ANALISIS DE FLUCTUACIONES FINANCIERAS
A PARTIR DE SERIES DE TIEMPO
Dr. Oswaldo Morales Matamoros
Comité Nacional de Administración Integral de Riesgos
Dr. Alexander Balankin
Instituto Politécnico Nacional
CONTENIDO
Introducción
Capitulo 1: Movimiento Browniano
Capitulo 2: Geometría Fractal
Capitulo 3: Fluctuaciones en el Mercado Petrolero
Conclusiones
INTRODUCCION
Globalización
Económica
Fluctuaciones
Mercados
Financiero
Incertidumbre
Inversionistas
(1973)
•Liberación económica
•Fluctuaciones de
variables económicas
•Industria de
derivados
Ingeniería
Financiera
Administración
de Riesgos
INTRODUCCION
Administración
de Riesgos
Identificación y
Análisis de
Riesgos
Fluctuaciones en los
mercados financieros
Medición de
Riesgos
Métodos
VaR
Control de
Riesgos
Cobertura con
productos derivados
(Ingeniería Financiera)
INTRODUCCION
Identificación y
Análisis de
Riesgos
Precios relativos
Análisis de Fluctuaciones
en series de tiempo
financieras
Rendimientos logarítmicos
Valor absoluto de
rendimientos logarítmicos
•Modelo del Movimiento
Browniano Fraccional
•Modelo de Multifractales
75
65
Precio, USD/bl
•99% valuación portafolios
inversión y derivados
Volatilidad
55
45
35
25
15
5
1986
0.4
Log-return, d
Enfoque
Fractal
•Movimiento Browniano
(Geométrico) Modelo B-S
1990
1994
1998
2002
1990
1994
1998
2002
1990
1994
1998
2002
0.2
0.0
-0.2
-0.4
1986
4.0
Volatilidad, s
Enfoque
del mB
2.0
0.0
1986
CAPITULO 1
Movimiento Browniano:
•Descubrimiento en 1827 por Robert Brown
•Comportamiento aleatorio de precios y fluctuaciones de precios a través de tiempo
a)
b)
•En 1905 Einstein explica este fenómeno de manera matemática (mecánica estadística)
•Louis Bachelier en 1900 formula su modelo del Movimiento Browniano para estudiar el
comportamiento de precios de los activos financieros
CAPITULO 1
El Movimiento Browniano (mB) supone que:
•El precio evoluciona como un proceso de Markov y se ajusta a una
distribución normal, entonces los precios tienen comportamiento
aleatorio y pueden ser positivos y negativos
•Samuelson (1960) establece el modelo del Movimiento Browniano
geométrico para tener solo precios positivos, pero aparecen dos
parámetros desconocidos:  (rendimiento medio esperado del
subyacente) y  (rendimiento que pagan las opciones)
CAPITULO 1
•Fisher Black y Myron Scholes (1973) desarrollan un modelo estocástico
para valuar opciones de precios; ya no hay parámetros  ni 
•Supuestos del modelo de Black y Scholes (B-S):
•Los precios se comportan como el Movimiento Browniano
Geométrico (distribución log-normal)
•La volatilidad es constante en el tiempo (=1/2)
•No hay arbitraje (mercados en equilibrio)
•El riesgo (del impacto de la volatilidad) se elimina a diversificar los
portafolios de inversión
CAPITULO 1
El modelo B-S es una ecuación diferencial parcial de segundo orden,
parabólica y lineal (ecuación de difusión del calor), cuya solución
representan los precios de los distintos derivados (en un principio, el
precio de una Opción Europea)
Con el modelos B-S se valúan productos derivados
Sin embargo, las crisis financieras son originadas por eventos extremos
que se encuentran a 10 o mas desviaciones estándar
•Ejemplos de crisis económico-financieras : México 1994 y
Fondo de inversión Long Term Capital Management, 1997
CAPITULO 1
CASO PRACTICO: LONG TERM CAPITAL MANAGEMENT (1997)
•Fondo de inversión fundada por Merriwether bajo el modelo B-S, Merton/Scholes
•Grupo arbitraje Salomon Bros y profesionales en banca de inversión (matemáticas)
•Ganancias, por estrategia de convergencia en varios mercados, de 17% hasta 1997
•A finales 1997 se redujo capital apalancable; la crisis en Rusia provoco diferenciales
en bonos gubernamentales de EU que no se corrigieron, causando mas pérdidas
• Administradores del fondo vendieron volatilidad (Swaps tasas de interés)
•Agosto/1998: el fondo pierde su base de capital por cubrir perdidas en sus
derivados, por lo que hubo una liquidación masiva de activos
•Salvamento privado por 3,650 MM USD (90% fondo y 10% inversionistas iníciales)
•Fondos inversión: estrategia de inversión sin riesgo, al construir y aplicar
portafolios de inversión diversificados y tomar posiciones cortas y largas en
distintos activos, pero omiten eventos (“extremos”) con probabilidad de
ocurrencia de 0.1% o menos (diez desviaciones estándar)
CAPITULO 1
MOVIMIENTO BROWNIANO
ENFOQUES PARA
ANALIZAR SERIES DE
TIEMPO FINANCIERAS
Economistas/financieros
aplican
un
modelo
(Movimiento
Geométrico Browniano) preconcebido con algunos parámetros
desconocidos, forzando el ajuste del modelo a una serie de tiempo
que no es estacionaria, mediante la “mejor elección de los
parámetros” (con métodos robustos y rigurosos); concluyendo que
los datos son difíciles de ajustar en escalas de tiempo muy amplias
SISTEMAS COMPLEJOS (“FRACTAL”)
Físicos estudian comportamiento histórico de muchos sistemas
complejos a través del análisis de series de tiempo que contienen
registros de las fluctuaciones de dichos sistemas; al graficar dichas
series de tiempo, se obtienen curvas rugosas
Se propone el Enfoque Fractal para analizar las fluctuaciones de los mercados
financieros, el cual considera a los mercados financieros como sistemas complejos
CAPITULO 1
T
Océano Pacifico
Curva de
esfuerzodeformación
muchos quiebres que se aprecian
mejor a
mayor
escala
de
observación: perímetro de costas,
perfil de montañas y contorno de
nubes; no son derivables en ningún
punto (sin tangente)
Propagación de
grieta en hoja de
papel
Precios del petróleo
Usd/barril
CURVAS RUGOSAS
Función del perfil de
temperatura
CAPITULO 2
•Geometría Fractal: herramienta matemática para cuantificar el grado de rugosidad de
señales
•Fractales (Mandelbrot, 1970): geometrías (o curvas) complejas e irregulares (rugosas) que
permanecen invariantes a cambios de escala y cuya longitud infinita se encuentra dentro de
un espacio finito
Auto-similares
Fractales
Determinísticos
Estadísticos
Auto-afines
Aleatorios
a)
Prevalece en la
Naturaleza
CAPITULO 2
b)
a)
b)
Si H (Exponente de Hurst o rugosidad)=0.5 mB (no estacionalidad)
Si H >0.5  persistencia
Si H <0.5  antipersistencia
estacionalidad
c)
CAPITULO 2
Mandelbrot en las finanzas:
•1963: advierte las limitaciones del modelo de B-S: la series de tiempo de precios
no son estacionarias, la varianza no tiene que ser finita, no se reconoce la
presencia de discontinuidad (eventos extremos)
•Ajusta los precios con distribuciones de colas pesadas (Levy): ajustan
fluctuaciones a pequeña escala y grandes fluctuaciones a corto plazo (modelo del
Movimiento Browniano fraccional)
a)
b)
CAPITULO 2
El modelo Browniano fraccional no caracteriza la volatilidad a diferentes escalas de
tiempo
Mandelbrot desarrolla el modelo de multifractales
CAPITULO 3
Vn
a)
35
c)
Precio, $/bll
3
n=8
2
20
1
5
02/01/1986
0
06/11/1992
11/09/1999
0
1024
Fecha
Vn
2048
3072
4096
Dias habiles
Vn
b)
3
d)
n = 20
3
n=3
2
2
1
1
0
0
0
1024
2048
3072
Dias habiles
4096
0
1024
2048
3072
Dias habiles
Objeto de Estudio
4096
CAPITULO 3
f
0.15
f
a)
b)
f
10
0.001
0.001
0.1
0.1
3
0.1
2
10
c)
0
1
2
2
0.1
1
10
1
0.05
1
0
0
0
5
15
price
25
0
0.5
1
1.5
V18
Análisis Estadístico
0
0.5
1
V3
CAPITULO 3
H
H=0.83
0.75
persistencia
H=0.5
0.5
aleatorio
0.25
antipersistencia
0
1
10
Horizonte de tiempo, n
Análisis Fractal
100
CAPITULO 3
Generación de escenarios de precios WTI
CAPITULO 3
Posibles escenarios de precios WTI
CAPITULO 3
Precios históricos y pronosticos del WTI
CAPITULO 3
Pronósticos de precios WTI mas probables
CONCLUSIONES
•Dos enfoques diferentes para analizar, caracterizar y modelar las
fluctuaciones de variables financieras que reflejan el comportamiento de los
mercados financieros: del Movimiento Browniano y Fractal; en ambos hay
que partir de series de tiempo financieras.
•Enfoque Browniano: primer modelo estocástico para fluctuaciones de
precios; los precios y rendimientos logarítmicos de precios son variables
aleatorias independientes y distribuidas por la normal, por lo que el
comportamiento de las fluctuaciones se considera un proceso estocástico
que no es estacionario y para el cual α=1/2 (H=0.5).
•El modelo de B-S, piedra angular de la teoría financiera moderna para
estrategias de cobertura, se basa en el Enfoque Browniano. Al diversificar el
portafolio de inversión, se elimina el riesgo, puesto que no considera la
presencia de discontinuidades (eventos extremos con 10 desviaciones
estándar), que causan crisis económicas México (1994) y la quiebra de Long
Term Capital Management (1997).
CONCLUSIONES
•Enfoque fractal: basado en la Geometría Fractal; Mandelbrot desarrolló los
modelos del Movimiento Browniano fraccional y el de multifractales; este último es
aplicado mejor al análisis y modelación de la volatilidad puesto que considera
diferentes escalas de tiempo y permite establecer si una serie de tiempo llega a ser
estacionaria (correlaciones a largo plazo).
•Con el modelo multifractal se generaron escenarios de los rendimientos
logarítmicos de los precios del crudo WTI, obteniendo precios a la alza y
considerando un escenario de precio máximo de mas de 60 usd/barril para inicios
de 2006; a diferencia de los pronósticos (con Enfoque Browniano) de cinco
compañías de EU que iban hacia la bajo.
•Enfoque Fractal puede ser herramienta cuantitativa más confiable para caracterizar
el comportamiento de fluctuaciones de los mercados financieros, ya que los
considera sistemas complejos que despliegan estructuras muy rugosas a diferentes
escalas de tiempo-espacio. Esto, a su vez, permitiría generar pronósticos de
precios, índices, tasas y tipos de cambio más precisos, los cuales ayudarían a los
administradores de riesgos a desarrollar estrategias de cobertura más confiables.
DR. OSWALDO MORALES MATAMOROS
SOCIO IMEF
PROFESOR-INVESTIGADOR, INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
[email protected]
[email protected]
GRACIAS POR
SU ATENCION
PREGUNTAS?
Descargar

Diapositiva 1