Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
Transformaciones Elementales. Indice:
•
Definición de Transformación Elemental.
– Ejemplos
•
Definición de Matriz Elemental
– Ejemplos
•
Aplicaciones:
– Calculo del Rango de una Matriz. (Matrices Equivalentes)
– Calculo de la Inversa de una Matriz.
– Resolución de sistemas de ecuaciones Lineales. (Forma Escalonada)
• Teorema de Rouche Frobenius
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Definición de Transformación Elemental
Operación que se realiza sobre una fila o una columna de una matriz y que
puede ser de los tres tipos siguientes:
•
•
•
Fi ↔ Fj
Fi → aFj
Fi → Fi+aFj
Intrercambio de la fila i-esima por la fila j-esima
Multiplicar la fila i-esima por el escalar a
A la fila i-esima se le suma la j-esima multiplicada por a
Estas operaciones no modifican la dimensión ni el rango de la Matriz
La matriz resultante se dice que es equivalente a la matriz de partida
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Definición de Matriz Elemental
Se denomina matriz elemental a toda matriz cuadrada obtenida al realizar una
transformación elemental a la matriz unidad.
Ej:
F1 ↔F3
0

0

1

0
1
0
1

0

0 
C2 → C2+3C1
Las Matrices resultantes siempre son matrices regulares
1

0
3

1
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Realizar una transformación elemental de filas sobre una matriz Amxn equivale a
premultiplicarla por la matriz elemental correspondiente Pmxm
F1 ↔F3
1

A 3

5

2

4

6 
0

P  0

1

0
1
0
B3x2 =P3x3 A3x2
1

0

0 
0

B  PA  0

1

0
1
0
11

0 3

0   5
2 5
 
4  3
 
6   1
6

4

2 
Realizar una transformación elemental de columnas sobre una matriz Amxn
equivale a postmultiplicarla por la matriz elemental correspondiente Qnxn
C2 →C2 +3C1
1

A 3

5

2

4

6 
1
Q 
0
3

1
C3x2 =A3x2 Q2x2
1

C  AQ  3

5

2
1
4 
 0

6 
1
3 
 3
1  
5
5 

13

31 
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Aplicaciones: Cálculo del Rango de una matriz
Rango: Orden del mayor menor no nulo que se puede extraer de una matriz.
H=P A Q
H Matriz mas sencilla equivalente a A (Tienen el mismo rango)
P Matriz de transformaciones elementales de filas
Q Matriz de transformaciones elementales de columnas
La matriz H se llama forma canónica de Hermite de la matriz A
Pr Pr  1 Pr  2
P2 P1 A Q 1 Q 2
 Ir
Q s-1 Q s  P A Q = H = 
 0
0

0
 
r=Rango de A
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Rango de una matriz: Ejemplo
1

0

0







 1

0

 1







0
0
1
2
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
3

1

2

0
0

0
1 
 1

0

 1







0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
2
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
C2-2C1
C3-C1
C4-3C1
F3-F1
0
0
1
2
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0 

1

0 

3 
0 

0 
1 
C3-C2
C4-C2
3 

1

1 

0 
0 

0 
1 
 1

0

 1







 1

F3+F2  0
 1







0
0
1
2
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
2
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0 

0

0 

1 
1 

0 
1 
3 

1

0 

0 
0 

0 
1 
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Aplicaciones: Inversa de una matriz
Matriz Regular
(Matriz Cuadrada)
Rango igual al numero de filas y columnas
Admite inversa
Su forma canónica de Hermite H=Inxn
Determinante ≠ 0
Si A es regular:
H=PAQ > I=PAQ ; Se puede llegar a obtener I solo con transformaciones
elementales de filas ó solo con transformaciones elementales de columnas.
Solo filas: I=PAQ > I Q-1=PA
> Q-1 I=PA
> I=QPA
Solo columnas: I=PAQ > P-1 I=AQ > I P-1 =AQ
> I=AQP
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Cálculo de la Inversa
Solo filas: I=PA > A-1=P I
Haciendo transformaciones de filas se llega de A a I (matriz P)
Aplicando las misma transformaciones de filas a la matriz unidad se llega de I a
A-1
Solo columnas: I=AQ > A-1= IQ
Haciendo transformaciones de columnas se llega de A a I (matriz Q)
Aplicando las misma transformaciones de columnas a la matriz unidad se llega
de I a A-1
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Cálculo de la Inversa: Transformaciones de filas
1

1

 2
F1-F2
F3+2F2
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1

0

 0
F2+F1
F3-2F1
0 

0

1 
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
2
0 

0

1 
 1

0

 0
1
0
1
0
1
0
1
1
2
1
2
0
0

M . Inversa= 1

 0
1
1
2
0 

0

1 
0

0

1 
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Cálculo de la Inversa: Transformaciones de columnas
1

1

 2

1
0

0
1
0
0
0
1
0
0 

0

1 

0 
0 

1 
C2+2C3
 1

1

 2

 1
 0

 0
C2-C1









1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
2
0 

0

1 

0 
0 

1 
0
1
2
1
1
0
0 

0

1 

0 
0 

1 









C1+C2
0

M . Inversa= 1

 0
1
1
2
1
0
0
0
0
2
0
1
1
1
0
0
0

0

1 
0 

0

1 

0 
0 

1 
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Aplicaciones: Sistemas de ecuaciones lineales, resolución.
Método de resolución: Eliminación Gaussiana.
• Se pretende obtener un sistema equivalente al de partida (misma solución)
mas sencillo de resolver.
• Se transforma el sistema inicial mediante transformaciones elementales (de
filas básicamente)
•Consta de dos partes, triangularización-eliminación y sustitución regresiva
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Primera etapa de la eliminación
(1)
 a11
 (1)
 a 21
 a (1)
31


 a (1)
 n1
Pivote
(1 )
F2  F2 
a 21
F3  F3 
a31
Fn  Fn 
a n1
a
(1 )
11
F1
(1 )
(1 )
a1 1
F1
(1 )
a
(1 )
11
F1
(1)
 a11

 0
 0


 0

(1)
a13
a 22
(1)
a 23
(1)
a 33
an2
(1)
an3
(1)
a13
(2)
a 23
(2)
a 33
(2)
an3
a12
a 32
a12
a 22
a 32
an2
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(2)
(2)
(2)
(1)
(1)
a1 n   x1   b1 
  (1) 
(1)  
x
a2n  2
b
   2 
(1)
(1)
a 3 n   x 3    b3 
  

  

(1)
(1)
a nn   x n   b n 
(1)
(1)
a1 n   x1   b1 
  (2) 
(2)  
a2 n  x2
b
   2 
(2)
(2)
a 3 n   x 3    b3 
  

  

(2)
(2)
a nn   x n   b n 
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Segunda etapa de la eliminación
Pivote
(2)
F3  F3 
a32
Fn  Fn 
an2
(2)
a 22
F2
(2)
(2)
a 22
F2
(1)
 a11

 0
 0


 0

(1)
 a11

 0
 0


 0

(1)
a13
(2)
a 23
(2)
a 33
(2)
an3
(1)
a13
a 22
(2)
a 23
0
a 33
0
an3
a12
a 22
a 32
an2
a12
(1)
(2)
(2)
(2)
(1)
(2)
(3)
(3)
(1)
(1)
a1 n   x1   b1 
  (2) 
(2)  
a2 n  x2
b
   2 
(2)
(2)
a 3 n   x 3    b3 
  

  

(2)
(2)
a nn   x n   b n 
(1)
(1)
a1 n   x1   b1 
  (2) 
(2)  
a2 n  x2
b
   2 
(3)
(3)
a 3 n   x 3    b3 
  

  

(3)
(3)
a nn   x n   b n 
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Sustitución regresiva
 a11(1)

 0
 0


 0

 0
(1)
a13
a 22
(2)
a 23
0
a 33
0
0
a n 1 n 1
0
0
0
a12
(1)
(2)
(3)
( n  1)
(1)
(1)
a1 n   x1   b1 
  (2) 
(2)  
a2 n  x2
b

  2 
(3)
(3)
a 3 n   x 3   b3 


 


 
( n  1)
( n  1)
a n 1 n   x n 1   b n 1 

  (n) 
(n)
a nn   x n   b n 
(n)
bn
xn 
x n 1 
b
(n)
a nn
( n  1)
n 1
a
a
(i)
( n  1)
n 1 n
( n  1)
n 1 n 1
xn
xi 
bi
 a in x n 
(i)
(1)
x1 
(1)
a
(1)
11
(i)
(i)
a ii
n
b
b1  a1 n x n 
 a ii  1 x i  1
 a12 x 2
(1)
xi 
(i )
i


k  i 1
(i)
ii
a
(i )
a ik x k
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Ejemplo
1

2
3

2
3
3
4
4
6
14 
1


20    0
0
29 

2
3
1
2
2
3
14 
1


8   0
0
 13 

F2-2F1
F3-3F1
F3-2F2
Sustitución regresiva
x3=3;
-x2-2x3=-8;
x2=2;
x1+2*2+3*3=14;
x1=14-4-9=1
2
3
1
2
0
1
14 

8 
3 
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Ejemplo 2: Sistema incompatible
1

3
4

0
10
1
4
1
6
5 
1


 1   0
0
1 

0
10
1
 34
1
 34
5 
1


 16    0
0
 19 

F2-3F1
F3-4F1
M. Coeficientes
Dos escalones
1

0

 0
0
10
1
 34
0
0
F3-F2
0
10
1
 34
0
0
5 

 16

 3 
M. Ampliada
Tres escalones
5 

 16 
 3 
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Resolución de Sistemas de ecuaciones lineales.
Caso general
1º
Escalonamiento de la matriz Ampliada.
Nº etapas= Nº Ecuaciones -1
2º
Compatibilidad del sistema: (Análisis de escalones)
- Si Nº escalones M. Coeficientes = Nº escalones M. Ampliada
Sistema Compatible
- Si Nº escalones M. Coeficientes ≠ Nº escalones M. Ampliada
Sistema Incompatible
3º
Resolución:(Sustitución regresiva, solo para sistemas compatibles)
Despejar de cada ecuación la incógnita que está en el escalón.
- Si Nº escalones = Nº incógnitas Sistema compatible determinado
- Si Nº escalones < Nº incógnitas Sistema compatible indeterminado
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Análisis de un sistemas de ecuaciones lineales.
Escalonamiento
de la matriz Ampliada.
Compatibilidad del sistema:
(Análisis de escalones)
p=Nº Escalones M. Coeficientes
q=Nº Escalones M. Ampliada
Sistema compatible
determinado.
Solución única
Si
Si
p=q
No
Sistema Incompatible
Sistema compatible.
Estudio del Nº de
Soluciones.
n=Nº incógnitas
p=q=n
No
Sistema compatible
indeterminado.
Infinitas soluciones
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