Measuring Rectangularity
Por Paul L. Rosin
¿Qué vamos a ver?
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¿Qué es “measuring rectangularity”?.
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Recordatorio de momentos.
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Una primera aproximación
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Tres nuevos métodos de medida de la rectangularidad.

Conclusiones.
¿Qué es measuring rectangularity?
La medida de la rectanguralidad es
un “shape descriptor” más.
Entra en acción cuando se ha
segmentado la imagen en formas.
Aunque es un método intuitivo, ha
sido muy poco mencionado y usado.
Recordatorio. Momentos
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

Los momentos de orden 0 calculan el área.
Los momentos centrales de orden 2 se usan para
reconocer una imagen independientemente de su
situación en un eje de coordenadas
Con los momentos centrales se podrán reconocer
figuras dentro de una imagen independientemente
de su tamaño
Una primera aproximación
Minimum Bounding Rectangle
Una primera aproximación
Calcular la media entre el área de la
región y el área del mínimo
rectángulo que limita a la figura
Una primera aproximación
Algoritmos muy eficientes.
¡¡ Pero !!
Muy sensible a protuberancias de la imagen.
Primer método
Agreement
Primer método. Agreement
Asume que la región es rectangular.
Mide la longitud de los lados de la
región de dos formas distintas.
La diferencia entre ambas medidas es
el grado de “concordancia”.
Si encontramos una concordancia
perfecta la figura es un rectángulo.
Primer método. Agreement
R
a1  a 2
a1  a 2

b1  b 2
b1  b 2
R : Grado de concordancia.
{a1, b1} : Lados del primer rectángulo
{a2, b2} : Lados del segundo rectángulo
Primer método. Agreement
Primer rectángulo
El cálculo del primer rectángulo
se realiza a partir de eje mayor
y menor de la elipse
correspondiente a la región.
La elipse de la región es aquella
con los mismos momentos de
primer y segundo orden.
Primer método. Agreement
Primer rectángulo
Primer método. Agreement
Primer rectángulo
a1 
3 
6 (  20   20 
(  20   20 )  4 
2
 00
2
11
)
Primer método. Agreement
Primer rectángulo
b1 
3 
6 (  20   20 
(  20   20 )  4 
2
 00
2
11
)
Primer método. Agreement
Segundo rectángulo
El cálculo del segundo rectángulo se realiza a
partir del área y perímetro de la figura.
Primer método. Agreement
Segundo rectángulo
a2 
P
b2 
A
P  16 A
2
4
a2
Primer método. Agreement
Conclusiones
•Calcular el área es sencillo pero calcular el
perímetro puede ser un problema.
•A diferencia del área, el perímetro es más sensible al
ruido.
•No siempre en fácil encontrar soluciones distintas
de cero para la ecuación de a2
Segundo método
Moments
Segundo método. Moments
Mientras que el anterior método era
más visual, este es computacional.
Conociendo como calcular los
momentos de rectángulo centrado en
el origen y alineado con los ejes
obtenemos una medida de la
rectangularidad usando los mismos
momentos.
Segundo método. Moments
Momentos de un rectángulo
3
m 00  ab
m 22 
a b
3
144
Medida de la rectangularidad
R  144
m 22
m
3
00
Tercer método
Discrepancy
Tercer método. Discrepancy
Adaptamos un rectángulo a la región
y medimos las discrepancias con la
región.
Para evitar los problemas de la 1ª
aproximación calculamos sus lados a
partir de la elipse vista en el 1º
método.
Y su centro y orientación a partir de
los momentos vistos en el 2º método.
Tercer método. Discrepancy
El rectángulo no se aplica en contener
(o estar contenido) en la imagen, sino
en fragmentarla.
Calculamos la discrepancia comparando
las tres áreas que obtenemos.
Este es el método más visual de los
cuatro.
Tercer método. Discrepancy
A1: Área de la región
Tercer método. Discrepancy
A2: Área recortada
A3: Área del rectángulo
Tercer método. Discrepancy
A3-A2:Área del rectángulo fuera de la región
Tercer método. Discrepancy
A1-A2:Área de la región fuera del rectángulo
Tercer método. Discrepancy
La discrepancia es el área de la figura
que está fuera del rectángulo y el área
del rectángulo que está fuera de la
figura
R  1
A1  A3  2 A 2
A3
Conclusiones
Para probar los cuatro métodos se han usado un conjunto
de datos sintéticos (gráficas generadas con características
especiales) y regiones extraídas de imágenes (siluetas de
bicicletas, aviones, caballos, estrellas, elefantes, etc.)
Para regiones extraídas de imágenes han funcionado
mejor los métodos Bounding Rectangle y Discrepancy.
Para datos sintéticos cada método ha demostrado
alguna cualidad significativa:
Conclusiones
Bounding Rectangle:
Es muy sensible al ruido (entrantes y
sobre todo salientes)
Agreement:
Falla en regiones compactas y es
propenso a errores en la estimación
del perímetro.
Moment Based:
Este método se puede usar para otras
“shapes” además de rectángulos y es
propenso a errores en la estimación
de la orientación..
Discrepancy:
También tiene problemas estimando
la orientación.
Conclusiones
Una estimación incorrecta de la orientación disminuye la
medida de la rectangularidad.
Puesto que el error en la orientación suele estar en 45º,
una sencilla mejora consiste en estimar la
rectangularidad una segunda vez con esta rotación y
quedarnos con la mayor medida.
Bibliografía
Meausuring Rectangularity.
 Trabajos de años anteriores:

– Cálculo de Momentos.
por Fernando Ramos González.
– Momentos.
por Ignacio Ayllón Benito y Félix A. Velázquez Salas

Libros disponibles en la biblioteca.
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Measuring Rectangularity