Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
Aplicaciones Lineales:
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Aplicación Lineal:
– Definición.
– Ejemplos.
– Propiedades.
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Núcleo de una aplicación lineal.
Imagen de una aplicación lineal.
Teorema fundamental de las aplicaciones lineales.
Clasificación de las aplicaciones lineales.
Representación matricial de una aplicación lineal.
Expresión de una aplicación lineal en bases distintas: cambio de base.
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Definición de Aplicación Lineal
Sean E y F espacios vectoriales definido sobre un cuerpo conmutativo .
Una aplicación T de E sobre F es aquella que hace que a cada vector de E le
corresponda un vector de F.
T
F
E
 x  E  y  F / T (x)=y
x
Para que la aplicación sea lineal debe cumplir dos condiciones:
•  x , y  E T(x+y)=T(x)+T(y)
•  x  E   a   T(ax)=aT(x)
T(x)=y
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Ejemplos
Transformación de un vector
de 2 en su simétrico
respecto de la bisectriz del
primer y tercer cuadrante.
Toda matriz Amxn representa una transformación lineal de un espacio E de
dimensión n sobre otro espacio F de dimensión m.
xE  y F / T(x)=Ax=y
2

A  3

 5

1

0

2  3x2
1
2
x=    R
2
 4 


3
T (x)= 3  R


 1



2

3

 5

1
 4 
1 

0   3
 2


  


2

1


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Propiedades
1.
2.
3.
4.
T(0E)=0F
n
n
T(ax+by)=aT(x)+bT(y) en general: T(Saixi)=Sai T(xi)
i=1
i=1
Si {e1,e2, …, en} es un conjunto linealmente dependiente de E, entonces
{T(e1),T(e2) ,…,T(en)} es un conjunto linealmente dependiente de F.
Si {e1,e2, …, en} es un sistema generador de E entonces {T(e1),T(e2)
,…,T(en)} es un sistema generador de T(E)=Im(T)
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Núcleo de una Aplicación Lineal (Kernel, Null Space)
Dada una aplicación lineal T definida de E sobre F,
Se llama núcleo de la aplicación lineal T a un subconjunto de E formado por
todos los vectores xE tales que T(x)=0F
K er (T ) 
x  E
/ T (x )  0F
Los vectores que pertenecen al núcleo de la aplicación forman un subespacio
vectorial de E. El subespacio núcleo también se conoce con los nombres
Kernel y Null Space (en la bibliografía inglesa).
T
F
E
Ker(T)
 0F
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Imagen de una Aplicación Lineal (Column Space)
Dada una aplicación lineal T definida de E sobre F,
Se llama Imagen de la aplicación lineal T a un subconjunto de F formado por
todos los vectores yF que son imagen de algún vector xE
Im (T )   y= T (x)  F / x  E 
Los vectores que pertenecen a la Imagen de la aplicación forman un
subespacio vectorial de F. El subespacio Imagen también se conoce con el
nombre de Column Space (en la bibliografía inglesa), y hace referencia a las
columnas linealmente independientes de la matriz que representa la aplicación
lineal.
T
E
F
Im(T)
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Núcleo e Imagen
Dada una matriz A que representa la aplicación lineal T de E sobre F, cúales
son los subespacios Núcleo e Imagen?
Núcleo: Está formado por todas las soluciones posibles del sistema
homogéneo A x=0. xE / Ax=0
Imagen: Está formado por todos los términos independientes b, del sistema
A x=b, que se pueden obtener para cualquier vector xE .
Esos términos independientes son combinaciones lineales de las columnas de
la matriz A.
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Teorema fundamental de las aplicaciones lineales (1)
La dimensión del espacio vectorial inicial E es igual a la suma de las
dimensiones del núcleo de la imagen de la aplicación.
Dim E=Dim Ker(T)+Dim Im(T)
Demostración:
-Se dispone de una base del Núcleo BKer(T)={e1,e2, …, ep} (Dim Ker(T)=p)
-Completamos la base del nucleo hasta conseguir una base de E
BE={e1,e2, …, ep, ep+1,ep+2, …, en} (Dim E=n)
p vectores
n-p vectores
-Calculamos una base de Im(T) ; Im(T)=Span(T(BE))
Im(T)= Span{T(e1),T(e2), …,T(ep),T(ep+1),T(ep+2), …,T(en)}
Las imágenes de vectores
del núcleo son 0F
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Teorema fundamental de las aplicaciones lineales (2)
Demostraremos que los vectores T(ep+1),T(ep+2), …,T(en) forman una base
de im(T) y por lo tanto deben ser linealmente independientes)
ap+1T(ep+1)+ap+2T(ep+2)+…+anT(en)=0F  T(ap+1ep+1+ap+2ep+2+…+anen)=0F ;
Pertenece al núcleo de T
ap+1ep+1+ap+2ep+2+…+anenKer(T) , por tanto es combinación lineal de los
vectores de la base del núcleo.
ap+1ep+1+ap+2ep+2+…+anen= a1e1+a2e2+…+apep
a1e1+a2e2+…+apep + ap+1ep+1+ap+2ep+2+…+anen=0E
Como e1,e2, …, ep, ep+1,ep+2, …, en forman base de E , ai=0 i=1,..,n
Así ap+1, ap+2,…., an valen cero, con lo que T(ep+1),T(ep+2), …,T(en) son
independientes y forman base de la Im(T).
Por lo tanto, Dim Im(T)=n-p y como Dim Ker(T)=p y Dim E=n entonces:
Dim E=Dim Ker(T)+Dim Im(T)
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Clasificación de las aplicaciones lineales
 Aplicación lineal inyectiva:
Una Aplicación lineal T: EF es inyectiva si T(x)=T(y)  x=y.
(Cada imagen tiene un solo origen).
 Aplicación lineal sobreyectiva:
Una Aplicación lineal T: EF es sobreyectiva si  y F  x E / T(x)=y.
(Todos los vectores de F son imagen de algún vector de E)
 Aplicación lineal biyectiva:
Una aplicación lineal T: EF es biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva.
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Caracterización de las aplicaciones lineales inyectivas
Una aplicación lineal es inyectiva si y sólo si el núcleo de la aplicación está
formado por el vector nulo 0E.
Demostración:
1º
Sea T una aplicación inyectiva:
Supongamos que xKer(T) T(x)=0F
T(x)=T(0E)
Además 0E Ker(T)  T(0E)=0F
Como T es inyectiva T(x)=T(0E) x=0E por tanto Ker(T)={0E}
2º
Sea Ker(T)={0E}. Demostraremos que T es inyectiva.
Sean x, y E / T(x)=T(y) T(x)-T(y)=0F.T(x-y)=0F x-yKer(T)={0E}
Por tanto x-y=0E x=y
Por tanto si T(x)=T(y) x=y lo que indica que la aplicación es inyectiva
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Caracterización de las aplicaciones lineales sobreyectivas
Una aplicación lineal es sobreyectiva si y sólo si el espacio vectorial final F es
la imagen de la aplicación.
Demostración:
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Expresión del cambio de base en las aplicaciones lineales
Dada una aplicación T definida de un espacio vectorial E de dimensión n sobre
otro espacio vectorial F de dimensión m existe una matriz Amxn que representa
dicha aplicación de la forma siguiente:
xE  yF / T(x)=y
La matriz A representa la aplicación lineal para una cierta base de E y otra
base de F por lo que deberíamos representar la aplicación de la siguiente
manera: ACB (x)=CBF(y)
E
Un cambio de base podría ser representado esquemáticamente de la siguiente
forma:
T
E
F
BE
P= Matriz de paso
de BE a B’E
Matriz A1
P
B’E
BF
Q
Matriz A2
A2=Q-1A1P
B’F
Q= Matriz de paso
de BF a B’F
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Expresión del cambio de base en las aplicaciones lineales
Expresión de la aplicación lineal en las bases BE y BF :
A 1 C B E (x)=C B F (y )
(1)
Expresión del cambio
de base de BE a B’E:
Expresión del cambio
de base de BF a B’F:
C B E (x)=P C B 'E (x)
C B F (y )=Q C B 'F (y )
Se sustituye cada expresión de cambio de base en la expresión (1) y se opera:
A 1 P C B 'E (x)=Q C B 'F (y )
La matriz Q es regular puesto que representa un cambio de base, luego:
Q
-1
A 1 P C B 'E (x)= C B 'F (y )  A 2 = Q
A2
-1
A1 P
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