ,
j
a  j ,
j
Introducción al Método de los Elementos Finitos


a  i , k  

a  j , k  

a  k , k  

40
Ejemplo
 i ( x, y )   i   i x   i y
i , i , i
 i ( xi , y i )  1
/
 i(x j, y j )  0
1

1

1

 i ( xk , yk )  0
Resolviendo:
i 
i 
x j yk  xk y j
y j  yk
2
i 
xk  x j
2
Luego:
a  i , i  
a  i ,
j

K

K
  i    i dx 
 i 
j

K
xj
xk
y i   i   1 
   
y j  i   0

y k    i   0 
1
1

  det 1

2
1
2
;
xi
  i    i 
x  
x 



 
 dx 
 i
 i

 

y  
y 

d x    i  j   i
j
xi
xj
xk

K
yi 

yj

y k 
(área triángulo)
i  i 
2
2
     dx    i   i  
 i   i 

Introducción al Método de los Elementos Finitos
41
Ejemplo
Matriz de rigidez elemental:
AK
   i2   i2 



 sim .

 

i
j
2
j
  
  

  i

2
j
j
i
k
j
k
2
k
  i k  

  j k  

2
k  

Ilustraremos el proceso de ensamble para el caso siguiente:
Elemento 1) i=1; j=2; k=3
1  0
1
1  
1
1  
1
1
1
Sustituyendo:
 2
1
1
A 1ξ 
1

2
  1
Introducción al Método de los Elementos Finitos
1
1
0
h
h
2  0
3  0
1
3  0
1
2 
1
h
2  0
1
1
1
3 
1
 1   1 
 
0  2 

1    3 
42
1
h
Ejemplo
Por similaridad:
 2
1
3
A 3ξ 
1
2
  1
1
1
0
 1  4 
 
0  1 

1    6 
Elemento 2) i=3; j=6; k=1
3  0
2
3 
1
3 
1
2
2
h
h
 1   5 
 
0  7 

1    1 
1
 2
1
5
A 5ξ 
1

2
  1
1
0
6  0
1  0
1
1  0
2
6 
2
h
6  0
2
2
2
1  
2
1
h
Luego:
 2
1
2
A 2ξ 
1
2
  1
1
1
0
 1   3 
 
0  6 

1    1 
 2
1
4
A 4ξ 
1
2
  1
1
1
0
 1   1 
 
0  4 

1    5 
Introducción al Método de los Elementos Finitos
 2
1
6
A 6ξ 
1

2
  1
1
1
0
 1  2 
 
0  1 

1    7 
43
Ensamble primer elemento
 2
1
1
A 1ξ 
1
2
  1
1
1
0
A ξ
 1   1 
 
0  2 

1    3 
1
2











2
1
1
1
1
0
1
0
1
Introducción al Método de los Elementos Finitos











 1 
 

 2
 3 
 
 4 
 
 5
 6 
 
 7 
44
Ensamble segundo elemento
 2
1
2
A 2ξ 
1
2
  1
1
1
0
A ξ
 1   3 
 
0  6 

1    1 
1
2











2 1
1
1  1
1
1
0
1  1
0
1 2
1
1
1
0
Introducción al Método de los Elementos Finitos
0











 1 
 

 2
 3 
 
 4 
 
 5
 6 
 
 7 
45
Ensamble tercer elemento
 2
1
3
A 3ξ 
1
2
  1
1
1
0
A ξ
 1  4 
 
0  1 

1    6 
1
2











2 11
1
1  1
1
1
0
1  1
0
1 2
1
00
1
1
00
1
2
1
1
11
Introducción al Método de los Elementos Finitos











 1 
 

 2
 3 
 
 4 
 
 5
 6 
 
 7 
46
Ensamble cuarto elemento
 2
1
4
A 4ξ 
1
2
  1
1
1
0
Aξ
 1   1 
 
0  4 

1    5 
1
2











2 11 2
1
1  1
1
1
0
1  1
0
1 2
1  1
1
1
1  1
2 1
0
1
0
1
00
1
00
1
Introducción al Método de los Elementos Finitos
1
11











 1 
 

 2
 3 
 
 4 
 
 5
 6 
 
 7 
47
Ensamble quinto elemento
 2
1
5
A 5ξ 
1
2
  1
 1   5 
 
0  7 

1    1 
1
1
0
A ξ
1
2
 2 11 2 1

1


1  1

1  1


1  1

00


0

1
1  1
1
0
0
1 2
1
1  1
1  1
00
1
2 1
0
0
1 2
1
Introducción al Método de los Elementos Finitos
1
11
1






1 


1 

0
 1 
 

 2
 3 
 
 4 
 
 5
 6 
 
 7 
48
Ensamble sexto elemento
 2
1
6
A 6ξ 
1
2
  1
1
1
0
A ξ
1
2
 1  2 
 
0  1 

1    7 
 2 11 2 11

1  1


1  1

1  1


1  1

00


00

1  1
1  1
1 2
0
0
1 2
1
1  1
1  1
00
1
2 1
0
0
1 2
1
1
Introducción al Método de los Elementos Finitos
1
11
1
00

1




1 


11 

49
 1 
 

 2
 3 
 
 4 
 
 5
 6 
 
 7 
Sistema de ecuaciones global
 4

1

 1

 1
 1
A ξ 
 0
 0






1
1
1
1
0
0
1.5
0
0
0
0
 0.5
0
1.5
0
0
 0.5
0
0
0
1.5
0
 0.5
0
0
0
0
1.5
0
 0.5
0
 0.5
 0.5
0
0.5
0
 0.5
0
0
 0.5
0
0.5
















  1   b1 
   

b
 2  2
  3   b3 
   
  4   b4 
    b 
5
5
  
  6   b6 
   b 
7
7
   
   
   
   
   
Notar que la ecuación 1 está completa (no hay más elementos que contribuyan allí) :
4 1   2   3   4   5  b1
Puede mostrarse, de manera similar, que:
b1 
h
2
6
f
1
 f
2
 f  f
3
4
 f  f
5
6

con:
f 
i
  1 f dx
i
i
La ecuación es idéntica a la que se obtiene por diferencias finitas. El término a derecha cambia.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
50
Espacios de Hilbert
1. En formulaciones variacionales para solución de BVP, trabajaremos con
espacios V más grandes que los vistos hasta ahora.
2. Sucesión de Cauchy: sucesión v1 , v 2 ,
   0,  N 
, v n  V que verifica
/ v i  v j   si i , j  N
La sucesión de Cauchy es convergente si v  v i  0 cuando i  
3. Espacio de Hilbert: Es un espacio lineal V, equipado de producto escalar y
norma asociada, completo (o sea que las sucesiones de Cauchy convergen
respecto de la norma del espacio).
Introducción al Método de los Elementos Finitos
51
Espacios de Hilbert: ejemplos 1D
•
Espacio L2(I) de funciones de cuadrado integrable en I=(a,b)


L 2 (I)  v : v está d efin id a en I y
v dx  
2
I

dotado del producto interno: ( v , w )   vw d x
I
y la norma:
v
L2 (I)


2
v dx
I
La desigualdad de Cauchy:
Ejemplo: v ( x )  x


1
2
1
 (v , v ) 2
(v, w )  v
L2 (I)
w
L2 (I)
, x  I  (0,1), v  L 2 (I) si  <
1
2
Introducción al Método de los Elementos Finitos
52
Espacios de Hilbert: ejemplos 1D (cont.)
•
Espacio H1(I) en I=(a,b): H 1 ( I)   v : v , v   L 2 (I)
dotado del producto interno: ( v , w ) H
y la norma: v
1
H (I)

   v
I
2
1
(I)
  v    dx

2

  vw  v w   d x
I

1
2
  (v , v ) H1 ( I ) 


1
2
•
Espacio H 10 ( I) en I=(a,b):
H 0 (I)   v : v  H (I) y v (a )  v (b )  0 
•
Dado el problema modelo:
(D)
  u ''  f ( x ),

 u (a )  u (b)  0
luego:
(V )
H allar u  H 0 (I) /
•
1
1
1
xI
 u , v    
f , v   v  H 0 (I)
1
Notas:
– H 10 ( I) es más grande que el espacio V de funciones lineales a trozos que
veníamos usando.
– En MEF, la norma del error es simplemente la norma en H1(I).
Introducción al Método de los Elementos Finitos
53
Espacios de Hilbert en d, d=2,3

• L 2 (  )  v : v está definida en  y
– Producto escalar: ( v , w ) 
– Norma:
•
v 


v dx


2

1
2

v
H (  )   v : v  L 2 (  ),
 L 2 (  ), i  1,
 xi

– Norma: v
(v , w ) H1 (  ) 
1

,d 

  vw   v   w  d x

1
2
    v   v   v  dx    ( v , v ) H 1 (  ) 


 

2
H ( )

vw d x
1
– Producto escalar:
•
2


v dx  
H 0 (  )   v : v  H 1 (  ), v
1

1
2
 0
Introducción al Método de los Elementos Finitos
54
Espacios de Hilbert en d, d=2,3 (cont)
•
Dado el problema modelo (ec. de Poisson + CB homogéneas)
(D)
luego: ( V )
u  f

u0

en 
s obre 
H allar u  H 0 (  ) /
1


 u   v dx 


f v dx
 v  H 0 ( )
1
 ( f , v)
a (u , v )
o, equivalentemente:
(M )
H allar u  H 0 (  ) /
1
1
a (u , u )  ( f , u ) 
2
a (v, v)  ( f , v)
2
F (u )
•
1

v  H 0 ( )
1
F (v )
Nota: (V) se dice la formulación débil de (D), y la solución de (V) es la
solución débil de (D). Ésta no es necesariamente una solución clásica de (D).
Para que lo sea, u debe ser suficientemente regular de modo que u esté
definida en el sentido clásico.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
55
Interpretación geométrica del MEF
Consideremos el BVP de difusión-reacción con CB homogéneas:
(D)
luego:
(V )
en 
u  u  f

u0
sob re 

1
H allar u  H 0 (  ) /   u   v dx 

P roducto interno en H 0 (  )
1


uv dx 
u, v

 v  H 0 ( )
1
fv dx

 ( f , v)
Sea Vh un subespacio de dimensión finita de H 10 (  ) , ej. el espacio de funciones
lineales a trozos. El MEF aplicado al problema de difusión-reacción da:
(V h )
H allar u h  V h / u h , v  ( f , v )
 v  Vh
u
Tomando v  V h  H 10 (  ) en (V), (V)(Vh) resulta:
u  uh , v  0
Vh
 v  Vh
uh
La solución MEF uh es la proyección con resp a , de
la solución exacta u sobre Vh, o sea que uh es el
elemento de Vh más próximo u con resp a ||.|| H (  ), i.e.: u  u h
1
0
Introducción al Método de los Elementos Finitos
1
H0 ( )
 uv
1
H0 ( )
 v  Vh
56
CB naturales y esenciales
Consideremos el BVP de difusión-reacción con CB tipo Neumann:
u  u  f

u

 g

n

(D)
luego:
(V )
en 
sob r e 
H allar u  H (  ) /
1
   u   v  uv  dx  
u, v
o: ( M )

fv dx 


gv dx
 v  H ( )
1
( f , v )  ( g , v)
H allar u  H (  ) / F( u )  F( v )
1
 v  H ( )
1
con F( u )  1 a ( u , u )  ( f , u )  ( g , u ) 
2
•La CB Neumann, que no tiene que ser impuesta explícitamente sobre u, se
denomina CB natural.
•La CB Dirichlet u=u0 sobre , que debe ser satisfecha explícitamente por u, se
conoce como CB esencial.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
57
Problema continuo en forma abstracta
Objetivos:
• Dar un tratamiento unificado a muchos problemas de la Mecánica y la Física,
a fin de no repetir el mismo argumento en distintos casos concretos.
• Entender la estructura básica del MEF.
Hipótesis: sea V un espacio de Hilbert con producto escalar (.,.)V y norma ||.||V,
a(.,.) es una forma bilineal en V×V, y L(.) una forma lineal en V, tales que
1. a(.,.) es simétrica, i.e., a( u , v )  a( v , u )  u , v  V
2. a(.,.) es continua, i.e.,    0 / a( u , v )   u
V
v
V
u, v  V
3. a(.,.) es V-elíptica o coerciva, i.e.,    0 / a( v , v )   v
4. L(.) es continua, i.e.,    0 / L ( v )   v
V
2
V
v  V
v  V
Introducción al Método de los Elementos Finitos
58
Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos (cont)
(M )
(V )
H allar u  V / F( u )= m in F ( v ) , con F( v )=
v V
H allar u  V / a ( u , v )  L ( v ) ,
1
a (v, v)  L (v)
2
v  V
Teorema: (M) y (V) son equivalentes, i.e., u satisface (M) si y sólo
si u satisface (V). Además, uV, y ésta verifica u V   /  .
Introducción al Método de los Elementos Finitos
59
Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos (cont)
Demo.: sea vV y  arbitrarios. Luego, v+uV, así que
F( u )  F( u   v ) ,   
g(0) 
Siendo g(  ) 
1

1
a( u   v , u   v )  L( u   v )
2
2

g(  )  g tiene un m ínim o e n  =0
1
a( u , u ) 

a( u , v ) 
2

a( v , u ) 
2

2
2
a( u , u )  L( u )   a( u , v )   L( v ) 
2
a( v , v )  L( u )   L( v )

2
a( v , v )
2
luego g (  )  a( u , v )  L( v )   a( v , v )
Como g tiene un mínimo en 0, debe cumplirse
g (0)  a( u , v )  L ( v )  0
(V )
(QED)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
60
Estimación del error de discretización
• Sea Vh un subespacio de V, con dimensión finita M, y sea {1, 2,…, M}
una base para Vh, de modo que toda vVh puede representarse
M
v =   i i ,  i 
i =1
• Usando Vh, obtenemos los problemas discretos análogos a (M) y (V):
(M h )
Hallar u h  Vh / F( u h )  F( v ),  v  Vh
(Vh )
Hallar u h  Vh / a ( u h , v )  L ( v ),  v  Vh
– Como  j  Vh  a ( u h ,  j )  L ( j ), j  1, 2,
M
– Como u h  V h  u h =   i  i ,  i 
i =1
,M
M

 a (
i
,  j ) i  L ( j ), j  1, 2,
,M
i 1
– Forma matricial de (Vh): A ξ  b con Aij  a ( i ,  j ), b j  L ( j ).
Introducción al Método de los Elementos Finitos
61
Estimación del error de discretización (cont)
• Dado que a(.,.) es simétrica: a ( i ,  j )  a(  j ,  i )  Aij  A ji
 la matriz A es simétrica
• Dado que a(.,.) es V-elíptica:
M
M
M
a ( v , v )  a (   i i ,   j j )  
i 1
j 1
i 1
M
  i a(  i ,  j ) j  η  A η   v
j 1
2
V
 0 si v  0 ( η  0 )
 la matriz A es positiva definida
 la matriz A es no singular
  !ξ / Aξ = b   !u h  Vh solución de ( V h )
Introducción al Método de los Elementos Finitos
62
Estimación del error de discretización (cont)
•
Teorema: Sea uV la solución de (V) y uhVhV. Entonces:
u  uh
•
V



uv
V
 v  Vh
Demo.:
1. u solución de ( V )  a ( u , w )  L ( w ),  w  Vh  V
2. u h solución de ( V h )  a ( u h , w )  L ( w ),  w  Vh
3. R estando: a ( u  u h , w )  0,  w  V h
4. Sea w = u h  v , con v  Vh arbitrario.
2
5. Operando:  u  u h V  a ( u  u h , u  u h )
 a (u  u h , u  u h )  a (u  u h , w )
 a (u  u h , u  u h  w )
 a (u  u h , u  v )
  u  uh
V
uv
V
Introducción al Método de los Elementos Finitos
(QED)
63
Norma de energía
Considerando
1. a(.,.) es continua, i.e.,    0 / a( u , v )   u
V
v
V
u, v  V
2. a(.,.) es V-elíptica o coerciva, i.e.,    0 / a( v , v )   v
2
V
v  V
podemos definir una nueva norma llamada norma de energía:
v
  a (v, v )  ,
1
2
a
v  V
Esta norma es equiv a ||.||V, i.e.,  constantes positivas c   , C   , tal que
c v
V
 v
a
C v
V
v  V
El producto escalar asociado a ||.||a es ( u , v ) a  a( u , v ).
La ec de error resulta ( u  u h , v ) a  0  v  Vh
de donde
u  uh
a
 uv
a
 v  Vh
 Medida en la norma de energía, uh es la mejor aproximación a u.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
64
Ejemplos concretos
1
Ejemplo 1: sea V=H (  ),  
a( v , w )= 

2
.
 vw   v   w  dx
L ( v )=  fv dx ,
f  L 2 ( )

En este caso, a( v , w )=L( v ),  v  H 1 (  ) es la forma débil del problema de Neumann
u
  u  u  f en  ,
(D)
n
 0 sob r e 
Se verifica
• a( v , w )=a( w , v )  a(.,.) es una forma bilineal simétrica
• a( v , v )= v
2
1
H ( )
 a(.,.) es V-elíptica con =1
• a( v , w )   a( v , v )   a(w , w )   v
1
2
• L (v ) 


1
2
fv dx  f
• Luego: u
1
H ( )
u  uh
L2 ( )
 f
1
H ( )
v
L2 ( )
1
H ( )
w
1
H ( )
 a(.,.) es continua con =1
 L(.) es continua con   f
L2 ( )
L2 ( )
 uv
 v  H ( )
1
1
H ( )
Introducción al Método de los Elementos Finitos
65
Ejemplos concretos (cont)
Ejemplo 2: sea V = H 0 (I), I  (0,1), a( v , w )= I v w  dx , L ( v )= I fv dx .
En este caso, a( v , w )=L( v ),  v  H 10 (I) es la forma débil del problema
1
 u   f en I,
(D)
u ( a )  u (b )  0
Se verifica
• a( v , w )=a( w , v )  a(.,.) es una forma bilineal simétrica
•
•
a( v , w )  v 
1
2

v
dx



I
2
w
L2 (I)

L2 (I)
v dx 
2
I
 v
I  v  
2
1
H (I)
dx
w
1
H (I)
 a(.,.) es continua con =1

 a(.,.) es V-elíptica con =1/2
x
x
0
•
L (v ) 
• Luego:

fv dx  f
I
u  uh
u
1
H (I)
1
H (I)
 f
L2 (I)
1
2


2



 v dy     v  dy 
0
0
0
0

1
1
1
1
1

1
2
2
2
2
2



  v dx    v  dx    v  dx    v dx    v  dx 
20
0
0
0
0

v L ( I )  L(.) es continua con   f
2
L (I)
– Demo.: v  H 1 (I)  v ( x )= v ( y ) dy  v ( x ) 

 2 uv
1
1
v  dy 
2
1
H (I)
 v  H (I)
1
0
L2 (I)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
66
Ejemplos concretos (cont)
Ejemplo 3: sea V = H 10 (  ),   2 , a( v , w )=   v   w dx , L ( v )=  fv dx .
En este caso, a( v , w )=L( v ),  v  H 10 (  ) es la forma débil del problema de Poisson
  u  f en  ,
(D)
u  0 s obre 
Se verifica
• a( v , w )=a( w , v )  a(.,.) es una forma bilineal simétrica
• a( v , w )   v
L2 ( )
2
• a( v , v )   v
v

1
H ( )
L2 ( )

v
2
 v
1
H ( )
w
1
H ( )
 a(.,.) es continua con =1
  v   v  dx
 a(.,.) es V-elíptica con =1/(C+1), C tal que
• L (v ) 


fv dx  f
• Luego: u  u h
u
1
H ( )
1
H ( )
L2 ( )
v
L2 ( )
2


 L(.) es continua con   f
  C  1 u  v
  C  1 f

v dx  C   v   v dx
L2 ( )
 v  H 0 ( )
1
1
H ( )
L2 ( )
Introducción al Método de los Elementos Finitos
67
Ejemplos concretos (cont)
4
d u
Ejemplo 4: ( D )
dx
4
u (0)  u (0)  u (1)  u (1)
 f en I=(0,1),
• Definimos los espacios H 2 (I)=  v : v , v , v   L 2 (I)
H 0 (I)=  v : v  H (I), v (0)  v (0)  v (1)  v (1)  0 
2
2
con norma v
•
2
H ( I)
=
   v
I
2
  v     v    dx

2
2

1
2
La forma débil del problema (D) consiste en hallar u  V = H 02 (I) tal que

u v dx =
I

 v  H 0 (I)
2
fv dx
I
a (u , v )  L ( v )
• a(.,.) es una forma bilineal y simétrica
• a( v , w )  v 
•
a( v , v )   v
L2 (I)
2
1
H (I)
w

L2 (I)
 v
2
H (I)
w
 a(.,.) es continua con =1
2
H (I)
 v 2   v   2   v   2  dx
I 

• L(.) es continua con   f
• Luego: u
2
H (I)
3 f
L2 (I)
 a(.,.) es V-elíptica con =1/3
L2 (I)
u  uh
2
H (I)
3 uv
Introducción al Método de los Elementos Finitos
 v  H 0 (I)
2
2
H (I)
68
Ejemplos concretos (cont)
Ejemplo 5: Consideremos el problema bi-armónico:
 u  f en  , u 
2
(D)
• Definimos los espacios
con norma v
2
H ( )
u
n
 0 sob r e 
2
2
2


v v  v  v  v
H (  )=  v : v ,
,
, 2, 2,
 L 2 ( ) 
x y x y xy


v


2
2
H 0 (  )=  v : v  H (  ), v 
 0 sobre  
n


2
2
2
2
2
2
2
2
2











v

v

v

v

v


2
=  v  

  dx
  2  
 
2 
 x 
 y 
 x 
 y 
  x  y  
 

• La forma débil del problema (D) se obtiene haciendo
0
(V )


fv dx 

 u v dx       u    v dx 
2





n
  u  v ds 
=L ( v )
0


 u   v dx 


u
v
n
ds
=a ( u , v )
• Se puede demostrar que a(.,.) es una forma bilineal, simétrica, continua y V-elíptica,
así como L(.) es una forma lineal continua.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
69
Ejemplos concretos (cont)
Ejemplo 6: Consideremos el problema estacionario de convección-difusión:
(D)
 m  u  β   u  f en  , m 

,β 
2
,
u  0 sobre 
Supongamos ||||/m moderado.
• La forma débil del problema (D) se obtiene haciendo
(V )


fv dx 
=L ( v )
   m  u  β   u  v dx    m  u   v   β   u  v  dx   m
0
u
n
v ds
=a ( u , v )
• L(.) es una forma lineal continua.
• a(.,.) es una forma bilineal, continua y V-elíptica, pero no simétrica.
• Teorema: si L(.) es una forma lineal continua, y a(.,.) es una forma bilineal,
continua y V-elíptica, pero no simétrica, se puede demostrar que hay solución
única a (V), y está acotada. Sin embargo, en este caso no existe problema de
minimización asociado a (V).
Introducción al Método de los Elementos Finitos
70
Ejemplos concretos (cont)
Ejemplo 7: Consideremos el problema estacionario de conducción de calor en 3
(D)
    k  u   f

 u =0
k u  n  g


en  , k ij 
E cuación del calor
en  1
C B D irichlet
en  2
C B N eum an n
1
Definimos el espacio V   v : v  H (  ), v  0 sobre  1 
• La forma débil del problema (D) se obtiene haciendo
(V )


fv dx       k  u  v dx 






k  u   v dx 
k  u   v dx 




k  u  n v dx 
fv dx 
a ( u ,v )

2


k  u   v dx 

2
g v ds
L (v)
• L(.) es una forma lineal continua si f,gL2().
• a(.,.) es una forma bilineal, simétrica, continua y V-elíptica si
c, C 

/ c  k ij ( x )  C
x  
Introducción al Método de los Elementos Finitos
71
g v ds
Algunos espacios de elementos finitos
• Sea el dominio acotado  representado
por la “triangulación” (o malla) de

elementos finitos Th={K}.
K
– En 1D, el elemento K es un intervalo.
– En 2D, los elementos más comunes

son triángulos o cuadriláteros.
– En 3D, tetraedros o hexaedros.
• Los espacios Vh más comunes en elementos finitos consisten en funciones
polinómicas por tramos definidas sobre la malla Th.
• La definición de un espacio de elementos finitos Vh requiere especificar
– La malla Th del dominio 
– La naturaleza de las funciones vVh sobre cada elemento K (ej., lineal,
cuadrática, cúbica, etc.)
– Los parámetros usados para definir dichas funciones.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
72
Requisitos de regularidad
1
• BVP de 2º orden  V h  H (  )
• BVP de 4º orden  V h  H 2 (  )
• Si los espacios consisten de funciones polinómicas, resulta
     
V h  H (  )  V h  C (  )   v : v es continua en  
1
0

v
2
1
1
Vh  H (  )  Vh  C (  )   v : v ,
 C (  ), i  1,
 xi

Introducción al Método de los Elementos Finitos

,d

73
Algunos ejemplos de elementos finitos en 2D
• Sea el dominio 2 con frontera poligonal .
• Sea Th={K} una triangulación de  en triángulos K.
• Definimos los espacios
Pr (K )   v : v es un polinom io de grado  r en K 

K
x2º y
– P1(K) es el espacio de funciones lineales en K:
v ( x , y )  a 00  a10 x  a 01 y ,

x1ºx
 ( x , y )  K , a ij 
luego {1,x,y} es una base en P1(K) y dim P1(K)=3.
– P2(K) es el espacio de funciones cuadráticas en K:
v ( x , y )  a 0 0  a1 0 x  a 0 1 y  a 2 0 x  a 1 1 xy  a 0 2 y ,
2
2
 ( x , y )  K , a ij 
luego {1,x,y,x2,xy, y2} es una base en P2(K) y dim P2(K)=6.

– En general: Pr (K )   v : v ( x , y ) 

dim Pr (K ) 

a ij x y ,  ( x , y )  K , a ij 
i
j
0i j r



( r  1)( r  2)
2
Introducción al Método de los Elementos Finitos
74
Elemento finito triangular lineal
• Sea el espacio de funciones lineales a trozos:
Vh   v : v  C (  ) y v
0
K
 P1 (K ),  K  T h 
• Los parámetros necesarios para describir las funciones vVh se denominan
grados de libertad (gdl) globales, y se eligen coincidentes con los valores de v
en los nodos de la triangulación Th.
• Si KTh es un triángulo lineal de vértices (xi,yi), i=1,2,3, los gdl elementales
son los valores de v en los dichos vértices.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
75
Elemento finito triangular lineal (cont)
• Teorema: Sea KTh un triángulo de vértices (xi,yi), i=1,2,3. Una función
vP1(K) está determinada de manera única por los gdl elementales, i.e.,
dados los valores i,
 !v  P1 (K ) / v ( x i , y i )   i ,
•Demo.:
i  1, 2, 3
v  P1 (K )  v ( x , y )  c1  c 2 x  c 3 y ,
Evaluando en los vértices
 ( x , y )  K , ci 
 v ( x1 , y1 )  c1  c 2 x1  c 3 y1   1

 v ( x 2 , y 2 )  c1  c 2 x 2  c 3 y 2   2
 v( x , y )  c  c x  c y  
3
3
1
2 3
3 3
3

1
x1
y1
 !solución para  i dados si det B = 1
x2
y2  0
•Demo. 2: Notar que dim P1(K) = # gdl, i.e., # incógn = # ecs.
ec (3. 7 )
a
1
•Luego, det B0 implica que si vP1(K)1y v(x
para i=1,2,3, entonces
x 3 i,yiy)=0
3
debe ser vº0.
det B = a  b  2 area K  0
3
 B es no singular   !solución
K
b
•Esto se puede probar sin necesidad de calcular det B, tarea que se complica a
(QED)
medida que se usan polinomios de mayor orden.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
76
2
Determinación de las funciones de base para el triángulo lineal
3
  ( x , y ) v ( x , y ),
Toda función vP1(K) puede representarse v ( x , y ) 
i
i
i
( x, y )  K .
i 1
Las funciones de base i (º coord de área del triángulo K) verifican
1
 i ( x , y )  a i  bi x  c i y /  i ( x j , y j )   ij  
0
lo que da lugar al sist de ecs
de donde
a1 
si i  j
i , j  1, 2, 3.
si i  j
1
 1 ( x1 , y1 )  a1  b1 x1  c1 y1  1

 1 ( x 2 , y 2 )  a1  b1 x 2  c1 y 2  0
 (x , y )  a  b x  c y  0
1
1 3
1 3
 1 3 3
1
x1
y1
1
1
y1
1
x1
1
0
x2
y2
1
0
y2
1
x2
0
0
x3
y3
1
0
y3
1
x3
0
1
x1
y1
1
x1
y1
1
x1
y1
1
x2
y2
1
x2
y2
1
x2
y2
1
x3
y3
1
x3
y3
1
x3
y3

x 2 y3  x3 y 2
2 area K
Análogamente:
a3 
a2 
b1 
x1 y 2  x 2 y1
2 area K
x 3 y1  x1 y 3
2 area K
b2 
b3 

y3  y2
2 area K
y1  y 3
2 area K
y 2  y1
2 area K
c1 
c2 
c3 
3
1
1
2
3
2
1

1
x 2  x3
2
2 area K
3
3
x 3  x1
2 area K
x1  x 2
1
1
2 area K
Introducción al Método de los Elementos Finitos
77
2
Continuidad entre elementos triangulares lineales
0
• Dado V h   v : v  C (  ) y v K  P1 (K ),  K  Th 
ec (3.3)
• Adoptando como gdl los nodos de la malla Th, podemos definir alternativamente
Vh   v : v
K
 P1 (K ),  K  Th , y v es continua en los nodos 
ec (3.11)
• Demo.: Para probar que (3.11)º(3.4), es necesario probar que la función vVh
definida de acuerdo a (3.11) es continua no sólo en los nodos sino también
a través de las fronteras interelementales.
– Sean K1 y K2 dos triángulos en Th que comparten el lado S y los nodos 1 y 2.
– Sea v i  v K  P1 (K i ) la restricción de v a Ki.
– v1=v2 en los nodos 1 y 2, y v1,v2 lineales.
v
v
 v1=v2 a lo largo de todo el lado S
1
 v es continua a través de S
K
i
1
K1

v  C ( )
0
(QED)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
2
2
S
2
78
Elemento finito triangular cuadrático
• Sea el espacio de funciones cuadráticas a trozos:
Vh   v : v  C (  ) y v
0
K
3
13
 P2 (K ),  K  Th 
K
1
• Sea KTh un triángulo de vértices xi=(xi,yi), i=1,2,3,
y sea xij=(xi+ xj)/2 el punto medio del lado ij, i<j, i,j=1,2,3.
23
12
2
• Teorema: toda función vP2(K) está únicamente determinada por los gdl
v ( x i ),
i  1, 2, 3,
v ( x ij ),
i  j,
i , j  1, 2, 3.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
79
Elemento finito triangular cuadrático (cont)
•
Demo.: como dim P2(K)= #gdl =6, es suficiente probar que si vP2(K) y
v(xi)=v(xij)=0 (con i<j, i,j=1,2,3), entonces debe ser vº0.
1. A lo largo del lado 23, v varía cuadráticamente y v=0 en x2, x3 y x23.
Luego, v=0 x 2 3 , y v puede escribirse
v ( x )  1 ( x ) w1 ( x ),
x  K ,
w1  P1 (K ),
1 función de base en P1 (K ).
2. Ídem a lo largo del lado 13, luego
v ( x )  1 ( x )  2 ( x ) w 0 ,
x  K ,
w 0 cte,
1 ,  2 funciones de base en P1 (K ).
3. Evaluando en x12
v ( x 12 )  1 ( x 12 )  2 ( x 12 ) w 0 
1 1
2 2
w0  0  w0  0  v  0
Introducción al Método de los Elementos Finitos
(QED)
80
Elemento finito triangular cuadrático (cont)
6º13
Toda función vP2(K) puede expresarse
3
v

i  2 i  1 v ( x i ) 
i 1
3

6
4  i  j v ( x ij ) 
i , j  1, i  j

 iv( xi )
1
i 1
Con las funciones de base en P2(K) dadas por
K
3
5º23
4º12
2
 1  1  2 1  1 
 2   2  2  2  1
 3  3  2 3  1
funciones asociadas a
los nodos en vértices
 4  4 1  2
 5  4 2 3
 6  4 1  3
funciones asociadas a los nodos
en el medio de los lados
Es fácil verificar que i, i=1,…,6, conforman una base en P2(K)
y además i(xj)=ij.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
81
Continuidad entre elementos triangulares cuadráticos
• Dado V h   v : v  C 0 (  ) y v K  P2 (K ),  K  Th 
ec (a )
o, alternativamente,
Vh   v : v
K
 P2 (K ),  K  Th , y v es continua en los nodo s

ec (b)
• Demo.: Para probar que (a)º(b), es necesario probar que la función vVh
definida de acuerdo a (b) es continua no sólo en los nodos sino también a
través de las fronteras interelementales.
– Sean K1 y K2 dos triángulos en Th que comparten el lado S, con nodos 1, 2 y 4.
– Sea v i  v K  P2 (K i ) la restricción de v a Ki.
– v1=v2 en los nodos 1, 2 y 4, y v1,v2 cuadráticas.
 v1=v2 a lo largo de todo el lado S
 v es continua a través de S
v1
i
2
4
0
 v  C ( )
(QED)
1
S
Introducción al Método de los Elementos Finitos
v2
82
Elemento finito triangular cúbico
3 31
• Sea el espacio de funciones cúbicas a trozos:
Vh   v : v  C (  ) y v
0
K
 P3 (K ),  K  Th 
• Sea KTh un triángulo de vértices xi=(xi,yi), i=1,2,3, y
x iij 
2
x 123 
1
3
3
xi 
1
3
 x1 
x j,
i , j  1, 2, 3,
3
11 3
K
1 23
3 32
1
2 23
11 2
2 21
2
i j
x2  x3 
• Teorema: toda función vP3(K) está únicamente determinada por los gdl
v ( x i ),
i  1, 2, 3
v ( x iij ),
i , j  1, 2, 3,
i j
v ( x 123 )
Introducción al Método de los Elementos Finitos
83
Elemento finito triangular cúbico (cont)
•
Demo.: como dim P3(K)= #gdl =10, es suficiente probar que si vP3(K) y
v(xi)=v(xiij)=v(x123)=0 (con i,j=1,2,3, ij), entonces debe ser vº0.
1. v tiene variación cúbica a lo largo de los lados 12, 23 y 13, y v=0 en
cuatro puntos de cada lado, luego v=0 en los tres lados y puede
escribirse
v ( x )  1 ( x )  2 ( x )  3 ( x ) w 0 ,
x  K ,
w 0 cte,
1 ,  2 ,  3 bases en P1 (K ).
2. Evaluando en x123
v ( x 123 )  1 ( x 123 )  2 ( x123 )  3 ( x123 ) w 0 
111
333
w0  0  w0  0  v  0
(QED)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
84
Funciones de base para elemento finito triangular cúbico
9º113
8º331
7º332
K
10º123
1
3
4º112
6º223
 10  27 1 2  3
5º221
2
1 
1
2
 3 1  1   3 1  2  1
4 
9
2
1  2  3 1  1 
Introducción al Método de los Elementos Finitos
85
Continuidad entre elementos triangulares cúbicos
• Dado V h   v : v  C 0 (  ) y v K  P3 (K ),  K  Th 
ec (a )
• Adoptando como gdl los nodos de la malla Th, podemos definir alternativamente
Vh   v : v
K
 P3 (K ),  K  T h , y v es continua en los nod o s 
ec (b)
• Demo.: Para probar que (a)º(b), es necesario probar que la función vVh
definida de acuerdo a (b) es continua no sólo en los nodos sino también a
través de las fronteras interelementales.
– Sean K1 y K2 dos triángulos en Th que comparten el lado S, de nodos extremos
1 y 2, y nodos intermedios 4 y 5.
– Sea v i  v K  P3 (K i ) la restricción de v a Ki.
– v1=v2 en los nodos 1, 2, 4 y 5, y v1,v2 cúbicas.
v1
2
 v1=v2 a lo largo de todo el lado S
5
4
 v es continua a través de S
1
i
 v  C ( )
0
(QED)
S
Introducción al Método de los Elementos Finitos
v2
86
Elemento finito triangular cúbico con gdl en derivadas
• Sea el espacio de funciones cúbicas a trozos:
Vh   v : v
K
 P3 (K ),  K  Th 
• Sea KTh un triángulo de vértices xi=(xi,yi),
i=1,2,3, y centro de gravedad x123.
3
K
123
1
2
• Teorema: toda función vP3(K) está únicamente determinada por los gdl
i  1, 2, 3
v ( x i ),
v
x
( x i ),
v
y
( x i ),
i  1, 2, 3
v ( x 123 )
Introducción al Método de los Elementos Finitos
87
Elemento finito triangular cúbico con gdl en derivadas (cont)
•
Demo.: como dim P3(K)= #gdl =10, es suficiente probar que si vP3(K) y
v( xi ) 
v
x
( xi ) 
v
y
( x i )  v ( x123 )  0,
i  1, 2, 3
entonces debe ser vº0.
v ( x )  1 ( x )  2 ( x )  3 ( x ) w 0 ,
x  K ,
1 ,  2 ,  3 bases en P1 (K ).
w 0 cte,
1. la función v tiene variación cúbica a lo largo del lado 12, y se anula así
como su derivada en dos puntos del lado, luego v=0 en todos los puntos
del lado 12.
2. Razonando análogamente con los lados 23 y 13, llegamos a
v ( x )  1 ( x )  2 ( x )  3 ( x ) w 0 ,
x  K ,
3. Evaluando en x123
v ( x 123 )  1 ( x 123 )  2 ( x123 )  3 ( x123 ) w 0 
w 0 cte,
111
333
1 ,  2 ,  3 bases en P1 (K ).
w0  0  w0  0  v  0
(QED)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
88
Continuidad entre EF triangulares cúbicos con gdl en derivadas
• Dado V h   v : v  C 0 (  ) y v K  P3 (K ),  K  Th 
ec (a )
• Adoptando como gdl los nodos de la malla Th, podemos definir alternativamente

Vh   v : v

K
 P3 (K ),  K  Th , y v ,

v v
,
continuas en los n o d os 
x y

ec (b )
• Demo.: Para probar que (a)º(b), es necesario probar que la función vVh
definida de acuerdo a (b) es continua no sólo en los nodos sino también a
través de las fronteras interelementales.
–Sean K1 y K2 dos triángulos en Th que comparten el lado S, de nodos 1 y 2.
–Sea v i  v K  P3 (K i ) la restricción de v a Ki.
–v1=v2 y
 v1
s
i

v2
s
(derivadas en la dirección s a lo largo de S)
en los nodos 1 y 2, y v1,v2 cúbicas  v1=v2 a lo largo de todo el lado S
0
 v es continua a través de S  v  C (  ) (QED)
• Nota: no se logra continuidad C1 por cuanto la función de base asociada a x123 no
llega con pendiente nula a los lados.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
89
Elemento finito triangular C1-continuo
• Consideremos un espacio de EF V h  C 1 (  ) , lo que requiere usar polinomios
de grado 5 por triángulo, i.e.
Vh   v : v  C (  ) y v
1
K
 P5 (K ),  K  T h 
• Sea KTh un triángulo de vértices xi=(xi,yi), i=1,2,3,
y sea xij=(xi+ xj)/2 el punto medio del lado ij, i<j, i,j=1,2,3.
• Teorema: toda función vP5(K) está únicamente determinada por los gdl
i  1, 2, 3
v ( x i ),
v
x
( x i ),
 v
2
x
v
n
2
v
y
 v
2
( x i ),
( x ij ),
xy
13
i  1, 2, 3
( x i ),
 v
2
( x i ),
x
2
( x i ),
i  1, 2, 3
3
K
1
n
23
12
i , j  1, 2, 3, i  j
Introducción al Método de los Elementos Finitos
2
90
Elemento finito triangular C1-continuo (cont)
•
Demo.: como dim P5(K)= #gdl =21, es suficiente probar
que si todos los gdl son nulos, entonces debe ser vº0.
3
13
n
K
1
23
1. v es un polinomio de grado  5 a lo largo del lado 23 y
v( xi ) 
v
s
 v
2
( xi ) 
s
2
( x i )  0,
i  2, 3
 v  0,
 x  23
s
12
2
2.  v es un polinomio de grado  4 a lo largo del lado 23 y
n
v
v
  v 
v
( x 23 ) 
( xi ) 
 0,  x  23

 ( x i )  0, i  2, 3 
n
n
s  n 
n
v
2
v  0,
 0,  x  23  v ( x )   1 ( x )  p 3 ( x ),  x  K , p 3  P3 (K )
n
3. Aplicando idéntico razonamiento sobre los lados 12 y 13, llegamos a
v ( x )  w 0  1 ( x ) 
2
  2 ( x )   3 ( x ) 
v  P5  K   w 0  0
2
 v ( x ) º 0,
2
,
 x  K , w 0 cte
x  K
Introducción al Método de los Elementos Finitos
(QED)
91
Continuidad entre EF triangulares C1-continuos
• Sean K1 y K2 dos triángulos en Th que comparten el lado S, de extremos 2, 3.
• Sea v i  v K  P5 (K i ) la restricción de v a Ki., y w=v1v2 sobre S.
i
w( xi ) 
w
w
w
s
 w
2
( xi ) 
s
  w
( x 23 ) 
( xi ) 

n
n
s  n
2
( x i )  0,

 ( x i )  0,

i  2, 3
i  2, 3
 w  0,  x  S
w

 0,  x  S
s
w

 0,  x  S
n
 v  C ( )
1
(QED)
1
• Luego: V h   v  C (  ) : v K  P5 (K ),  K  T h 


 v : v K  P5 (K ),  K  T h ,



2
2
2
 v v  v  v  v

º v,
,
, 2,
, 2 continuas en los nodos vértices 
 x y x xy y

 v

continua en los nodos m edios de los lad os


 n

Introducción al Método de los Elementos Finitos
92
Elemento finito tetraédrico lineal
• Sea  la unión de un conjunto Th={K} de tetraedros no superpuestos K tales
que ningún vértice de algún tetraedro se ubique sobre el lado de otro
tetraedro.
• Adoptamos los siguientes espacios polinómicos por trozos de EF

V h   v : v  Pr (K ),  K  T h , i.e., v 





a ijm x y z ,  ( x , y , z )  K , a ijm 
i
j
m
i j mr
4
• Para r=1, toda función vP1(K) está únicamente
determinada por sus valores en los vértices de K.
K
• En este caso, el espacio de EF es
V h   v : v  C (  ) y v  P1 (K ),  K  T h 
0
3
1
2
Introducción al Método de los Elementos Finitos
93
Elemento finito rectangular bilineal
• Sea  la unión de un conjunto Th={K} de rectángulos no superpuestos K
tales que ningún vértice de algún rectángulo se ubique sobre el lado de otro
rectángulo.
• Definimos el espacio
Q 1 (K )   v : v es bilineal en K , i.e., v ( x , y )  a 00  a10 x  a 01 y  a11 xy ,  ( x , y )  K , a ij 
• Toda función vQ1(K) está únicamente determinada por sus valores en los
vértices del rectángulo K.
4
• Se puede demostrar fácilmente que existe
continuidad interelementos de v.
• Luego, el espacio de EF es
3
K
1
2
V h   v : v  C (  ) y v  Q 1 (K ),  K  T h 
0
Introducción al Método de los Elementos Finitos

94
Elemento finito rectangular bicuadrático
• Definimos el espacio de funciones bicuadráticas en K

Q 2 (K )   v : v ( x , y ) 

2

a ij x y ,  ( x , y )  K , a ij 
i
j
i, j0



• Toda función vQ2(K) está únicamente determinada por sus valores en los
vértices, en el medio de los lados y en el centro del rectángulo K.
• Se puede demostrar fácilmente que existe
continuidad interelementos de v.
4
7
• Luego, el espacio de EF es
V h   v : v  C (  ) y v  Q 2 (K ),  K  T h 
0
3
K
9
8
1
Introducción al Método de los Elementos Finitos
6
5
2
95
Resumen
• Definimos un elemento finito como la terna {K, PK, S}, donde
– K es un objeto geométrico.
– PK es un espacio lineal de dimensión finita de funciones definidas en K.
– S es un conjunto de gdl que determinan de manera única toda función vK.
• Por ej., para el EF triangular lineal {K, PK, S}, resulta
– K es un triángulo.
– PK=P1(K).
– S es el conjunto de valores de v en los vértices de K.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
96
C
10
P3 (K)
C
21
0
P5 (K)
Continuidad del
espacio MEF
P1 (K)
Espacio de
funciones
Continuidad del
espacio MEF
3
Geometria
Grados de libertad S
# gdl
Espacio de
f unciones
Geometria
Grados de libertad S
# gdl
Tipos de elementos finitos más comunes
0
6
P2 (K)
C
10
P3 (K)
C
18
P5' (K)
C
0
1
C
0
1
Valor de la función
Valores de las derivadas segundas
Valores de las derivadas primeras
Valor de la derivada normal al lado
Introducción al Método de los Elementos Finitos
97
C
Continuidad del
espacio MEF
Q1 (K)
Espacio de
funciones
Continuidad del
espacio MEF
4
Geometria
Grados de libertad S
# gdl
Espacio de
f unciones
Geometria
Grados de libertad S
# gdl
Tipos de elementos finitos más comunes (cont)
0
0
9
Q2 (K)
C
2
P1 (K)
C
0
4
P3 (K)
C
0
10
P2 (K)
C
0
16
Q3 (K)
C
3
P2 (K)
C
4
P1 (K)
C
0
1
0
Valor de la función
Valores de las derivadas segundas
Valores de las derivadas primeras
Valor de la derivada normal al lado
Introducción al Método de los Elementos Finitos
98
Soporte de diferentes funciones de base
Soporte de funciones de base
asociadas a nodos sobre los lados
Soporte de funciones
de base asociadas
a nodos de vértice
Soporte de funciones
de base asociadas
a nodos en el centro
Introducción al Método de los Elementos Finitos
99
Estimación de error en problemas elípticos
•
Para un típico problema elíptico de la forma
H allar u  V
/
a( u , v )=L( v )
v  V
donde se verifica
1. a(.,.) es una forma bilineal simétrica, continua y V-elíptica.
2. L(.) es una forma lineal continua
resulta
u  uh
•
•
V



uv
V
v  V
Si elegimos v=phuV como un interpolante de u y estimamos el error de
interpolación ||uphu||V, obtendremos una estimación del error ||uuh||V del
MEF.
Elegimos phu tal que sus gdl coincidan con los de u en Vh, así el problema de
determinar ||uphu||V se reduce a determinar uphu individualmente sobre
cada elemento finito KTh.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
100
Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D
• Sea V =H 1 (  ), V h =  v  V : v K  P 1 (K ),  K  Th 
• Para el triángulo KTh, definimos
rK
hK : diám etro de K = lado m ás largo de K
r K : diám etro del círculo inscrito en K
•
hK
rK/hK da una idea de la calidad del elemento (cuanto mayor, mejor)
rK
• Designemos Th a una familia de mallas {Th} caracterizadas por el
parámetro h  m ax h K , y una constante +, independiente de h, tal que
K  Th
rK
hK

hK
 K  Th
Esta condición implica que los triángulos KTh no pueden ser
arbitrariamente finos. La constante  es una medida del ángulo más
pequeño para cualquier KTh.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
101
Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D (cont)
•
Sean Ni, i=1,2,…,M, los nodos de Th. Dado u  C 0    , definimos el
interpolante phuVh por
p hv( x )  v( x )
i
i
i  1, 2,
,M
i.e, phu es la función lineal a trozos que coincide con u en los nodos xi de Th.
•
Empecemos por estimar el error uphu en cada triángulo K.
u
phu
K
Introducción al Método de los Elementos Finitos
102
Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D (cont)
•
Teorema: sea KTh un triángulo de vértices xi, i=1,2,3. Dado vC0(K), sea
el interpolante pvP1(K) definido por p v ( x i )  v ( x i ), i  1, 2, 3.
Luego:
1.
vpv

 2 h K m ax D v
2
L (K )
 2
2. m ax D  v  p v 
2

 1
6
L (K )

donde

D v
v
•
L (K )
 v
1
x y
L (K )
2
,
hK
rK

m ax D v
 2
   1 ,  2  ,
L (K )
  1   2.
 m ax v ( x )
xK
Nota: la magnitud de los errores de interpolación en la función y sus
derivadas primeras dependen del valor de las derivadas segundas, que es una
medida de cuán curva es la superficie descrita por la función.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
103
Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D (cont)
• Demo.: como pvP1(K), usando las funciones de base i podemos escribir
3
p v( x ) 
  ( x )p v ( x
i
3
i
)º
i 1
  ( x )v( x
i
i
)
i 1
• Usando una expansión de Taylor, en el punto y = x+ tenemos
2
v( y)  v( x ) 
v
 x
j 1
R( x, y) 
2
1

2
i , j 1
• Tomando
( x)  x j  y j   R( x, y)
j
 v
2
 xi  x j
 x   Δ   xi 
2
y=xi:
v( x )  v( x )  
i
j 1
v
x j
yi   x j  y j 
0  1
( x)  x j  x j   R( x, x )
i
pi ( x )
i
Ri ( x )
• Como ||xxi||hK xK, i=1,2,3, el resto Ri(x) resulta acotado por

R i ( x )  2 h K m ax D v
2
 2
 x  K , i  1, 2, 3
L (K )
Introducción al Método de los Elementos Finitos
104
Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D (cont)
3
• Luego: p v ( x ) 
  ( x )v ( x
i
i 1
3
i
)  v ( x ) i ( x ) 
i 1
3
  ( x ) p ( x )    ( x )R ( x )
i

i
i
i 1
3
• Por otro lado, veremos más adelante que:
3
i
i 1
3
i
 1,
i 1

i
p i  0.
i 1
3
 p v( x )  v ( x ) 
  ( x)R ( x)
i
i
i 1
3
 v ( x )  p v( x ) 

3
i ( x ) Ri ( x ) 
i 1

 i ( x ) R i ( x )  m ax R i ( x )
i
i 1

 2 h K m ax D v
2
 2
L (K )
x  K
Introducción al Método de los Elementos Finitos
(QED 1)
105
Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D (cont)
• Se calcula la derivada de pv:
p v
x j
 i
3
pv 
 x
i 1
3
v( x )  v
i
i 1
j
 i
x j
3
3

i 1
 i
 x
• Por otro lado, veremos más adelante que:
i 1


p v
x j
v
x j


v
x j
p v
x j
i
3

 x
i 1
3


i 1
 i
x j
pi  
j
x j
i 1
3
 0,
i
3
 i
 x
i 1
Ri
pi 
j
v
x j
.
 1/ rK
Ri
j
i
x j
3
Ri ( x ) 
 m ax
i 1
xK
i
x j
Ri ( x ) 
3
1
rK

Ri ( x )
i 1
2
6
hK
rK

x  K
m ax D v
 2
L (K )
Introducción al Método de los Elementos Finitos
(QED 2)
106
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