UPC
Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
Cálculo Diferencial e Integral
de Una Variable
Ciclo 2007 - 2
Tasas relacionadas
Habilidades
1. Identifica los tipos de problemas sobre tasas relacionadas.
2. Resuelve problemas de tasas.
Estrategia
1. Lea con cuidado el problema.
2. Trace si es posible, un diagrama.
3. Adopte una notación. Asigne símbolos a todas las cantidades
que sean funciones del tiempo.
4. Exprese la información dada y la tasa requerida en términos de
derivadas.
5. Deduzca una ecuación que relacione las diversas cantidades del
problema. Si es necesario, use la geometría del caso que se ve,
para eliminar una de las variables por sustitución.
6. Utilice la regla de la cadena para derivar ambos lados de la
ecuación, con respecto al tiempo.
7. Sustituya la información dada en la ecuación resultante y
despeje la rapidez o tasa desconocida.
Ejemplo 1
Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro
vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la
pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se
mueve el extremo superior de la escalera en el momento en
que se halla a 6 pies del piso?
Ejemplo 1
Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro
vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la
pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se
mueve el extremo superior de la escalera en el momento en
que se halla a 6 pies del piso?
Ejemplo 1
Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro
vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la
pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se
mueve el extremo superior de la escalera en el momento en
que se halla a 6 pies del piso?
Ejemplo 1
Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro
vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la
pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se
mueve el extremo superior de la escalera en el momento en
que se halla a 6 pies del piso?
Ejemplo 1
Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro
vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la
pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se
mueve el extremo superior de la escalera en el momento en
que se halla a 6 pies del piso?
Ejemplo 1
Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro
vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la
pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se
mueve el extremo superior de la escalera en el momento en
que se halla a 6 pies del piso?
Ejemplo 1
Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro
vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la
pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se
mueve el extremo superior de la escalera en el momento en
que se halla a 6 pies del piso?
Ejemplo 1
Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro
vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la
pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se
mueve el extremo superior de la escalera en el momento en
que se halla a 6 pies del piso?
Ejemplo 1
Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro
vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la
pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se
mueve el extremo superior de la escalera en el momento en
que se halla a 6 pies del piso?
Ejemplo 1
Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro
vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la
pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se
mueve el extremo superior de la escalera en el momento en
que se halla a 6 pies del piso?
Ejemplo 2
A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La
embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el
norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia
entre ambos a las 4 pm.?
12 m
A
B
Ejemplo 2
A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La
embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el
norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia
entre ambos a las 4 pm.?
1 pm.
A
B
Ejemplo 2
A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La
embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el
norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia
entre ambos a las 4 pm.?
2 pm.
B
A
Ejemplo 2
A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La
embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el
norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia
entre ambos a las 4 pm.?
3 pm.
B
A
Ejemplo 2
A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La
embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el
norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia
entre ambos a las 4 pm.?
B
A
4 p.m.
Ejemplo 3
Un reflector en el piso alumbra un muro a 12 m de distancia.
Si un hombre de 2 m de altura camina del reflector hacia el
muro a una velocidad de 1,6 m/s, ¿con qué velocidad
disminuye la altura de su sombra en el muro cuando está a
4 m de la pared?
Ejemplo 3
Un reflector en el piso alumbra un muro a 12 m de distancia.
Si un hombre de 2 m de altura camina del reflector hacia el
muro a una velocidad de 1,6 m/s, ¿con qué velocidad
disminuye la altura de su sombra en el muro cuando está a
4 m de la pared?
Ejemplo 4
Una lancha es remolcada hacia un muelle con una cuerda
atada a su proa que pasa por una polea en el muelle. Esta
polea está 1 m mas alta que la proa del bote. Si la cuerda se
desliza con una velocidad de 1 m/s, ¿con qué velocidad se
acerca la lancha al muelle cuando está a 8 m de distancia de
él?
Ejemplo 4
Una lancha es remolcada hacia un muelle con una cuerda
atada a su proa que pasa por una polea en el muelle. Esta
polea está 1 m mas alta que la proa del bote. Si la cuerda se
desliza con una velocidad de 1 m/s, ¿con qué velocidad se
acerca la lancha al muelle cuando está a 8 m de distancia de
él?
Ejemplo 5
Un canal tiene 10 pies de largo y sus extremos presentan la
forma de triángulo isósceles de 3 pies de ancho y 1 pie de
altura. Si el canal se llena de agua con un flujo de 12 pies
cúbicos por minuto, ¿con qué velocidad cambia el nivel del
agua cuando hay 6 pulgadas de profundidad?
Ejemplo 6
Cuando el aire se expande adiabáticamente (sin ganar ni
perder calor), su presión P y su volumen V se relacionan
mediante la ecuación:
PV
1, 4
 C
donde C es una constante. En cierto instante el volumen es
400 cm3 y la presión 80 kPa y disminuye a 10 kPa/min. ¿Con
qué velocidad aumenta el volumen en ese momento?
Ejemplo 7
Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas
cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm.
¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando
pasa por un punto a 1 km de P?
P
Ejemplo 7
Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas
cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm.
¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando
pasa por un punto a 1 km de P?
P
Ejemplo 7
Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas
cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm.
¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando
pasa por un punto a 1 km de P?
P
Ejemplo 7
Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas
cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm.
¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando
pasa por un punto a 1 km de P?
P
Ejemplo 7
Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas
cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm.
¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando
pasa por un punto a 1 km de P?
P
Ejemplo 7
Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas
cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm.
¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando
pasa por un punto a 1 km de P?
P
Ejemplo 7
Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas
cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm.
¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando
pasa por un punto a 1 km de P?
P
Ejemplo 8
Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el
este a 3 mi/h y la otra hacia el noreste a 2 mi/h. ¿Con qué
velocidad cambia la distancia entre ellas después de 15
minutos?
NE
E
Ejemplo 8
Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el
este a 3 mi/h y la otra hacia el noreste a 2 mi/h. ¿Con qué
velocidad cambia la distancia entre ellas después de 15
minutos?
NE
E
Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Cuarta edición
James Stewart
Sección 3.10
Ejercicios 3.10 pág 257:
2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 15, 17, 18, 20, 21, 24, 26,29, 31, 32,
33.
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Clase 11