Curso de Matemáticas II
Tema:
Cálculo Diferencial
Profesor: Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Matemáticas II
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Definición de derivada
La derivada de una función es la razón de cambio de dicha
función cuando cambia x, es decir, cuánto cambian los valores
de y, cuando x cambia una cierta cantidad.
Matemáticas II
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Primeros ejemplos
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas,
con la intención de que ustedes vayan deduciendo un
procedimiento (regla) para resolverlas.
f ( x)  3x
f ( x)  6  x
df
df
3
x
3
3
df
dx
Matemáticas II
 x
 2 x
dx
dx
f ( x) 
2
2
f ( x) 
df
dx

2
2x 1
5
5
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Regla para
encontrar derivadas
Sea la función:
f( x ) cxn
La derivada de esta función es:
df

 
n 1
dx
df
dx
Matemáticas II
 cnx
n 1
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Derivadas especiales
Sea la función:
f( x ) cx1
La derivada de esta función es:
df

 
df
 cx
11
dx
dx
df
0
c
dx
Matemáticas II
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Derivadas especiales
Sea la función:
f ( x)  c
La derivada de esta función es:
df
0
dx
Matemáticas II
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejemplos de derivadas
Sea la función:
f(x)
5x
3
La derivada de esta función es:
df

 
3 1
dx
df
dx
Matemáticas II
 15 x 2
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejemplos de derivadas
Sea la función:
f(x)
 3x
4
La derivada de esta función es:
df

 
4 1
dx
df
  12 x
3
dx
Matemáticas II
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1
f(x)

2
3
x
5
La derivada de esta función es:
df
1
 

5
1
dx
df
dx
Matemáticas II

2

x
4
5
15
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Derivada de una suma y
diferencia de funciones
Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:
df
dx
Matemáticas II

dg
dx

dh
dx
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejemplos
Sean las funciones:
f ( x)  5 x  7 x  6
2
df
 10 x  7
dx
f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6
df
5
2
 24 x  15 x  20 x  5
5
4
dx
Matemáticas II
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1
f ( x)  8 x 
2
1
df
4

dx
df
dx
Matemáticas II

12
x
5
4

4

5
(4) x

3

x
f ( x)  3 x
x
4
3

4
 1  2
 (  8 )  x
dx
2
df
3
x
5
 10
x
5
x
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Derivada de un producto
de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x)
y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.
f ( x )  g ( x )h ( x )
df
dx
Matemáticas II

dg
dx
h( x)  g ( x)
dh
dx
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones
f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2
2
Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando la regla para derivar productos de funciones
df
tenemos que
df
dx
dx

dg
h( x )  g
dx
dh
dx
 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2
2
 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3
2
3
2
 416 x  195 x  64 x  20
3
Matemáticas II
2
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:
f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2
df
 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2
dx
 3  x  8 x  2 x
2
2
 3x  8 x  3
2
Matemáticas II
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3
f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2
df
 (6 x  3 x
4
1
 2x )
2
1
 2 x )  (3 x  x
5
 6x
)(  x
2
2
3
)( x
2
 4 x)
dx
  6  12 x  3 x
3
 24 x  2 x
3
Matemáticas II
2
 4x
5
2
 3  12 x  x
3
5
 4x
2
3
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Derivada de un producto
de varios factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando
debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso
debemos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores, es decir
f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:
df
dx
Matemáticas II

de
dx
g ( x)h( x)  e( x)
dg
dx
h( x)  e( x) g ( x)
dh
dx
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejemplo
Derivemos la siguiente expresión:
f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )
df
 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)
dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )
 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2
 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2
  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2
2
  3 x  20 x  31
2
Matemáticas II
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Derivadas
Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y
h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.
f(x)
g( x )
h( x )
dg
df
dx
Matemáticas II
 dx
h( x)  g
h ( x ) 
dh
dx
2
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejemplo
Consideremos el siguiente cociente de funciones
f ( x) 
4x  5
3x  2
Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y recordando
la regla para derivar productos de funciones
dg
df
dx
 dx
h( x)  g
h ( x ) 2
dh
dx
tenemos que
df
dx
Matemáticas II

( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )
3 x  2  2
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejemplo
df

12 x  8  (12 x  15 )
dx

3 x  2  2
7
3 x  2 
2
Es importante recordar que siempre tenemos que llegar a
la mínima expresión, como fue en este caso.
Matemáticas II
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejercicio propuesto
Sea
8 x  6 x  11
2
f ( x) 
df
x 1
(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2

( x  1)
dx
2
16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2

2
( x  1)
2
8 x  16 x  10
2

Matemáticas II
( x  1)
2
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejercicio propuesto
Sea
3
f ( x) 
df
2


3
3
3
( x  1)
3
2
( x  1)
3
6x
2
2
2
( x  1)
3
5
2
2
3x  3x  3x  3x
5

x 1
3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
dx
Matemáticas II
x 1
2
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Derivadas
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que está elevada a una
potencia n, existe una regla para encontrar la derivada de esta
función.
f ( x )  h ( x ) 
n
df
dx
Matemáticas II
 n h ( x ) 
n 1
 dh 


 dx 
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejemplo
Consideremos el siguiente cociente de funciones
f ( x )  (5 x  4 )
2
Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la regla de la
cadena
df
dx
 n h ( x ) 
n 1
tenemos que
df
 dh 


 dx 
 2 ( 5 x  4 )( 5 )
dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40
Matemáticas II
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejemplo
Sea
f ( x) 
7x  6x  3
2
La función puede escribirse también de la siguiente forma:

f ( x)  7 x  6 x  3
y
df

dx
2


Matemáticas II
1
7 x
2
2
 6x  3

1
2
1
 14 x  6 

2
7x  3
7 x
2
 6x  3

1
2
7x  3
7x  6x  3
2
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejemplo
Sea
3x  6
2
f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)
df




1
2
(x  6 x)
3
2


 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)



1



3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)


1
2
Matemáticas II


3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)

Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)


 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 

1
1
2

  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 
1
1
2

Matemáticas II
1
3 x  36
4
2 ( x3  6 x)2 3x 2  6
Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
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