Aritmetización
de las áreas
LA FÓRMULA DE HERÓN
O como convertirte en un(a) agrimensor(a)
Conceptos…
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada
en unidades de medida denominadas Unidades de Superficie.
Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier
superficie plana de lados rectos (polígonos) se puede triangular y se
puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos.
Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de
superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico
en sí mismo (superficie como variedad bidimensional) y la magnitud
métrica (área) asociada al concepto geométrico.
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere
introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un
concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor
métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está
dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura
métrica natural inducida por la métrica euclídea.
… y disquisiciones.
Conviene diferenciar entre:
SUPERFICIE es una variedad bidimensional del espacio n-dimensional.
De forma más llana: aquello que sólo tiene longitud y anchura.
EXTENSIÓN es una propiedad de las superficies cerradas que permite
compararlas unas con otras. Es, pues, medible.
ÁREA es la medida de la extensión de una superficie cerrada, y su valor
depende de la unidad de medida elegida.
MEDIR es comparar la cantidad desconocida que queremos determinar
y una cantidad conocida de la misma magnitud, que elegimos como
unidad, para determinar cuántas veces la contiene.
Al resultado de medir se le denomina MEDIDA.
Dos figuras son EQUIVALENTES si tienen la misma área.
Historia de un LOGRO
La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la
región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad.
En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los
campos, surge la necesidad de calcular el área de cada parcela
agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios
inventaron la geometría, según Heródoto.
El manera de calcular el área de un polígono como la suma de las
áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera
vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C.
Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de
agotamiento consiste en inscribir y circunscribir polígonos en la
figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos
y hallar el área buscada. Con este sistema que se conoce
como método exhaustivo de Eudoxo, se consiguió obtener una
aproximación para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue
empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros
problemas similares, así como el cálculo aproximado del número π.
Unidad de Medida de Superficies
Para ESTABLECER una unidad de medida hay que determinar su:
FORMA: tiene que teselar (llenar sin huecos) la superficie, en este
caso (para simplificar) plana.
Entre las muchas formas que llenan el plano
escogemos la cuadrada porque queremos.
TAMAÑO: nuestro Sistema de Medida es Métrico
y Decimal. Es decir, se basa en el metro, por
eso es natural tomar la unidad de superficie
de un metro de lado.
1m
NOMBRE: cuadrada y de un metro de lado, pues Metro Cuadrado,
cuyo símbolo es m2.
El proceso de la MEDIDA…
Medir el área de una
fígura es contar
cuántas unidades
de superficie
contiene.
Pero este proceso
resulta muy
complicado en casi
todas las ocasiones,
así que vamos a
deducir FÓRMULAS
que nos permitan
CALCULAR el área
de una figura a
partir de sus
‘dimensiones’
…de Figuras Planas Cerradas.
En el plano se puede distinguir entre una infinidad de figuras que
tienen formas, tamaños y posiciones particulares sobre un plano.
Podemos diferenciar entre las figuras de una sola dimensión llamadas
curvas y las de dos dimensiones. El término curva no se define y se
usa para describir figuras en el plano.
En las curvas podemos distinguir entre las curvas abiertas, las curvas
cerradas, las curvas cerradas simples y las curvas cerradas no
simples. Una curva es abierta si se traza de forma continua y su punto
inicial es distinto de su punto final. Las curvas cerradas son aquellas
que se trazan de forma continua y su punto inicial es igual a su punto
final.
Una curva simple abierta es aquella que su trazado es continuo, no
tiene puntos de intersección y sus puntos inicial y final son diferentes.
Si una curva tiene al menos un punto de intersección decimos que es
una curva no simple.
Un polígono es una curva simple cerrada compuesta por segmentos
consecutivos de líneas rectas. Los segmentos de línea se llaman lados
y los puntos de intersección de los segmentos se llaman vértices. Los
nombres de los polígonos se asignan de acuerdo al número de lados
de la figura. Un polígono de n lados se llama n-ágono.
Estrategia: SIMPLIFICAR
Una vez que hemos definido una Unidad de Medida (m2) y un
Proceso de la Medida (contar), vamos a aplicarlo a ‘figuras simples’
B
A
C
El proceso de CONTAR sólo es válido para figuras en las que
la unidad de medida ‘encaja bien’. Es decir, en rectángulos
… y sacar CONCLUSIONES
En este caso,
al MEDIR la
longitud de los
lados
CONTAMOS
cuántas
unidades de
medida caben
a lo largo y
cuantas caben
a lo ancho.
4 cm
6 cm
De donde se deduce que para calcular el área de un
rectángulo basta multiplicar largura x anchura.
La Aritmetización de las Áreas…
A partir de aquí el
proceso de
CONTAR ya no es
tan inmediato.
Lo mejor es
cambiar de
TÉCNICA y
TRANSFORMAR
las figuras en
otras
equivalentes o
CONGRUENTES,
siempre a un
rectángulo.
Veamos como.
B
A
C
E
D
… consiste en deducir FÓRMULAS
Paralelogramo
Área  b  h
h
b
Triángulo
Área 
bh
h
2
b
… y más FÓRMULAS…
Rombo
Área 
D
D d
d
2
Trapecio
Área 
Bb
2
b
h
B
h
B
b
…hasta GENERALIZAR el resultado
Polígono regular
Área 
Perímetro  Apotema
2
apotema
lado
Polígono irregular
Área 
 Área
Triángulos
Tenemos que encontrar una fórmula que nos
permita calcular el área de un triángulo
sabiendo la longitud de los lados
La Fórmula de Herón…
En geometría, la fórmula de Herón relaciona el área de un triángulo en términos
de las longitudes de sus lados a, b y c:
donde s es el semiperímetro del triángulo:
La fórmula también puede escribirse de las siguientes formas:
La fórmula de Herón se distingue de otras fórmulas para hallar el área de un
triángulo, como la de la mitad de la base por la altura o la de la mitad del módulo
de un producto cruz de dos lados, al no requerir ninguna elección arbitraria de
un lado como base o un vértice como origen.
… tiene una Historia.
La fórmula se le atribuye a Herón de Alejandría, y se puede
encontrar una prueba en su libro, Métrica, escrito en el 60 d.C. Se
ha propuesto que Arquímedes ya sabía la fórmula dos siglos antes,
y puesto que Métrica es una colección de los conocimientos
matemáticos disponibles en el mundo antiguo, es posible que la
fórmula preceda a la referencia que figura en dicho trabajo.
A saber, una fórmula equivalente a la de Herón:
, donde
fue descubierta por los chinos, independientemente de los griegos.
Fue publicada en Shushu Jiuzhang ("Tratado matemático en nueve
secciones"), escrito por Qin Jiushao y publicado en el año 1247.
La DEMOSTRACIÓN de la Fórmula…
b
c
h
2h
a
2a
Dado un triángulo cualquiera de lados a, b y c, tomemos la
altura h sobre a. Esto nos permite montar la siguiente figura.
…utiliza el Teorema de Pítagoras…
m
h
2b
2h
a
A
ah
2

a  2h
4

a
4
4a b  a m
2
4b  m
2
2

2
16
2
2
…para eliminar h de la fórmula mediante…
4a b  a m
2
A
2
2
( 2 ab  am )( 2 ab  am )
2

16
16
( 2 h )  ( 2b )  ( m )
2
2
2
(2h)  (2c)  (2a  m )
2
2

2
( 2b )  ( m )  ( 2 c )  ( 2 a  m )
2
2
2
 am  a  b  c
2
2
2
2 ab  am  2 ab  a  b  c  c  ( a  b )  ( c  a  b )( c  a  b )
2

2
2
2
2
2 ab  am  2 ab  a  b  c  ( a  b )  c  ( a  b  c )( a  b  c )
2
2
2
2
2
2
…adecuadas manipulaciones algebraicas.
a h
A

a  2h
2

a

4
4b  m
2
2

4
4a b  a m
2

2
2
2
16
A
( 2 ac  am )( 2 ac  am )
16

( a  b  c ) ( a  b  c ) ( a  b  c ) (b  c  a )
2
2
2
2
Obteniendo, así, la ansiada fórmula …
A
( a  b  c ) ( a  b  c ) ( a  b  c ) (b  c  a )
2

2
2

2
(a  b  c ) (a  b  c  2 a ) (a  b  c  2b ) (a  b  c  2c )
2
2

2

2
s ( s  a )( s  b )( s  c )
donde
s
abc
2
es el semiperímetro
Cuya importancia radica en que es una fórmula que sólo depende
de la longitud de los lados, fáciles de medir en todas las ocasiones.
…que es un CASO PARTICULAR.
La fórmula de Herón es un caso particular de la fórmula de
Brahmagupta para el cálculo del área de cuadriláteros inscritos
en una circunferencia; y ambas son casos particulares de
la fórmula de Bretschneider para calcular área de un cuadrilátero.
Expresando parte de la fórmula de Herón (sólo los términos
internos a la raíz) de forma matricial dentro de un determinante
(determinante de Cayley-Menger) en términos de cuadrados
de distancias de los tres vértices dados (más precisamente, el
valor absoluto del determinante), obtenemos:
Donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo
y A será el área del mismo.
Figuras planas cerradas no poligonales
Un círculo, en geometría euclídea, es el lugar geométrico de
los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo,
llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante,
llamada radio. En otras palabras, es la región del plano delimitada
por una circunferencia y que posee un área definida.
En castellano, la palabra círculo tiene
varias acepciones, y se utiliza
indistintamente círculo por
circunferencia, que es
la curva geométrica plana, cerrada,
cuyos puntos son equidistantes del
centro, y sólo posee longitud (es decir,
el perímetro del círculo)
Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse
la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie).
Área del CÍRCULO
El área de un círculo se deduce
sabiendo que la superficie interior de
cualquier polígono regular es igual a la
mitad del producto entre la apotema y
el perímetro de este polígono, es
decir:
Si se considera la circunferencia como
el polígono regular de infinitos lados,
entonces la apotema coincide con el
radio de la circunferencia y el perímetro
con la longitud de la circunferencia. Por
tanto el área interior es
Como ‘superficie triangular’
Si en un círculo desplegamos todos sus anillos circulares, y los
consideramos como rectángulos, se forma un triángulo
rectángulo de altura r y base 2πr (siendo la longitud de la base
la de la circunferencia perimetral)
EQUIVALENTES o CONGRUENTES
r
2πr
El área A de este triángulo de altura r, será:
En RESUMEN, lo logrado es:
Unidad CUADRADA
A=a.b
Fórmula de Herón
A
s ( s  a )( s  b )( s  c )
TRIANGULACIÓN
EXHAUCIÓN
SUMA
RESTA
Para seguir avanzando…
Como hemos visto, en geometría elemental se deducen fórmulas para las
área de muchas figuras planas, pero un poco de reflexión hace ver que
raramente se da una definición aceptable de área. El área de una región
se define a veces como el número de cuadrados de lado unidad que
caben en una región, pero por ejemplo el círculo de radio unidad tiene
por área el número irracional π, pero no está claro cual es el significado
de π cuadrados. En general se tiene la percepción intuitiva de que una
región contenida dentro de una curva cerrada posee un "área" la cual
mide el número de unidades cuadradas dentro de la curva. Las propiedades básicas del área que la intuición sugiere son:
1. El área es un número (positivo, dependiente de la elección de la unidad
de longitud)
2. Este número es el mismo para figuras congruentes o equivalentes.
3. Para todos los rectángulos el área es el producto de las longitudes de los
lados adyacentes, es decir, de sus dimensiones.
4. Para una región descompuesta en secciones el área total es igual a la
suma (o resta) de las áreas de las secciones.
Una consecuencia inmediata es el hecho de que para una región A que
es parte de una región B, el área de A no puede ser mayor que el área
de B.
… necesitamos más rigor matemático…
Estas propiedades permiten el cálculo directo del área de cualquier figura
que pueda ser descompuesta en un número finito de rectángulos. Más
generalmente para asignar un valor S al área de una región R (zona azul y
roja) consideramos otras dos regiones R’ (inscrita zona azul))
y R’’ (circunscrita, zona azul más roja más amarilla) de
áreas S’ y S’’ respectivamente y que se pueden descomponer en
rectángulos donde R’’ contiene a R y R’ está contenido en R . Se sabe al
menos que S’<S<S’’.
El valor de S quedará completamente
determinado si se encuentran sucesiones de
regiones circunscritas Rn’ y regiones
inscritas Rn’’ que puedan ambas
descomponerse en rectángulos y tales que
las áreas Sn’ y Sn’’ tengan el mismo límite
cuando n tiende a infinito. Esto es
(remontándonos a la antigüedad) el método
de exhaución, el cual es usado en geometría
elemental para calcular el área de un circulo.
S’<S<S’’
… ¡¡¡ y MUCHO ingenio !!!...
Aquí intentamos mostrar como
Arquímedes descubrió el área de un
segmento parabólico.
El área de un segmento parabólico es
4/3 el área del triángulo que tiene la
misma base y vértice.
Arquímedes llegó a este resultado
"viendo" geométricamente que el área de
la parábola puede descomponerse en (o
"agotarse" con) una suma infinita de
triángulos: además del inscrito de área T,
dos de un octavo de ese área, cuatro de
un sesentaycuatroavo, ...
Es decir
P = T + 2T/8 + 4T/64 +...= T + T/4 + T/16 +...
… como el de ARQUÍMEDES…
Tenemos el segmento de parábola,
delimitado por la propia parábola y la
cuerda AC. Su área se aproxima
inicialmente por el área del triángulo
inscrito ABC, que será el primer término
de la "progresión de agotamiento". El
punto medio de la cuerda AC es D. El
proceso de agotar el segmento de
parábola a base de sucesivos triángulos,
más numerosos y más pequeños,
presenta una simetría especular
izquierda-derecha respecto de la
línea BD. Entre el segmento de parábola y
el triángulo ABC hay un par de huecos
iguales a ambos lados del punto B.
Cada uno de estos huecos se rellena con sendos triángulos más pequeños, que
juntos formarán el segundo término de la progresión de agotamiento.
A la derecha tenemos el BHC, un triángulo con el mismo área que el triángulo DFC.
La clave es que E es el punto medio entre D y C, por lo que el punto H sobre la
parábola, por ser parábola, es tal que BD/IH=DC2/DE2=4
… como el mío...
Entonces HG=GF=FE, y los
triángulos BHG,CHG,DFE y CFE tienen áreas
iguales. El área de BHC, o de DFC, es un cuarto
del área de BDC, un octavo del área de ABC. Pero
es que al lado izquierdo tenemos otro octavo, con
lo que como segundo término de la progresión de
agotamiento obtenemos un área de un cuarto del
primer término.
Solo queda repetir el proceso con los huecos que
aún dejan BHC a la derecha y su imagen
especular a la izquierda. Por la derecha tenemos
dos partes, con dos triángulos, BLH y HRC, que
junto a sus dos especulares amigos contribuyen
al tercer término, que debería ser un cuarto del
segundo. La verdad es que yo lo veía claro con el
BLH , pues es una versión similar aunque
reducida de la situación inicial, pero no tan obvio
para el HRC. Tras liarme más de la cuenta, el
fantasma de Apolonio me dió una colleja y caí en
que una parábola menos una recta es ... otra
parábola.
… ¡¡¡ y como el TUYO !!!
En esta figura restando de la parábola
azul la recta AC también azul, nos
queda la versión "derecha“, es decri, la
parábola roja con la cuerda horizontal
como base del segmento. Esto de paso
sirve para comprender que el segmento
parabólico y el triángulo inscrito pueden
no estar derechos, como los azules, y
que esa situación más general es
reducible a la de segmentos de parábola
derechos, como el rojo. El vértice de la
parábola roja queda en la vertical del
punto B de tangencia a la parábola azul
de la paralela a la cuerda AC. En la
parábola azul, esta cuerda AC y la
cuerda infinita que parte de B y pasa
por D son conjugadas, es
decir, BD∞corta por el punto medio a
todas las cuerdas paralelas a AC,
aunque estas cuerdas no hagan en este
caso lo recíproco. Siempre la cuerda
conjugada infinita es paralela al eje de
la parábola.
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