Programa de Capacitación Docente
MODULO IV
Estadística - Probabilidad
José Luis Morón
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Conceptos
Teorema de Bayes
Combinatoria
MODULO IV
Estadística
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Conceptos
La probabilidad mide la frecuencia con
la que ocurre un resultado en un
experimento
bajo
condiciones
suficientemente estables
Experimento
aleatorio:
es
todo
proceso que se puede repetir indefi
nidamente con resultados imprevisibles.
Blaise Pascal
1623-1662
Ejm: Lanzamiento de una moneda, de
un dado, la extracción de una bola de
bingo.
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Conceptos
Espacio muestral: dado un experimento
aleatorio E, se llama espacio muestral Ω
de E al conjunto formado por todos los
resultados posibles del experimento.
Si lanzamos un dado, el espacio muestral
es: Ω={1; 2; 3; 4; 5; 6}
Pierre de Fermat
1601-1665
Evento o suceso: se llama evento o suceso de un
experimento aleatorio E a cualquier subconjunto A
del espacio muestral Ω de este experimento.
Evento A: Obtener cara. A = {c}
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Conceptos
Eventos mutuamente excluyentes: dos eventos A y B
son mutuamente
excluyentes si A y B son conjuntos disjuntos, es decir si:
A∩B={}oA∩B=ø
Los eventos A (que salga número par) y B (que salga
número impar), son mutuamente excluyentes, en el
lanzamiento de un dado.
A={1; 3; 5} B={ 2; 4; 6}
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Propiedades de la Probabilidad
Probabilidad: dado el espacio muestral Ω de un
experimento aleatorio E, la probabilidad de un evento A
se define como el número que satisface las
siguientes propiedades:
1. P(A) >=0
2. P(Ω) =1
3. P(A U B) = P(A) + P(B), A,B mutuamente excluyentes
Luego
1. P(ø) =0
2. Si A ⊂ B, entonces, P (A) ≤ P(B)
3. 0 ≤ P(A) ≤ 1 , P(Complemento A) = 1 – P(A)
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Sucesos Compatibles - Ejemplo
Consideremos el experimento de lanzar un dado. El espacio
muestral es Ω= {1; 2; 3; 4; 5; 6}
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par o no menor
que 4?
A : “Obtener un número par” A = {2; 4; 6 }
B : “Obtener un número no menor que 4” B = {4; 5; 6}
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Probabilidad Condicional
Sea B un evento cuya probabilidad es distinta de cero,
y sea A cualquier evento. La posibilidad condicional
del evento A, dado el evento B, se define como:
Independencia
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Teorema de Bayes
Sea {A1,A2,...,Ai,...,An} un conjunto de
sucesos mutuamente excluyentes y
exhaustivos, y tales que la probabilidad de
cada uno de ellos es distinta de cero. Sea
B un suceso cualquiera del que se
conocen las probabilidades condicionales
P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai |
B) viene dada por la expresión:
Thomas Bayes
1702-1761
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Teorema de Bayes
Tres máquinas A, B y C producen respectivamente
el 50%, 30% y 20% del número total de artículos
de una fábrica. El porcentaje de desperfectos de
producción
de
estas
máquinas
son,
respectivamente, 2%, 4% y 5%. Se seleccionó un
artículo y resulto bueno.
Determina la probabilidad que el artículo haya sido
producido por la máquina C.
P(C / Bueno) = ?
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P(C/Bueno) =
P(C). P(Bueno/C)
P(Bueno)
P(Bueno)
= 0.5 0.98 + 0.3 0.96 + 0.2 0.95
= 0.968
P(Bueno/C) = 0.95
Reemplazando:
P(C/Bueno)
= 0.2 0.95 / 0.968 = 0.19
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Teorema de Bayes
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Combinatoria
En las aplicaciones de las probabilidades, a veces es
necesario recurrir a procedimientos matemáticos
que nos permiten realizar conteos de casos
complejos a partir de procesos simples. A este
conjunto de procedimientos se le conoce como
Análisis Combinatorio o Combinatoria
Permutación: un arreglo de r objetos seleccionados a
partir de un grupo único de n objetos posibles. (El
orden es importante)
n!
n Pr 
(n  r )!
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Permutación - Combinación
Permutación: un arreglo de r objetos seleccionados a
partir de un grupo único de n objetos posibles.
(El orden es importante)
n!
n
Pr 
(n  r )!
Combinación: el número de modos para elegir r
objetos de un grupo de n objetos
(El orden es importante)
n!
nCr 
r!(n  r )!
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