1. CONCEPTOS DE
CONFIABILIDAD
1-1
Objetivo: Presentar los conceptos
indispensables para entender la
confiabilidad
Propósitos
– presentar el concepto de tiempo de vida y falla
– exponer el concepto de distribución de
probabilidad
– definir confiabilidad
– definir MTBF - MTTF
– explicar el “tiempo de misión”
– visualizar la velocidad de falla gráficamente
– presentar los elementos de estadística descriptiva
– obtener una distribución empíricamente
1-2
CONFIABILIDAD ¿PARA QUÉ?
• ¿Cuál es la vida promedio del producto?
• ¿Cuántas fallas espera el próximo año?
• ¿Cuánto nos costará desarrollar y dar servicio a este
producto?
• ¿Cómo podemos hacerlo más efectivo en costo?
1-3
TIEMPO DE VIDA Y FALLA
La confiabilidad es una medida del Tiempo de Vida útil
de un producto. Durante este período el cliente obtiene
las características ofrecidas intencionalmente.
Cuando cesa la capacidad del producto para entregar la
característica ofrecida al cliente, se considera que ha
habido una Falla del producto. Esto representa el
término del tiempo de vida.
1-4
MODELOS DE TIEMPO DE VIDA
Para modelar el tiempo de vida se asigna una
medida: La frecuencia relativa o la
probabilidad con que ocurrirá el evento.
La regla que asigna valores de frecuencia
relativa o probabilidades a los valores de una
variable se llama Distribución de
Probabilidad
1-5
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
• Función de Densidad de Probabilidad (pdf), f(t)
– Predice el comportamiento de cualquier situación
probabilística
– Probabilidad de t de caer en algún punto del rango t1 a t2
t2
p ( t1  t  t 2 )

f( t)d t
t1
f(t)
El área total bajo la
curva siempre es 1 o
100%
t1
t2
t
1-6
EJEMPLOS DE DISTRIBUCIONES
DE PROBABILIDAD
138.573
132.988
234.234
63.378
28.855
49.089
123.442
49.526
71.698
45.352
182.344
225.349
137.758
93.901
77.471
172.78
45.735
62.171
78.558
75.812
75.492
27.978
145.911
95.475
175.935
34.899
43.461
52.311
49.619
92.019
39.655
9.52
29.374
46.076
193.45
103.507
107.717
179.036
61.099
46.613
82.272
176.949
145.45
73.873
117.592
30.0000
30
Histograma
20
Percent
56.399
56.554
35.389
56.215
188.26
90.882
132.312
60.465
301.525
302.01
101.978
98.37
64.026
43.881
53.358
15.0000
13.3333
10
8.3333
8.3333
6.6667
6.6667
3.3333
3.3333
3.3333
1.6667
0.0000
0.0000
0
0
100
200
300
OBS
0.4
f(t)
0.3
PDF Weibull
0.2
0.1
0.0
0
5
10
t
1-7
DISTRIBUCION ACUMULADA DE
PROBABILIDAD
Si acumulamos las probabilidades desde el inicio hasta
un tiempo t1, obtenemos la Distribución de
Probabilidad Acumulada {CDF ó F(t)}.
F(t1) = P(t  t1)
1-8
DISTRIBUCION ACUMULADA DE
PROBABILIDAD
• Función de Distribución Acumulada
– La Probabilidad de una variable es menor o igual a un valor
específico, e.g., t1
t
1
F ( t )  P ( 0  t  t1 ) 

f ( t ) dt
0
– Cuando la variable es tiempo de falla, esto
representa la no confiabilidad o la
probabilidad de que una unidad falle
antes del tiempo t1
1-9
DISTRIBUCION ACUMULADA DE
PROBABILIDAD
t1
F ( t)  P ( 0  t  t 1 )   f ( t)d t
0
Función de Densidad de Probabilidad
Función de Distribución Acumulada
1
f(t)
F(t)
No confiabilidad, F(t)
0
t1
t
0
t1
t
1-10
DEFINICIÓN DE CONFIABILIDAD
Confiabilidad es la probabilidad de que un sistema
ejecute su función de intención sin fallar para un
intervalo específico, bajo condiciones establecidas.
Se define como la Probabilidad de Supervivencia en un
determinado tiempo.
R(t) = 1 - F(t)
Algunos autores presentan como sinónimos
Supervivencia y Confiabilidad
1-11
DEFINICIÓN DE CONFIABILIDAD

t
R ( t )  1 F ( t )  1
 f( t )d t   f( t )d t
0
t
Función de Densidad de Probabilidad
Función de Confiabilidad
f(t)
R(t)
1
0
0
t1
t
0
t1
t
1-12
MTBF - MTTF
Si el tiempo de vida para una característica de calidad
es una variable aleatoria y conocemos su distribución
de probabilidad , podemos calcular una medida de
localización, por ejemplo el valor de su media.
El valor medio del Tiempo de Vida se denomina Tiempo
Promedio entre Fallas, MTBF es el acrónimo en
Inglés, y se refiere a una medición básica de
confiabilidad para artículos que se pueden reparar.
MTTF se refiere al Tiempo Promedio de Fallas, esto es
para artículos que no pueden ser reparados.
1-13
MTBF - MTTF
98.932
20
15.0000
13.3333
10
m 
i 1
3.3333
0.0000
0.0000
0
100
200
300
tiempo
La media calculada para esta
distribución Weibull es función
de sus parámetros h=2 y b=2
1.77245
0.3
f(t)
8.3333
6.6667
6.6667
1.6667
0
N
0.4
8.3333
3.3333
3.3333
N
i
30.0000
30
Percent
La media estimada del
tiempo de vida está marcada
con la línea punteada es de
98.932, se obtuvo
calculando el promedio de
los tiempos
t
0.2

1 

MEDIA  h   1 
b 

0.1
0.0
0
5
10
t
1-14
TIEMPO DE MISIÓN
Tiempo de Misión se refiere al tiempo intentado durante
el cual el producto entrega la característica de
calidad satisfactoriamente.
El Tiempo de Misión es una decisión de negocios y
sirve para establecer una meta de logro por parte del
producto en cuanto a sus características.
Tiempo de Misión
¿Qué confiabilidad lograremos?, R(tiempo de misión)
1-15
VELOCIDAD DE FALLA
La Velocidad de Falla ó Tasa de Riesgo o también Tasa
de Falla es la fracción de fallas probables entre la
proporción de supervivientes al tiempo t. Cuando se
conoce la Distribución de Probabilidad de t, se
calcula a partir de
h(t) = PDF / R(t)
Es una medida de la “mortalidad” entre los artículos
que quedan.
La tasa de falla representa la propensión a la falla de un
producto como una función de su edad o tiempo en
operación. La tasa de falla en cualquier tiempo dado es la
proporción que caerá en la siguiente unidad de tiempo
respecto a aquellas unidades que han sobrevivido a este
tiempo.
1-16
TASA DE FALLA O TASA DE RIESGO
Por ejemplo, 1000 motores eléctricos se ponen a prueba
en el tiempo CERO. Cuatrocientos de ellos están
trabajando a las 2000 horas, 50 de ellos fallaron en las
siguientes 100 horas y otros 50 fallaron en las siguientes
horas como lo ilustra la figura.
1000
400
350
300
0
2000
2100
2200
No. de
sobrevivientes
horas
tiempo
La tasa de falla para los motores a las 2000 horas es:
h(2000) = (número de fallas por hora posteriores a las 2000 horas)
número de sobrevivientes a las 2000 horas
= (50/100)/400 = 0.00125 unidades/hora
Similarmente, la tasa de falla a las 2100 horas es:
h(2100) = (50/100)/350 = 0.0014 unidades/hora
1-17
“CURVA DE LA BAÑERA”
Si se dibuja la tasa de riesgo o falla para una población
a través del tiempo se observa un comportamiento
descrito como la “Curva de la Bañera”
h(t)
Fallas “infantiles”
Fallas por deterioro o desgaste
Fallas constantes
t
1-18
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
30.0000
30
20
Percent
La Estadística Descriptiva se
orienta a proporcionar una
descripción útil, clara e
informativa de una masa de
datos numéricos.
Esto se hace al considerar
tópicos como:
•la colección y procesamiento de
datos originales,
•presentación tabular y gráfica,
•fuentes de datos,
•distribución de frecuencias,
•medidas de tendencia central y
• medidas de dispersión.
15.0000
13.3333
10
8.3333
8.3333
6.6667
6.6667
3.3333
3.3333
3.3333
1.6667
0.0000
0.0000
0
0
100
200
300
OBS
Un histograma es una descripción
útil, clara e informativa de la
distribución de frecuencias
1-19
ESTADISTICOS
Un estadístico es cualquier función de las observaciones en una
muestra aleatoria, que no dependa de parámetros desconocidos
La media muestral, la varianza muestral, la desviación estándar
muestral y los coeficientes de variación, sesgo y curtosis son
algunos de los estadísticos más comunes.
Obsérvese que como un estadístico es una función de los datos
provenientes de una muestra aleatoria, es a su vez una variable
aleatoria.
Es decir, si se obtuvieran dos muestras aleatorias diferentes
provenientes de la misma población y se calcularan las medias
muestrales, podría esperarse que los valores obtenidos fueran
diferentes.
1-20
Estadística Descriptiva
Medidas
Descriptivas
Descripción
MEDIA
Medida de
tendencia
central
VARIANZA
COEFICIENTE DE
VARIACIÓN
Medida de
dispersión
POBLACION
E (t ) 
 tf ( t )dt
MUESTRA
m  x 
n


2

2
 t    f ( t )dt
s
2

CV 


i 1
 x
n 1
Medida de
Simetría
3 
 t   

 
2
COEFICIENTE DE
CURTOSIS
Medida de
Agudeza
x
 x
f ( t )dt
i
n
s 
2
n
4 

4
 
2
 x
f ( t )dt
2
 x
i 1
ˆ 3 
3/2
 t   
 x
i
3/2
 x
i 1
ˆ 4 
2
la desviación estándar es la
raíz cuadrada de la varianza
La Normal tiene un rango
0.05<CV<0.25
La exponencial: CV= 1
n
COEFICIENTE DE
SESGO
i
CV = S

3
xi
n
1
Otras medidas son la mediana y la
moda, la media tiene propiedades
estadísticas mejores
n
i 1

Medida del
grado de
variabilidad
1
n
s 
2 2
4
3
• 3<0 cola izquierda
• 3=0 simétrica (v.gr.Normal)
• 3>0 cola derecha
• 4<0 - aguda que la Normal
• 4=0 aguda como Normal
• 4>0 +aguda que la Normal
1-21
Estadística Descriptiva
• ¿Porqué son importantes los
estadísticos?
• Describen completamente los datos
• Coeficiente de Variación CV
• comúnmente utilizado para describir propiedades
mecánicas de los materiales.
– aproximadamente 15% para fractura
– aproximadamente 7% para resistencia a la cedencia
• ayudan a determinar la distribución apropiada
• la distribución normal tiene un rango 0.05 < CV < 0.25
– Exponencial CV = 1
1-22
Estadística Descriptiva
• ¿Porqué son importantes los estadísticos?
• Coeficiente de sesgo
• medida de simetría
– 3 < 0 distribución sesgada a la izquierda(tiene una cola a la
izquierda)
– 3 = 0 distribución simétrica
» Distribución Normal 3 = 0
– 3 > 0 distribución sesgada a la derecha (tiene una cola a la
derecha
– Coeficiente de curtosis
• medida de agudeza (puntiaguda)
– 4 < 3 distribución menos aguda que la Normal
– 4 = 3 distribución Normal
– 4 > 3 distribución más aguda que la Normal
1-23
Estadística Descriptiva
• Porqué son importantes los estadísticos
• los tres ayudan a determinar los parámetros de la
distribución
• CV
– La Exponencial tiene un CV constante
– El parámetro de forma de la distribución Weibull es bien
estimado con el coeficiente de variación CV
• coeficientes de sesgo y curtosis
– la relación entre ellos ayuda a determinar la distribución que mejor
se ajusta
1-24
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN
PDF  f (t )  le
 lt
CDF  F (t )  1  e
lt
Distribución
Exponencial
l
CONFIABILIDAD  R(t )  e t
TASA DE FALLA  h (t )  l
Función de Densidad de Probabilidad Exponencial
1
0.0035
MEDIA 
l
l= 0.003, MEDIA = 333
0.0030
f(t)
0.0025
l= 0.002, MEDIA = 500
0.0020
l= 0.001, MEDIA = 1,000
0.0015
0.0010
0.0005
0.0000
0
500
1,000
Tiempo
1,500
2,000
1-25
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN
bt 
PDF  f (t )   
h h 
CDF  F (t )  1  e
b 1
t
 
h 
e
t 
 
h 
b
Distribución
Weibull 2
parámetros
b
CONFIABILIDAD  R(t )  e
t
 
h 
b
bt 
TASA DE FALLA  h (t )   
h h 

1
MEDIA  h1  
b

b 1
1-26
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN
Abra el archivo Distribución.xls
Señale la columna de
tiempo y pongala en
orden ascendente
Veamos cómo se construyen las
curvas de distribución usando el
EXCEL
1-27
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN
Agregue un
renglón inicial
con cero y una
columna con un
contador que
inicie en cero
Agregue una columna
donde estime F(t)
usando la fórmula de
Kaplan Meier*:
( F(t) = i/N)
Obtenga R(t) por la
diferencia R(t) = 1-F(t)
Note que puede estimar la
Confiabilidad de 90% para
un tiempo de 35.389
* La fórmula de Kaplan Meier se recomienda para muestras grandes
1-28
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN
Se estima la tasa de falla para los
tiempos observados, con el inverso del
número de supervivientes 1/(N+1-i)
R ( t ) LS  R ( t )  Z 
R ( t ) LI  R ( t )  Z 
2
2

R (t )  F (t ) N

R (t )  F (t ) N
Por último se estima
el intervalo de
confianza normal al
95% para la
confiabilidad
1-29
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN
R (ti)= 1 -F (ti)
1 .0 0 0 0
Gráficas de
Confiabilidad R(t) y de
la Función Acumulada
F(t) generadas en
EXCEL
0 .9 0 0 0
0 .8 0 0 0
0 .7 0 0 0
0 .6 0 0 0
0 .5 0 0 0
R (ti)= 1 -F (ti)
0 .4 0 0 0
0 .3 0 0 0
0 .2 0 0 0
F (ti)= i/N
0 .1 0 0 0
1 .0 0 0 0
0 .0 0 0 0
0
50
100
150
200
250
300
350
0 .9 0 0 0
0 .8 0 0 0
0 .7 0 0 0
Recuerde que:
0 .6 0 0 0
0 .5 0 0 0
R(t) = 1- F(t)
F (ti)= i/N
0 .4 0 0 0
0 .3 0 0 0
0 .2 0 0 0
0 .1 0 0 0
0 .0 0 0 0
0
50
100
150
200
250
300
350
1-30
EJEMPLO DE DISTRIBUCION
Use el archivo: distribución.mtw
Ahora en Minitab...
1-31
Cálculo de R(t) para un tiempo
Distribution Analysis
Variable: tiempo
Censoring Information
Count
Uncensored value
60
Nonparametric Estimates
Characteristics of Variable
Standard
95.0% Normal CI
Mean
Error
lower
upper
98.9320
8.4776
82.3162
115.5478
Median =
IQR =
75.8120
83.4620
Q1 =
Kaplan-Meier Estimates
Number
Time
at Risk
9.5200
60
27.9780
59
28.8550
58
29.3740
57
34.8990
56
35.3890
55
39.6550
54
43.4610
53
43.8810
52
45.3520
51
45.7350
50
46.0760
49
46.6130
48
49.0890
47
49.5260
46
49.6190
45
52.3110
44
49.5260
Number
Failed
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Q3 =
Survival
Probability
0.9833
0.9667
0.9500
0.9333
0.9167
0.9000
0.8833
0.8667
0.8500
0.8333
0.8167
0.8000
0.7833
0.7667
0.7500
0.7333
0.7167
Para un tiempo
de 35.389 la
confiabilidad es
del 90%
132.9880
Standard
Error
0.0165
0.0232
0.0281
0.0322
0.0357
0.0387
0.0414
0.0439
0.0461
0.0481
0.0500
0.0516
0.0532
0.0546
0.0559
0.0571
0.0582
95.0% Normal CI
Lower
Upper
0.9509
1.0000
0.9212
1.0000
0.8949
1.0000
0.8702
0.9965
0.8467
0.9866
0.8241
0.9759
0.8021
0.9646
0.7807
0.9527
0.7597
0.9403
0.7390
0.9276
0.7188
0.9146
0.6988
0.9012
0.6791
0.8876
0.6596
0.8737
0.6404
0.8596
0.6214
0.8452
0.6026
0.8307
1-32
INTERPRETACION DE
RESULTADOS
Nonparametric Hazard Plot for tiempo
Observamos las
gráficas de las
distribuciones
empíricas de: riesgo
y confiabilidad
Empirical Hazard Function
Complete Data
1.0
Mean
98.932
0.9
Median
IQR
75.812
83.462
0.8
0.7
0.5
0.4
0.3
Nonparametric Survival Plot for tiempo
0.2
Kaplan-Meier Method-95.0% Conf idence Interv als
Complete Data
0.1
0.0
0
100
200
300
Time to Failure
1.0
Mean
98.932
0.9
Median
IQR
75.812
83.462
0.8
Las asignaciones de
probabilidades se basan sólo
en las frecuencias
observadas, y no suponen
ningún modelo especial.
Probability
Rate
0.6
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
100
200
Time to Failure
300
1-33
PUNTOS CLAVE
– tiempo de vida útil y falla
– distribución de probabilidad
– confiabilidad
– MTBF - MTTF
– tiempo de misión
– velocidad de falla
– estadística descriptiva
– distribución empírica
1-34
2. MODELOS DE
CONFIABILIDAD
Distribuciones de Probabilidad
»Exponencial
»Weibull
»Lognormal
1-35
OBJETIVO
Presentar los modelos Exponencial, Weibull y
Lognormal para la confiabilidad, sus características
principales y guías para su empleo
Puntos:
–
–
–
–
–
–
Modelos Paramétricos de Confiabilidad
Distribuciones de Probabilidad
Parámetros
Propiedades
Situaciones para modelar
Guía para elección del modelo
1-36
Modelos Paramétricos de
Confiabilidad
Distribuciones Paramétricas
• Algunas Distribuciones de Probabilidad se pueden
expresar como una función matemática de la variable
aleatoria.
• La función tiene además de la variable aleatoria,
constantes que le dan comportamientos específicos
a las distribuciones
Los parámetros definen:
•FORMA
•ESCALA
•LOCALIZACION
1-37
¿Qué hay atrás de una distribución?
•Los Parámetros definen lo que esta detrás de cada
distribución.
• Conociendo los parámetros de una distribución podemos
inferir el comportamiento de la confiabilidad
• La Forma de la distribución
• La Escala de la distribución
• La Localización de la distribución
1-38
Distribución Normal
• La Normal o Distribución Gaussiana es la distribución
más conocida
• Tiene Media = Mediana = Moda
• La Media , es también su parámetro de localización
• La PDF normal tiene forma de una campana con
simetría sobre su media
• La normal no tiene parámetro de forma. Esto significa
que la PDF normal sólo tiene una forma, “la campana”
y esta forma no cambia
• La desviación estándar , es el parámetro de escala
de la PDF normal
1-39
Distribución Normal
f( t ) 
Distribución de la Función Normal
 1 t  
exp  

  
2 
2

1

2



Función de Densidad de Probabilidad Normal
0.0140
0.0120
 = 500
 = 30
 = 50
 = 70
f(t)
0.0100
0.0080
0.0060
0.0040
0.0020
0.0000
200
400
600
Tiempo
800
1000
1-40
Distribución Normal

R (t)

 f( t )d t    ( z )d z
t
z(t)
Función de Distribución Normal donde z(t) = (t-/
y (z) = normal estandarizada pdf
Función de Confiabilidad Normal
1.000
0.800
R(t)
0.600
 = 500
 = 30
 = 50
 = 70
0.400
0.200
0.000
200
400
600
Tiempo
800
1000
1-41
Distribución Normal
Funciones de Distribución Normal
h(t ) 
 (z )
R (z )
donde (z) =normal estandarizada pdf
Función Normal de Tasa de Falla
0.2500
0.2000
 = 500
 = 30
 = 50
 = 70
h(t)
0.1500
0.1000
0.0500
0.0000
200
400
600
Tiempo
800
1000
1-42
Distribución Normal
• Distribución Normal
– Tienden a seguir una distribución normal los ciclos de falla en
componentes mecánicos sometidos a niveles altos de estrés
– Es útil si el coeficiente de variación es pequeño (<10%)
– Las propiedades de varios materiales tienden a seguir una
distribución Normal
– Las fallas a la tensión de muchos materiales estructurales
siguen una distribución Normal
– Puede representar el tiempo de falla cuando un efecto aditivo
es involucrado, i.e., el Teorema del Límite Central (CLT)
1-43
Distribución Exponencial
• El modelo exponencial, con un solo parámetro, es el más
simple de todo los modelos de distribución del tiempo de
vida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muestran:
CDF : F (t )  1  e
 lt
CONFIABILIDAD : R(t )  e
PDF : f (t )  le
1

MEDIA : m
lt
Función de Densidad de Probabilidad Exponencial
0.0035
 lt
0.0025
l
@
0.693
l
1
l
l= 0.002, MEDIA = 500
0.0020
l= 0.001, MEDIA = 1,000
0.0015
ln 2
VARIANZA :
f(t)
l
MEDIANA :
l= 0.003, MEDIA = 333
0.0030
2
0.0010
0.0005
0.0000
0
500
1,000
Tiempo
1,500
2,000
TASA DE FALLA : h (t )  l
1-44
Distribución Exponencial
R(t) = e(-lt) (Confiabilidad)
Función de Confiabilidad Exponencial
1.200
1.000
R(t)
0.800
l= 0.001, MTBF = 1,000
l= 0.002, MTBF = 500
0.600
l= 0.003, MTBF = 333
0.400
0.200
0.000
0
500
1,000
Tiempo
1,500
2,000
1-45
Distribución Exponencial
h(t) = lMEDIA (Velocidad de Falla)
Función de la Tasa de Falla Exponencial
0.004
l= 0.003, MTBF = 333
0.003
h(t)
l= 0.002, MTBF = 500
0.002
l= 0.001, MTBF = 1,000
Note que la tasa de
falla tiende a ser una
constante l para
cualquier tiempo. La
distribución exponencial
es la única que tiene
una velocidad de falla
constante
0.001
0.000
0
500
1,000
Tiempo
1,500
2,000
1-46
Distribución Exponencial
• Distribución Exponencial
– Es usada como el modelo, para la parte de vida útil de la
curva de la bañera, i.e., la tasa de falla es constante
– Los sistemas complejos con muchos componentes y
múltiples modos de falla tendrán tiempos de falla que
tiendan a la distribución exponencial
– desde una perspectiva de confiabilidad, es la distribución
más conservadora para predicción.
La forma de la exponencial
siempre es la misma
1-47
Distribución Exponencial
•
La Distribución exponencial de 2 parámetros tiene las siguientes ecuaciones:
CDF : F (t )  1  e
 l ( t g )
CONFIABILIDAD : R(t )  e
PDF : f (t )  le
l ( t g )
MEDIA : m  g 
MEDIANA : g 
VARIANZA :
 l ( t g )
1
l
ln 2
l
@g 
0.693
1
l2
TASA DE FALLA : h (t )  l
l
g es el parámetro de
localización, si es positivo,
cambia el comienzo de la
distribución por una distancia g
a la derecha del origen,
significando que las
posibilidades de falla empiezan
a ocurrir sólo después de g
horas de operación, y no
pueden ocurrir antes.
Note que la varianza y la tasa de falla son
iguales a las de la exponencial de un parámetro
1-48
Distribución Weibull
•
La distribución de
Weibull es un
modelo de
distribución de vida
útil muy flexible,
para el caso de 2
parámetros:
Donde h es un
parámetro de escala (la
vida característica) y b
se conoce como el
parámetro de forma
(pendiente) y  es la
función Gamma con
(N)=(N-1)! para N
entero
CDF : F ( t )  1  e
 t
 
h




b
DAD : R ( t )  e
CONFIABILI
PDF : f ( t ) 
b t 
b 1
 
h h 
e
 t
 
h




 t
 
h




b
b

1

MEDIA : h   1 
b 

1
MEDIANA
VARIANZA
: h ln 2  b

2   
1 
  h   1 
 
: h   1 
b   
b 

2
2
TASA DE FALLA :
b  t 
 
h b 
b 1
1-49
Distribución Weibull
Una forma más general de
3 parámetros de la Weibull
incluye un parámetro de
tiempo de espera
(localización ó
desplazamiento). Las
fórmulas se obtienen
reemplazando t por (t-g).
No puede ocurrir una falla
antes de g horas, el tiempo
comienza en g no en 0.
CDF : F ( t )  1  e
 t g
 
 h




b
DAD : R ( t )  e
CONFIABILI
PDF : f ( t ) 
b t g 

h  h
b 1


e
 t g
 
 h
 t g
 
 h








b
b

1

MEDIA : g  h   1 
b 

1
MEDIANA
VARIANZA
: g  h ln 2  b

2   
1 
  h   1 
 
: h   1 
b   
b 

2
2
TASA DE FALLA :
b t g 

h 
b


b 1
1-50
Distribución Weibull
Función de Distribución Weibull
b t
f( t )   
h h
b 1

exp 

 t 
 
  h 
b
 

 
Función de Densidad de Probabilidad Weibull
0.0030
b = 0.5
h = 1000
0.0020
f(t)
b = 1.0
h = 1000
b = 3.4
h = 1000
0.0010
0.0000
0
500
1000
1500
Tiempo
2000
2500
3000
1-51
Distribución Weibull
Funciones de Distribución Weibull

R (t) e x p  

 t  b
 
  h 
 

 
Función de Confiabilidad Weibull
1.000
b = 3.4
h = 1000
0.800
b = 1.0
h = 1000
R(t)
0.600
0.400
b = 0.5
h = 1000
0.200
0.000
0
500
1000
1500
Tiempo
2000
2500
3000
1-52
Distribución Weibull
b t 
h( t )   
h h
Funciones de Distribución Weibull
b 1
Función Tasa de Falla Weibull
0.0060
b = 3.4
h = 1000
0.0040
h(t)
b = 0.5
h = 1000
b = 1.0
h = 1000
0.0020
0.0000
0
500
1000
1500
Tiempo
2000
2500
3000
1-53
Distribución Weibull
• Distribución Weibull
– mientras la función pdf de la distribución exponencial
modela la característica de vida de los sistemas, la Weibull
modela la característica de vida de los componentes y
partes
– modela fatiga y ciclos de falla de los sólidos
– es el traje correcto para datos de vida
• La función de distribución Weibull pdf es una distribución de la
confiabilidad de los elementos de una muestra
• muy flexible y puede tomar diferentes formas
1-54
Distribución Weibull
• Tiene usted una Distribución Weibull con b=2
y h=2, ¿Cuál es la media y la varianza?

1

m  h   1 
b


varianza
2  
1 
2 
  h   1 
 
 h   1 
b   
b 

1
2
2
Archivo
Weibull.xls
3
1-55
Distribución Weibull
l
decreciente
b< 1
Fallas
tempranas
l
constante
l
creciente
b= 1
b> 1
Desgaste
Tiempo de vida útil
Las tres porciones de la curva
de tina de la bañera tienen
diferentes índices de falla.
Las fallas tempranas se
caracterizan por un índice de
falla decreciente, la vida útil
por un índice de falla
constante y el desgaste se
caracteriza por un índice de
falla creciente. La distribución
de Weibull puede modelar
matemáticamente estas tres
situaciones.
tiempo
b < 1 disminuye la tasa de riesgo, implica mortalidad infantil
b = 1 tasa de riesgo constante, fallas aleatorias
1< b < 4 aumenta la tasa de riesgo, fallas por corrosión, erosión
b > 4 aumenta rápidamente la tasa de riesgo, implica fallas por desgaste y
envejecimiento
1-56
La Distribución Weibull - Interpretación
b < 1 (Tasa de riesgo decreciente)
•Implica mortalidad infantil
•Si esto ocurre, puede existir:
-Carga, inspección o prueba inadecuada
-Problemas de Manufactura
-Problemas de reparación
•Si un componente sobrevive la mortalidad
infantil , la resistencia a fallar mejora con la
edad.
1 <b4 (Tasa de Riesgo creciente)
•Si esto ocurre
-La mayoría de los baleros y engranes
fallan
-Corrosión o Erosión
-El reemplazo programado puede ser
efectivo en costo
 b=3.44aprox. Normal, b=2Rayleigh
b = 1 (Tasa de riesgo constante)
•Implica fallas aleatorias(Distribución
Exponencial)
•Una parte vieja es tan buena como una
nueva
•Si esto ocurre:
-Mezcla de modos de falla
-Las fallas pueden deberse a eventos
externos, como:luminosidad o errores
humanos
-Fundido y removido antes de su
desgaste
b4 (La tasa de riesgo crece rápidamente)
•Implica edad avanzada y rápido desgaste
•Si esto ocurre, sospeche de:
-Propiedades del material
-Materiales frágiles como la cerámica
-Variabilidad pequeña en manufactura o
1-57
material
Distribución Weibull
•Cuando b = 2.5 la Weibull se aproxima a la
distribución Lognormal(estas distribuciones son tan
cercanas que se requieren tamaños de muestra
mayores a 50 para distinguirlas).
•Cuando se modela el tiempo que se necesita para
que ocurran reacciones químicas, se ha mostrado
que la distribución Lognormal usualmente
proporciona un mejor ajuste que la Weibull.
•Cuando b = 5 la Weibull se aproxima a una Normal
puntiaguda.
1-58
Distribución Weibull
Debido a su flexibilidad,hay pocas tasas de falla
observadas que no pueden modelarse
adecuadamente mediante la Weibull. Algunos
ejemplos son.
1.La resistencia a la ruptura de componentes o el
esfuerzo requerido para la fatiga de metales.
2.El tiempo de falla de componentes electrónicos.
3.El tiempo de falla para artículos que se desgastan,
tales como las llantas de un automóvil.
4.Sistemas que fallan cuando falla el componente más
débil del sistema(la distribución Weibull representa
una distribución de valor extremo).
1-59
Distribución Weibull
•¿Qué pasa en una distribución Weibull si el tiempo
tiene el valor de la vida característica, t = h?


R ( t )  exp  

 t
 
  h



b
 

 

si t  h


R ( t  h )  exp  

 h
 
  h



b
 
1
   e  0 . 3678
 

F ( t  h )  1  R ( t  h )  0 . 6321
Al llegar al
tiempo de vida
igual a la vida
característica el
63.2% de los
elementos habrá
fallado. Este
hecho se usa en
las gráficas para
identificar el valor
de h (eta)
Este mismo resultado se obtiene para el caso exponencial,
recordando que la Weibull se puede reducir a una exponencial cuando
b = 1.
1-60
Distribución Lognormal
• Un tiempo de falla se distribuye según una Lognormal si el
logaritmo del tiempo de falla está normalmente distribuido.
• La Distribución Lognormal es una distribución sesgada hacia la
derecha.
• La PDF comienza en cero, aumenta hasta su moda y diminuye
después.
1-61
Distribución Lognormal
• Si un tiempo t está distribuido Lognormal,
t~LN(t, t) y si Y = ln(t) entonces Y~N(y, y)
t
PDF
CDF
f (t ) 

1
t
2
y
y = ln(t)
e




2
f (y ) 
 ln( t  T 50 ) 

F (t )   


y


2

y 

 exp   y 

2 

MEDIA
 t  T 50
MEDIANA
T 50  exp(  y ) 
VARIANZA
1 y y

2   y
t
1
T 50 exp( 
2
2
y

) exp( 
2
y

2
t

2
t
1

y
2

e
1 y y

2   y
 y  y
F (y )  
 
y





2




 y  ln( T 50 )
 
)1
(z) es la CDF de la Normal estándar

y
2

t
ln  1  2

t





1-62
Distribución Lognormal
• La Distribución de vida Lognormal, como la Weibull, es un modelo
muy flexible que puede empíricamente ajustar a muchos tipos de
datos de falla. En su forma de dos parámetros tiene los
parámetros ln(t) = y parámetro de forma, y T50 = la mediana (un
parámetro de escala)
• Si el tiempo para la falla t, tiene una distribución Lognormal,
entonces el logaritmo natural del tiempo de falla (y =ln(t)) tiene
una distribución normal con media y = ln T50 y desviación
estándar y.
• Esto hace a los datos lognormales convenientes para trabajarlos
así: determine los logaritmos naturales de todos los tiempos de
falla y de los tiempos censurados (y = ln(t)) y analice los datos
normales resultantes. Posteriormente, haga la conversión a
tiempo real y a los parámetros lognormales usando y como la
forma lognormal y T50 = exp(y como (mediana) el parámetro de
escala.
1-63
Distribución Lognormal
f( t ) 
Función de Distribución
Lognormal
1
t
 1  ln ( t )  
exp  



2
2


2



donde  y  son funciones de ln’s
Función de Densidad de Probabilidad Lognormal
0.5000
0.3000
=0
=1
f(t)
0.4000
=0
 = 0.5
=1
 = 0.5
0.2000
=1
=1
0.1000
0.0000
0
1
2
3
4
Tiempo
5
6
7
1-64
Distribución Lognormal

Función de Distribución
Lognormal
R (t) 


 f( t )d t   f[ ln ( t ) ]d [ ln ( t ) ] 
t
ln ( t )
  ( z )d z
z [ ln ( t ) ]
donde z[ln(t)] = [ln(t)-/]
(z) = normal estandarizada normal pdf
Función de Confiabilidad Lognormal
1.000
=1
 = 0.5
0.800
=1
=1
R(t)
0.600
=0
=1
0.400
=0
 = 0.5
0.200
0.000
0
1
2
3
4
Tiempo
5
6
7
1-65
Distribución Lognormal
Función de Distribución Lognormal
h ( t )
f( t )
R( t)
Función Tasa de Falla Lognormal
0.7000
=0
 = 0.5
0.6000
h(t)
0.5000
=1
 = 0.5
0.4000
0.3000
0.2000
0.1000
=1
=1
0.0000
0
1
2
=0
=1
3
4
Tiempo
5
6
7
1-66
Distribución Lognormal
– Ejemplo: Dado t~LN(25,4), encuentre P(t<18)
• Calculemos los valores que nos permiten usar la tabla normal estándar
t
2
T 50   t  1 
y
2
t
2
2

t
 ln  1  2

t

y 
2
 4 
 25  1  
  24 . 68
25


2



4


  ln  1  
   0 . 02527


 25  


0 . 02527  0 . 1589
• Para poder usar las Tablas de la Normal Estándar:
– P(t<18) = P{Z<[ln(t/ T50)]/ y] = P{Z<[ln(18/24.7)]/0.159} = P(Z<-1.99) =
0.023
1-67
Distribución Lognormal
• Distribución Lognormal
– Número de ciclos de falla en la fatiga de los metales y partes
metálicas, niveles de tensión significativamente menores que sus
límites
– Representa bien el tiempo de falla de los dispositivos mecánicos,
especialmente en el caso de uso
– La resistencia de materiales frecuentemente sigue una distribución
Lognormal
– Las variables de peso son frecuentemente bien representadas con
una distribución Lognormal
– Es una buena distribución para cualquier variable
– La medida de cualquier resultado el cual es el resultado de una
proporción o efecto multiplicativo es Lognormal
1-68
Modelos Paramétricos de
Confiabilidad
• Ventajas
– Usados cuando la distribución subyacente de los tiempos de
falla se conoce o puede ser supuesta
• Datos de prueba previos
• Parámetros de industria aceptados (v.g., MIL-HDBK-217)
• Conocimiento Ingenieril del mecanismo de falla
– Tiene más poder para hacer una decisión correcta que en
las pruebas no-paramétricas
– Rinde información más precisa que los métodos noparamétricos
• Los intervalos de confianza son más amplios usando noparamétricas
– Permite extrapolar fuera del rango de los datos
1-69
Modelos Paramétricos de
Confiabilidad
• Desventajas
– El uso no apropiado del
modelo puede llevar a
conclusiones incorrectas
– Implica un conocimiento
previo del comportamiento
de los mecanismos de falla
y su efecto en la
observación estadística
– Si no se conoce nada
sobre la falla debe tenerse
cuidado en un
procedimiento para
seleccionar un modelo
adecuado.
1-70
Cuadro de Distribuciones
Modelos Comunes
de Confiabilidad
Exponencial
Weibull
b 1
  t  b  
exp      
 h  

 
Función de Densidad
de Probabilidad (pdf),
f(t)
f(t) = lexp(-lt)
Función de
Confiabilidad, R(t)

R(t) = exp(-lt) R ( t )  e x p  

Función de Tasa de
Falla, h(t)
h(t) = l
Tiempo Medio Entre
Fallas (MTBF)
T 
Parámetros
Aplicaciones
1
l
b t 
f( t )   
h  h
b
h(t)  t 
h h
T  h  (
1
b
Normal
 t  b
 
  h 
 

 
b1
 1)
 1 t   2 
f( t) 
exp   
 
 2
 2    
Lognormal
1

Rt
( ) (z)dz
z(t)
h( t ) 
( z )
 R( z )
T  media
f( t ) 
 1  ln ( t )    2 
exp  
 


2

 2

1
t

R( t ) 
 (z)dz
z[ln(t )]
f(t)
h(t)R(t)
T  exp( T ' 
1
2

2
T'
)
donde T' es la funcion
1/l= escala
sin forma
Sistema complejo
vida útil
electrónica
h = escala
b = forma, o
pendiente Weibull
b < 1, fallas infantiles
b = 1, exponencial
b > 1, desgaste
b app 3.4, app. normal
muy flexible
bien para fatiga en
componentes mecánicos
ln(t)
media = localización
= escala
media de ln’s = escala
de ln’s = forma
z(t) = (t - )/
(z) = pdf normal std.
desgaste alto
efectos aditivos (CLT)
z[ln(t)] = (ln(t) - )/
donde  = media de ln’s
 = desv. std. de ln’s
(z) = pdf normal std.
fatiga en metales
1-71
desgaste de partes mecánicas
efectos multiplicativos
Identificación de Modelos
• Debemos de elegir
cuidadosamente el modelo
apropiado de distribución de vida
– Cualquiera que sea el método usado
para escoger el modelo, debemos
verificar:
• que tenga “sentido” - por ejemplo no usar
un modelo exponencial que tiene una
tasa de falla constante para modelar una
falla de desgaste.
• Pasar las pruebas estadísticas y visuales
para ajuste de datos
1-72
Identificación de Modelos
• Gráficas, Abrir: identificación.mtw
Descriptive Statistics
•No pasa el criterio
de normalidad
Variable: T
Anderson-Darling Normality Test
A-Squared:
P-Value:
0
100
200
300
400
500
95% Conf idence Interv al f or Mu
2.339
0.000
Mean
StDev
Variance
Skewness
Kurtosis
N
101.453
101.127
10226.7
2.00837
5.38151
50
Minimum
1st Quartile
Median
3rd Quartile
Maximum
0.124
30.898
82.077
124.588
520.432
95% Conf idence Interv al f or Mu
72.713
48
58
68
78
88
98
108
118
128
138
130.193
•  =0.9966, el
coeficiente de
variación es
prácticamente 1
•Media y desviación
estándar son
iguales
•Sesgo >0
distribución sesgada
a la derecha
•Curtosis >3, tiene
más agudeza que
una normal
95% Conf idence Interv al f or Sigma
84.475
126.018
95% Conf idence Interv al f or Median
95% Conf idence Interv al f or Median
53.078
102.444
Seguir la secuencia STAT>Basic Statistics>Display Descriptive Statistics
1-73
Identificación de Modelos
• Gráficas
Abrir:
identificación.mtw
1-74
Identificación de Modelos
Four-way Probability Plot for T
No censoring
Lognormal
99
95
90
95
90
80
70
60
50
40
30
20
80
70
60
50
40
30
20
Percent
Percent
Normal
99
10
5
10
5
1
1
-100
0
100
200
300
400
500
0.1
1.0
Exponential
100.0
1000.0
Weibull
99
99
95
90
98
75
60
97
Percent
95
Percent
10.0
90
80
40
30
20
10
5
70
60
50
3
2
30
10
1
0
100
200
300
¿Cuál ajusta mejor...?
400
500
0.1
1.0
10.0
100.0
1000.0
1-75
Identificación de Modelos
El modelo
exponencial
1-76
Identificación de Modelos
Overview Plot for T
No censoring
Probability Density Function
Exponential Probability
0.010
Exponential
ML Estimates
99
Mean:
Percent
95
0.005
101.453
Fail. Rate: 9.86E-03
MTBF:
101.453
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
0.000
0
100
200
300
400
500
600
0
700
100
Survival Function
200
300
400
500
Hazard Function
1.0
0.00990
0.9
0.8
0.6
Rate
Probability
0.7
0.5
0.4
0.00985
0.3
0.2
0.1
0.0
0.00980
0
100
200
300
400
500
0
100
200
300
400
500
1-77
Ejercicio
• Ahora Usted...
• Abra los datos en distribución.mtw (los
del capítulo 1) y proponga qué modelo de
distribución los representa mejor.
–
–
–
–
Analice los datos en la columna C5
Obtenga las gráficas
Calcule los estadísticos descriptivos
Utilice algún procedimiento automatizado para
identificación de distribución
– proponga una distribución
1-78
Ejercicio
Descriptive Statistics
Variable: tiempo
Anderson-Darling Normality Test
A-Squared:
P-Value:
0
50
100
150
200
250
300
95% Conf idence Interv al f or Mu
2.346
0.000
Mean
StDev
Variance
Skewness
Kurtosis
N
98.9320
65.6671
4312.17
1.30399
1.49195
60
Minimum
1st Quartile
Median
3rd Quartile
Maximum
9.520
49.549
76.642
136.566
302.010
95% Conf idence Interv al f or Mu
81.968
60
70
80
90
100
110
120
115.896
95% Conf idence Interv al f or Sigma
55.662
80.092
95% Conf idence Interv al f or Median
95% Conf idence Interv al f or Median
61.055
98.620
1-79
Ejercicio
Four-way Probability Plot for tiempo
No censoring
Lognormal
99
99
95
90
95
90
80
70
60
50
40
30
20
80
70
60
50
40
30
20
Percent
Percent
Normal
10
5
10
5
1
1
0
100
200
300
10
100
Exponential
Weibull
99
99
95
90
98
75
60
97
Percent
Percent
95
90
80
40
30
20
10
5
70
60
50
3
2
30
10
1
0
100
200
300
400
10
100
1-80
Ejercicio
Overview Plot for tiempo
No censoring
Probability Density Function
Lognormal Probability
0.010
Lognormal
ML Estimates
99
95
Percent
90
0.005
Location: 4.38759
80
70
60
50
40
30
20
Scale:
MTBF:
10
5
1
0.000
0
100
200
300
400
500
10
600
Survival Function
100
Hazard Function
1.0
0.015
0.9
0.8
0.6
0.010
Rate
Probability
0.7
0.5
0.4
0.3
0.005
0.2
0.1
0.0
0
100
200
300
400
0
100
200
300
400
0.66066
100.066
MTB
reporta la
media y la
desviación
estándar
de los
logaritmos
de los
tiempos
1-81
Puntos Clave
• Los modelos paramétricos tienen muchas ventajas
para modelar situaciones de confiabilidad.
• Es necesario asegurar cuál es el modelo más
apropiado para modelar
• La decisión depende del conocimiento del
mecanismo de falla y la forma en que se observa.
• Las distribuciones tienen parámetros que le dan
ciertas características: forma, escala, localización.
• Recuerde siempre confirmar el modelo de
distribución a usar y ver que las propiedades
correspondan a lo conocido sobre la falla
1-82
3. DEFINICIÓN DE
PROYECTOS DE
CONFIABILIDAD
1-83
Objetivo
Propósitos:
• Conocer las herramientas utilizadas en la identificación
de proyectos de confiabilidad.
• Asegurar el control del impacto en el sistema bajo
estudio, en un proyecto de confiabilidad a través del uso
de las herramientas para la identificación de proyectos.
• Aprender de un proyecto real la secuencia e integración
de las herramientas para la identificación de proyectos de
confiabilidad.
1-84
DMAIC Y Confiabilidad
1-85
Definición
Identificar
Oportunidades: SCR,
Cambio de Proveedor,
Costos, Productividad,
Comparación
Competitiva, 6s
Diagrama de Bloques
Funcionales de Producto
Diagrama de Relaciones
de Proceso
Identificar Confiabilidad
Actual: CTQs de proceso
y producto, tiempo de
misión, condiciones de
ambiente
Establecer Metas de
Confiabilidad: Nivel de
Confiabilidad R(t), tiempo
de misión (t), Nivel de
Confianza (1-a)
Elaborar Diagramas P de
condiciones de
operación, ruidos
internos y externos
Identificación inicial de
causas y efectos de falla,
AMEF inicial, jerarquizar
Xs
Medición
Análisis
Mejora
Objetivo: determinar la
Confiabilidad y
capacidad actuales
Objetivo: determinar las
"X" vitales
Objetivo: determinar los
niveles de las "X"" vitales
Sistema de Medición,
Calibrado, Lineal,
Estable, Gage RyR <
20%
Pruebas Estadísticas:
Comparación de
Confiabilidad actual
contra propuesta:
Análisis Paramétrico,
Análisis No Paramétrico.
Diseño de experimentos
para eliminar X's.
Regresión de parámetros
Observación de tiempos
de falla o degradación de
Y
Diseño de Experimentos,
Superficie de Respuesta,
Predicciones, Regresión
de Parámetros,
Optimización de función
Diseño para
Reproducción de la falla
Medir Condición actual:
1. Datos de campo, 2.
Laboratorio de pruebas,
3. Base de Datos
Caracterizar Y, X, t:
El CTQ, las causas
posibles y el tiempo de
falla: media, dispersión,
distribución, MTBF,
parámetros, h(t), R(t), Z
Identificar los parámetros
relevantes del ruido
ambiental: Máximo,
mínimo, media,
dispersión, distribución.
Corrida de comprobación
de la mejor solución.
Verificación Estadística
Control
Determinar tipo de
observación en la
confiabilidad: 1. pruebas
terminadas a tiempo
determinado, 2. Pruebas
terminadas a número de
fallas determinado 3.
Datos por intervalo de
tiempo 4. Aceleración de
Pruebas por aumento de
carga
En pruebas aceleradas:
Validar
Transformaciones para
la regresión del factor
acelerante
AMEF definitivo, Plan de
Control, Documentación
oficial
Entrenamiento del
personal involucrado,
Documentación ISO,
Procedimientos,
Auditorías
Evaluar niveles de
capacidad y metas de
confiabilidad
comprometidas
Evaluar metas de Confiabilidad y de Capacidad de proceso.
Continuar, Modificar o Cancelar Proyecto
FIN DEL
PROYECTO
1-86
Diagrama de Bloques Funcionales
1-87
¿Qué es un Diagrama de Bloques Funcionales?
Un Diagrama de Bloques Funcionales
es una representación gráfica de los
elementos funcionales de un sistema y
sus interconexiones.
1-88
¿Para que utilizar el Diagrama de
Bloques Funcionales?
 Es el primer paso para desarrollar el modelo del sistema
y se utiliza como punto de partida en la realización de un
análisis de modo y efecto de falla (AMEF).
 Entender la relación que guardan los subsistemas entre
sí y el impacto de un cambio o más en el sistema.
 Construir gráficamente los elementos funcionales de un
sistema y sus interrelaciones, complementar con la misión
crítica que corresponde a cada elemento en el sistema.
1-89
Pasos en la construcción de un
Diagrama de Bloques Funcionales:
• 1. Defina la función del sistema.
• 2. Defina los modos de operación del sistema.
• 3. Liste los subsistemas (muestre los límites de
referencia).
• 4. Liste las funciones de los subsistemas (activas y
pasivas) para cada modo de operación.
• 5. Defina las entradas y salidas de los subsistemas.
• 6. Defina la falla crítica de los subsistemas/partes y
la interdependencia
1-90
DIAGRAMA DE RELACIONES
1-91
DIAGRAMA DE RELACIONES
Muestra las relaciones causa-efecto. De igual importancia,
es que el proceso de creación de un diagrama de
relaciones ayuda a un grupo en el análisis de los enlaces
naturales entre aspectos diferentes de un problema
complejo.
Cuando usarlo
Un tema complejo está siendo analizado por causas.
Una iniciativa compleja está siendo implementada.
Después de haber generado un diagrama de afinidad, un
diagrama de causa-efecto o un diagrama de árbol, para
explorar con mayor énfasis las relaciones de las ideas.
1-92
Determinación de Factores de Control y de Ruido
Diagrama-P
1-93
Qué es un Diagrama de Parámetros
• Es la forma esquemática en la que se presentan las
entradas, variables independientes y salidas del
proceso/producto sometido a un cambio tipo “C”, cuya
información proviene de un Diagrama de Bloques
Funcionales.
• El diagrama de parámetros bosqueja en forma sencilla y
clara los factores que afectan la salida del diseño del
producto/proceso que pueden estar bajo control o no del
diseñador/responsable de la iniciativa de confiabilidad
1-94
Para que utilizar el Diagrama de Parámetros:
 Para desarrollar el plan de pruebas de confiabilidad.
Proporciona un enfoque disciplinado para la planeación de
pruebas.
 Para asegurar que el plan de pruebas de confiabilidad
incluya las condiciones ambientales aplicables al producto,
tal que todos los modos de falla puedan ser entendidos,
considerados y cuantificados.
 Facilitar la ejecución del AMEF y el diseño de
experimentos.
1-95
MATRIZ
F
A
C
T
O
R
E
S
Q
U
E
C SI
O
N
T
R
O
L
O NO
FACTORES QUE DAN
LIBERTAD DE ACCION
DE
FACTORES
FACTORES DE
Y
POSIBILIDAD DE AHORROS
CONTROL
FACTORES POR LOS
FACTORES DE
QUE NO VALE LA PENA
RUIDO
PREOCUPARSE
NO
FACTORES
SI
QUE
AFECTAN EL PROCESO
1-96
Puntos Clave en la definición de Factores de Control y de Ruido
1. Variable de Respuesta: Es una variable observada o medida en un
experimento, algunas veces llamada variable dependiente, es la Y. La variable de
respuesta es el resultado de un experimento y es denominada como un
CTQ o una medida del desempeño del proceso.
2. Factor: algunas veces llamada variable independiente o variable causal,
es una variable que es deliberadamente cambiada o modificada en un
experimento para observar su impacto en la variable de respuesta.
3. Factor de Control. Un factor de control es aquel que puede ser controlado en la
producción regular o un parámetro que puede ser especificado en un diseño.
Ejemplo, la temperatura de la soldadura en una máquina de soldar o la dimensión
de una parte en un diseño mecánico.
4. Factor de Ruido. Un factor de ruido es aquel que el equipo técnico considera
costoso o imposible de controlar en la producción regular. Por ejemplo, las
condiciones ambientales; la humedad y temperatura son frecuentemente
considerados factores de ruido en los experimentos de mejoramiento de
procesos.
1-97
Análisis del Modo y Efecto de la Falla
1-98
Qué es el AMEF

Es una estructura para lograr:
Identificar las formas en las que un proceso puede fallar por no
reunir los requerimientos críticos del cliente
Estimar el riesgo de las causas específicas con respecto a estas
fallas
Evaluar el plan de control actual para prevenir que estas fallas
ocurran
Dar prioridad a las acciones que deberían efectuarse para mejorar
el proceso
Concepto: Identificar las formas en que puede fallar el producto, el
proceso o el servicio al proporcionar la función planeada.
—Identificar las causas posibles y eliminar las causas
—Ubicar los impactos de falla y reducir los efectos

1-99
AMEF
¿Qué hace?
• Jerarquiza los problemas en los que se debe trabajar
primero
•
Identifica las fallas en los planes de control
•
Conduce a hacer más preguntas acerca del proceso
•Ayuda a evaluar el riesgo del cambio de proceso
• Establece la prioridad de las acciones a ejecutar
1-100
AMEF
Es la herramienta clave con que cuenta un equipo para mejorar
el proceso de una manera adquisitiva (antes de que ocurra la
falla)

Empleado para dar prioridad a los recursos que aseguran
atención a los esfuerzos de mejora del proceso que son
benéficos para el cliente

Usado para documentar los cálculos de riesgo de la terminación
de los proyectos y de las mejoras resultantes

Debe ser un documento dinámico, que está siendo
continuamente revisado, corregido y actualizado

1-101
El Modelo AMEF
Prevención
Causa
Detección
Detección
Modo de la Falla
(Defecto)
Material o
Entrada de
Proceso
Paso del Proceso
Efecto
Cliente externo o
paso del proceso
con la corriente
Controles
1-102
Definición Modo de Falla
• El Modo de Falla necesita ser claramente definido en
términos de la operación realizada
• Ejemplos de Modo de Falla:
–
–
–
–
–
–
distorsión
fractura
tolerancia excedida
circuito abierto
corto circuito
descalibrado
Usar números en donde sea posible
Definir el Modo de Falla antes de la Prueba
1-103
Mecanismo de Falla
• Los
Resultados de las Pruebas estuvieron disponibles para
determinar los modos de falla
• Los modos de falla primarios son: Alambre abierto y fundido
•MLPL describe los mecanismos de la falla
MLPL
Mecanismo de la Falla
1) Oxidación del alambre
calentado, y disminución
del cromado
El mecanismo es de
degradación, corrosión química
MLPL nos dice cómo fallan los componentes
Ejemplo: Elemento Calorífico MLPL
1-104
“Acelerar” las pruebas
•El tiempo para determinar la confiabilidad a
veces no es suficiente
•Un producto con alta confiabilidad tarda
mucho en exhibir las fallas
•Es necesario determinar que tipo de carga o
esfuerzo ACELERA el modo de falla
1-105
Determinar el Mecanismo del Modo de la Falla
a ser Acelerado
Para estar seguros de acelerar todos los modos de falla, se
necesita usar más de un acelerador ( por ejemplo, voltaje,
vibración, temperatura)
Seis Sigma / Enfoque Diseño de Experimentos
85 C, 85 RH
Humedad
85 RH
85 C, 75 RH
65 RH
65 C
Temperatura
85 C
1-106
Puntos Clave
• Confiabilidad - DMAIC
• Diagrama de Bloques Funcionales
• Diagrama de Relaciones
• Diagrama de Parámetros
• AMEF
• Modo de Falla
• Mecanismo de la Falla
1-107
4. OBSERVACIÓN DE FALLAS
1-108
Objetivo: Presentar alternativas de
Análisis en función del Tipo de Datos
Propósitos:
• Clasificar el Tipo de Datos Observados
• Analizar Datos Agrupados y Datos no Agrupados
– Censurados a la izquierda
– Censurados a la derecha
– Sin Censura
– Con Tiempo de Misión establecido
– Estimación de Parámetros
• Interactuar con ReliaSoft´s Weibull++5.0 para el análisis de
datos
1-109
Recolección de Datos
La Recolección de datos es una parte
importante de todo proyecto.
Los datos representan datos de vida o datos de
tiempo de falla de los productos que
hacemos.
La exactitud de cualquier predicción es
directamente proporcional a la calidad y
exactitud de los datos recolectados.
1-110
Tipos de Datos
Cuando se examinan datos sobre la vida o duración de un producto debe
reconocerse que hay diferentes clases de ellos. En el trabajo regular del
control de calidad si se inspecciona una muestra de 10 artículos, se obtendrán
10 observaciones. Tales datos se conocen como datos completos. En pruebas
de vida, cuando una muestra de 10 se pone a prueba es muy raro que se
obtengan 10 observaciones, porque algunos de los artículos en la muestra
pueden no fallar dentro de un periodo razonable de tiempo y la prueba puede
detenerse antes de que fallen todas las unidades. Bajo estas circunstancias o
cuando se desea un análisis en una etapa intermedia antes de que se termine
la prueba, el resultado será: datos incompletos o datos censurados.
Los datos censurados pueden clasificarse en tres tipos: censurado simple
Tipo I, censurado simple Tipo II y multicensurados. Es necesario entender que
tipo de datos se tienen con el objeto de analizarlos correctamente.
1-111
Censurado simple Tipo I
Tiempo T
La figura muestra las condiciones que
generan este tipo de datos. La prueba se
detiene en un tiempo T predeterminado. Los
datos se llaman de censurado simple
porque todos los sobrevivientes se quitan
de la prueba al mismo tiempo. Cuando los
sobrevivientes tienen diferentes tiempos de
sobrevivencia, como sucede bajo ciertas
condiciones experimentales o de uso en
campo, se dice que los datos son
multicensurados.
Los datos de censurado simple Tipo I con
frecuencia se refieren como datos
censurados por el tiempo o datos truncados
por el tiempo.
Unidades
de la
muestra 1
2
3
4
5
6
= Falla
= Sobreviviente
1-112
Censurado simple Tipo II
La figura muestra las
circunstancias bajo las cuales
aparecen este tipo de datos.
La prueba es detenida tan
pronto como ocurra un número
predeterminado de fallas.
Todas las unidades
sobrevivientes tienen los
mismos tiempos de
sobrevivencia y son iguales al
tiempo de falla de la última
falla.
Tiempo
Unidades
de la
muestra
1
2
3
4
5
6
Los datos de censurado
simple Tipo II son
llamados simplemente
datos censurados por falla
o datos truncados por
falla.
= Falla
= Sobreviviente
1-113
Multicensurados
Se caracterizan por las unidades
sobrevivientes que tienen
diferentes tiempos de
sobrevivencia. Tales datos
pueden aparecer por diferentes
situaciones. La Figura muestra
un ejemplo. En ella, las unidades
1, 2 y 3 fueron vendidas al
cliente 1 y cuando se reportó la
falla de la unidad 1, las otras
estaban trabajando. Las
unidades 4, 5 y 6 fueron
vendidas al cliente 2 y cuando se
reportó la falla de la unidad 4, las
unidades 5 y 6 aun estaban
trabajando.
Tiempo
Unidades
de la
1
muestra
2
3
4
5
6
= Falla
= Sobreviviente
1-114
Multicensurados Cont.
En la Figura , de seis unidades puestas a
prueba tres fallaron en los tiempos
mostrados, pero para las otras tres los
dispositivos de prueba fallaron antes de
que fallaran las unidades. Así las
unidades tuvieron que quitarse de la
prueba en diferentes tiempos cuando los
dispositivos fallaron.
Existen muchas otras situaciones en las
cuales aparecen los datos
multicensurados. Los métodos de
análisis para tales datos, así como
también para datos de censurado
simple, incluirán la información de
aquellas unidades que no fallaron
porque estaban funcionando en el
momento en que tenían que retirarse
de la prueba. Tal información agrega
usualmente precisión o confianza en los
resultados.
Tiempo
Unidades
de la
1
muestra
2
3
4
5
6
= Falla
= Sobreviviente
1-115
Datos por Intervalo
La figura muestra donde aparecen
los datos por intervalo. Se sabe que
ciertas unidades de la muestra
fallan en ciertos intervalos de
tiempo, su tiempo exacto de falla
sigue siendo desconocido. Esto
ocurre cuando las muestras son
inspeccionadas en tiempos
específicos y son observadas sus
condiciones. Este tipo de datos
proviene tanto de pruebas de
campo como de laboratorio.
Tiempo
Unidades
de la 1
muestra
2
3
4
5
6
Es necesario aplicar el tipo de
análisis correcto para un tipo dado
de datos con el objeto de obtener
la mayor información posible de
este.
1-116
Tipos de Datos
Exacto
Tiempos de Falla (Sin Censura)
Intervalo
Tiempos de Falla con Intervalos
(Intervalos y Censura Izquierda)
Exacto
Tiempos de Falla con Suspensiones
(Censura Derecha)
Todos
Fallaron
Datos No
Agrupados
No Todos
Fallaron
Intervalo
Tiempos de Falla con Suspensiones
e Intervalos (Intervalos y Censura
Derecha Izquierda)
Exacto
Tiempos de Falla (Sin Censura)
Intervalo
Tiempos de Falla con Intervalos
(Intervalos y Censura Izquierda)
Exacto
Tiempos de Falla con Suspensiones
(Censura Derecha)
Intervalo
Tiempos de Falla con Suspensiones
e Intervalos (Intervalos y Censura
Derecha Izquierda)
Todos
Fallaron
Datos
Agrupados
No Todos
Fallaron
1-117
Tipos de Datos como se definen en Weibull++5.0
• El tipo de datos afecta el proceso de estimación de la
confiabilidad
• Es muy importante clasificar correctamente los datos de
acuerdo a su tipo:
Datos Agrupados.
Datos no Agrupados
• Datos censurados; utilizan el tiempo para fallar y tiempo
de suspensión
A la izquierda
A la derecha
• Datos por Intervalo; el tiempo de falla está basado sobre
un intervalo en el que se realiza la inspección
1-118
Sin Censura
• Veamos un ejemplo simple, que nos guiará en la situación
de Datos Sin Censura. Se realizaron pruebas de
confiabilidad a seis unidades y se observaron los
siguientes tiempos de falla: 64,46,83,123,105 y 150 horas,
nos interesa conocer;
• El tipo de distribución que modela su comportamiento.
• Estimar los parámetros.
• Gráfica de probabilidad
1-119
Censura a la Derecha
(ejemplo 2)
•Diez unidades idénticas fueron probadas para determinar su
confiabilidad a la misma aplicación y a tres niveles de operación. Seis
de esas diez fallaron durante la prueba Tj: 16,34,53,75,93, y 120.
• Las cuatro unidades restantes permanecieron operando, este es un
claro ejemplo de datos censurados a la derecha o suspendidos,
después de 120 horas.Nos interesa determinar los parámetros de la
distribución Weibull, su Función de Densidad y la Gráfica de
Probabilidad, para su interpretación.
120
tiempo
1-120
Con Censura introduciendo el concepto
Tiempo de Misión
En ocasiones nos interesa conocer la confiabilidad o la
no confiabilidad de unidades sometidas a pruebas para
un cierto tiempo de misión.
Siendo que el tiempo que se denomina de misión es una
decisión de negocio, resulta fundamental saber en que
medida los productos que fabricamos satisfacen la
decisión de negocio.
Utilizando la misma información del ejemplo 2,
preguntamos ¿Cuál es la confiabilidad de las unidades
para una duración (tiempo) de misión de 226 horas,
iniciando el tiempo de misión en el T=0 ?
1-121
Con Censura introduciendo el
concepto de Tiempo de Misión
con un valor inicial diferente de
cero
Confiabilidad Condicional
Utilizando los datos del ejemplo 2, calcular la confiabilidad
para un tiempo de misión de t = 30 horas, iniciando la
misión al tiempo T = 30 horas?
¿Cuál es el tiempo de garantía para lograr una
confiabilidad de 85%?
T = 30 horas
Inicio Tiempo de Misión
t = 30 horas
Tiempo de Misión
definida por el negocio
1-122
Función que representa la confiabilidad buscada::
R (T , t ) 
R (T  t )
R (T )
T;
tiempo de duración de la misión
t ; tiempo de inicio de la misión
ˆ ( 30 hr , 30 hr ) 
R
0 . 7077
 0 . 8218
0 . 8612
ˆ ( 30 hr ,30 hr )  82 . 18 %
R
1-123
Análisis de Datos Agrupados
El procedimiento de Análisis de Datos Agrupados se
explica a través de un ejercicio. La diferencia reside en
decir el número de estados que se presentan para cada
tiempo de falla, esta información se registra al realizar
las pruebas de confiabilidad. Dependiendo del
agrupamiento que se de a los datos será el análisis de
los mismos.
Los datos se presentan en la siguiente pantalla:
1-124
Estimación Máxima Verosimilitud
Una característica es que cada tiempo individual es
explícitamente usado en el cálculo de los parámetros,
entonces no hay diferencia en la entrada de un grupo de
10 unidades fallando a las 100 horas y 10 entradas
individuales de 100 horas. Sin embargo, si hay
incertidumbre en conocer cual es el tiempo exacto al que
las unidades fallaron, se recomienda utilizar datos por
intervalos, ejemplo 10 unidades fallaron a las 100 horas,
otras unidades fallaron entre las 100 y las 200 horas, y
otras 10 fallaron entre 200 y 300 horas.
1-125
Tabla Resumen
RRX
MLE
b
2.6885
3.6214
h
724.3180
810.2044
Los resultados muestran valores de los parámetros
muy diferentes, ¿cuáles son las implicaciones en la
confiabilidad?
1-126
¿Máxima Verosimilitud o
Mínimos cuadrados?
• ¿Qué método preferir?
• La respuesta es: depende
• Para muestras pequeñas MLE es mejor
• RR da una medida del ajuste de los datos a la distribución con
el coeficiente de correlación. Un mal ajuste alerta sobre la
posibilidad de múltiples modos de falla. Esto se puede
identificar en la gráfica lineal, cosa que en MLE es más difícil
por la forma de graficar una solución
1-127
Datos Agrupados, enfatizando su Distribución y
Función
Ejemplo 4
Fue probada la confiabilidad de 20 unidades, los tiempos de
falla son: 7 unidades fallaron a las 100 horas, 5 unidades
fallaron a las 200 horas, 3 unidades fallaron a las 300 horas,
2 unidades fallaron a las 400 horas, una unidad falló a las 500
horas, y 2 unidades fallaron a las 600 horas.
• Utilizar la distribución exponencial y estimar sus parámetros.
• Generar la Gráfica de Probabilidad Exponencial.
• Generar la Gráfica de Confiabilidad contra Tiempo de Falla
• Obtener la Gráfica de la Función de Densidad de
Probabilidad
• Obtener la Gráfica que relaciona la Tasa de Falla contra el
Tiempo
1-128
Parámetros de la Distribución Exponencial
1-129
Gráfica de
Probabilidad
Exponencial
Confiabilidad
contra tiempo
1-130
Función de Densidad
de Probabilidad
Lambda = 0.0058
Gamma = 72.68
Gráfica de Tasa de Fallas
contra Tiempo
1-131
Tiempo de falla asumiendo que los datos se aproximan a una
Distribución Normal
Ejemplo 5
Se probaron seis unidades y los tiempos de falla fueron:
11,260; 12,080; 12,125; 12,825; 13,550 y 14,760 horas, nos
interesa conocer:
• Los parámetros de la Distribución y en particular utilizar
como el método de estimación de los Parámetros Regresión
del Rango sobre la X
• Gráfica de Probabilidad para los datos.
• Gráfica de la Función de Densidad de Probabilidad
1-132
Pasos en la solución del ejemplo caracterizado
por una Distribución Normal
1. Seleccionar el
tipo de datos
2. Vaciar los datos
1-133
3. Seleccionar la
Distribución Normal
y regresión del
Rango sobre la X
para estimación de
los parámetros
4. Función
de Densidad
de la Normal
media =
12751.67
sigma=
1348.27
1-134
5. Gráfica de
Probabilidad Normal
incluyendo el
intervalo de
confianza del 90%
1-135
Datos con Censura
Ejemplo 6
Usando los datos del ejemplo 5 contestar las siguientes
preguntas:
1. Determinar la confiabilidad para un tiempo de misión de
11,000 horas y un intervalo de confianza del 90% sobre su
confiabilidad.
2. Determinar el tiempo promedio entre falla para un
intervalo de confianza del 90% sobre el MTBF
1-136
Respuesta pregunta 1
Tenemos la estimación puntual de la confiabilidad:
R(t=11,000) = 0.9031
Y la estimación de un intervalo de confianza de 90% de confianza:
P(0.5828<R(t=11,000)<0.9916) = 0.90
1-137
Respuesta pregunta 2
Requerimientos
Respuesta
Tenemos la estimación puntual de la vida media:
Vida Media= 12,751.7
Y la estimación de un intervalo de confianza de 90% de confianza:
P(11,846.1<Media<13,657.2) = 0.90
1-138
Datos por intervalo
– Considere los datos por intervalo dados a
continuación
Número en
Estado
5
16
12
18
18
2
6
17
73
Última
inspección
0.00
6.12
19.92
29.64
35.40
39.72
45.24
52.32
63.48
Estado
F
F
F
F
F
F
F
F
S
Tiempo final
de estado
6.12
19.92
29.64
35.40
39.72
45.24
52.32
63.48
63.48
Determine los
parámetros
de una
Weibull de 2
parámetros
usando MLE
y obtenga el
gráfico de la
función de
logaritmo de
verosimilitud
1-139
Beta=1.4854
Eta= 71.6904
1-140
Ventajas de los Datos con
Censura
• Es el esquema de datos más común en la práctica.
• Representan situaciones reales de confiabilidad en donde no todas
las unidades fallan, o bien no se conocen los tiempos para fallar de
todas las unidades.
• Censura a la Derecha son datos de vida de unidades que no fallaron
en el tiempo de misión establecido.
• Intervalo de Datos Censurados, se refiere a datos en donde existe la
incertidumbre del tiempo exacto en que las unidades fallaron.
• Censura a la Izquierda parecido al intervalo, en ellos el tiempo de
falla no se conoce exactamente sino hasta que se inspecciona, la
falla podría ocurrir entre 0 y 100 horas.
1-141
Puntos Clave
• Tipo de Datos Observados
• Datos Agrupados y Datos no Agrupados
– Censurados a la izquierda
– Censurados a la derecha
– Sin Censura
• Parámetros de las Distribuciones de Probabilidad:
•
- Weibull
•
- Exponencial
•
- Normal
•
- Lognormal
1-142
Puntos Clave
• Métodos de Estimación de Parámetros:
- Regresión del Rango sobre X
- Regresión del Rango sobre Y
- Método de Estimación de Máxima Verosimilitud
•Gráficas Especiales
- Función de Distribución Acumulada
- Gráfica de Probabilidad
- Función de Densidad de Probabilidad
- Tasa de Falla contra tiempo
- Confiabilidad contra tiempo
• Intervalos de confianza para la confiabilidad
1-143
5. CÁLCULOS Y PRUEBAS
DE CONFIABILIDAD
1-144
• Agenda
–
–
–
–
Introducción
Métodos No-paramétricos
Métodos Paramétricos
Planear Pruebas
1-145
- Introducción
• Tópicos cubiertos
– Pruebas de Demostración de Confiabilidad
• Resultados de pruebas
• Planeación de pruebas
– Pruebas No-Paramétricas
• Prueba de Rachas exitosas
• Prueba de Porcentaje Superviviente
• Prueba de Mann-Whitney
– Pruebas Paramétricas
• Caso Exponencial
• Caso Weibull
– Planear Pruebas
• Caso Exponencial
• Weibull sin fallas
1-146
• Tópicos no cubiertos
- Introducción
– Pruebas de Crecimiento de Confiabilidad
• v.g., Modelos Duane, Modelos Gompertz
– Pruebas Aceleradas
• v.g., HALT, HASS, Modelos Arrhenius
– Muchos otros métodos no-paramétricos
• v.g., Prueba de Rachas Wald-Wolfowitz, Pruebas
Binomial-Pearson
– Muchos otros métodos paramétricos
• v.g. Pruebas de Muerte Súbita, SPRT’s
1-147
• No-paramétricas
- No-paramétricas
– Usadas cuando la distribución subyacente de los
tiempos para falla no se conoce
• No se conocen los parámetros de la distribución o
pueden estar supuestos
• Insuficientes unidades de prueba disponibles para
determinar la distribución subyacente
– No tienen una potencia tan alta para hacer una
decisión correcta como una prueba paramétrica.
• La potencia aumenta con el tamaño de la muestra
• Pudiera ser tan potente si los datos no siguen una
distribución conocida
1-148
• Prueba de Rachas Exitosas
- No-paramétricas
– La duración de la prueba está predeterminada
– La duración de la prueba debe igualar a la
duración de la misión
• El término exitoso de la prueba proporciona una
confiabilidad para esa duración de prueba.
• El valor de la confiabilidad no puede ser determinado
para cualquier otra duración
– Los métodos presentados después intentan atender esto
– Requiere que todas las unidades sobrevivan
para la duración (no se permiten fallas)
• Todas las unidades son exitosas, de ahí el nombre de la
prueba
1-149
• Prueba de Rachas Exitosas
- No-paramétricas
– El límite inferior de confianza, de un solo lado,
para la confiabilidad es
• RL1(t) = (1-CL)1/N
– RL1(t) = límite inferior de confianza, para intervalo de un
solo lado, para la confiabilidad de una misión de duración t
– CL = nivel de confianza (en decimales, esto es, 0.90 y no
90 para un 90% de confianza)
– N = tamaño de muestra
» número de unidades probadas para una duración t sin
falla
» número de misiones exitosas terminadas por una
unidad
1-150
- No-paramétricas
• Prueba de Rachas Exitosas
– Puede negociar RL1(t), CL, y N
• Para un CL dado, RL1(t) aumenta con el tamaño de la
muestra
– Dado un requerimiento de confiabilidad para algún
tiempo y nivel de confianza especificados, la
ecuación se puede arreglar para determinar el
tamaño de muestra requerido
–
ln (1 C L )
N
ln  R L 1  t  
1-151
• Prueba de Rachas Exitosas
- No-paramétricas
– Ejemplo
• 10 tuercas fueron puestas en una prueba de vida
simulando 10 años de servicio. Todas las diez tuercas
completaron la prueba sin fallas. ¿Cuál es el límite
inferior de 90% de confianza unilateral para la
confiabilidad de estas unidades?.
– Solución
• RL1(t) = (1-CL)1/N
– N = 10
– CL = 0.90
– t = 10 años
En EXCEL Archivo Cap 5.xls
LÍMITE INFERIOR UNILATERAL DE CONFIABILIDAD
N=
10 piezas que completan prueba sin falla
CL =
0.9 valor de confianza
t=
10 años
RL1 =
0.79432823 Límite inferior unilateral de confiabilidad
• RL1(10 años) = (1-0.90)1/10 = 0.794 o 79%
– ¿Qué puede decirse acerca de la confiabilidad
para 20 años basándose en este análisis?
1-152
- No-paramétricas
• Prueba de Rachas Exitosas
– Ejemplo (continua)
• El requerimiento de confiabilidad para la tuerca
realmente fue confiabilidad de 90% en 10 años de
servicio con 90% de confianza. ¿Cuántas unidades
necesitan completar exitosamente la prueba para
demostrar el requerimiento?
– Solución
N
ln (1 C L )
ln  R L 1  t  
– RL1(10 años) = 90%, ó 0.90
– CL = 90%, ó 0.90
N
ln( 1  CL )
ln R L 1 t 

ln( 1  0 . 90 )
ln( 0 . 90 )
 21 . 85 o 22
1-153
• Prueba de Porcentaje-Superviviente- No-paramétricas
– La duración de la prueba está predeterminada
– La duración de la prueba deberá igualar a la
duración de la misión
• Completar exitosamente la prueba provee una
confiabilidad para esa duración de la prueba
• El valor de la Confiabilidad no puede ser determinado
para cualquier otra duración
– Los métodos presentados después tratarán de atender
esto.
– No requiere tiempos de falla, sólo el número de
fallas ocurrido
• Las unidades falladas no se reemplazan
1-154
• Prueba de Porcentaje-Superviviente
- No-paramétricas
– Estimado de confiabilidad para una prueba cuya
duración está predeterminada
R 
Nr
para r > 0
N
– El límite inferior de confianza, de un solo lado,
para la confiabilidad de una prueba cuya duración
está predeterminada
R L1 
1
 r 1 
1 
F
 N  r  1  ; 2 r  2 ; 2 N  2 r
donde F = punto de porcentaje superior de la distribución F
tal que el área a la izquierda con m y n grados de
libertad = (1-)
1-155
• Prueba de Porcentaje-Superviviente- No-paramétricas
Ejemplo para una prueba cuya duración está
predeterminada
• Dado que 20 motores se probaron 500 horas y 2
motores fallaron durante esta prueba, ¿Cuál es el
límite inferior de confianza 90%, de un solo lado,
sobre la confiabilidad?
R L1 
R L1 
1
 r 1 
1 
F
 N  r  1  ; 2 r  2 ; 2 N  2 r
1
 2 1 
1 
F
 2 0  2  0 .9 0 ; 2 ( 2 ) 2 ; 2 ( 2 0 ) 2 ( 2 )

1
 3 
1 
 1.9 5 
 18 
LÍMITE INFERIOR UNILATERAL DE CONFIABILIDAD (PRUEBA TERMINADA POR TIEMPO)
N=
20 piezas que completan prueba sin falla
(1 - ) =
0.9 valor de confianza
r=
2 número de piezas falladas
F(1-;2r+2;N-2r) = 1.94454941 Percentil de distrib. F tal que el área a la izquierda = (1-)
t=
500 horas
RL1 =
0.75523478 Límite inferior unilateral de confiabilidad
Rmedia =
0.9

1
1.3 2 5
 0 .7 5 5
Encontrada en tabla F
En EXCEL
Archivo
Cap 5.xls
1-156
• Prueba de Porcentaje-Superviviente
- No-paramétricas
– Ejemplo para una prueba cuya duración está
predeterminada (continuación)
• ¿Cuál sería el límite inferior de confianza 90%, de un solo lado,
sobre la confiabilidad si no se hubieran observado fallas en
esta prueba?
R L1 
R L1 
1
 r 1 
1 
F
 N  r  1  ; 2 r  2 ; 2 N  2 r
1
 0 1 
1 
F
 2 0  0  0 .9 0 ; 2 ( 0 ) 2 ; 2 ( 2 0 ) 2 ( 0 )

1
 1 
1 
  2 .4 4 
 20 

1
11
. 22
 0 .8 9 1
Encontrada en tabla F
1-157
- No-paramétricas
• Prueba de Porcentaje-Superviviente
– Estimado de confiabilidad para una prueba terminada
al momento de ocurrir la r-ésima falla
R 
Nr
N
para r > 0
– El límite inferior de confianza, de un solo lado, para la
confiabilidad de una prueba terminada al momento de
ocurrir la r-ésima falla
R L1 
1
 r 
1 
F
 N  r  1  ; 2 r ; 2 N  2 r
• donde F = punto de porcentaje superior de la distribución F tal
1-158
que el área a la izquierda con m y n grados de libertad = (1-)
• Prueba de Porcentaje-Superviviente- No-paramétricas
– Ejemplo para una prueba terminada al ocurrir la
r-ésima falla
• Dados 20 motores como antes, probados por 500
horas, pero esta vez la prueba se detiene cuando el
tercer motor falla a las 500 horas, ¿Cuál es el límite
inferior de confianza de 90%, de un solo lado, para la
confiabilidad?
R L1 
R L1 
En EXCEL
Archivo
Cap 5.xls
1
 r 
1 
F
 N  r  1  ; 2 r ; 2 N  2 r
1
 3 
1 
F
 2 0  3  0 .9 0 ; 2 ( 3 ); 2 ( 2 0 ) 2 ( 3 )

1
 3 
1 
 (1.9 6 )
 17 

1
1.3 4 6
LÍMITE INFERIOR UNILATERAL DE CONFIABILIDAD (PRUEBA TERMINADA A FALLA)
N=
20 piezas que completan prueba sin falla
(1 - ) =
0.9 valor de confianza
r=
3 número de piezas falladas
F(1-;2r+2;N-2r) = 1.95501215 Percentil de distrib. F tal que el área a la izquierda = (1-)
t=
500 horas
RL1 =
0.74349324 Límite inferior unilateral de confiabilidad
 0 .7 4 3
1-159
• Prueba de Mann-Whitney
- No-paramétricas
– Usada para determinar si dos muestras son
significativamente diferentes
• Supone que las distribuciones subyacentes de tiempo
para falla difieren sólo en sus medias
– No se requieren los tiempos exactos de falla
– Sólo se necesita saber el orden en que la muestra
combinada falló
– No requiere tamaños de muestra iguales
• Muchas pruebas de comparación no-paramétricas requieren
observaciones apareadas o tamaños de muestra iguales
1-160
• Prueba de Mann-Whitney
- No-paramétricas
– Ejemplo
• El mismo componente se surte por dos
manufactureros diferentes, llamados A y B. Se
obtuvieron 8 componentes de A y 10 de B y todos los
18 se pusieron en una prueba de confiabilidad (los
resultados están abajo). ¿Hay una diferencia entre
los manufactureros en un nivel de confianza de 95%?
Ciclos al
Ciclos al
Fallar-
Fallar-
Mfr A
Mfr B
865
919
894
840
899
787
875
831
884
905
914
835
942
878
922
887
858
896
HO : A  B
H1 : A  B
Abrir el archivo dosmfr.MTW
1-161
- No-paramétricas
• Prueba de Mann-Whitney
1-162
- No-paramétricas
• Prueba de Mann-Whitney
Mann-Whitney Confidence Interval and Test
Mfr A
N =
8
Median =
870.00
Mfr B
N = 10
Median =
891.50
Point estimate for ETA1-ETA2 is
-23.00
95.4 Percent CI for ETA1-ETA2 is (-66.99,12.00)
W = 60.0
Test of ETA1 = ETA2 vs ETA1 not = ETA2 is significant at 0.1684
Cannot reject at alpha = 0.05
1-163
• Prueba de Mann-Whitney
- No-paramétricas
– Revisión del procedimiento
• Obtenga 2 muestras y póngalas en una prueba de
confiabilidad
• Registre los tiempos de falla o al menos el orden de falla
• Capture las dos muestras en dos columnas en una hoja de
datos Minitab
• Siga la secuencia Stat>Nonparametrics>Mann-Whitney
• Señale la primera columna como la primera muestra
• Seleccione la segunda columna como la segunda muestra
• Fije el nivel de confianza deseado para la prueba
• Establezca si la hipótesis alternativa es no igual , mayor que,
menor que
• Marque OK
• En la ventana de Sesión tiene los resultados:
–
–
–
–
La prueba de hipótesis declarada
El intervalo de confianza de la diferencia de las medianas
el valor p
un mensaje que declara si se puede rechazar o no la Hipótesis nula con
alfa de 5%
1-164
• Resumen No-paramétrico
- No-paramétricas
– Prueba de Rachas Exitosas
• Usado para obtener un límite de confianza inferior unilateral
sobre la confiabilidad
• El tamaño de muestra N debe ser probado el tiempo de
duración de la misión sin fallas
– Prueba de Porcentaje-Superviviente
• Usado para obtener un límite de confianza inferior, unilateral
de la confiabilidad
• El tamaño de muestra N probado para la duración de la
misión con fallas permitidas
• Los tiempos de falla no se necesitan conocer, sólo el
número de fallas
– Prueba de Mann-Whitney
• Usada para comparar la confiabilidad de dos muestras
• Permite tamaños de muestra desiguales
• Todas las unidades probadas hasta fallar; necesita sólo el
orden de las fallas
1-165
• Paramétricas
- Paramétricas
– Usadas cuando la distribución subyacente de
los tiempos para fallar se conoce o puede ser
supuesta
• Datos de prueba previos
• Parámetros de industria aceptados (v.g., MIL-HDBK217)
• Conocimiento Ingenieril del mecanismo de falla
– Tiene más poder para hacer una decisión
correcta que las pruebas no-paramétricas
• Puede ser más incorrecta si la distribución verdadera
es diferente que la distribución, o los parámetros de
distribución supuestos.
– Rinde información más precisa que los
métodos no-paramétricos
• Los intervalos de confianza son más amplios usando
no-paramétricas
– Permite extrapolar fuera del rango de los datos
1-166
- Paramétricas
• Dos distribuciones cubiertas
– Exponencial
– Weibull
Estas dos tienen más aplicación a nuestro negocio.
1-167
- Paramétricas
• Pruebas Exponenciales
– Terminadas por Tiempo, con y sin reemplazos
• La prueba se detiene cuando td horas (ciclos) han
pasado y y no hay falla coincidente con td
» Estimación de MTBF
» Límites de Confianza de MTBF
– Terminada por Fallas, con y sin reemplazos
• La prueba se detiene cuando la falla résima ocurre
» Estimación de MTBF
» Límites de confianza de MTBF
1-168
• Pruebas Exponenciales
- Paramétricas
– Definiciones
• l= tasa de falla
• MTBF = tiempo medio entre fallas (mean time between
failures) = 1/ l
• m = estimado de MTBF
• N = tamaño de muestra
• td = duración de prueba
• Ta = horas de prueba acumuladas = Ntd
• r = número de fallas
• CL = nivel de confianza = 1 - 
– donde  es el riesgo de hacer una decisión equivocada
1-169
- Paramétricas
• Exponencial
– Pruebas terminadas por tiempo sin reemplazo
• Estimado de MTBF
r
m 
Ta

 T i  ( N  r ) td
i1
r
r
• Límite inferior de confianza, unilateral, de MTBF, mL1
m L1 @
2 rm
  ;2 r  2
2

2 Ta
  ;2 r  2
2
¿Por qué inferior, unilateral?
1-170
- Paramétricas
• Exponencial
– Pruebas terminadas por tiempo sin remplazo
• Ejemplo: Diez unidades se pusieron a prueba por 1500
horas. Las fallas ocurrieron a las 234 horas, 776, horas y
1078 horas. Las restantes 7 continuaron hasta las 1500
horas sin fallar. ¿Cuál es la estimación de m y un límite
inferior de 95% de confianza unilateral de m?.¿Cuánto
es el estimado de la confiabilidad para una misión de
500 horas? ¿Cuál es el límite inferior unilateral de 95%
de confianza para una misión de 500 horas?
r
m 
Ta
m L1 @
r
 Ti  (N  r ) td

i 1
2 rm
2
  ;2 r  2

r

2 Ta
2
  ;2 r  2

2 3 4  7 7 6  1 0 7 8  (1 0  3 )1 5 0 0
3
2 1 2 5 8 8 
2
 0 .0 5 ; 2 ( 3 )  2

25176
1 5 .5 0 7

12588
3
 4196
 1624
De tabla
1-171
• Exponencial
- Paramétricas
– Pruebas terminadas por tiempo sin remplazo
• Ejemplo (continua): ¿Cuánto es el estimado de
confiabilidad para una misión de 500 horas? ¿Cuál es el
límite inferior unilateral de 95% de confianza para una
misión de 500 horas?
• El estimado de R(t) está asociado con el estimado de
MTBF, y el límite inferior de confianza de R(t) está
asociado con el límite inferior de confianza de MTBF
– R(t) = exp(-t/m) = exp(-500/4196) = 0.888
– RL1(t) = exp(-t/mL1) = exp(-500/1624) = 0.735
Estamos 95% confiados que la confiabilidad para estas
unidades excede 73.5% para una misión de 500 horas
1-172
Abra tsinr.wdf
•Exponencial pruebas terminadas
por tiempo sin reemplazo
•Marque distribución
exponencial con un
parámetro
•Elija MLE,
estimación de
máxima verosimilitud
Marque el botón de
cálculo de
parámetros
Señale el botón de la
“Calculadora”
1-173
•Exponencial pruebas terminadas por
tiempo sin reemplazo
1
2
•Aparece la
Calculadora
•Marcar Option,
Other Calculations
3
•Deje marcado:
Show Lower Sided
•Regrese a Basic
Calculations
Señale:
Show
Confidence
Bounds
4
•Marque
Show Mean
Life
•0.95 en
Confidence
Level
•Marque
Calculate
1-174
•Exponencial pruebas terminadas
por tiempo sin reemplazo
La media se estima en 4196, con un
límite inferior unilateral de 1622.9
•Ahora marque Std Prob Calculations
•Escriba en Mission End Time: 500
Señalando en
Calculate se obtiene
una R(t) = 0.8877 y
RL1(t) = 0.7349
1-175
- Paramétricas
• Exponencial
Terminadas por Tiempo
m = Ta/r = Ntd/r
con reemplazo
2 rm
m L1 @
2
  ;2 r  2

Terminadas por Fallas
m = Ta/r = Ntd/r
2 Ta
2
  ;2 r  2
2 Ta
m L1 
2
  ;2 r
r
m 
Ta
r
r
 T i  (N  r ) td

i 1
m 
r
 T i  (N  r ) td
Ta

r
i 1
r
sin reemplazo
m L1 @
2 rm
2
  ;2 r  2

2 Ta
2
  ;2 r  2
m L1 
2 Ta
2
  ;2 r
En cualquier caso, las estimaciones se basan en las horas
totales acumuladas y el número de fallas observadas
1-176
- Paramétricas
• Exponencial
– Pruebas terminadas por tiempo con remplazo
• Ejemplo: Diez unidades se pusieron a prueba por
1500 horas. Las fallas ocurrieron a las 234 horas,
776, horas y 1078 horas. Las fallas fueron
reemplazadas con unidades idénticas. Las restantes
7 continuaron hasta las 1500 horas sin fallar. ¿Cuál
es la estimación de m y un límite inferior de 95% de
confianza unilateral de m?.¿Cuánto es el estimado de
la confiabilidad para una misión de 500 horas? ¿Cuál
es el límite inferior unilateral de 95% de confianza
para una misión de 500 horas?
• Estimación de MTBF
– m = Ntd/r = Ta/r
m L1 @
2 rm
2
  ;2 r  2

2 Ta
2
  ;2 r  2
• límite inferior, unilateral de confianza de MTBF, mL1
1-177
• Exponencial
- Paramétricas
– Pruebas terminadas por tiempo con remplazo
• Ejemplo: (continua)
• Estimación de MTBF
– m = Ntd/r = Ta/r = (10)(1500)/3 = 5000 horas
• límite inferior, unilateral de confianza de MTBF, mL1
m L1 @
2 rm
  ;2 r  2
2

2T a
  ;2 r  2
2

2 (15000 )
 1935 horas
15 . 507
donde 2;2r+2 = 20.05;2(3)+2 = 15.507
Puede verificarse en tconr.wdf
1-178
• Exponencial
- Paramétricas
– Pruebas terminadas por tiempo con reemplazo
• Ejemplo (continuación): ¿Cuánto es el estimado de
confiabilidad para una misión de 500 horas? ¿Cuál es el
límite inferior unilateral de 95% de confianza para una
misión de 500 horas?
• El estimado de R(t) está asociado con el estimado de
MTBF y el límite inferior de confianza de R(t) está
asociado con el límite inferior de confianza de MTBF
• R(t) = exp(-t/m) = exp(-500/5000) = 0.905
• RL1(t) = exp(-t/mL1) = exp(-500/1935) = 0.772
Hay una oportunidad de demostrar mayor confiabilidad
si las unidades falladas son reemplazadas
1-179
• Exponencial
- Paramétricas
– Caso especial cuando no se observan fallas
• m = Ta/r = Ta/0 = ?
• No puede estimarse MTBF o la confiabilidad correspondiente
• Puede calcular un límite inferior, unilateral, de confianza de
MTBF
m L1 @
2 rm
2
  ;2 r  2

2 Ta
2
  ;2 r  2

2 Ta
2
  ; 2 ( 0 ) 2

2 Ta
2
  ;2

Ta
 ln (1 C L )
• Puede obtener un límite inferior, unilateral de confianza de
confiabilidad
RL1(t) = exp(-t/mL1)
Consejo: Si  = 0.50, se obtuvo un estimado
1-180
• Exponencial
- Paramétricas
– Caso especial cuando no se observan fallas
• Ejemplo: Diez unidades se pusieron a prueba por 1500
horas.. Todas completaron la prueba sin falla. ¿Cuál es
la estimación de m y un límite inferior de 95% de
confianza unilateral de m?.¿Cuánto es el estimado de la
confiabilidad para una misión de 500 horas? ¿Cuál es el
límite inferior unilateral de 95% de confianza para una
misión de 500 horas?
• Aquí podemos usar CL = 50% para obtener un estimado
y un CL = 95% para obtener los límites de confianza
inferiores unilaterales
1-181
• Exponencial
- Paramétricas
– Caso especial cuando no se observan fallas
• Ejemplo (continuación): Para estimar, use el límite
inferior unilateral de confianza de MTBF, mL1, con CL =
0.50
m L1 @
m L1 @
2 rm
2
  ;2 r  2

2 Ta
2
  ;2 r  2
1 0 1 5 0 0 
 ln (1 0 .5 0 )

2 Ta
2
  ; 2 ( 0 ) 2

2 Ta
2
  ;2

Ta
 ln (1 C L )
 21640
sin fallas
Puede
verificarse en
tsinf.wdf
1-182
• Exponencial
- Paramétricas
– Caso especial cuando no se observan fallas
• Ejemplo (continuación): Para obtener el límite inferior,
de confianza unilateral de confianza de MTBF, mL1, con
CL = 0.95
m L1 @
m L1 @
2 rm
2
  ;2 r  2

2 Ta
2
  ;2 r  2
1 0 1 5 0 0 
 ln (1 0 .9 5 )

2 Ta
2
  ; 2 ( 0 ) 2

2 Ta
2
  ;2

Ta
 ln (1 C L )
 5007
1-183
• Exponencial
- Paramétricas
– Caso especial cuando no se observan fallas
• Ejemplo (continuación): Para estimar la confiabilidad y el
límite inferior, unilateral de confianza de la confiabilidad
use el mL1 apropiado
– Para estimar,
RL1(t) = exp(-t/mL1) = exp(-500/21640) = 0.977, o
estamos 50% confiados que la confiabilidad es no
menor de 0.977 para 500 horas de misión
– Para el límite inferior, unilateral de confianza ,
RL1(t) = exp(-t/mL1) = exp(-500/5007) = 0.905, o estamos
95% confiados que la confiabilidad no es menor de
0.905 para 500 horas de misión
1-184
- Paramétricas
• Dos distribuciones cubiertas
Hemos visto la
– Distribución Exponencial
Ahora, cubriremos la
– Distribución Weibull
Estas dos tienen la mayor aplicación en nuestro
negocio
1-185
• Distribución Weibull
- Paramétricas
– mientras la pdf exponencial modela las
características de vida de los sistemas, la Weibull
modela las características de vida de
componentes y partes
– modela fatiga y ciclos de falla de sólidos
– muy adecuado para datos de vida
– la pdf Weibull es una distribución de los elementos más débiles de
una muestra
– muy flexible y puede tomar muchas formas
diferentes
1-186
• Weibull
- Paramétricas
– Caso especial cuando se observaron pocas o
ninguna falla
• Es necesario suponer una Pendiente Weibull, b, para
obtener un estimador de la vida característica, h
– Aproximada de datos similares
– Por juicio de ingeniería requiriendo conocimiento del
mecanismo de falla v.g.,
» fatiga de ciclos bajos y corrosión típicamente tienen una
pendiente Weibull de 1 < b < 2
» fatiga de ciclos altos y mecanismos de desgaste rápido
típicamente tienen una pendiente Weibull 2 < b < 5
• Deben realizarse análisis con varias pendientes para
determinar la sensibilidad al supuesto de pendiente
1-187
- Paramétricas
• Weibull
– Caso especial cuando se observaron pocas o ninguna
falla
• El límite inferior, de confianza unilateral de la Vida Característica
es
1
 N b
 2  Ti


h   2i 1
   ;2 r  2


b






1
b
• Si no hay fallas, entonces


b
N td
h  

  ln (1 C L ) 
Consejo: Si  = 0.50, se obtuvo un estimado
1-188
• Weibull
- Paramétricas
– Caso especial cuando se observaron pocas o ninguna
falla
• Para obtener un límite inferior, unilateral de confianza de la
confiabilidad
– RL1(t) = exp{-(t / hL1 )b
pendiente supuesta
1-189
• Weibull
- Paramétricas
– Caso especial cuando se observaron pocas o ninguna
falla
• Ejemplo: Diez unidades se pusieron a prueba por 1500 horas.
Todas completaron la prueba sin fallar. Suponiendo que el
tiempo de falla para estas unidades sigue una distribución
Weibull con pendiente b = 1.5, ¿Cuál es el límite inferior
unilateral de 95% de confianza de h? ¿ Cuál es el límite inferior
unilateral de 95% de confianza de la confiabilidad para una
misión de 500 horas?
1
1
b

 (1 0 )(1 5 0 0 )  1. 5

b
N td
hL1  

 3350




ln
(
1

C
L
)

ln
(
1

0
.
9
5
)




1. 5
RL1(t) = exp{-(t / hL1 )b} = exp{-(500/3350)1.5} = 0.943
1-190
• Weibull
- Paramétricas
– Caso especial cuando se observaron pocas o ninguna
falla •Abrir el archivo tsinf.wdf
•Pida el análisis Weibull para dos parámetros
1-191
- Paramétricas
• Weibull
– Caso especial cuando se observaron pocas o ninguna
falla
• Ejemplo (continuación): ¿Cuánta influencia tiene el supuesto
de la pendiente?
• Supongamos una pendiente de 1.25
1
1
b

 (1 0 )(1 5 0 0

b
N td
)  1. 2 5
hL1  

 3934




ln
(
1

C
L
)

ln
(
1

0
.
9
5
)




1. 2 5
RL1(t) = exp{-(t / hL1 )b} = exp{-(500/3934)1.25} = 0.927
1-192
- Paramétricas
• Weibull
– Caso especial cuando se observaron pocas o ninguna
falla
• Ejemplo (continuación): ¿Cuánta influencia tiene el supuesto
de la pendiente?
• Supongamos una pendiente de 1.75
1
1
b

 (1 0 )(1 5 0 0

b
N td
hL1  




ln
(
1

C
L
)


  ln (1 0 .9 5 )
1. 7 5
)  1.7 5
 2987


RL1(t) = exp{-(t / hL1 )b} = exp{-(500/2987)1.75} = 0.957
1-193
- Paramétricas
• Weibull
– Caso especial cuando se observaron pocas o ninguna
falla
• Ejemplo (continuación): ¿Cuánta influencia tiene el supuesto
de la pendiente(resumen)?
RL1(500)
b=1
0.905
b = 1.25
0.927
b= 1.5
0.943
b= 1.75
0.957
b = 1 es exponencial,
más conservador
}
No mucha influencia
en este caso
Cuando no se observan fallas, se da más potencia si
se puede suponer una pendiente de Weibull > 1
1-194
- Paramétricas
• Weibull
– Caso especial cuando se observaron pocas o ninguna
falla
• Ejemplo (continuación): ¿Cuánta influencia tiene el supuesto
de la pendiente? ¿Qué pasa si yo estimo exageradamente la
pendiente Weibull, y supongo una pendiente de 3?
1
1
b

 (1 0 )(1 5 0 0 3 )  3

b
N td
hL1  
  
  2242

ln
(
1

C
L
)

ln
(
1

0
.
9
5
)




RL1(t) = exp{-(t / hL1 )b} = exp{-(500/2242)3} = 0.989
Necesita justificarse el supuesto de la pendiente Weibull, ya que un
supuesto de pendiente alta puede influir fuertemente los resultados
1-195
• Planear Pruebas para la Exponencial
- Planear Pruebas
– Use la meta de confiabilidad, Rg, igual a RL1
• Si RL1 = Rg, podemos estar CL% seguros que la R real
será al menos Rg
– Necesita determinar Ta, r, y N tales que RL1 = Rg
en el CL escogido
– Recuerde, R = exp(-t/MTBF)
• Dado Rg, MTBFg puede ser determinado
1-196
• Planear Pruebas para la Exponencial
- Planear Pruebas
– MTBFg está determinado por
• Rg = exp(-t/MTBFg)
• MTBFg = -t/ln(Rg)
Ahora, tenemos el requerimiento en una forma que
podemos usar para determinar el tiempo de prueba y
el número permisible de fallas para una prueba cuya
duración es predeterminada
m L1  M T B F g @
2 rm
2
  ;2 r  2

2 Ta
2
  ;2 r  2
2
Ta 
M T B F g(   ;2 r  2 )
2
1-197
• Planear Pruebas para la Exponencial
- Planear Pruebas
– Si no están permitidas las fallas
m L1  M T B F g @
2 rm
2
  ;2 r  2

2 Ta
2
  ;2 r  2

2 Ta
2
  ; 2 ( 0 ) 2

2 Ta
2
  ;2

Ta
 ln (1 C L )
T a  M T B F g {  ln (1 C L )}
– Permite la negociación entre tamaño de muestra y
duración de la prueba para lograr una
confiabilidad dada a una confianza dada
1-198
- Planear Pruebas
• Planear Pruebas para la Exponencial
– si no se permiten fallas
• Ejemplo: El requerimiento de confiabilidad para una
unidad es 99% confiable para una misión de 500 horas
con 95% de confianza (inferior, unilateral). Dado que no
se permiten fallas, ¿Cuántas unidades debo de probar
por cuanto tiempo para lograr este requerimiento?
• MTBFg se determina por
» Rg = exp(-t/MTBFg)
» MTBFg = -t/ln(Rg)
» MTBFg = -500/ln(0.99) = 49750
1-199
• Planear Pruebas para la Exponencial- Planear Pruebas
– si no se permiten fallas
• Ejemplo (continuación):
m L1  M T B F g @
2 rm
2
  ;2 r  2

2 Ta
2
  ;2 r  2

2 Ta
2
  ; 2 ( 0 ) 2

2 Ta
2
  ;2

Ta
 ln (1 C L )
T a  M T B F g {  ln (1 C L )}  4 9 7 5 0 {  ln (1 0 .9 5 )}  1 4 9 0 3 6
• Entonces Ntd = 149036, o N = 10 unidades cada una
probada a 14904 horas sin fallas logrará este
requerimiento
• N = 20 probadas por 7452 horas sin fallas logrará
también este requerimiento
1-200
• Planear Pruebas para la Exponencial- Planear Pruebas
– si no se permiten fallas
• Ejemplo (continuación): Si estamos limitados en el
número de unidades que podemos probar (debido a la
disponibilidad de lugar, costo o disponibilidad unitario,
etc.) a N = 8, ¿Cuánto debe correrse sin fallas para
alcanzar la meta de confiabilidad?
– Ta = Ntd = 149036
» donde N = 8
– td = 18630
1-201
• Planear Pruebas para la Exponencial
- Planear Pruebas
– Si se permite una falla
• Ejemplo (continuación): Qué pasa si permitimos una falla
durante la prueba y esta es remplazada. ¿Cuánto debe
durar la prueba?
m L1  M T B F g @
2 rm
2
  ;2 r  2

2 Ta
2
  ;2 r  2
obtenido de tabla
2
2
Ta 
M T B F g(   ;2 r  2 )
2

4 9 7 5 0 (  0 .0 5 ; 2 (1) 2 )
2

4 9 7 5 0 (9.4 8 8 )
2
 236014
• Entonces, si tenemos 20 lugares de prueba disponibles
podemos poner 20 unidades en prueba. 19 deben de ir
11800 horas sin fallas. Si ocurre una falla y es reemplazada
inmediatamente, el reemplazo debe terminar la prueba sin
falla.
1-202
• Planear Pruebas para la Exponencial
- Planear Pruebas
– Similarmente, planes de prueba pueden ser
determinados para todos los esquemas de prueba
exponenciales
– Una buena referencia es Reliability & Life Testing
Handbook Volume I, Kececioglu, pp. 133-265
– Algunos de estos planes de prueba han sido tabulados
y pueden ser hallados en MIL-HDBK 781
1-203
- Planear Pruebas
• Planear Pruebas para la Weibull sin Fallar
– Debe ser una prueba de demostración, no una prueba
de crecimiento
• Las pruebas de crecimiento deben tener fallas
– Necesario suponer una pendiente Weibull
– Aproximada de datos similares
– Por juicio de ingeniería requiriendo conocimiento del mecanismo
de falla v.g.,
» fatiga de ciclos bajos y corrosión típicamente tienen una
pendiente Weibull de 1 < b < 2
» fatiga de ciclos altos y mecanismos de desgaste rápido
típicamente tienen una pendiente Weibull 2 < b < 5
• Deben realizarse análisis con varias pendientes para
determinar la sensibilidad al supuesto de pendiente
1-204
- Planear Pruebas
• Planear Pruebas para la Weibull sin Fallar
– Recuerde la ecuación para estimar la vida
característica sin fallar
1
b


b
N td
h  

  ln (1 C L ) 
– Recuerde la ecuación de confiabilidad Weibull


R (t) e x p  


 t 
 
  h 
b



 

1-205
- Planear Pruebas
• Planear Pruebas para la Weibull sin Fallar
– Substituyendo la primera ecuación en la segunda
ecuación y solucionando para N, el tamaño de
muestra
b
 t    ln (1 C L ) 
N    

 t d    ln (R ) 
– Si la meta de confiabilidad y la confianza
requerida se substituyen, puede negociarse el
tiempo de prueba con el tamaño de muestra
1-206
- Planear Pruebas
• Planear Pruebas para la Weibull sin Fallar
– Ejemplo:
• El requerimiento de confiabilidad para una unidad es 99%
confiable para una misión de 500 horas con un 95% de
confianza (inferior, unilateral). Para este ejemplo, supongamos
que es un balero que históricamente ha tenido una pendiente
Weibull de 1.5. Dado que no se permiten fallas, ¿Cuántas
unidades debo de probar por cuanto tiempo para lograr este
requerimiento?
b
 t    ln (1 C L ) 
 500 
N    

  
 t d    ln (R ) 
 td 
1. 5
 500 
  ln (1 0 .9 5 ) 


  
 td 
  ln ( 0 .9 9 ) 
1. 5
(2 9 8 )
• Entonces , si hay 1500 horas de prueba disponibles, serían
necesarias 58 unidades para ser probadas por 1500 horas para
1-207
lograr los requerimientos
- Planear Pruebas
• Planear Pruebas para la Weibull sin Fallar
– Ejemplo (continuación):
• Qué pasa si hay sólo 25 lugares de prueba disponibles,
o sea., ¿Cuánto tiempo necesitarán las 25 ser probadas
sin fallar para lograr el requerimiento?
b
 t    ln (1 C L ) 
 500 
N    

  
 t d    ln (R ) 
 td 
td 
500
1
1. 5
 500 
  ln (1 0 .9 5 ) 


  

ln
(
0
.
9
9
)
t



d 
1. 5
(2 9 8 )
 2609
 2 5  1.5


 298 
1-208
- Planear Pruebas
• Planear Pruebas para la Weibull sin Fallar
– Ejemplo (continuación):
• ¿Cómo se compara este último resultado con un plan de
prueba usando la Prueba de Rachas Exitosas?
– Weibull sin fallar y suponiendo una pendiente de 1.5 fue 25
unidades para 2609 horas sin fallar
» sobre 65,000 horas de prueba- unidades
– Prueba de Rachas Exitosas
N
ln (1 C L )
ln  R L 1  t  

ln (1 0 .9 5 )
ln ( 0 .9 9 )
 298
– o 298 unidades probadas por 500 horas sin fallar
» sobre 149,000 horas de prueba- unidades
1-209
Resumen
• La técnica No-paramétrica puede ser rápida y fácil
– Lo bastante exacta para hacer un juicio de ingeniería
– Puede ser potente si los tamaños de muestra son
bastante grandes
– Apropiadas si nada se conoce
• Paramétricas - Exponencial
– Más potentes que las no-paramétricas
– Permiten negociar entre tamaño de muestra, CL,
número de fallas permisibles, confiabilidad
– Las unidades que fallan pueden ser reemplazadas para
aumentar el tiempo total de prueba
– La estimación más conservadora
1-210
Resumen
• Paramétricas - Weibull
– Más potentes que las no-paramétricas y que
suponer exponencial
– Necesario suponer una pendiente Weibull
• Necesita justificarse por datos previos, conocimiento de
los mecanismos de falla, etc.
– Permite negociar la duración de la prueba y el
tamaño de muestra para una confiabilidad y
confianza dadas.
– Disminuirá el tiempo total de prueba requerido
para demostrar un requerimiento
1-211
Resumen
• Planear Pruebas
– Cubiertas sólo las estadísticas de pruebas de
demostración
– Necesita asegurarse que la prueba puede duplicar
los mecanismos de falla experimentados en el
campo
• Experiencia con partes regresadas, AMEF’s, DiagramasP, etc
– Dada una prueba apropiada, necesita definir
tamaño de muestra, duración de prueba, número
de fallas permisibles, etc., que logren el
requerimiento de confiabilidad
1-212
6. PRUEBAS ACELERADAS
1-213
Objetivo:
• Propósitos:
– Presentar el concepto de prueba acelerada
– Conocer los modelos para transformar los
esfuerzos
– Uso de los paquetes estadísticos para predecir
con modelos de aceleración.
1-214
¿Para qué acelerar
las fallas?
¡Para ahorrar tiempo!
Los resistencias eléctricas forradas se requieren para durar un gran
tiempo y lograr las expectativas de los clientes. Probar las
resistencias es una buena manera de ganar la confianza de que las
partes lograrán los requerimientos, y sabemos que la información
más valiosa viene de probar hasta que falle, si una resistencia forrada
se prueba en voltaje nominal, la prueba podrá durar muchos meses.
Sin embargo, si el voltaje es elevado por encima del nominal, el
1-215
tiempo de prueba puede ser reducido.
Problema
¿Cómo correlaciona la vida de una parte
probada en un voltaje alto a la vida esperada
de la misma parte en un voltaje nominal de
uso?
1-216
Solución
Corra al menos 3 grupos en voltajes diferentes,
manteniendo el voltaje más bajo tan cercano al
nominal como sea posible
1
2
3
4
5
6
Group 1
260V
Group 2
270 V
Group 3
280V
347hrs
498hrs
601hrs
720hrs
812hrs
889hrs
97hrs
106hrs
122hrs
140hrs
167hrs
190hrs
15hrs
24hrs
30hrs
34hrs
38hrs
41hrs
Probability Plot for 260V-280V
Weibull Distribution-95.0% Conf idence Interv als
Complete Data
260V
99
270V
Percent
95
90
280V
80
70
60
50
40
30
Corra las partes para fallar y ajuste con
una ecuación paramétrica los datos de
falla.
20
10
5
3
2
1
1000
900
10
100
1000
Time to Failure
800
700
Elija un porcentaje particular de falla y
ajuste la curva de regreso a las
condiciones nominales para tener una
predicción de vida.
600
90%
500
50%
10%
400
300
200
100
0
280
270
260
1-217
Información de Falla por Prueba
Acelerada
• Sobre-esforzar a los productos para obtener
fallas “rápido” es quizás la forma más antigua
de Pruebas de Confiabilidad.
Usualmente No se
obtiene
información sobre
la distribución de
la vida
(Confiabilidad)
1-218
Información de Falla por Prueba
Acelerada
• Una prueba
acelerada que sólo
da Información de
Falla (ó Modos de
Falla), comúnmente
se llama “Prueba de
Tortura”, “Prueba de
Elefante”, “Prueba
Cualitativa”, etc.
1-219
¿Qué es una Prueba de Tortura?
• Las pruebas de Tortura se realizan sobre
muestras de tamaño pequeño y los
especímenes se sujetan a un ambiente
agresivo (niveles severos de esfuerzo)
– Si el especimen sobrevive, pasó la prueba
– Los datos de las pruebas de tortura
generalmente no pueden ser extrapolados a las
condiciones de uso
1-220
Prueba de Tortura
• Beneficios
– Aumenta la Confiabilidad por la revelación de
modos probables de falla
• Cuestiones Sin Resolver
– ¿Cuál es la Confiabilidad del Producto?
– ¿Los Modos de Falla serán los mismos que
ocurrirán durante la vida del producto bajo
uso normal?
1-221
La Aceleración por SobreEsfuerzo
Prueba de Tortura o Prueba Elefante
Prueba de Vida Acelerada
1-222
Prueba de Vida Acelerada
• La Prueba de Vida acelerada, a diferencia de
la Prueba de Tortura, está diseñada para
proveer Información de la Confiabilidad del
producto, componente o sistema
• Un Dato básico es el Tiempo para Fallar
– El tiempo para falla puede estar en cualquier
medida cuantitativa, tal como: horas, días, ciclos,
actuaciones, etc.
1-223
¿Qué es aceleración física y
como se modela?
• La Aceleración Física significa que operando
una unidad en un esfuerzo mayor se
producen las mismas fallas que ocurren con
los esfuerzos típicos de uso, excepto que
suceden mucho más rápido.
1-224
Factor de aceleración
• La falla se puede deber a la fatiga mecánica,
corrosión, reacción química, difusión,
migración, etc.
• Estos son exactamente los mismos eventos
conducentes a una falla en esfuerzos mayores
que en esfuerzos normales. Sólo cambia la
escala del tiempo.
• Un Factor de Aceleración es el multiplicador
constante entre los dos niveles de esfuerzo.
1-225
Factor de Aceleración
• Cuando hay verdadera aceleración, cambiar
los esfuerzos es equivalente a transformar la
escala del tiempo usada para registrar
cuando ocurren las fallas.
• Las transformaciones usadas comúnmente
son lineales, lo que significa que el tiempo
para fallar en un esfuerzo alto sólo tiene que
ser multiplicado por una constante (el factor
de aceleración) para obtener el tiempo
equivalente de falla en el esfuerzo de uso
1-226
Factor de Aceleración
Relaciones Lineales de Aceleración
Tiempo de Falla
Probabilidad de Falla
Confiabilidad
PDF o Función de Densidad
Tasa de Falla
tu = AF x ts
Fu(t) = Fs(t/AF)
Ru(t) = Rs(t/AF)
fu(t) = (1/AF)fs(t/AF)
lu(t) = (1/AF)ls(t/AF)
Donde:
tu: tiempo de falla en uso
Fu(t): CDF en uso
fu(t): PDF en uso
lu(t): tasa de falla en uso
AF: Factor de Aceleración
ts: tiempo de falla en esfuerzo
Fs(t): CDF en esfuerzo
fs(t): PDF en esfuerzo
ls(t): tasa de falla en esfuerzo
Cada modo de falla tiene su propio factor de aceleración. Los datos de falla deben
separarse por modo de falla cuando se analizan, si la aceleración es relevante.
1-227
Factor de Aceleración
Una consecuencia de las
relaciones lineales es que
El Parámetro de Forma para
los modelos clave de
distribución de vida
(Weibull y Lognormal) no
cambia para las unidades Las Gráficas en escala de
operando bajo diferentes
Probabilidad de los datos de
esfuerzos.
diferentes condiciones de
Probability Plot for 260V-280V
Weibull Distribution-95.0% Conf idence Interv als
Complete Data
260V
99
270V
Percent
95
90
280V
80
70
60
50
40
30
20
10
5
3
2
1
10
100
1000
Time to Failure
esfuerzo se alinearán
aproximadamente paralelas.
1-228
¿Cuáles son los modelos de
aceleración comunes?
• Los modelos de Aceleración predicen el
tiempo de falla en función del esfuerzo
Los factores de aceleración muestran como el tiempo de falla de un nivel particular
de esfuerzo (para un modo o mecanismo de falla) puede ser usado para
predecir el tiempo equivalente de falla en un nivel diferente de esfuerzo.
Un modelo que predice el tiempo de falla como función del esfuerzo debiera ser
mejor que una colección de factores de aceleración. Si escribimos tf =G(S),
donde G(S) es la ecuación del modelo para un valor arbitrario de S, entonces el
factor de aceleración entre los esfuerzos S1 y S2 puede evaluarse simplemente
por
AF = G(S1)/G(S2)
Ahora se puede probar en el nivel de esfuerzo más alto S2, obtener un número
suficiente de fallas para ajustar al modelo de distribución de vida y evaluar las
tasas de falla. Después se usa la Tabla de Relaciones Lineales de Aceleración
para predecir lo que pasará en el nivel de esfuerzo menor S1.
1-229
¿Cuáles son los modelos de
aceleración comunes?
• Los modelos de aceleración se derivan a
menudo de modelos físicos o cinéticos
relacionados al modelo de falla
Un modelo que predice el tiempo de falla como función de los esfuerzos de
operación se conoce como Modelo de Aceleración
Se presentarán varios modelos útiles:
•
•
•
•
•
•
•
Arrhenius
Eyring
Regla de Potencia Inversa para Voltaje
Modelo exponencial de Voltaje
Modelos de Dos: Temperatura / Voltaje
Modelo de Electromigración
Modelos de tres esfuerzos (Temperatura, Voltaje y Humedad)
•
Modelo Coffin-Manson de Crecimiento de Fracturas Mecánicas
1-230
Arrhenius
• El Modelo de Arrhenius predice la
aceleración de las fallas debido al aumento
de temperatura
– Uno de las primeras transformaciones y la de más éxito
para predecir como varía el tiempo de falla con la
temperatura
 H 
t f  A exp 

kT


 H
AF  exp 
 k
 1
1 



T
T
2 
 1
Donde: AF= Factor de Aceleración
T= temperatura °K (273.16+°C)
k = Constante de Boltzmann (8.617E-05 eV/K)
H = Energía de Activación
A = Constante de escala (se elimina en AF)
1-231
Arrhenius
Ejemplo
• El Factor de Aceleración AF entre
25°C y 125°C, para un producto, es
132.65 si H es 0.5 y 17,596 si H =
1.0.
1-232
Eyring
• El modelo de Eyring tiene una base teórica
en la química y en la mecánica cuántica y se
puede usar para modelar la aceleración
cuando muchos esfuerzos están involucrados
t f  AT

t f  AT

 H 
C 
exp 
  B  S 1 
T  

 kT
 H 
C
D 

exp 
  B  S 1   D 
S 2 
kT
T
T



 

Donde:T= temperatura °K (273.16+°C); k = Constante de Boltzmann (8.617E-05 eV/K)
H = Energía de Activación; A , B, C D, E= Constantes de escala;
S1 y S2 Esfuerzos diferentes
1-233
Otros Modelos
• Modelos útiles para 1, 2 o 3 esfuerzos son
modelos Eyring, los citados exitosamente son:
–
–
–
–
La Regla de Potencia (inversa) para Voltaje
El Modelo de Voltaje Exponencial
Los Modelos de Dos Esfuerzos Temperatura/Voltaje
Modelos de tres Esfuerzos (Temperatura, Voltaje ,
humedad)
– Modelo Mecánico de Crecimiento de Fisuras Coffin Manson
1-234
Otros Modelos
t f  AV
B
t f  Ae
 BV
Regla de Potencia (inversa) para Voltaje
Modelo de Voltaje Exponencial
H
t f  Ae
kT
H
V
B
H
t f  AJ
n
e
 Ae
kT
H
B
t f  Ae
V
N f  Af

T
 BV
Modelos de dos esfuerzos Temperatura/Voltaje
Modelo de Electromigración
kT
kT
e
RH
b
g
G T MAX
Modelos de tres esfuerzos
(Temperatura, Voltaje, Humedad)

Modelo de crecimiento de Fisuras Mecánicas
1-235
Datos + Distribución + Modelo = Resultado
1-236
Datos
• Los datos de vida (tiempos para falla) se obtienen de
pruebas aceleradas en laboratorio
• Obtener datos sobre los esfuerzos usados
• Obtener datos sobre los esfuerzos que el producto
encontrará bajo condiciones normales
1-237
Distribución
• Elija una Distribución
apropiada de vida
Four-way Probability Plot for C1
No censoring
– Exponencial
Lognormal
99
99
95
90
95
90
80
70
60
50
80
70
60
50
Percent
Percent
– Weibull
Normal
40
30
20
40
30
20
10
5
10
5
1
1
0
– Lognormal
1000
2000
100
1000
Exponential
99
95
90
75
60
40
30
20
99
98
97
95
Percent
Percent
10000
Weibull
90
10
5
3
2
1
80
70
60
50
30
10
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
100
1000
1-238
Elija un Modelo
• seleccione un modelo (o genere) un modelo que
describa una característica de la distribución de un
nivel a otro
Esfuerzo
de uso
¿?
Esfuerzo
alto 3
Esfuerzo
alto 2 Esfuerzo
alto 1
1-239
¿Qué Característica de la
Distribución?
• Vida Característica, Parámetro de la Distribución,
(Media, Mediana, R(t), F(t), l,b,h,,)
Probability Plot for 260V-280V
Weibull Distribution-95.0% Conf idence Interv als
Complete Data
260V
99
270V
Percent
95
90
280V
80
70
60
50
40
30
20
10
5
3
2
1
10
100
1000
Time to Failure
La Distribución Weibull con h(s) como una función del esfuerzo
1-240
Parámetros comúnmente usados
como una Función del Esfuerzo para
diferentes distribuciones de vida
• Exponencial Media o Velocidad de Falla)
• Weibull (Parámetro de Escala)
– El parámetro de forma usualmente se supone constante
• Lognormal (Ln - Media o Mediana)
– El parámetro de Ln - Desviación Estándar usualmente se
supone constante
1-241
Formar un nuevo modelo que incluya
tanto el modelo de la distribución y el
de aceleración
• Relación Weibull - Potencia Inversa:
f (t ) 
b  t 
b 1
 
h h 
h  L(S ) 
f (t , S ) 
e
 t 

 
h


b
1
K S
b
1
K S
n
n


t

1


 K S
n






b 1
e


t

1


 K S
n






b
1-242
Resultado
• Resolver para los Parámetros del Modelo
f (t , S ) 
b
1
K S
n


t

1


n
 K S






b 1
e


t

 1

n
 K S






b
•Una vez que los parámetros b, K y n son
estimados, las predicciones de vida pueden
hacerse para diferentes t y S
1-243
Estimación de Parámetros
• La estimación de parámetros puede variar de ser
trivial (con muchos datos, un solo esfuerzo constante, una
distribución simple y un modelo simple) a ser una tarea casi
imposible
– Métodos Disponibles
• Gráfico
• Mínimos Cuadrados
• MLE
1-244
¿Cómo elegir un modelo
apropiado de aceleración física?
• Elegir un modelo de aceleración física es
similar a elegir un modelo de distribución de
vida.
• Primero identifique el modo de falla y que
esfuerzos son relevantes (o sea que
acelerarán el mecanismo de falla)
• Luego verifique en literatura y otros proyectos
que le den ejemplos de un modelo particular
para este mecanismo de falla
1-245
Nivel de Cambio
• Casi todos los modelos reportados (excepto
el Coffin-Manson para fractura mecánica)
aplican a mecanismos de falla químicos o
electrónicos ya que la temperatura es casi
siempre una carga relevante para estos
mecanismos. El modelo Arrhenius es casi
siempre una parte de cualquier modelo más
general.
• El modelo Coffin-Manson trabaja bien para
para muchos mecanismos relacionados con
la fatiga mecánica
1-246
Nivel de Cambio
• Algunos modelos tienen que ser ajustados para
incluir un nivel de cambio para algunos esfuerzos o
cargas.
• La falla nunca podría ocurrir debido a un mecanismo
particular a menos que un esfuerzo (temperatura por
ejemplo) este más allá de un valor de cambio. Un
modelo para mecanismo dependiente de
temperatura con un cambio en T = T0 podría verse
como
Tiempo para falla = f(T((T-T0))
Donde f(T) pudiera ser Arrhenius. Conforme la
temperatura desciende hacia T0 el tiempo de falla
aumenta hacia infinito en este modelo
(deterministico) de aceleración
1-247
Ejemplo1
Un nuevo producto fue probado para confiabilidad. Como la vida de este
producto bajo condiciones de operación se espera que tenga más de 15,000
horas, probar bajo esas condiciones no resulta factible en el tiempo. Por esa
razón, se decidió correr una prueba acelerada. La temperatura de operación
para este producto es 323K (50°C)y la temperatura es la única variable de
aceleración.
•Se desea determinar los parámetros de una Weibull de 2 parámetros en cada
nivel de esfuerzo, usando la Regresión sobre X de los Rangos
•Estimar los parámetros para el modelo de Eyring
•Calcular la Confiabilidad de la unidad para una duración de misión de 9,000
horas, comenzando en T=0 y a temperatura de operación 323K
Abra el archivo Eyring.wdf
1-248
Ejemplo1
Una vez abierto el
archivo calcule los
parámetros de la
Weibull con 2.
Los resultados
aparecen en la
imagen.
b = 4.1598
Para separar los datos en tres conjuntos de datos diferentes
use Batch Auto Run. Este usa la columna de Identificación
para extraer los datos
Si quiere editar los encabezados haga doble clic sobre ellos.
h = 5713.99
1-249
Ejemplo1
Aparece la siguiente
Ventana, los tres
niveles de la
temperatura están
como Identificaciones
disponibles de los
subconjuntos
Ahora
seleccionamos los
tres para generar
los tres
subconjuntos, uno
para cada
temperatura
Marque Action Preferences for Subsets
También se
puede hacer
doble clic sobre
los
seleccionados,
para señalarlos
1-250
Ejemplo1
La ventana de Preferencias de Acción
para los Subconjuntos tiene como valor
previsto el Cálculo de los parámetros
para los subconjuntos seleccionados.
Marque OK, 2 veces
Se generaron tres
subconjuntos, uno para
cada identificación
Para cada uno se
calcularon los parámetros
de la Weibull de 2
Inserte una Hoja General en el Folio de Datos
1-251
Ejemplo1
Capture los
valores de los
parámetros
calculados, para
cada subconjunto,
como se muestra
Note que b
permanece
constante y solo h
cambia
En Tools>Non-Linear Equation Fit Solver se abre la
hoja para ajustar ecuaciones no lineales, ahí se
copiarán los valores de Esfuerzo y de Eta, como X y Y.
•Para Hacerlo señale con el cursor los valores y rótulos
de esfuerzo y Eta, a continuación invoque la
herramienta de ajuste de ecuaciones no lineales
1-252
Ejemplo1
En las
columnas X y
Y quedan los
datos
importados
de la hoja
Seleccione
el modelo
de Eyring de
la lista de
ecuaciones
1-253
Ejemplo1
Luego de
seleccionar el
modelo de
Eyring de la
Lista de
Ecuaciones.
Cambie los
valores de
Límite inferior,
Estimado y
Límite superior
para A y B
1-254
Ejemplo1
Los valores
para los
valores Límite
y Estimación
de A y B
deberán
quedar como
lo muestra la
figura.
Para
encontrar los
valores de A y
B marque en
Calculate
1-255
Ejemplo1
Los valores
encontrados
para A y b
están en la
columna
Solución.
Usando esos
valores se
puede
calcular Eta
para
cualquier
nivel de
Temperatura
(Esfuerzo)
Señale y copie el recuadro para pegarlo en la hoja general.
1-256
Ejemplo1
La Hoja
general
quedará como
se muestra.
Marque la
celda E17 (el
valor de A)
para definirla
como variable.
Seleccione
Edit>Define
Name... para
definir el valor
en la celda
como el valor
de A
1-257
Ejemplo1
Defina el
valor de
la celda
E17 como
el valor
de A
Escriba
dentro del
cuadro
Name: A ó B
según
corresponda
Defina el
valor de
la celda
E18 como
el valor
de B
1-258
Fórmula
de Eyring
Ejemplo1
Fórmula
en C25
•Llene las columnas A y B como se muestra, con los valores de Temperatura
•Escriba en C25 la fórmula = (1/B25)*exp(-(A-(B/B25))), Cópiela
•El valor de Eta para una Temperatura de uso de 323 es 17933.85
Ahora se calculará la Confiabilidad en un rango de 1,000 a 10,000 horas
1-259
Ejemplo1
Confiabilidad a
las 9,000 horas
En las celdas B41 y B42 ponga los valores encontrados de Beta y Eta
Llene el rango de valores en la columna A como se muestra
En la celda B47 escriba la fórmula =EXP*(-((A47/$B$42)^$B$41)), Cópiela
A las 9,000 horas en temperatura de 323K la confiabilidad es 94.69%
1-260
Análisis de vida acelerada
• El análisis de datos de vida acelerada se
efectúa por medio de regresión
• La regresión para vida acelerada construye
un modelo que predice tiempos de falla
• Las instrucciones en Regresión para
Confiabilidad en Vida Acelerada indican que
puede aceptar diferentes modelos de
distribución y admite datos censurados
• Minitab usa Máxima Verosimilitud para
estimar los parámetros del modelo
1-261
Estructura de Datos en Minitab
• Consiste de tres columnas:
– Los tiempos de falla
– Los indicadores de censura (si se necesitan)
– Las variables predictoras
• Para regresión simple con un solo predictor, es una
columna con los varios niveles de la variable acelerante.
(Temperatura)
• Para regresión con varios predictores ponga una columna
por predictor. Estas variables pueden ser tratadas como
factores, covariados, interacciones o términos anidados.
–
–
Cada columna deberá estar en tal forma que cada renglón sea una observación, o una observación con
su correspondiente en una columna de frecuencias
Las columnas de frecuencias son útiles cuando se tienen grandes cantidades de datos con tiempos de
falla o censura comunes y valores predictores iguales.
1-262
Ejemplo 2
• Suponga que Usted quiere investigar el
deterioro de un aislamiento usado para
motores eléctricos. Los motores normalmente
trabajan entre 80° y 100°C. Para ahorrar
tiempo y dinero, se decidió correr una prueba
de vida acelerada.
• Primero se obtienen tiempos de falla para el aislamiento
en temperaturas más altas - 110, 130, 150 y 170°C para acelerar el deterioro. Con esta información, se
puede extrapolar a 80° y 100°C. Se sabe que existe una
relación Arrhenius entre temperatura y falla
• Abra el archivo INSULATE.MTW
1-263
Ejemplo 2
•En C1 (Temp)
tenemos los niveles
de Temperatura
•En C4 (FailureT)
se registra el tiempo
observado
•En C5 (Censor) se
indica si el tiempo
es de falla o
censurado
•En C6 (Design)
están los valores de
uso normal
1-264
Ejemplo 2
Ponga la columna
Censor, y OK
Señale
Stat>Reliability/S
urvival>Accelera
ted Life Testing
Ponga la
columna
Design, y
OK
Ponga 80 y
Probability
Plot for
Standardized
residuals y OK
1-265
Ejemplo 2
Relation (Arrhenius) Plot for FailureT
Weibull Distribution-95.0% Conf idence Interv als
Censoring Column in Censor
Time to Failure
Con la Gráfica
de relación, se
puede ver la
distribución de
los tiempos de
falla para cada
nivel de
temperatura en este caso,
los percentiles
10, 50 y 90
10.0%
50.0%
90.0%
100000
10000
1000
70
90
110
130
150
170
Temp
El modelo de regresión estima los percentiles de la distribución del
tiempo de falla: Yp = b0 + b1X +ep
Dependiendo de la distribución, Yp=
• ln(tiempo de falla), para Weibull, exponencial, lognormal y
loglogística.
• Tiempo de falla, para normal, valor extremo, logística
donde: Yp = percentil p de la distribución del tiempo de falla
b0 = intersección en Y (constante)
b1 = coeficiente de regresión
X = valores del predictor (pueden estar transformados)
= parámetro de escala
ep = percentil p de la distribución del error
1-266
Ejemplo 2
Probability Plot for SResids of FailureT
Extreme v alue Distribution-95.0% Conf idence Interv als
Percent
Esta gráfica le
permite evaluar si
la distribución
seleccionada
ajusta a los datos.
En general, entre
más cercanos
estén los puntos
a la línea
ajustada, mejor
es el ajuste.
Censoring Column in Censor
99.9
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
3
2
1
0.1
-8
-4
0
Standardized Residuals
El valor de la distribución del error ep, depende de la distribución seleccionada
Para la Weibull y la exponencial, MTB toma el logaritmo de los datos y usa la
distribución de valor extremo
1-267
Regression with Life Data
Response Variable: FailureT
Ejemplo 2
Censoring Information
Uncensored value
Right censored value
Usted acaba de obtener una fórmula que relaciona el tiempo de falla
en función de la temperatura:
Count
66
14
Distribution: Weibull
Transformation on accelerating variable:
ln(tiempo de falla) = -15.1874 + 0.83072(ArrTemp) +0.35403ep
donde: ep = percentil (p) de la distribución estándar de valor extremo
ArrTemp= 11604.83/ (Temp + 273.16)
Arrhenius
Regression Table
Predictor
Intercept
Temp
Scale
Coef
-15.1874
0.83072
0.35403
Log-Likelihood =
Standard
Error
0.9862
0.03504
0.03221
Z
P
-15.40 0.000
23.71 0.000
95.0% Normal CI
Lower
Upper
-17.1203
-13.2546
0.76204
0.89940
0.29621
0.42313
-43.64
Table of Percentiles
Percent
50
50
Temp
80.0000
100.0000
Percentile
159584.5
36948.57
Standard
Error
27446.85
4216.511
95.0% Normal CI
Lower
Upper
113918.2
223557.0
29543.36
46209.94
La tabla de percentiles muestra los percentiles 50 para las temperaturas que se pusieron. El percentil 50
es una buena estimación de duración del aislamiento en el campo a 80°C, el aislamiento durará alrededor
de 159,584.5 horas o 18.20 años, a 100°C el aislamiento durará alrededor de 36,984.57 horas o 4.21 años
1-268
Precauciones y Peligros al
determinar el Factor de Aceleración
• Al determinar el Factor de Aceleración, tenga cuidado de ser
demasiado optimista.
– Suponer un Factor muy alto puede dar un falso sentido de
seguridad.
– Podría no tener el alto nivel de confiabilidad que Usted cree.
– Errar al detectar cambios en el modo de falla, usar el modelo
equivocado, validar mal el modelo puede resultar en un Factor de
Aceleración demasiado optimista..
• La estimación de un factor demasiado optimista, puede a su
vez resultar en la aceptación de componentes no confiables y ,
finalmente, ¡costos altos y clientes insatisfechos!
• Debemos aprender de los ejemplos anteriores para evitar esos
errores.
1-269
Proceso de 15 Pasos
Planear
la prueba
Ejecutar,
analizar,
e
implementar
la prueba
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Evaluar Costos y Beneficios de Acelerar
Determinar Función y Ambiente
Conducir / Interpretar Análisis de Modo de Falla
Determinar modo/mecanismo de falla a acelerar
Determinar como acelerar el mecanismo de falla
Determinar niveles de los esfuerzos
Seleccionar el tamaño de muestra para cada nivel de
esfuerzo
8. Determinar donde será corrida la prueba
9. Determinar el modelos de distribución y aceleración
10. Validar el sistema de medición
11. Correr la Prueba
12. Graficar e interpretar los resultados
13. Ajustar el Modelo
14. Validar el Modelo
15. Determinar el Factor de Aceleración e implantarlo
1-270
FRACAS
FAILURE REPORTING AND
CORRECTIVE ACTION SYSTEM
1-271
Objetivo
Su principal objetivo es describir cualquier modo de falla
detectado a través de las pruebas del sistema, subsistema
o componente en evaluación a todos los involucrados de
manera fácil y rápida, así como dar a conocer las acciones
correctivas por implementarse dadas por el equipo
involucrado.
Alcance
Este sistema es una herramienta únicamente para
almacenaje de registros.
1-272
REFERENCIAS
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Statistical Methods for Reliability Data, Meeker and Escobar, 1998
Handbook of Reliability Engineering and Management by Ireson,
Coombs, and Moss, McGraw Hill, 1990
Engineering Statistics Handbook, capitulo 8, en
http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/main.htm
How To Plan An Accelerated Life Test -- Some Practical Guidelines.,
Meeker and Hahn, ASQ
Reliability and Life Testing Handbook, Vols.1 y 2, Dimitri Kececioglu,
Prentice Hall, 1991
Electronic Component Reliability, Finn Jensen, Wiley, 1998
Reliability Review, ASQ
Brian Henninger’s accelerated test project
Software - Minitab version 12.2 (Minitab Inc) y WEIBULL 5.0 (Reliasoft)
Otras fuentes - Mechanical Prediction Library, Reliability Tips, Brian
Henninger, Doug Kemp, Ken Zagray, Bill Wunderlin, Alex Cambon,
University of Maryland Accelerated Testing Course - Modarres
1-273
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http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/main.htm
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Reliability and Life Testing Handbook, Vols.1 y 2, Dimitri Kececioglu, Prentice
Hall, 1991
Reliability: For Technology, Engineering, and Management, Paul Kales, Prentice
Hall, 1998
Reliability Methods for Engineers, K. S. Krishnamoorthi, ASQ 1992
Reliability Statistics, Robert A. Dovich, ASQ 1990
Software - Minitab version 12.2 (Minitab Inc) y WEIBULL 5.0 (Reliasoft)
Otras fuentes - Mechanical Prediction Library, Reliability Tips, Brian Henninger,
Doug Kemp, Ken Zagray, Bill Wunderlin, Alex Cambon, University of Maryland
Accelerated Testing Course - Modarres
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•
•
•
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Referencias
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Accelerated Testing , Wayne Nelson, Wiley, 1990
Statistical Methods for Reliability Data, Meeker and Escobar, 1998
Handbook of Reliability Engineering and Management by Ireson,
Coombs, and Moss, McGraw Hill, 1990
How To Plan An Accelerated Life Test -- Some Practical Guidelines.,
Meeker and Hahn, ASQ
Reliability and Life Testing Handbook, Vol. 2, Dmitri Kececioglu,
Prentice Hall, 1991
Electronic Component Reliability, Finn Jensen, Wiley, 1998
Reliability Review, ASQ
Brian Henninger’s accelerated test project
Software - Minitab version 12.2 (Minitab Inc) y ALTA (Reliasoft)
Otras fuentes - Mechanical Prediction Library, Reliability Tips, Brian
Henninger, Doug Kemp, Ken Zagray, Bill Wunderlin, Alex Cambon,
University of Maryland Accelerated Testing Course - Modarres
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