TIRO PARABOLICO.
CALCULO II.
WILLIAM EDUARDO
PALMER ALFONSO
2005-2
TIRO PARABOLICO
EL tiro parabólico es la composición de dos movimientos:
•Uniforme a lo largo del eje X.
•Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y.
Para resolver un problema de tiro parabólico es necesario seguir los
siguientes pasos:
1.-Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y los ejes
horizontal X, y vertical Y.
2.-Determinar el valor y el signo de la aceleración vertical.
3.-Las componentes de la velocidad inicial (incluido el signo).
4.-La posición inicial.
5.-Escribir las ecuaciones del movimiento.
6.-A partir de los datos, hallar las incógnitas.
TIRO PARABOLICO
Como el tiro parabólico es la
composición de dos movimientos:
•movimiento rectilíneo y
uniforme a lo largo del eje X
•uniformemente acelerado a lo
largo del eje Y
Las componentes de la velocidad
son:
TIRO PARABOLICO
Así que las ecuaciones de movimiento bajo aceleración constante
son:
Eliminado el tiempo en las ecuaciones que nos dan las posiciones x e y,
obtenemos la ecuación de la trayectoria, que tiene la forma
y=ax2 +bx +c
Obtenemos la altura máxima, cuando la componente vertical de la
velocidad Vy es cero; el alcance horizontal x cuando el cuerpo retorna al
suelo y=0.
TIRO PARABOLICO
Ejemplos del Tiro Parabólico:
1. Apuntar un cañón para dar en un blanco fijo.
2. Bombardear un blanco móvil desde un avión.
3. Otros casos, que involucran tiro parabólico.
TIRO PARABOLICO
Apuntar a un blanco fijo
Conocidas las coordenadas del blanco x e y, y la
velocidad de disparo v0, se despejará el ángulo de
tiro θ.
Las componentes de la velocidad inicial son:
Las ecuaciones del movimiento del proyectil son:
Conocida la posición (x, y) del blanco, tenemos un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas t y θ. Eliminando t, y
empleando la relación trigonométrica:
TIRO PARABOLICO
Nos queda una ecuación de segundo grado en tan θ.
La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, por
tanto, dos ángulos de tiro dan en el blanco.
TIRO PARABOLICO
Bombardeo de un avión.
Cuando el avión deja caer la
bomba, esta sale con la
misma velocidad horizontal
que el avión, de modo que
las componentes de su
velocidad inicial son v0x=v0
y v0y=0.
TIRO PARABOLICO
Conocida la altura a la que vuela el avión y su velocidad mediante las
ecuaciones del tiro parabólico se puede hallar fácilmente el alcance
horizontal de la bomba, es decir, la distancia desde el punto en que
la dejó caer el piloto y el impacto sobre el suelo.
¿Cómo cambia el resultado si el blanco se mueve con velocidad constante en
la misma dirección que el avión?.
TIRO PARABOLICO
Sea xa la posición del avión y
sea xb la posición del móvil en
el momento en el que el piloto
suelta la bomba. Para
destruirlo, la distancia entre el
avión y el blanco deberá ser
xa+vat=xb+vbt
tal como se ve en la figura.
Donde t es el tiempo que tarda
la bomba en descender la
altura h
h=gt2/2
TIRO PARABOLICO
A partir de estas relaciones, obtenemos la posición del avión xa en el
momento en el que tiene que soltar la bomba para acertar en el blanco,
conocidos los datos de la altura h, velocidad del avión va, la posición
inicial del blanco x0b y su velocidad vb.
TIRO PARABOLICO
Otros Casos
Tiros a Canasta.
En este caso, sucede como en el basketball se tiene una distancia en
x0 y en y0, además de que se requiere que el objeto llegue a cierta
altura.
Tiro parabólico a un blanco móvil.
En este caso tenemos un móvil que se acerca un M.U.R hacia el origen
de nuestro tiro parabólico, y por medio de las ecuaciones del tiro
parabólico se determina con que ángulo, velocidad se debe lanzar el
proyectil para acertar en el móvil.
TIRO PARABOLICO
Parábola de Seguridad.
El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para
y=0.
Su valor máximo se obtiene para θ =45º, teniendo el mismo valor
para θ =45+a , que para θ =45-a . Por ejemplo, tienen el mismo
alcance los proyectiles disparados con ángulos de tiro de 40º y 60º,
ya que sen(2·40)=sen(2·60).
La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con vy=0.
TIRO PARABOLICO
Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º.
La envolvente de todas las trayectorias descritas por los
proyectiles cuyo ángulo de disparo está comprendido entre 0 y
180º se denomina parábola de seguridad.
Esta denominación hace referencia al hecho de que fuera de esta
parábola estamos a salvo de los proyectiles disparados con
velocidad v0.
Se trata de la parábola simétrica respecto del eje Y de ecuación
y=-ax2+b que pasa por los puntos (x=v02/g, y=0), y (x=0,
y=v02/(2g)) tal como se ve en la figura.
La ecuación de dicha parábola es:
TIRO PARABOLICO
Tiro parabólico a grandes velocidades.
Los cuerpos al ser lanzados hacia enfrente tienden a caer en un tiro
parabólico, pero cuando son lanzados a velocidades cercanas a la
luz, rompen su trayectoria parabólica y esta se convierte en una
línea recta.
TIRO PARABOLICO
El Calculo y El Tiro Parabólico.
La relación entre el cálculo y el tiro parabólico aparece en distintas
ocasiones;
En las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración del
movimiento uniforme acelerado.
Mediante integración se puede conocer el área de acción de un
tiro parabólico, en el caso de aspersores, aviones cisterna en los
incendios forestales, armas químicas.
Y si estas ultimas se colocan en plataformas giratorias por medio
de sólidos de revolución se puede determinar el volumen de acción
de dichos eventos.
TIRO PARABOLICO
Ejemplos:
1. Un cañon dispara un proyectil con una Vinicial= 500 m/s con una
inclinación respecto a la horizontal de 30°. a) Determina el tiempo
que transcurre. b) Determina el alcance horizontal.
Vox  500 cos 30   433 [ m / s ]
Para t=
2
 Vox
2
(177  250 )[ m / s ]
2
10 [ m / s ]
t  7 . 3[ s ]
 2 gy
Vfy  177 [ m / s ]
Vfy  Voy
2
t 
Voy  500 sen 30   250 [ m / s ]
Vfy
t 
Para Δx=
 x  Vox * t
 x  ( 433 [ m / s ] * 7 . 3[ s ])
 x  3161 [ m ]
TIRO PARABOLICO
2. Encuentra la ecuación de posición para “x” y para “y” de un
cañon que lanza a 20 m de una base un proyectil con una
velocidad inicial es de 40[m/s], y un ángulo de 45° respecto a
a la horizontal. a) Determina el alcance máximo de x si el
tiempo total de recorrido son 2.3 [s]. b) Las coordenadas del
proyectil en t= 0.5[s].
Vox  40 cos 45   28 . 2[ m / s ]
Voy  40 sen 45   28 . 2[ m / s ]
v ( t )  28 . 2
 v ( t )   28 . 2 dt
x ( t )  28 . 2 t  C
TIRO PARABOLICO
Como esta a 20[m] de la base entonces:
Ecuación de Posición de x
Para y(t)
g (t )   9 .8
 g ( t )    9 . 8 dt
v ( t )   9 . 8 t  28 . 2
 v ( t )    9 . 8 tdt
y (t )   4 .9 t
x ( t )  28 . 2 t  20
2

 28 . 2 dt
 28 . 2 t  C
TIRO PARABOLICO
Como y0= 0 entonces:
y ( t )   4 . 9 t  28 . 2 t
a) Alcance máximo si ttotal=2.3[s]
2
Ecuación de Posición de y
x ( t )  28 . 2 t  20
x ( t )  28 . 2 ( 2 . 3 )  20
x ( t )  84 . 86 [ m ]
b) Coordenadas del proyectil en t=0.5[s]
x ( t )  28 . 2 ( 0 . 5 )  20
x ( t )  34 . 1[ m ]
y ( t )   4 . 9 t  28 . 2 t
2
y ( t )   4 . 9 ( 0 . 5 )  28 . 2 ( 0 . 5 )
2
y ( t )  12 . 87 [ m ]
TIRO PARABOLICO
2005
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