Unidad 7:
“CIRCUITOS LÓGICOS
COMBINACIONALES”
Introducción a los
sistemas digitales
Sistemas binarios
Un sistema binario se caracteriza por tener dos valores
posibles que, en términos de voltaje, se corresponden a dos
valores de tensión, los que se representan numéricamente por
un “1” y por un “0”.
Generalmente, la “lógica positiva” hace corresponder un valor
de tensión alto al “1” y un valor de tensión bajo al “0” (y
viceversa para la “lógica negativa”):
0

1

V L ( voltaje bajo) 
 Lógica
V H ( voltaje alto) 
Positiva
Números binarios
La correspondencia entre los
primeros 16 números decimales
y binarios se muestra en la
siguiente tabla:
Mientras más dígitos tiene un
sistema, más compacta es su
notación. Así, los dígitos binarios tienden a ser más largos (en
un factor log210=2,3222) que
su correspondiente nota-ción
decimal.
N ú m ero de cim a l
N ú m e ro b in a r io
0
00 00
1
00 01
2
00 10
3
00 11
4
01 00
5
01 01
6
01 10
7
01 11
8
10 00
9
10 01
10
10 10
11
10 11
12
11 00
13
11 01
14
11 10
15
11 11
Porqué usar la representación binaria
Las principales razones por las cuales utilizar sistemas de
representación binaria son:
• Los sistemas de procesamiento de información se
construyen en base a conmutadores;
• Los procesos de toma de decisión, en un sistema
digital, son binarios; y
• Las señales binarias son más confiables que las que
tienen más niveles de cuantificación.
Porqué usar la representación binaria
Conmutadores
Supóngase un sistema de
iluminación basado en
dos interruptores o conmutadores (como el que
existe en la parte inferior y
superior de una escalera):
S1
1
1
0
0
Ampolleta
220V
S 1  1 (conmutado
r 1 en posición
1)
S 1  0 (conmutado
r 1 en posición
0)
S 2  1 (conmutado
r 2 en posición
1)
S 2  0 (conmutado r 2 en posición 0)
            
Condicione s o premisas
S2
A  0 (ampolleta
apagada)
A  1 (ampolleta encendida)

    

Acciones o Conclusion es
A
Porqué usar la representación binaria
Toma de decisiones
Gran parte de los procesos de decisión tienen carácter binario
Respuestas

 SI
 

 NO
Un sistema puede caracterizarse lingüísticamente como:
VERDADERO
CORRECTO
FALSO
INCORRECTO


etc .


Si (S1=1 y S2=0) o (S1=0 y S2=1),
entonces B=1; caso contrario, B=0.
Confiabilidad
Las señales binarias son mucho más confiables para ser
transmitidas entre dos puntos distantes. Al usar sólo dos
niveles de voltaje para representar un dígito, el sistema es más
inmune a la presencia de ruidos.
Descripciones formales
Definición de modelos lógicos
Una descripción abstracta de un sistema digital, expresado
con enunciados lógicos formales, se denomina “DISEÑO
LÓGICO”.
Los símbolos más
comunes son:
 

 
 


Y

O

entonces
Usando estos símbolos, el circuito de encendido de la
ampolleta puede representarse como:
 S 1
 S 1
 0    S 2  1  
 1    S 2  1  
 S 1
 S 1
 1    S 2  0 

B
 1
ó
 0    S 2  0 

B
 0
Definición de modelos lógicos
Usando este tipo de representación, podría definirse la
operatoria de un sumador binario como:
x  y  Acarreo | Suma
00 
0
|
0
0 1 
0
|
1
1 0 
11 
0
1
|
|
1
0
Entradas
X
Y
0
0
0
1
1
0
1
1
Salidas
Acarreo Suma
0
0
0
1
0
1
1
1
o, en forma simbólica (para el caso de la “suma”), por:
 x
 1 
y
 0 

 Suma
 1
ó
 x  1    y  1    x  0  
y
 0 

 Suma
 0
 0 
y
 1  
 x
Definición de modelos lógicos
Un comportamiento de un sistema combinacional puede
expresarse formalmente como z=f(x), donde “z” representa la
salida del sistema y “x” la entrada (para un sistema de una
entrada y una salida).
En caso de sistemas multivariables (varias entradas y salidas),
“x” será un vector de entradas y habrá una función asociada a
cada salida. Estas funciones también suelen denominarse
“funciones booleanas”, ya que responden al “álgebra de
Boole”.
Definición de modelos lógicos
Para el caso del circuito de la ampolleta:
 f (0,0)  0
 f (0,1)  1


 f (1,0)  1
 f (1,1)  1
B  f ( S1 , S 2 )
TABLA DE VERDAD
S1
S2
B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
Puede apreciarse que
el comportamiento de
un circuito combinacional puede representarse también a
través de una tabla
conocida como “tabla
de verdad”.
Componentes lógicos
Sistemas con conmutadores
Los conmutadores son elementos que pueden tener dos estados
posibles (son adecuados para entender dispositivos lógicos).
Los tipos de conmutadores eléctricos más comunes son:
Electro im án
Tran sis to r M O S
C or rien te “z”
+
C or rien te “ x”
C onmutador electromecá nico
Vo ltaje “x”
-
C or rien te “z”
Conmut ador electró nico
Circuitos de conmutación
Circuito AND
En la siguiente figura se muestra este tipo de circuito, junto
con el símbolo lógico más utilizado para una compuerta AND
y la tabla de verdad correspondiente.
S1
S2
z
Circuito AND
FUENTE
CARGA
Compuerta AND
S1
S2
AND
AN
z
Circuitos de conmutación
Circuito OR
En la siguiente figura se muestra este tipo de circuito, junto
con el símbolo lógico más utilizado para una compuerta OR y
la tabla de verdad correspondiente.
S1
S2
z
Circuito OR
FUENTE
CARGA
Compuerta OR
S1
S2
z
Circuitos de conmutación
Circuito NOT
En la siguiente figura se muestra este tipo de circuito, junto
con el símbolo lógico más utilizado para una compuerta NOT
y la tabla de verdad correspondiente.
S
z
C i rcui to N O T
FUE NTE
CA RG A
1
Co mp uerta N O T
S
z
Expresiones lógicas
Para expresar las funciones lógicas asociadas a cada uno de
los circuitos anteriores, se usan operadores lógicos.
zAND(x1, x2)=1 sí y sólo sí
x1=1 Y x2=1
z AND ( x1 , x2 )  x1  x2
ZOR(x1, x2)=1 sí y sólo sí
x1=1 O x2=1
zOR ( x1 , x2 )  x1  x2
ZNOT (x)=1 sí y sólo sí
z NOT ( x)  x
x=0
Es importante
tener en cuenta
que los símbolos
“.” y “+” son
operadores
lógicos y NO
algebraicos.
Convenios de voltaje
Para la lógica TTL (“Transistor – Transistor Logic”) se
ha determinado un convenio de voltajes, para especificar
cuándo una entrada o salida se considera que tiene el valor
lógico correspondiente.
[V]
L Ó GIC A T TL
5,0
Inve rva lo V H
ga rantizado
para salida s = 1
Inve rva lo V H
aceptado pa ra
entrada s = 1
2 ,4
2 ,0
In ve rvalo V L gar an ti za do
p ara s alid as = 0
0 ,8
0,4
0 ,0
In ve rvalo V L ac ep ta do
pa ra e n tr ad as = 0
Álgebra de Boole
Axiomas
Se definen a
continuación:
ÁLGEBRA DE BOOLE
Número
Enunciado del Teorema
Nombre
1a
1b
2a
2b
3a
3b
4a
4b
Si a y b están en K , entonces a+b está en K
Si a y b están en K , entonces a.b está en K
Cierre
5a
5b
6
7a
7b
8a
8b
9a
9b
10a
10b
11
12a
12b
13a
13b
14
Hay un elemento 0 en K , tal que a+0=a
Hay un elemento 1 en K , tal que a.1=a
Para todos a y b en K , a+b=b+a
Para todos a y b en K , a.b=b.a
Para todos a , b y c en K , a+b.c=(a+b).(a+c)
Para todos a , b y c en K , a.(b+c)=a.b+a.c
Para cada a en K, hay un inverso o complemento a'
en K, tal que
a+a´=1
a.a´=0
Hay por lo menos dos elementos distintos en K
El elemento 0 es único
El elemento 1 es único
Para cada a en K , a+a=a
Para cada a en K , a.a=a
Para cada a en K , a+1=1
Para cada a en K , a.0=0
Para todos a y b en K , a+a.b=a
Para todos a y b en K , a.(a+b)=a
Para cada a en K , el inverso a' es único
Para todos a , b y c en K , a+(b+c)=(a+b)+c
Para todos a , b y c en K , a.(b.c)=(a.b).c
Para todos a y b en K , (a+b)'=a'.b'
Para todos a y b en K , (a.b)'=a'+b
Para cada a en K , ( a' )' = a
Axioma del cero
Axioma de la unidad
Conmutatividad
Distributividad
Axiomas de inversión
--Unicidad de 0 y 1
Idempotencia
Propiedad de unicidad
Propiedad de cero
Absorción
Unicidad de la inversión
Asociatividad
Leyes de De Morgan
Involución
Equivalencia de expresiones booleanas
Dos expresiones booleanas, E1 y E2 , se dicen que son
equivalentes (es decir, E1 = E2 ) cuando, ante las mismas
entradas, provocan las mismas salidas. Esto se puede
comprobar a partir de la tabla de verdad, o bien, partiendo de
una de ellas y aplicar álgebra de Boole, hasta llegar a la otra.
Ejemplo: Demostrar que E1 = E2 , donde:
E 1  a .b .h  c . f . g .h  d . f . g .h  e . f . g .h
E 2  ( a  b ).( c .d .e  f . g ).h
¿es práctico usar la tabla de verdad
para comprobarlo en este caso?
Correspondencia de la lógica combinacional
Una función lógica presenta una correspondencia “uno a uno”
con un circuito lógico o con una tabla de verdad.
CIRCUITO LÓGICO
Sea la siguiente función
lógica:
a
b
c
( a  b ).c
c
ac
z  ( a  b ). c  ( a  c ). d
d
el circuito lógico y su tabla
de verdad serán:
ab
d
z
( a  c ).d
Representación de un
sistema combinacional
Introducción
Los circuitos de Lógica Combinacional se caracterizan
porque sus salidas se definen por una combinación lógica de
sus entradas.
Minitérminos
Una función combinacional distintiva son los
minitérminos de “n”
variables, y se los
denota como mi. Son
funciones
booleanas
cuya tabla de verdad
tiene un “1” en la
i-ésima fila, y un “0”
en las restantes.
nº
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Entradas
A B C D
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
MINITÉRMINOS
.... m3 m4 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 1 0 ....
.... 0 1 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
m 4  x1 x 2 x 3 x 4
m 13  x 1 x 2 x 3 x 4
Forma canónica “Suma de minitérminos”
Dada una función z de “n” variables, cuya tabla de verdad
tiene “1” en las filas a, b, ..., k, y “0” en las demás. A partir de
la definición de minitérmino, y usando la función OR, es
evidente que:
z = ma + mb + ... + mk
Ejemplo: Sean las funciones para z1=Z1(A,B,C,D),
z2=Z2(A,B,C,D) y z3=Z3(A,B,C,D), caracterizadas por la
siguiente tabla de verdad, determinar las funciones booleanas
correspondientes:
Forma canónica “Suma de minitérminos”
TABLA DE VERDAD
ENTRADA
A
B
C
D
SALIDAS
z1
z2
z3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
Solución: Aplicando el concepto de
minitérminos, las funciones buscadas serán:
z 1  a bc d  a bcd  a b c d  a b cd  abc d  abcd
z 2  a b c d  a b c d  a bc d  a bcd  a b c d 
 a b cd  abc d  abcd
z 3  a b c d  a b c d  a b c d  a b c d  a bc d 
 a b c d  a b c d  ab c d  abc d
Construcción algebraica
Cualquier expresión booleana puede convertirse a su forma
canónica “suma de minitérminos” empleando las propiedades del álgebra de Boole. A esta forma canónica también suele
denominarse “Suma De Productos (SDP)”.
Ejemplo: Encontrar
minitérminos” de:
la
forma
canónica
“suma
de
z  ac bc  abc
Solución: z  a b  b  c d  d   a  a b c d  d   a b c d  d 
o bien:
z  abcd  abcd  abcd  abcd  abcd  abcd  abcd  abcd
Maxitérminos
Una segunda función son los
maxitérminos de “n” variables,
denotada como Mi. Son
funciones booleanas cuya tabla
de verdad tiene un “0” en la iésima fila, y un “1” en las
restantes.
M 3  x1  x 2  x 3  x 4
M
4
 x1  x 2  x 3  x 4
nº
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Entradas
A B C D
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
MAXITÉRMINOS
.... M3 M4 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 0
1 ....
.... 1
0 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
Forma canónica “Producto de maxitérminos”
Toda función z tiene un conjunto único de maxitérminos Mi,
que corresponde al conjunto de ceros que aparecen en la
columna de salida de su tabla de verdad. La forma canónica
de producto de maxitérminos será la función AND o producto
lógico de estos maxitérminos. A esta forma canónica también
suele denominarse “Producto De Sumas (PDS)”.
Ejemplo: Sea la la siguiente función booleana de tres
variables:
z  a bc
la expresión canónica de producto de maxitérminos será:

z  M4M5M6  abc
 a  b  c  a  b  c 
Circuitos combinacionales
Las formas canónicas anteriores se representan con circuitos
combinacionales de dos niveles de compuertas:
P
R
O
D
U DE
C
T
O
S
S
U
M
A
S
U
M DE
A
S
P
R
O
D
U
C
T
O
Notación decimal
Las funciones booleanas, dadas en
cualesquiera de sus
formas
canónicas,
pueden escribirse de
manera simplificada
usando el símbolo 
para indicar la suma
de productos, y 
para el producto de
sumas.
Formas de dos niveles
La profundidad de un circuito se mide por el máximo número
de compuertas que una señal tiene que atravesar desde la
entrada hasta la salida.
Las formas canónicas vistas tienen una profundidad de dos,
considerando que se dispone de las entradas necesarias
complementadas.
A pesar de que suelen ser los circuitos más rápidos que
pueden lograrse con este tipo de implementación, esta
disposición no implica ser la mejor desde el punto de vista
del número de compuertas empleadas.
Formas de dos niveles
Los tres circuitos
tienen la misma
tabla de verdad.
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Diapositiva 1 - Erwin Ried's Repository