1-1
Capítulo cuatro
Descripción de los datos:
medidas de dispersión
OBJETIVOS
Al terminar este capítulo podrá:
UNO
Calcular e interpretar la amplitud de variación, la desviación media, la
variancia, y la desviación estándar de los datos originales.
DOS
Calcular e interpretar la amplitud de variación, la variancia y la
desviación estándar de datos agrupados.
TRES
Explicar las características, usos, ventajas y desventajas de cada medida
de dispersión.
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1-1
Capítulo cuatro
continuación
Descripción de datos:
medidas de dispersión
OBJETIVOS
Al terminar este capítulo podrá:
CUATRO
Entender el problema de Chebyshev y la regla normal o empírica, y su
relación con un conjuto de observaciones.
CINCO
Calcular y explicar los cuartiles y la amplitud de variación intercuartílica.
SEIS
Elaborar e interpretar los diagramas de caja.
SIETE
Calcular y entender el coeficiente de variación y el coeficiente de asimetría.
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4-3
Desviación media
• Desviación media: media aritmética de los
valores absolutos de las desviaciones
respecto a la media aritmética.
MD 
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 X  X
n
4-4
EJEMPLO 1
• Los pesos de una muestra de cajas con
libros en una librería son (en lb) 103, 97,
101, 106 y 103.
• X = 510/5 = 102 lb
•  = 1 + 5 + 1 + 4 + 1 = 12
• MD = 12/5 = 2.4
• Por lo común los pesos de las cajas están
a 2.4 lb del peso medio de 102 lb.
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4-5
Variancia de la población
• La varianza de la población para datos
no agrupados es la media aritmética de
las desviaciones cuadráticas respecto a
la media de la población.

2
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
( X  )
N
2
4-6
EJEMPLO 2
• Las edades de la familia Dunn son 2, 18,
34, y 42 años. ¿Cuál es la variancia de la
población?
  X / N  96 / 4  24

2
  ( X   ) / N  944 / 4  236
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2
4-7
Variancia poblacional
continuación
• Una fórmula alternativa para la variancia
poblacional es:

2
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
X
N
2
(
X
N
)
2
4-8
Desviación estándar poblacional
• La desviación estándar poblacional () es
la raíz cuadrada de la variancia de la
población.
• Para el EJEMPLO 2, la desviación
estándar poblacional es 15.19 (raíz
cuadrada de 230.81).
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4-9
Variancia muestral
• La variancia muestral estima la variancia
de la población.
Fórmula
conceptual
= S
2
=
Σ(X
n
ΣX
Fórmula
operativa
= S
2
2
1
(ΣX )
2
n
=
n
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X)
1
2
4-10
EJEMPLO 3
• Una muestra de cinco salarios por hora
para varios trabajos en el área es: $7, $5,
$11, $8, $6. Encuentre la variancia.
• X = 37/5 = 7.40
• s 2 = 21.2/(5-1) = 5.3
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4-11
Desviación estándar muestral
• La desviación estándar muestral es la raíz
cuadrada de la variancia muestral.
• En el EJEMPLO 3, la desviación estándar
de la muestra es = 2.30
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4-12
Medidas de dispersión:
datos no agrupados
• Para datos no agrupados, la amplitud es la
diferencia entre los valores mayor y menor
en un conjunto de datos.
• AMPLITUD = valor mayor - valor menor
• EJEMPLO 4: una muestra de cinco
graduados de contaduría indicó los
siguientes salarios iniciales: $22 000, $28
000, $31 000,
$23 000, $24 000. La amplitud es $31 000
- $22 000 = $9 000.
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4-13
Variancia muestral para datos agrupados
• La fórmula de la variancia para datos
agrupados usada como estimador de la
vaiancia poblacional es:
 fX
S
2

2

(  fX )
2
n
n 1
• donde f es la frecuencia de clase y X es el
punto medio de la clase.
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4-14
Interpretación y usos de la desviación estándar
• Teorema de Chebyshev: para cualquier
conjunto de observaciones, la proporción
mínima de valores que está dentro de k
desviaciones estándar desde la media
es al menos 1 - 1/k , donde k2 es una
constante mayor que 1.
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4-15
Interpretación y usos de la deviación estándar
• Regla empírica: para una distribución de
frecuencias simétrica de campana, cerca
de 68% de las observaciones estará
dentro de ±1 de la media (); cerca de
95% de las observaciones estará dentro
de ±2 de la media (); alrededor de
99.7% estará dentro de ±3 de la media
().
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Curva en forma de campana que muestra la relación entre  y 
3
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2 1

+1 +2 +3
4-17
Dispersión relativa
• El coeficiente de variación es la razón de
la desviación estándar a la media
aritmética, expresada como porcentaje:
CV 
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s
X
(1 0 0 % )
4-18
Asimetría
• Asimetría (sesgo) es la medida de la falta
de simetría en una distribución.
• El coeficiente de asimetría se calcula
mediante la siguiente fórmula:
Sk =
3(media - mediana)
desviación estándar
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4-19
Amplitud intercuartílica
• La amplitud intercuartílica es la distancia
entre el tercer cuartil Q3 y el primer
cuartil Q1.
• Amplitud intercuartílica
= tercer cuartil - primer cuartil
= Q3 - Q1
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4-20
Primer cuartil
• El primer cuartil es el valor
correspondiente al punto debajo del cual
se encuentra el 25% de las observaciones
en un conjunto ordenado de datos.
n
Q1  L +
4
 CF
f
(i )
• donde L = límite de las clasese que contienen
Q1,
CF = frecuencia acumulda que precede a la
clase que contiene a Q1, f = frecuencia de la
clase que contiene Q1, i= tamaño de la clase que
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4-21
Tercer cuartil
• El tercer cuartil es el valor correspondiente
al punto debajo del cual se encuentra 75%
de las observaciones en un conjunto
ordenado de datos:
3n
Q3 = L +
CF
4
f
(i )
donde L = límite inferior de la clase que contiene a
Q3, CF = frecuencia acumulada precedente a la
clase que contiene a Q3, f = frequencia de la clase
que contiene a Q3, i = tamaño de la clase que
contiene a Q3.
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4-22
Desviación cuartílica
• La desviación cuartílica es la mitad de la
distancia entre el tercer cuartil, Q3, y el
primero, Q1.
• QD = [Q3 - Q1]/2
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4-23
EJEMPLO 5
• Si el tercer cuartil = 24 y el primer cuartil =
10, ¿cuál es la desviación cuartílica? La
amplitud intercuartílica es 24 - 10 = 14;
por lo tanto, la desviación cuartílica es
14/2 = 7.
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4-24
Amplitud cuartílica
• Cada conjunto de datos tiene 99
porcentiles, que dividen el conjunto en 100
partes iguales.
• La amplitud cuartílica es la distancia entre
dos porcentiles establecidos. La amplitud
cuartílica 10 a 90 es la distancia entre el
10º y 90º porcentiles.
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4-25
Fórmula para porcentiles
L p = ( n + 1)
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P
100
4-26
Diagramas de caja
• Un diagrama de caja es una ilustración
gráfica, basada en cuartiles, que ayuda a
visualizar un conjunto de datos.
• Se requieren cinco tipos de datos para
construir un diagrama de caja: el valor
mínimo, el primer cuartil, la mediana, el
tercer cuartil, y el valor máximo.
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4-27
EJEMPLO 6
• Con base en una muestra de 20 entregas,
Marco’s Pizza determinó la siguiente
información: valor mínimo = 13 minutos,
Q1 = 15 minutos, mediana = 18 minutos,
Q3 = 22 minutos, valor máximo = 30
minutos. Desarrolle un diagrama de caja
para los tiempos de entrega.
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4-28
EJEMPLO 6
continuación
mediana
•
mín
Q1
12
14
Q3
16
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18
20
22
máx
24
26
28
30
32
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