INIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUADALAJARA
ÁLGEBRA LINEAL
Laura Verónica Montes Cortés
[email protected]
Introducción
Esta presentación tratara el tema de cofactores
en el desarrollo de determinantes de matrices en
cualquier orden.
Para ello se recordara el concepto de
determinante, además de hablar del menor ij
para llegar al tema central que es cofactores ij
y su aplicación en la solución de
determinantes de cualquier orden.
Para todos:
Espacio que aclara conceptos en palabras sencillas.
Introducción

 2

A   8

 2

 7
4
1
5
3

7

6


0

En la matriz A su orden es 3x3 porque esta
formado con tres filas y tres columnas y cada uno
de los números que lo componen es llamado
entrada o componente. El orden lo determinan la
columna y la fila a la que pertenece cada
elemento, por ejemplo:
En la matriz A la entrada a23  6 se refiere al
número que esta en la fila i=2 y la columna j=3
Ejemplo
Determinante
• El determinante es una función que le asigna a
una matriz A de orden n a un escalar.
Si A es una matriz de orden n, el determinante
de la matriz A lo denotaremos por |A| (las barras
no significan valor absoluto).
Para todos:
Determinante es un único número real
Menor ij
Sea A una matriz de orden n  2 definimos el
menor M ij asociado al elemento aij de A como
el determinante de la matriz que se obtiene al
eliminar la fila i y la columna j de la matriz A.
Para todos:
Por ejemplo un determinante 3x3; 4x4 se evalúa al desarrollar
por menores.
Ejemplo
• Si se quiere obtener el menor M11 de la matriz
0

A  3

4

2
1
0
1

2

1
Procedemos a eliminar la fila 1 y la columna 1 de
A y evaluamos el determinante de la matriz
resultante , que es el menor M11
Ejemplo
El determinante de la matriz resultante , es el
menor M11
1
M 
11  0
2

1
11 02  1
Ejemplo
• Si se quiere obtener el menor M 23 de la matriz
0

A  3

4

2
1
0
1

2

1
Procedemos a eliminar la fila 1 y la columna 1 de
A y evaluamos el determinante de la matriz
resultante , que es el menor M11
Ejemplo
• Si se quiere obtener el menor M 23 de la matriz
0

A  3

4

2
1
0
1

2

1
Ahora se elimina la fila 2 y la columna 3 de A y
evaluamos el determinante de la matriz
resultante , que es el menor M 23
Ejemplo
• Si se quiere obtener todos los menor de la matriz
0

A  3

4

2
1
0
1

2

1
Tenemos que proceder a eliminando tantas filas y
columnas como entradas tenga la matriz. Entonces
la matriz A de 3x3 tendrá nueve menores.
Cofactores ij
Hablar de los menores nos permite
entender con facilidad el proceso para
los cofactores.
Cofactor ij
Es el producto que se denota Cof Aij que
se obtiene de multiplicar el menor M ij
por (1) i j
i

j
Cof A   1
M
ij
ij
Para todos:
Este producto es un número que nos ayuda a obtener la
determinante de una matriz.
Ejemplo
• Si se quiere obtener Cof A de la matriz
22
0

A  3

4

2
1
0
1

2

1
Ejemplo
• Procedemos identificando la entrada a22
0

A  3

4

2
1
0
1

2

1
Ejemplo
• Procedemos identificando la entrada a22
 Cof A22  

2  2 0 1
1
4 1


Cof A22  14 0  4  1 4  4
Ejemplo
• Si observas con atencion la definición del cofactor el
exponente del factor -1 es la suma de l número de la fila y
columna de la entrada que nos piden. Y ese exponente
sólo puede ser par o es impar, según eso es el signo del
factor -1. Se muestra en la siguiente imagen:
  111

 121

31



1
A
 

i 1
 1


 11  2  113   11  j 
 122  123   12  j 
 132  133   13  j 

 1i  2




i

3
i

j
 1   1 


Ejemplo
• Queda como factor, para cada entrada:
Ejemplo
• Queda como factor, para cada entrada:
Regla general
Para determinantes de cualquier orden
• Si A es una matriz de orden n , entonces el determinante de la
matriz A es la suma de los cofactores a lo largo de cualquier
renglón o cualquier columna de la siguiente manera:
A   1 ai1 M i1   1 ai 2 M i 2     1 ain M in
i 1
i2
in
ó
A   1 a1 j M 1 j   1
1 j
2 j
a2 j M 2 j     1
n j
anj M nj
para i  1, 2, 3,  , n renglones ó j  1, 2, 3,  , n colum nas
Ejemplo
• Obtener la determinante de la matriz A
0

A  3

4

2
1
0
1

2

1
Ejemplo
• Obtener la determinante de la matriz A
0 2 1 
A  3  1 2
4 0 1
a lo l arg o del prim er renglón
1 2
3 2
3 1
1

1
1

2
1

3
0
2
1
 A   1
  1
  1
0 1
4 1
4 0
 A  10 1  0   123  8  110  4
 A  0  10  4
 A  14
Ejemplo
• Obtener la determinante de la matriz A
0 2 1 
A  3  1 2
4 0 1
a lo l arg o de la Segundacolum na
3 2
0 1
0 1
1

2
2

2
3

2
2
 1
0
 A   1
  1
  1
4 1
4 1
3 2
 A   123  8  1 10  4   100  3
 A  10  4  0
 A  14
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COFACTORES