Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas
1.2- MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN DE ADOMIAN (ADM)
El Método de Descomposición de Adomian fue inventado por el físico
norteamericano G. Adomian (1923-1996) en 1984, pero ha sido bajo
el impulso del profesor Y. Cherrault cuando el método ha encontrado su
soporte matemático. En particular, Yves Cherrault y Karim Abbaoui
han podido probar la convergencia bajo hipótesis razonables y dar formulas
simples de los polinomios de Adomian.
Numerosas modelizaciones de problemas físicos o biológicos desembocan
en ecuaciones funcionales no lineales de diversos tipos: diferenciales
ordinarias, diferenciales en derivadas parciales, integrales, integrodiferenciales…Linealización y discretización son las técnicas más utilizadas
para su solución, aunque se corre el riesgo de que la solución se aleje de la
solución del problema a resolver.
El método no cambia la naturaleza del problema, en particular no efectúa
ninguna linealización ni discretización. Está basado en la búsqueda de una
solución en forma de serie y en la descomposición del operador lineal en
serie en los que los términos se calculan de forma recurrente utilizando
unos polinomios llamados los polinomios de Adomian.
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Bajo ciertas condiciones de convergencia, la suma de la serie dará la solución
exacta, pero en general la serie se truncará para dar una buena
aproximación. El error de truncamiento puede ser estimado la mayoría de las
veces.
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ANÁLISIS DEL MÉTODO
Consideremos la ecuación diferencial no lineal
donde F representa una combinación lineal de operadores lineales y no
Lineales, esto es,
donde L representa el operador lineal (generalmente L es la derivada de
orden superior ,fácilmente invertible), R es un operador lineal de orden
menor que L, N es un operador no lineal y g es el término fuente.
En el ADM se supone que la solución u pueda ser expandida como una serie
donde los un son calculados recursivamente.
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Resolviendo esta ecuación para
, ya que L es invertible, podemos escribir:
Si L, por ejemplo, es un operador derivada de segundo orden, L es una integral doble indefinida,
resolviendo para u en la ecuación (1) obtenemos:
donde A y B son constantes de integración que pueden ser halladas con las condiciones iniciales o con las
condiciones de frontera.
El término R es el resto del operador lineal L, el término N es una función no
lineal de u, con la siguiente descomposición
Aquí los An son llamados los polinomios de Adomian, pueden ser
generados de muchas formas (*). Se usa la formula de recurrencia:
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Finalmente la solución puede ser escrita
El método no acude a la linealización o al supuesto de no linealidad débil,
la solución generada es en general mas realista que aquellos que
simplificaron el modelo del problema físico.
Ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales
Ejemplos
Ejemplo_1 Considerar el PVI:
Se tiene:
La ecuación da:
Tenemos que
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Continuando esta iteración se llega
Ejemplo_2 Considerar la ecuación integral (anexo)
Tenemos que
Supongamos que
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Luego tenemos que
Así para cualquier
Por tanto
Verificar que sinx es la solución exacta de
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Ejemplo_3 Considerar la ecuación integral de Volterra
Tenemos que
Notar que u2 no puede ser evaluada directamente. Por tanto, el método sólo
puede da soluciones aproximadas. Para más información (Chama)
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Ejemplo_4 Considerar la ecuación de Pearl-Verhulst
Donde N(t) es el número de células en el tiempo t, con la condición inicial que en t0
se tienen No células, k=l-m es la tasa neta de crecimiento o decaimiento de la
población (l es la tasa de nacimiento, m la tasa de muerte y Nc es la población más
grande que el medio soporta (capacidad de carga).
Podemos escribir (1) como:
Definamos el operador
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De aquí que
Escribiendo
polinomios así:
, donde los An son una clase especial de
Descompongamos N(t) en sus componentes
los cuales están
determinados tomando
en este caso. Si hay un término
no homogéneo esté deberá estar incluido en
.
Podemos ahora identificar
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Así, cuando los An han sido evaluados, todas las Nn quedan completamente
determinados en términos de la componentes precedentes, así que podemos tener
los cálculos de los An son:
Así
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Consecuentemente, ya que N 0 = N ( 0 )
Etc…
Claramente todos los términos son fácilmente calculables.
Biological Systems Interations. G. Adomian, G. E. Adomian, R.E. Bellman
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Sugerencia **
Ejemplo_5 Ecuación diferencial de Riccati
Aplicando el operador inverso:
Usando descomposición en series de un y la representación de
Método de Adomian modificado:
acelera la convergencia
anexo
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Las primeras componentes da
La solución exacta es
.
Ecuaciones diferenciales parciales no lineales
Dif. de mayor orden en x
Dif. de mayor orden en y
Suponer Lx es el de menor entre los dos
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Haciendo como antes…….
Las componentes de Un se tienen en forma recursiva
Conociendo los An
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Observación
Linealización exacta:
lineal
No lineal
Directamente ADM
Sea
donde
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Resolviendo para
sumando
definiendo
Sustituyendo
obtenemos:
Con esto todas las componentes quedan determinadas.
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Ejemplo 6_ Considerar el problema de valor en la frontera
Un operador para (1) sería
donde
Aplicando
donde
por tanto
a ambos lados de (2)
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El método de Adomian, descompone la solución
componentes
y el término no lineal
en una serie infinita de
por una serie infinita de polinomios
Sustituyendo la descomposición en series dadas por (4) y (5) en (3) da
El método de descomposición identifica la componente cero
con todos
Los términos que se presentan de las condiciones de frontera y la integración del
término no homogéneo.
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Por consiguiente, el método de descomposición admite el uso dela relación
de recurrencia
Los polinomios de Adomian que representan el término no lineal
definidos por
Usando (7) y (8), hallamos
están
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Sustituyendo los resultados de (9) en (4) da la solución en forma de serie con f(y)
aún sin determinar. Usando la condición de frontera u(x,0)=b1(x) en la solución en series
obtenida e igualando los coeficientes en potencias de x para así determinar
esto nos dará una expresión en series de Maclaurin para f(x).
Una vez establecida f(x), la solución en serie se sigue inmediatamente.
Resultados numéricos
Aplicando
donde
a ambos lados de (1*) da
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Sustituyendo la descomposición en series dadas por (4) y (5) en ambos lados de (2*) da
Esto da la relación de recurrencia
Las primeras componentes de
están dadas por
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Esto da
para terminar falta determinar f(y).
Usando la condición en la frontera
en la ecuación anterior da
Igualando los coeficientes en potencias de x en ambos lados
La expansión de Maclaurin de f(y) es dada por
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D aquí que
en (6*) lleva a la solución exacta
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Ejemplo 7_ (Ecuación cúbica de Schrödinger no lineal)
Aplicando ADM
(Operador lineal
, operador no lineal
)
Operador inverso
En el ADM se supone que la solución u pueda ser expandida como una serie
donde los un son calculados recursivamente.
Ecuación diferencial parcial no lineal dispersiva. Describe la evolución espacio-temporal del campo complejo
.
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El término no lineal N(u) se descompone en una serie infinita de polinomios de la forma
Donde los An son los polinomios de Adomian, que al sustituir en (3) da
De acuerdo a Adomian u0(x,t) es identificado con el dato inicial f(x) y la siguiente
formula de recurrencia se propone
donde los polinomios de Adomian vienen dados por
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O bien, escribiendo el término no lineal en la forma
Así por ejemplo, si
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Suponiendo que se tenga lo siguiente
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Sumando ahora estas componentes produce
con
. Puede verse que esta es la solución exacta, cuando
se compara con otros métodos analíticos.(*)
Ejemplo: (**)
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Ejercicios_1
Donde
Solución:
Ejercicios_2
Donde
Solución:
Ejercicios_3
Donde
Solución:
?
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Ejercicios_4
Donde
Solución:
Ejercicios_5
Donde
Solución:
Ejercicios_3
Donde
Solución:
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Parciales no Lineales
Sea el sistema de EDP no lineal:
Escribiendo de otra forma:
Descomponemos las soluciones en series
Y los términos no lineales
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Donde los polinomios de Adomian vienen dado por:
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Ejemplo 8_ ( Sistema de manakov)
Sistema acoplados de ecuaciones diferenciales no lineales de Schrödinger)
Aplicando ADM
Donde
denota el operador lineal. Usando el operador inverso a
ambas ecuaciones se tiene:
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Donde:
Operador inverso
Operadores no lineales
En el ADM se supone que la solución u y v puedan ser expandidas como
una serie
donde los un y vn son calculados recursivamente.
Los términos no lineales N1(u,v) y N2(u,v) se descompone serie infinita de
polinomios de la forma
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donde Akm son los polinomios de Adomian dados por:
De aquí , se obtiene lo siguiente:
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ANEXO_1
Ecuación integral lineal de Fredholm
1ª clase
2ª clase
Ecuación integral lineal de Volterra
1ª clase
2ª clase
Ecuación de Volterra a PVI:
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Método de descomposición de Adomian
Ver
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Método de descomposición mejorado
Ejercicio: Aplicarlo a
Para más información :
A First Course in Integral Equations_Abdul Majid Wazwaz, World Scientific.
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Pag.14
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Partial Differential Equations_Method and Applications . Abdul-Majid Wazwaz
A First Course in Integral Equations_Abdul Majid Wazwaz, World Scientific.
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