Docente: Cristina cano Cifuentes
Jornada Nocturna
Instituto Manizales
INTRODUCCION AL ALGEBRA
El algebra
 el algebra es una extensión de la aritmética en la cual
se desconoce el valor de una de las cantidades con las
que se opera. Es la rama de las matemáticas que
estudia estructuras, relaciones y cantidades.
 Se trabaja con las mismas reglas que en la aritmética
agregando un par de conceptos tales como las
formulas y las ecuaciones. En el Algebra se estudia los
números de el modo mas general posible.
 En el algebra los números son representados por
símbolos tales como a,b,x,y
 En el algebra se usan letras para representar números
o usamos letras para la demostración de reglas y
formulas para mostrarlo de una manera general que
es apta para cualquier numero lo que hace de estas
reglas generales para cualquier numero existente. Al
usar letras para estas formulas estamos hablando en
lenguaje algebraico o notación algebraica.
Símbolos algebraicos básicos:
 Suma
+
Resta
Multiplicación
x, ( )( ), • ,
División
÷, /
Radicación
√
Agrupación
( ), { }, [ ], ¯
Es igual a
=
Es mayor que
>
Es menor que
<
Es mayor o igual que ≥
Es menor o igual que ≤
En el caso de la multiplicación
 cuando dos letras se asume que se esta multiplicando así si
tenemos “ab” estamos diciendo que “a” esta
multiplicando a “b”, o en paréntesis (a)(b) también es “a”
por “b”. Y la división se puede expresar como una fracción
a/b.
 En general una combinación de símbolos y signos del
algebra representa a un numero y se llama una expresión
algebraica.
Ejemplo:
 5abx + 258bx – 36ay
 La parte de la expresión algebraica que no se encuentra
separada por un signo de suma o resta se llama término
 Del ejemplo anterior son
términos:
5abx; 258bx; -36ay
 Otros términos son:
4k; 3x/4mn; 5/3√y
 Todos los términos poseen un signo, un coeficiente y una
parte literal, así:
Término
-59ax
8v³
xyz
-89
Signo
+
+
-
coeficiente
59
8
1
89
literal
ax
v³
xyz
LENGUAJE ALGEBRAICO
 El lenguaje algebraico utiliza letras en
combinación con números y signos y además las
trata con números en operaciones y propiedades
se llama lenguaje algebraico.
 El lenguaje es mas preciso que el lenguaje
numérico permite expresar relaciones y
propiedades numéricas.
 Si queremos representar la mitad de un numero
seria:
X/2
 Ocho menos algún otro numero:
8-X
Para representar el doble de la suma de dos números seria:
2 (A+B)
La Resta de tres números:
A-B-C
LEY DE SIGNOS
 Par indicar las operaciones algebraicas
fundamentales (adición sustracción multiplicación y
división).
 Se emplea en general los mismos signos de aritmética
la regla de signos para multiplicar es la siguiente
 Mas por mas= a mas
 Menos por menos= a mas
 Menos por mas= a menos
 Mas por menos= a menos
SIGNOS DE AGRUPACION
 Recordemos siempre que cuando delante de
un numero no hay signo se entiende que su
signo es positivo.
 Los distintos signos de agrupación estos son
los paréntesis los corchetes y las llaves
aunque también puedan encontrarse en uso
las barras verticales.
( ) [ ] {}
 Colocar el signo positivo garantiza que las
cantidades que ingresan no reciben alteración
alguna
 Esto se lleva acabo colocando el signo
positivo delante del signo de agrupación
izquierdo y dentro se quedan los números con
su signo sin agrupación.
Términos semejantes
 Se llaman términos semejantes aquellos que tienen la
misma o las mismas literales y están elevados a la
misma potencia.
 Ejemplo:
7a² y 3a²
Son términos semejantes.
10a² y 4b
No son términos semejantes
RESTA ALGEBRAICA O SUSTRACCION
 La resta algebraica es la operación binaria que tiene
como objetivo hallar un sumando desconocido
 Se dice finalizado o completa si todos los términos
semejantes entre minuendo y sustraendo han sido
totalmente simplificados.
 Ejemplo:
-3a² 5a² = -2a²
PROPIEDAD DE CERRADURA: la resta o diferencia
de
dos polinomios dará como resultado otro polinomio.
 NO HAY PROPIEDAD CONMUTATIVA: el orden de
minuendo y sustraendo si altera el resultado de la RESTA.
 Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A-B¹BA
 NO HAY PROPIEDAD ASOCIATIVA: la resta solo puede
hacerse entre dos polinomios
Suma o adición algebraica
 La suma algebraica es la operación binaria que tiene
como objetivo el reunir dos o mas sumas
(expresiones algebraicas) es una sola expresión
llamada suma o adición
 Se dice finalizada la operación cuando todos los
términos semejantes han sido simplificados
correctamente.
 PROPIEDAD DE CERRADURA.
 La suma de dos o mas polinomios dará como
resultado otro polinomio
 PROPIEDAD CONMUTATIVA.
 El orden de los sumandos no afecta el resultado de la
suma sean a y b dos polinomios entonces se cumple
que.
A+B= AB.
PROPIEDAD ASOCIATIVA: sean A,B,C entonces será.
(A+B)+C = A+(B+C)
PROPIEDAD NEUTRO O ADITIVO:
Al sumarse con otro polinomio no lo altera este
neutro es el 0 sean A y 0 se cumple.
A+0 = A
PROPIEDAD INVERSO ADICTIVO:
sean A y –A polinomios que son inversos aditivos
entre si entonces será.
A + (-A) = 0
MULTIPLICACION
 Para la multiplicación algebraica se mantienen las
mismas leyes que para la multiplicación aritmética, las
cuales son el producto de dos o más potencias de la
misma base es igual a la base elevada a la suma de las
potencias.
 (xm) (xn) = xm + n
 el coeficiente del producto de dos o más expresiones
algebraicas es igual al producto de los coeficientes de
los factores.
 (4x) (5y) = 4 · 5 · x · y = 20xy
 La multiplicación también cumple la propiedad
asociativa, que consiste en que, para tres números
cualquiera x, y, z, se cumple:
 (x·y)z = x(y·z) En la notación algebraica, los paréntesis
indican que las operaciones dentro de los mismos deben
ser realizadas con preferencia a cualquier otra
operación.
 Por ejemplo:
 (8×3)×2 = 8×(3×2) 24×2 = 8×6 48 = 48
MULTIPLICACION DE MONIMIOS
 Se le llama multiplicación de monomios a la
multiplicación de un solo término por otro término
 Reglas:
 Se multiplica él termino del multiplicando por él termino
del multiplicador.
 Se suman los exponentes de las literales iguales.
 Se escriben las literales diferentes en un solo término
resultado.
 Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los
signos vistas anteriormente.
 Propiedad distributiva
 La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad
distributiva con la suma, porque:
 x.(y + z) = x.y + x.z Asimismo:
 (x + t).(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz
9x(3+5)= (9x3)+(9x5)27+45=72
 Elemento neutro
 Es de interés saber que cualquier número multiplicado
por 1 es igual a sí mismo.
 Ejemplo: 1·x = x
 es decir, la multiplicación tiene un elemento neutro que
es el 1
MULTIPLICACION DE
POLINOMIOS
 Multiplicación de monomios con polinomios
 Se le llama multiplicación de monomios con polinomios cuando
un solo factor se encuentra multiplicando a un polinomio
 Reglas:
 Se multiplica el término del monomio por cada término del
polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales.
 Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas
anteriormente
 Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.
Multiplicación de un número por un polinomio
 Propiedad conmutativa
 Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas
propiedades interesantes de la multiplicación. Como
indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se
multiplican dos números es irrelevante, lo que se
conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en
general para dos números cualquiera

x e y: x·y = y· x
MULTIPLICACION SUCECIVAS
Producto continuado de polinomios.
Es cuando son más de dos los polinomios a multiplicar.
Procedimiento
Se efectúa la multiplicación de dos factores cualquiera
Se multiplica el resultado de la operación anterior con el tercer
factor y así se sigue sucesivamente.
 Ejemplo
z(5 – z)(z + 2)(z - 9)
 Lo desarrollaremos de dos maneras
 Primera forma (factor por factor)





 Supresión de signos de agrupación con productos
indicados
 Cuando un signo de agrupación tenga coeficiente que
no sea 1 (que se sobreentiende si no tiene
coeficiente), hay que multiplicar todos los términos
encerrados en ese signo de agrupación por ese
coeficiente, aplicando siempre la regla de los signos y
se suprime dicho signo de agrupación.
 Ejemplo
 -(x + y)[-3(a + 3b + 7)] = (- x - y)(- 3a - 9b - 21)
DIVISION ALGEBRAICA
 Es la operación que tiene por objeto, dado el
producto de dos factores dividendo y uno de los
factores divisor encontrar otro factor llamado
cociente:
 D=d·C
 Donde:

D es el Dividendo (producto de los factores
“d” y “C”)
d es el divisor (factor conocido)
C es el cociente (factor desconocido)
REGLAS PARA DIVIDIR
 Si el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos
es impar, de lo contrario es positivo.
 PARA LOS COEFICIENTES
 el coeficiente del cociente es el cociente de dividir el
coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.
mx ÷ nxy = (m ÷ n)(x ÷ xy)
PARA LAS POTENCIAS : la división de dos o más potencias de
la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de las
potencias. resulta útil y cómodo colocar la división como una
expresión fraccionaria.
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