Formas cuadráticas
Distribución de Chi-Cuadrado

Distribución Chi-cuadrado central

Distribución de Y’Y con Y~Nn(0,I)

Distribución Chi-cuadrado no central

Distribución de Y’Y con Y~Nn(,I)

Esperanza de una Chi-cuadrado no central

Varianza de una Chi-cuadrado no central

Distribución de la suma de Chi-cuadrado no
centrales independientes
Distribución 2 central
Función de Densidad

 u ( n  2 ) / 2e  u / 2

2
  n 2(n / 2)
2
(u , n )  

 0 p a ra u  0

 
Función generatriz de momentos
m u ( t )  (1  2 t )
n / 2
; con  t  1/ 2 
Distribución 2central
Definición a partir de normales

Sea
z    z1 , z 2 ,..., z n 

con
z ~ N n ( 0, I)

y definimos
U  z z

Entonces
U ~  (n )
2

mU (t ) 
R


R
e
t  z z 
 2 
n /2
e
 1/ 2  z z 
dz 
n
 2

n /2
e
 1/ 2  z z   t  z z 
dz
n
mU (t ) 
  2 
R
n
n / 2
e
 (1 / 2  t )  z z 
dz
Teorema 1.10.1
Graybill F.A. Theory and Application of Linear Models.
Duxbury Press. (pag. 48)

Sean




a0 y b0 constantes,
a y b vectores nx1,
A una matriz simétrica nxn de constantes y
B una matriz definida positiva de constantes.
 
  ...  x' Ax
I
 
I

1
2
 x' a  a o  exp  x' Bx  x' b  b o dx 1 dx 2 ... dx n

n/2 B
1 / 2
exp

1
4
b' B
1
b  b o  tr  AB

1
  b' B 1 a

1
2
b' B
1
AB
1
b  2a o

mU (t ) 
  2 
R
 
 
I
1
2
e
 (1 / 2  t )  z z 
dz
n

  ...  x' Ax
I
n / 2
 x' a  a o  exp  x' Bx  x' b  b o dx 1 dx 2 ... dx n

n/2 B
1 / 2
exp

1
4
b' B
1
b  b o  tr  AB

1
  b' B 1 a

1
2
b' B
1
AB
1
b  2a o

  2 
mU (t ) 
R
n / 2
B  1 / 2  t  I
A  0
b  0

n / 2
b0  0
mU (t ) 

1
2
dz
n
a  0
a 0   2
e
 (1 / 2  t )  z z 

1
2

n/2
n/2
2
 (1 / 2  t )I
n/2
(1  2 t )
1/ 2
n / 2
 (1  2 t )
n / 2
  2  2 
  2  2 
n / 2
n / 2


Distribución 2
Esperanza y varianza
E (U )  n
V (U )  2 n
Distribución 2 no central
Función de densidad

  e    j v ( n  2 j  2 ) / 2e v / 2

n2 j
j (n / 2 )
j
!

j

0
2
2

2
(v , n ,  )  


0 p a ra v  0


( j =1 para  =0 y j=0 )

Distribución 2 no central
Función generatriz de momentos
m V ( t )  (1  2 t )
n / 2
 2t  
e xp 
 ; con  t  1 / 2 
 1  2t 

Encontrar esperanza y varianza de una chicuadrado no central
Distribución 2
Esperanza y varianza
E (U )  n  2 
V (U )  2( n  4  )
Chi cuadrado no central a partir de normales
independientes con esperanzas distintas de 0
y ~ N n (μ, I)
2

V  y y; V ~  ( n ,  )
 

μ
μ
2
1

Ver demostración en notas de clases
Distribución 2
f ( u)
0.20
n =4;  =0
0.18
0.16
0.14
0.12
n =4 ;  =1
0.10
0.08
n=4 ;  =5
0.06
0.04
0.02
0.00
0.0
5. 0
10.0
15.0
u
20 . 0
25 . 0
30 . 0
Distribución de la suma de chicuadrados independientes
y 1 ~ N n ( μ 1, I)
U 1  y 1 y 1
y 2 ~ N n ( μ 2 , I)
U 2  y 2 y 2
1
2
Cov( y 1, y 2 )  0
U 1  U 2  y 1 y 1  y 2  y 2  y y
y   [ y 1 | y 2 ]
y ~ Nn
1  n2
( μ , I)
μ   [μ1 | μ 2 ]
U1  U 2 ~ 
n  n1  n 2
2
 n;  
 
μ μ 
2
1
1
2
( μ 1μ 1  μ 2 μ 2 )  1   2
Distribución de
formas cuadráticas
Distribución de formas
cuadráticas

Distribución de Y’AY, Y~Nn(0,I), A idempotente simétrica

Distribución de Y’AY, Y~Nn(,I), A idempotente simétrica

Distribución de Y’AY, Y~Nn(,),A simétrica A idempotente

Condiciones equivalente a A idempotente

Distribución (n-1)S2/2

Independencia de Formas Cuadráticas y Lineales

Prueba T para una muestra

Independencia de formas cuadráticas

Esperanza de formas cuadráticas
Distribución con
y ~ N  0, I 
A nxn
Simétrica e idempotente de rango k
Existe P ortogonal (P’P=PP’=I) tal que
P A P  D
Teorema 1.2.50 Grabill, 1975
LOS ELEMENTOS DE D SON CERO O UNOS. ¿Por qué?
z  Py
y A y  y P D P y
y A y  z D z
z ~ N  0, I 

Si A tiene rango k, entonces sólo
existen k elementos diagonales de D
iguales a 1 siendo el resto iguales a 0
(¿por qué?)
 z1   z1 
y A y  z D z    D    z 1 z 1
z2 
z2 
z 1 ~ N k ( 0, I )
y Ay ~ 
2
k  

2
 rango ( A ) 
Distribución con y ~ N  μ, I 
A nxn
Simétrica e idempotente de rango k
Existe P ortogonal (P’P=PP’=I) tal que
P  [P1 | P2 ]
Ik
P A P  
0
 P1AP1  I k
z  P y
 P1 
 P1y   z 1 
P y    y  
     z
 P2 
 P2 y   z 2 
0

0
y A y   P z  A  P z  
 z1 
 z P A P z  z D z   
z2 
Ik

0
 z 1 I k z 1  z 1 z 1
0   z1 
  
0 z2 
z 1 ~ N k (P1μ, P1I P1 )  N k ( P1μ, I )
z 1 z 1 ~ 
2
 rango ( A ),
 P1P1μ
μ
2
1
P DP   A  P1P1  A
Ik
A  P D P   [P1 | P2 ] 
0
y Ay ~ 
2
0   P1 
     P1P1
0   P2 
 rango ( A ),
 Aμ
μ
2
1


Distribución con
y ~ N  μ,  
A  id e m p o te n te
  
A, simétrica de rango k
z  
1
y  μ 
y   z  μ

  A    z    μ   v B v
y A y    z  μ  A   z  μ   z    μ

1
v ~ N n   μ, I
1
1

si B id e m p o te n te 

1
2 
1 
1
y Ay ~   rango (B ), 2 μ   
B  μ 



 


μ  
2
1
1

 
B 
1

μ

μ  
2
1
y Ay ~ 
2
1



A 
 rango (B ),
1
2
μ  Aμ
1

μ
1
2
μ A μ

B B   A   A     A  A  
B  A
B id e m p o te n te 
 A   A     A  
Para probar que BB=B tenemos que usar Lema 2 pag. 16 en Searle
Lema 2 pag. 16 en Searle
Q X X  P X X  Q X   P X 
( Q X X  P X X )( Q  P )  Q X X Q   Q X X P   P X X Q   P X X P 
 P X   Q X    P X   Q X  
 P X X P   P X X Q   Q X X P   Q X X Q 
( Q X X  P X X )( Q  P )   P X   Q X    P X   Q X    0   P X   Q X    0
Si post multiplicamos ….
BB  AA
y
B  A
por

tenemos
B B    A  A     A  A    A 
B    A     A 
 A  A     A     A  A     A  
B
2
B
Ejemplo: Distribución de
 n  1 S
2
/
2
S
2
  n  1

 y 1, y 2 ,..., y n 
N n μ,  I
2
 n  1 S
/
2


1

 yi
y

2
i 1
proposición
2
1
n
2
1



y  I  Jn  y
n


demostración
n
 yi
y

2
n

i 1
  y i
2
i 1
n
2
2
2
2
 2 y i y  y    y i  2 ny  ny 

i 1
n

y i  y y  y I y
2
i 1
ny
2
 y n J n y
1
Jn
1 1

1 1

 1 1 


1 1
1

1



1
n
 yi
2
i 1
ny
2
 y1 
 
n
n
n
n
n
 y2


1
1 n
1
y J n y    y i ,  y i ,...,  y i      y 1  y i  y 2  y i  ...  y n  y i 
n
n  i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
   n  i 1

 
yn 
n

1
1
2 2
2
  y 1n y  y 2 n y  ...  y n n y    n y  y i    n y   n y


n
n 
i 1
 n
1
y
1 
1

I

J
y
n 
2 
n
 

A
A  A I =
2
1 
1
1
 2


I

J

I
=
I

J
n 
n 

2 
n
n
 



Luego lo que tenemos que mostrar es que
1


I

J
n 

n


es idempotente
1
1



I

J
I

J

n 
n 

n
n



= I-
1
n
Jn 
= I-2
1
n
1
n
Jn 
Jn 
1
n
1
n
2
JnJn 
Jn 
1


  IJn 
 n

Síntesis
 n  1 S / 
2
2
 y Ay
1 
1

A  2  I  Jn 
n
 

A
id e m p o te n te
1


y A y ~   ra n g o ( A ), μ ' A μ 
2


2
1
1




ra n g o  I  J n   tra za  I  J n  ¿ p o rq u é ?
n
n




Síntesis

Además…
 

1
2
2
1
1


μ  I  J n  μ 
2
n
2


1
1




μ
I
μ

μ
J
μ

n 

2
n

 2
Luego…
y Ay ~ 
2
 n  1
n




μ
μ

μ
μ

0
n


Independencia de formas
cuadráticas y lineales de un
vector aleatorio con
distribución Normal
Caso 1. El vector aleatorio con tiene
matriz de covarianzas identidad
y ~ N  μ, I 
B qn
A nn
( sim étrica )
B A  0  independencia de
By
y
y A y

simétrica de A

garantiza la existencia de P ortogonal
tal que (Teorema 1.2.50 Grabill, 1975).
P A P  D

Reordenando los elementos de y, las filas y
columnas de A y de P
D 1 1
P A P  
 0
D 11  k  k  de rango com pleto
0

0
 rango ( A )
B A  0  B P P A P  0  ¿ p o rq u é ? 
 C11
B P P A P  
C
D
C 21
C 1 2  D 1 1

C 22   0
0
  0  C11  0 , C 21  0
0
(¿Por qué?)
C q  n   0  q  k  , C 2  q  ( n  k ) 


Si definimos
z  P y
entonces
 D 11
y Ay  z P AP z  z  
 0
0
 z  z 1D 11z 1
0
B y  B P z  C z  0 , C 2  z  C 2z 2
z  P  y ~ N n  P   P  I P  
 N n  P   I 
z1
z2
Independientes ¿Por qué?
Implica independencia de
y A y
By
Caso 2. Generalización al caso en que el la
matriz de covarianzas es definida positiva
y ~ N  μ,  
B qn
A nn
( sim étrica )
B  A  0  independencia de
By
y
y A y
   
1
z   y

1
z ~ N     
1
    
1


1
 N    I

y   z
y A y    z  A   z   z  A  z
B     A   ?
B y  B  z
0
B     A    B  A 
luego
B     A    0
Por hipótesis
BA  0
y A y    z  A   z   z  A  z
B y  B  z

1

z ~ N   I

B     A    0
Independencia de formas
cuadráticas de un vector
aleatorio con distribución
Normal
y ~ N  μ,  
B nn
A nn
( sim étrica )
B  A  0  independencia de
y 'B y
y
y Ay
   
   
A  B  A   B
   
A  B  A   B
p o r h ip ó te sis
AB  A B
C
K

0
p o r h ip ó te sis
AB  A B
C
K

0
1
z  P '  y

1
z ~ N P '    P '  
1


     P  N P '    I
1
1


1
z ~ N P '    I

y A y    P z  A   P z  
 z P   A   P z  z P  C P z 
y B y    P z  B   P z  
 z P   B   P z  z P  K P z 
C
K
P APP BP  P A BP  0
C
D 1 1
 z 
 0
K
0
 z  z 1 D 1 1z 1
0
C
0
 z 
0
K
0 
 z  z 2 D 2 2 z 2
D 22 
Distribución T de
Student




Si Z es una variable aleatoria normal
estándar y
U es una Chi-cuadrado con  grados de
libertad y
y Z y U son variables independientes,
entonces
Z
U 
se distribuye como una T de Student
con  grados de libertad.


Estadístico T
Demostrar que tiene distribución T bajo Ho
T 
y
  
S
2
n
y
  

2
Normal estándar
(bajo H0)
n
 n  1 S / 
 n  1
2

2
Raíz cuadrada de una Chi-cuadrado
dividida sus grados de libertad
y
  

2
 n  1 S
n
2
 n  1

/
2
y

  

S
2
2
n
/

2

y

2
n
  
S
2
/

2

y

2
n
  
 S
2
/
2



y

2
n
  
 S
2
/ 
2



y
  
S
2
/n



Para demostrar independencia del numerador
y del denominador

Tenemos que escribir el numerador y
denominador de:

y
  
S
2
/n


como una forma lineal y una cuadrática
respectivamente y mostrar que son
independientes
y
   
 [1 n ,1 n ,...,1 n ] y   
B  [1 n ,1 n ,...,1 n ]
S
2

/n 

1
1


 y 
In  J n   y

 n  n  1 

n




1
1


A 
In  J n  

 n  n  1 

n



BA 

1
1


 [1 n ,1 n ,...,1 n ]  I n 
In  J n   

 n  n  1 

n



2

2
1



[1 n ,1 n ,...,1 n ]  I n  J n 
n  n  1
n


1


[1 n ,1 n ,...,1 n ]  I n  J n  
n


1

1
1
[1 n ,1 n ,...,1 n ]  [1 n ,1 n ,...,1 n ] 
1
n

1
[1 n ,1 n ,...,1 n ] 
1
n
1
1
1
1
[ n n , n n , .. . , n n ]  0
1
1

1
 
1

1
Distribución F (no central)

U1 una chi-cuadrado no central con parámetros n1 y ,

U2 una chi-cuadrado central con n2 grados de libertad

U1 y U2 independientes

W=(U1/n1)/(U2/n2) es una F-no central
Distribución F (no central)
F



e 


j!
( w : n1 , n 2 ,  )   j  0



j
 

 


2 j  n1

n1
n2
n2
2
n2
n1  2 j
2
2
1
n1 w
0 para w  0
( j =1 para  =0 y j=0 )
( 2 j  n1
( n1  2 ) / 2
n2
2)
/2
w

( 2 j  n1  n 2 ) / 2
Distribución F (no central)
0.6
0.5
Densidad
F(8,4,0)
0.3
0.2
F(8,4,10)
0.0
0.00
4.14
8.29
Variable F
12.43
16.57
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