ONDAS
ELECTROMAGNÉTICAS
RESUMEN






1. DEFINICIÓN DE ONDA.
2.ECUACIONES DE MAXWELL
3.ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
4. ENERGÍA DE UNA OEM.
5. VECTOR DE POYNTING.
6. EL ESPECTRO
ELECTROMAGNÉTICO.
1.ONDAS (1dim.)


Expresión matemática Función oscilante
x(x,t) que verifica una ecuación
 2x ( x, t ) 1  2x ( x, t )
 2
2
x
v
t 2
Solución = onda hacia la derecha con
velocidad v + onda hacia la izquierda con
velocidad -v
x ( x, t ) F 1( x  vt)  F 2( x  vt)
1.2 Solución general

Función oscilante
x ( x, t )  x0 senk ( x  vt)   
Amplitud
Nº ondas
velocidad onda
Fase
 Longitud de onda l : distancia entre dos puntos
consecutivos que vibran en fase.
 Frecuencia w : nº veces que corta al eje.
 Periodo T: tiempo en que la vibración se repite.
 Frente de ondas: puntos alcanzados por la onda a un
tiempo fijo.
x(x,t)
l
x0
K
x
t constante
x(x,t)
x0
2

Velocidad de la onda
t
X constante
l
  Kv  2 
T
T
2
l  v
1.3 Ondas esféricas

Expresión matemática Función oscilante
x(x,t) que verifica una ecuación
2

x ( x, t )
2 2
v  x ( x, t ) 
t 2
Laplaciano
2
2
2



2  2  2  2
x y z
– Cartesianas
– Esféricas
1  2 
1


1
2
  2
r

sen 

r r r r 2 sen  
 r 2 sen 2   2
2
1.4 Solución general esférica

Función oscilante
Amplitud




x ( x, t )  x0 sen kr  wt  
Vector
Nº ondas
frecuencia onda

Fase
Si el medio es isótropo sólo depende
de r, kr =kr.
Frente de ondas esférico.
2.ECUACIONES DE
MAXWELL

Leyes de Gauss
  Q
 E  dS 

El flujo del vector E a
través de una superficie
cerrada es igual a Q/

Ley de Faraday
dB
fem  
dt
La fem inducida en un
circuito cerrado es igual a
la variación del flujo de B
 
 B  dS  0
El flujo del vector B a
través de una superficie
cerrada es nulo

 
dB 
 E  dl  S dt dA
Circulación del vector E
por una curva cerrada
Superficie
encerrada
por la curva

Ley de Ampère generalizada
La circulación del vector H por un circuito cerrado es
igual a la corriente externa + corriente desplazamiento

 
  dD  


H

d
l

J

d
A

S  dt 
Circulación del vector H
por una curva cerrada
 B0 BT
H

0

Superficie
encerrada
por la curva
Corriente de
desplazamiento
 dI ext
J
dA
 dQlibre
D
dA
En el
“alambre
eléctrico”
En el “núcleo
magnético”.
Tiene cargas
en movimiento
2.1 Algunas nociones
matemáticas

Dada una función F(r)=(Fx, Fy, Fz) vectorial

 
 
 F  dl   (  F )  dA
S

 
 
 F  dA   (  F )dV
Vol
Donde se definen las funciones
divergencia y rotacional
  Fx Fy Fz
 F 


x
y
z
iˆ
 

 F 
x
Fx
ˆj

y
Fy
kˆ

z
Fz
2.2 Forma diferencial de
las ecuaciones de Maxwell

Leyes de Gauss
  
E 
 
 B  0
La divergencia del
vector E /
No hay fuentes de
campo magnético
(monopolos)


Leyes de Faraday y Ampère

  B
 E 
0
t

 

E
  B  
 J
t
2.3 Ecuaciones de Maxwell
en ausencia de fuentes y
corrientes
1

En un material v  
 
 E  0

  B
 E 
0
t

En el vacío v=c
 
 B  0

 
E
  B  
0
t
c
1
0 0
3.ONDAS
ELECTROMAGNÉTICAS (planas)

Las ecuaciones de Maxwell aplicadas a
campo E y B ortogonales que se propagan
en la misma dirección (ej. x) admite
soluciones tipo onda.
2
2

E
(
x
,
t
)

E ( x, t )
2
v

2
x
t 2
2
2

B
(
x
,
t
)

B( x, t )
2
v

2
x
t 2
E( x, t )  E0 senk ( x  vt)
B( x, t )  B0 senk ( x  vt)
No son
independientes
Satisfacen
Maxwell
E0  cB0

Las ondas electromagnéticas planas
son transversales, con los campos E
y B perpendiculares entre sí y a la
dirección de propagación.
4.ENERGÍA DE UNA OEM

Densidad de energía eléctrica y
magnética
– Vacío

- Medio ue  1 E 2
2
1 B2
um 
2 
E0  cB0
1
ue   o E 2
2
1 B2
um 
2 o
Densidad de energía de la OEM
2
1 2 1B
u  ue  um  E 
2
2 
 
B
EB
2
u  E 


c
2
5. VECTOR DE POYNTING

El vector de Poynting apunta en la
dirección de propagación de la OEM
E
B
Campo eléctrico
S
Dirección de
propagación
Campo magnético

Definición

S
 
EB


S  So cos2 (kx  wt ) iˆ
ejemplo



Está relacionado con la densidad de
energía media de la OEM …

 
S0
EB S
u 
u

2v
v
v
con la potencia de la OEM …
dU
EB
P
 uAv 
A
dt

y con la intensidad (Potencia/Área)
I media
1 E0 B0 1

 S0
2 
2
6. ESPECTRO
ELECTROMAGNÉTICO

El tipo de OEM
se clasifica
según su
longitud de
onda ( o
frecuencia)
Espectro Electromagnético
Algunas ecuaciones fundamentales








λv = c
E = h v [h(cte de Planck) = 6,6 10-34 J.s]
E = F d , E(energía) = qEd = W = qV
J=CV
1e = 1,6 10-19C [1eV = 1,6 10-19CV]
1eV = 1,6 10-19 J
E(densidad volumétrica de energía) = ½ εo E2
E(densidad volumétrica de energía) = 1/(2μo) E2
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