Inversión sísmica con redes
bayesianas
Alumno: Fidel Reyes Ramos
Asesor: Dr. Guillermo Morales Luna
Contenido





Introducción
Objetivo
Descripción
Presentación de modelos
Perspectivas
Motivación

La predicción de propiedades de rocas es
importante debido a que:


Se describe la estructura geológica de los
yacimientos
Con ello, se planea su exploración, producción y
costo.
Objetivos

1.


1.


Encontrar relaciones de dependencia entre:
Propiedades físicas de las rocas
A) Determinar la incertidumbre en los
cálculos
B) Mediante modelos dinámicos
Propiedades físicas entre diferentes pozos
A) Dirigidas por la proximidad entre los
pozos
B) Mediante Redes Bayesianas
Metodología

Construir redes bayesianas que describan
las relaciones de dependencia entre


Propiedades físicas de las rocas
Propiedades entre diferentes pozos petroleros
Registros de pozos
Cálculo de propiedades de roca (1/2)

Las propiedades de roca se determinan por
modelos bien conocidos. Tales modelos



Son escogidos de acuerdo a la hipótesis de la
geología subyacente
Tienen parámetros que dependen de esta
geología
Se les calcula algorítmicamente como se muestra
enseguida.
Cálculo de propiedades de roca (2/2)
VCL
Mineralogía
Porosidad
IFr
Rt
Litofacies
K
F
SW
Inversión

Es todo aquel
procedimiento que
hace corresponder un
modelo a una serie de
datos dados (Scales,
2000)
Métodos de estudio

Determinación de propiedades mediante
formulamientos de geofísica

El que aquí se propone: Resolver el
problema inverso por medio de redes
bayesianas
Incertidumbres por modelar

El modelo probabilístico es apropiado debido
a que ahí se expresa factores inciertos como:


Ruido en los datos
Criterios para decidir si los factores modelados
son suficientes para el caso de estudio.
Problemas al estudiar un yacimiento


Los datos que se toman tienen ruido y su
apreciación un nivel de incertidumbre, debido
al gran número de factores que intervienen
en su adquisición
La fluctuación de los datos parece aleatoria
ya que hay procesos involucrados que no se
conocen con certeza
Expresión probabilística de un modelo
geofísico
Tarantola (1987) propone incluir esta incertidumbre
mediante la expresión:
P ( D | G )  exp( 
1
2
1
( g ( D )  D ) C D ( g ( D )  D ))
T
donde g(D) es el modelo geofísico y
CD es la matriz de covarianza que incluye las
incertidumbres del modelo
Antecedentes de la aplicación de este
enfoque



Loures, Luiz G., Bayesian porosity inference using rock physics and
geostatistical modeling, Geophysics, CSEG, 2002.
Mukerji, T., Jorstad, A., Makvd, G, Granil, J., Applying statistical rock
physics and seismic inversion to map lithofacies and pore fluid
probabilities in a North Sea reservoir, URE, Norgewian University of
Science and Technology , 2002
Peres Gouveia, W., Bayesian Seismic Waveform Inversion, Ph. D. Doctoral
dissertation, Colorado School of Mines, 1996.
Propiedad concreta: Cálculo de volúmenes
de minerales


Volúmenes de
minerales: Describen la
composición de
minerales en las rocas
Entradas:

Datos del pozo:
Densidad, Porosidad,
Sónico
Centroides


Son los valores característicos
Densidad
de Densidad, Porosidad y
Sónico
Sónico medidos en el
Porosidad
laboratorio de minerales puros
En un “crossplot” de los datos
del pozo, estos datos
representan “centroides”
calcita dolomita lutita fluido
2.71
2.87 2.5
1.0
46.0
43.5 90.0 189.0
0.01
2.5 30.0 100.0
Ejemplo:





Sea una sección de roca que
se compone de:
20% Calcita (Azul)
60% Dolomita (Rosa)
15% Lutita (Verde)
5% Porosidad (Blanco)
 . 20 
  2 . 689
 2 . 71 , 2 . 87 , 2 . 5 ,1 . 0


  . 60  
46 . 0 , 43 . 5 ,90 . 0 ,189 . 0 
  58 . 25


 . 15
  11 . 002
 0 . 01 , 2 . 5 ,30 . 0 ,100 . 0  
 . 05  







Reproducción de datos: Multiplicar la matriz de centroides por los volúmenes
Cálculo de volúmenes de minerales




Vi y “Phi” son las
incógnitas
Los otros términos en
las ecuaciones son
datos de los
“centroides”
Los términos
independientes son los
datos del pozo
Restricción:
 , V i  [ 0 ,1]
 V1V 2 V 3  1
Definiciones




Espacio latente: X  S 1 El espacio de
soluciones posibles del simplejo positivo de
dimensión 4 con K elementos.
3
Y   : un conjunto de datos de un pozo
A  a 1 , a 2 , a 3 , a 4  : un conjunto de
centroides de los minerales supuestos
W : una matriz para realizar una transformación lineal entre X y Y y  WAx
Transformación entre espacios
Transformación
Espacio de Soluciones (Latente)
Espacio de Datos
Definiciones 2

p : la probabilidad uniforme sobre todos los
elementos del espacio
latente
K
p( x) 
1
K

  (x  x )
i
i 1
Probabilidad condicional de cada y j por cada x i
P ( y j | x i , W ,  )  ( 2 )
2

2
n / 2
Probabilidad marginal:
exp( 
1
2
P ( y j | W ,  )   p ( y j | x i , W ,  ) p ( X ) dx 
2
2
1
|| y j  WAx i || )
2
2
K
P( y

K
i 1
| xi ,W ,  )
2
j
Problema

Maximizar el logaritmo de la probabilidad
conjunta:
N
L (W ,  )  log(
2
 P( y
| W ,  ))
2
j
j 1
N


j 1
log( P ( y j | W ,  ))
2
Solución

Sea Q : x  Q ( x ) una densidad de de probabilidad
(no-nula), entonces
P ( y j |  )  log
Desigualdad de Jensen

Q ( x) p( y j , x |  )
dx
Q (x)
 p( y j , x | ) 
 dx
  Q ( x ) log 
Q ( x)


La probabilidad posterior es
Q ( x)  P ( x | y j ,  )
La cota (1) se maximiza usando la probabilidad posterior
(1)
Solución

Al sumar (1) sobre todos los datos y j , se obtiene
K
L( y) 

donde
N
  P(x
i
| y j ,  ) log P ( y j | x i ,  )
i 1 j 1
  {W ,  }
2
Solución

Al derivar por los miembros del conjunto de
parámetros y despejar cuando las derivadas
son cero, se tiene
2
R ji  P ( x i | y j , W ,  )
 
2
1
3N
K

N
R
j 1
ji
|| y j  WAx i ||
K
ji
2
i 1 j 1
N
R
i 1
K
y j Ax i  W
N
  ( Ax
i 1
i
)( Ax i )
T
j 1
Para obtener W se utilizó la “Descomposición
de Valor Singular”
Comentarios



A este método de solución se le denomina
“varacional” (Grahramani et al, 1999)
Al experimetar con probabilidad a priori,
convergió más rápido, si una de ellas es
mucho más grande que las otras
Se está trabajando para un número arbitrario
de minerales
Algoritmo implementado para calcular
volúmenes








Algoritmo CalculaVolumenes
Entradas
Conjunto X
Conjunto Y
Matriz de Centroides A
Tolerancia Eps
Salida: Para cada y j  Y encontrar un
tal que R ji sea máxima
2


{
W
,

}
Parámetros
xi  X
Algoritmo









BEGIN
Inicializar parámetros, Lant y L
Mientras fabs (Lant - L) > Eps
BEGIN
PASO E: Calcular L y R ji para cada
y xi  X
Paso M: Calcular   {W ,  2 }
Lant = L
END
END
yj Y
Convergencia






(Neal and Hinton, 1998) Probaron que:
Maximizar por una parte, L con respecto a   {W ,  2 }
Y luego maximizar L con respecto a R ji
Maximiza la probabilidad conjunta
(Dempster et al, 1977) Probaron que cada iteración
de este algoritmo es no decreciente (y es acotada)
por tanto debe converger.
ATENCION: Probaron la convergencia, mas no la tasa
de convergencia!
Resultados
Resultados
Método Tradicional de Cálculo
Incorporación de conocimiento previo


Sea {ei , i  1, 2 ,3, 4} la base canónica en  4
Sea P ( e i ) una probabilidad dada sobre cada vector
4



i 1
La probabilidad de cada x i  Xahora es:
P ( x j | ei ) 

P ( ei )  1
1
( 2 )
4/2
exp( 
1
2
Y la probabilidad marginal es:
x j  ei
2
)
4
P(x j ) 
 P(x
j
| e ) P ( e )de 
 P (e
i 1
m
) P ( x j | em )
Incorporación de conocimiento previo

La probabilidad de cada
yj Y
ahora es:
K
P( y j ) 
 P(x )P( y
i
j
| xi ,  )
i 1

La probabilidad posterior es:
P ( y j | xi ,  ) P ( xi )
R ji  P ( x x | y i ,  ) 
P( y j )
Incorporación de conocimiento previo

Una nueva cota para L es:
N

N
log P ( y j ) 
j 1
K

j 1 i 1


R ji log( P ( x i ) P ( y j | x i ,W ,  ))
2
j 1 i 1
N

K
N
R ji log( P ( x i )) 
K

R ji log( P ( y j | x i , W ,  ))
2
j 1 i 1
Que tendría las mismas soluciones que para
el caso anterior excepto que la probabilidad a
posteriori y para cada dato se calcula
diferente
Convergencia: L
Verosimilitud
0
-1000
-2000
-3000
-4000
1
3
5
7
9 11 13 15 17 19
Serie1
Convergencia: W
W11
15
W12
10
W13
5
W21
0
-5 1
3
5
7
W22
9 11 13 15 17 19 21
W23
-10
W31
-15
W32
-20
W33
Determinante
4
3
2
Determinante
1
0
1
3 5
7 9 11 13 15 17 19 21
Convergencia: Varianza
Varianza
1.5
1
0.5
0
Iteraciones
Varianza
Px = (.3,.1,.3,.3)
Publicaciones presentadas


Póster: Reyes Ramos, Fidel y Molina Félix,
Luis Carlos, Lithofacies characterization by
means of Generative Topographic Maps,
IJCAI, Acapulco, Agosto de 2003
Sometido como: Reyes-Ramos Fidel
Conditional Inversion for Mineral Volumen
Characterization, 2004 International
Conference and Exhibition of the AAPG,
Cancún 2004
Problemas por resolver
Condicionamiento automático
Maximizar
1.
N
L (W ,  ) 
2
K

N
R ji log( P ( x i )) 
j 1 i 1
K

R ji log( P ( y j | x i , W ,  ))
j 1 i 1
Sujeto a:
4

P ( ei )  1
i 1
Método de solución: Multiplicadores de Lagrange
2
Aceleración de Convergencia

Aplicar algún método de optimización (de
direcciones conjugadas o gradiente) con el
fin de acelerar la convergencia
Volúmenes condicionales




Definición: Sea U  {W1 ,  , W N }
un conjunto de variables
aleatorias que representan
volúmenes de minerales
Una red bayesiana de U es
el par  G ,   donde G es
un grafo dirigido,  un
conjunto de parámetros
La red bayesiana expresa:
un nodo es independiente
de sus no descendientes
dado sus padres (???)
La red bayesiana expresa
una probabilidad conjunta
de las variables aleatorias
Pozo 1
Pozo 2
Pozo 3
Pozo 6
Pozo 4
Método para generar modelos:
Triangulación de Delaunay



Definición: Dado una serie de puntos en el plano, una
triangulación de Delaunay se forma de triángulos cuyo ángulo
mínimo sea el mayor posible
Los vértices de cada triángulo caen en el perímetro de un
círculo, el cual no incluye a otro punto.
Su construcción se realiza en tiempo de O(nlogn) (Knuth et al)
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Descubrimiento de relaciones en pozos petroleros con …