Matrices y Determinantes
Conceptos básicos.
Matrices

Una matriz es una ordenación rectangular
de elementos dispuestos en filas y
columnas encerrados entre paréntesis
Las matrices se nombran con letras
mayúsculas A, B, C, .... y sus elementos
con minúsculas con dos subíndices aij,
que indican respectivamente la fila y la
columna en la que se sitúa el elemento
Tipos de matrices
Matriz fila :
 Una matriz fila está constituida por una
sola fila.

n=1
Matriz columna:
 La matriz columna tiene una sola
columna

m=1
Tipos de matrices

Matriz cuadrada :

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que
de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal
principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j


= n+1.
n=m
Matriz rectangular:
 Matriz en la cual m no es igual a n

Matriz nula:
 En una matriz nula todos los elementos
son ceros.

a) n = m
b) aij=0 si i � j y aij = 1 si i =j
Matriz triangular superior:
 En una matriz triangular superior los
elementos situados por debajo de la
diagonal principal son ceros.

a)n = m
b) aij = 0 si i >= j
Matriz triangular inferior:
 En una matriz triangular inferior los
elementos situados por encima de la
diagonal principal son ceros.

a)n = m
b) aij = 0 si i <= j
Matriz diagonal:
 En una matriz diagonal todos los
elementos situados por encima y por
debajo de la diagonal principal son nulos.

a) n = m
b) aij=0 si i � j
Matriz escalar:
 Una matriz escalar es una matriz
diagonal en la que los elementos de la
diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad:
 Una matriz identidad es una matriz
diagonal en la que los elementos de la
diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta:
 Dada una matriz A, se llama matriz
traspuesta de A a la matriz que se
obtiene cambiando ordenadamente las
filas por las columnas

(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At
Matriz regular:
 Una matriz regular es una matriz
cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular:
 Una matriz singular no tiene matriz
inversa.

Matriz idempotente:
 Una matriz, A, es idempotente si:

A2= A.
Matriz involutiva:
 Una matriz, A, es involutiva si:

A2 = I
.
Matriz simétrica:
 Una matriz simétrica es una matriz
cuadrada que verifica:

a)n = m
b) aij = aji
A = At
Matriz antisimétrica o hemisimétrica:
 Una matriz antisimétrica o
hemisimétrica es una matriz cuadrada
que verifica:

A = -At.
Matriz ortogonal:
 Una matriz es ortogonal si verifica que:

A·At = I
Aplicaciones
de matrices
en otras áreas del
conocimiento
 Matrices

en la computación:
Las matrices son utilizadas ampliamente
en la computación, por su facilidad y
liviandad para manipular información. En
este contexto, son la mejor forma para
representar grafos, y son muy utilizadas
en el cálculo numérico.







Ya en el año 450 a.C. los espartanos de Grecia
enviaban mensajes codificados. Para
ello enrollaban una banda de cuero o cinturón sobre un
cilindro, se escribía el mensaje
y al desenrollar la banda de cuero ésta parecía que sólo
estaba adornada con marcas
inocentes. Sin embargo, si el destinatario del mensaje
arrollaba nuevamente la banda
alrededor de un cilindro similar al utilizado cuando se
escribió dicho mensaje, éste
podía ser leído sin dificultad. Este método es un sistema
de codificación por
transposición.
La máquina Enigma era un dispositivo
para codificar mensajes
 empleado por los alemanes en la II Guerra
Mundial.

Determinantes
El determinante de una matriz cuadrada es un
número que se obtiene a partir de los elementos
de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que
simplifica la resolución de sistemas lineales y el
cálculo de la matriz inversa, entre otras
aplicaciones.
Propiedades de las determinantes


1. El determinante no varía si se traspone la matriz. Es
decir: det A = det At .
(Esta propiedad permite enunciar las demás sólo para
filas o columnas).

2. Si permutamos entre sí dos filas (o columnas) el
determinante cambia de signo.

3. Si multiplicamos (o dividimos) una fila o columna por
un número el determinante queda multiplicado por dicho
número.
(Esta propiedad sirve para poder sacar factor común en
un determinante)


4. Si todos los elementos de una fila (o
columna) son nulos, el determinante
también lo es.

5. Si dos filas (o columnas) son iguales (o
proporcionales)el determinante es 0.

6. Si todos los elementos de una línea se
descomponen en suma de dos sumandos,
el determinante puede descomponerse
también como suma de dos
determinantes.

7. Si una fila o columna es c.l. de las otras
su determinante es cero.

8. Si a una fila (columna) de una matriz se
le suma otra fila (columna) multiplicada
por un nºel determinante no varía.
9. Si una matriz cuadrada es triangular
(superior o inferior) su determinante es
igual al producto de los elementos de su
diagonal principal.
 Consecuencia: Si I es la matriz identidad
su determinante vale 1.

10. El determinante de un producto de
matrices (de órdenes iguales) es igual al
producto de sus determinantes.
 Es decir det AB = det A. det B.

11. Si $ A-1 entonces ½A½-1 = 1/|A|
 En efecto, A.A-1= I , luego |A·A-1| =
|I| = 1

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