Cálculo de fuerzas de conformado mediante el
método del límite inferior
Un método de límite inferior predecirá fuerzas menores que las
necesarias para producir deformación plástica.
Esto es interesante para diseños estructurales.
Estos análisis se basan en satisfacer un criterio de fluencia plástica,
equilibrios de fuerzas, pero no hacen consideraciones acerca del flujo
del material en el posible proceso de deformación.
El método de energía uniforme es de límite inferior, la fuerza real debe
calcularse con un factor de eficiencia η.
El método de Sachs (tajadas) también es de límite inferior, porque si
bien incluye el roce no incluye el gasto de energía por deformación
redundante y por cizalles internos del material impuestos por el
proceso de deformación.
Cálculo de fuerzas de conformado mediante el
método del límite superior
Un método de límite superior iguala la energía que se disipa internamente
por el proceso de deformación con la energía gastada por las fuerzas
externas, suponiendo un determinado flujo de material en el proceso de
deformación plástica.
Se ha demostrado que la potencia real (dW/dt)real necesaria para producir
un determinado flujo plástico es menor que:
(dW/dt)real ≤

V
 ( eq )· ( eq )·dV 

SD
k ·v i * dS D 

Sr
 r v i ( r ) * dS r
dεeq/dt (  (eq ) ) = velocidad de deformación equivalente en un campo de
velocidades admisible
σeq = tensión equivalente deducida a partir del campo de velocidades
admisible.
V = volumen de cuerpo
k Tensión de fluencia en cizalle
(los otros términos se definen en la siguiente transparencia)
Principios del método del límite superior
vi* = velocidad de discontinuidad en superficies de cizalle
SD = superficie de discontinuidad
Sr = superficie de roce
τr = tensión de corte en roce (mk)
vi*(r) = velocidad relativa entre superficies de roce.
Si la deformación del material se modela mediante desplazamientos relativos
de bloques rígidos (lo veremos luego) :
 ·dV  0

(
eq
)·


V
Si no hay roce entre matriz y material el tercer término, relativo al roce, es
cero.
Cálculo mediante límite superior, modelando la deformación
plástica como desplazamiento de bloques rígidos
Se puede demostrar que el cálculo de fuerzas con este procedimiento es superior
a la fuerza necesaria para producir deformación plástica.
El método para calcular fuerzas consistirá en:
1.- Suponer un flujo de material que sea consistente con el cambio de forma
deseado : “Campo cinemáticamente admisible”.
2.- La potencia interna gastada por cizalles se calcula con velocidades de
discontinuidad y con la resistencia del material al cizalle (k).
3.- Las fuerzas que debe aplicar la máquina se calculan igualando la potencia
externa aplicada con la potencia interna gastada en cizalles.
4.- Supondremos que la deformación se logra mediante desplazamientos de
bloques rígidos según algunos planos, los que no sufren deformación en su
volumen.
5.- Se supondrá material isotrópico y homogéneo. No se considera endurecimiento
por deformación ni por velocidad de deformación.
6.- Se analizarán dos casos: sin roce entre matriz y material y con roce. En este
caso el roce se representará por mk.
7.- Se analizarán casos en deformación plana (flujo de material bidimensional)
Límite superior, con desplazamiento de bloques rígidos aplicado
a extrusión con deformación plana, sin roce.
El flujo de material se modela
mediante desplazamientos de bloques
rígidos a lo largo de las superficies de
discontinuidad AB y BC (Fig 8.2.a). Se
considera sólo la mitad del campo de
deformación, porque es simétrico
respecto del eje central.
El diagrama de velocidades,
denominado hodógrafa, se muestra en
la Fig. 8.2.b. debe ofrecer un flujo
admisible del material, consistente con
el cambio de forma producido.
El triángulo ABC tiene su punto B
sobre el eje central, elegido a voluntad
del modelador.
Límite superior, con desplazamiento de bloques rígidos aplicado
a extrusión con deformación plana, sin roce.
Para el cálculo de la presión de extrusión (Pextr) se procede así:
dW/dt = Pextr·(1·h0)· V0 = k·1·(vAB*·AB +vBC*·BC)
Se considera profundidad unitaria. v* indica discontinuidad de velocidad.
La potencia externa aplicada por la máquina se disipa en los planos de
discontinuidades de velocidades.
Luego: Pextr·/2k
= ·{1/(2·h0·V0)} ·(vAB*·AB +vBC*·BC)
Aplicando trigonometría, si θ = 90º y
Ψ= 30º Pextr·/2k = 0,8655
La Fig 8.3 muestra los valores que toma
Pextr·/2k para diversos valores de θ.
Límite superior,
con
desplazamiento
de bloques
rígidos aplicado
a extrusión con
deformación
plana, con roce.
Límite superior, campo más complejo de desplazamiento de bloques
rígidos aplicado a extrusión con deformación plana, sin roce.
Límite superior, campo más complejo de desplazamiento de bloques
rígidos aplicado a extrusión con deformación plana, sin roce.
Cálculo de deformación redundante con campo de deformaciones
supuesto.
Cálculo de deformación redundante con campo de deformaciones
supuesto.
Método del límite superior aplicado a indentación con
deformación plana sin roce
Método del límite superior aplicado a indentación con
deformación plana sin roce
Método del límite superior aplicado a indentación con
deformación plana sin roce
Compresión con deformación plana
El campo de flujo se define tal que se producen cizalles a lo largo de las líneas
CA y DB; los triángulos rígidos (de profundidad unitaria) AOD y BOC se
desplazan debido al avance de las dos placas de forja con velocidad V0.
La potencia externa es: 2PL·1·V0 se gasta en potencia de cizalle =
4k·AO·1·V*AO
Por geometría: AO =½·(h2 + L2)½ y V*AO = (V0/h)·(h2 + L2)½
Luego:
P/2k = ½(h/L + L/h)
Compresión con deformación plana
Para mayores valores de la relación L/h, se
obtienen mejores resultados con el método del
límite superior si se utiliza un mayor número de
triángulos. En contacto con los punzones debe
haber un número impar de triángulos. Si se usan
3 triángulos se tiene:
P

2k
3h
L

2L

2h
w
2
2 hL

w
2h
donde w es la base del triángulo central
El menor valor de P/2k ocurre para w=L/2,
entonces
P
2k

3h
2L

3L
8h
La hodógrafa y los cálculos se hacen
con la mitad superior del material y
matriz.
Compresión con deformación plana
Un campo de 5 triángulos y
su hodógrafa se muestran
en las Figs a) y b).
Se supone AB = BC y el
mejor límite superior ocurre
para w=L/3, así:
P
2k

5h
2L

L
3h
Hodógrafa y cálculos efectuados con la
parte superior del material y matriz.
Compresión con deformación plana
Límite superior considerando deformación del material
Los ejemplos de límite superior dados anteriormente consideraban
deslizamientos de bloques rígidos de material. Si embargo se puede aplicar la
ecuación general de límite superior para analizar otros casos, especialmente con
axisimetría.
Límite superior considerando deformación del material
Los ejemplos vistos hasta ahora, por considerar bloques rígidos
descartan el primer término:

eq
·( d  eq / dt )·dV
V
En el ejemplo siguiente de forja axisimétrica (Ej: cilindro circular) se
incluirá el primer término del teorema del límite superior, no se
considerarán discontinuidades internas, por tanto no se incluye el
segundo término y se puede incluir o no incluir el tercer término,
dependiendo la magnitud del roce existente.
Forja de disco circular
Método del límite superior con deformación del material en
volumen aplicado a la forja de un disco circular de radio R y
altura h.
Se define un campo admisible de velocidades, expresado
en coordenadas cilíndricas.
La velocidad de desplazamiento del material según z es:
duz/dt = -(v/h)·z
Como no hay velocidad de giro del material: duθ/dt =0
La velocidad de desplazamiento según r es dur/dt y se
determina por constancia de volumen.
Las velocidades de deformación expresadas en el sistema
de coordenadas cilíndricas son:
 z 
 u z
z

v
h
u r
1  u 
   (
 u r ) 
r 
r
Aplicando conservación de volumen:
Se puede calcular:
 u r
r

u r
r

1  ( u r r )
r
r
 r 
 u r
r
 z     r  0

v
h
(*)
Forja de disco circular
Integrando (*) queda:
u r  0
para r=0,
Luego:
u r ·r 
 z  
v
h
v
r  B(z)
2
2h
u r 
B(z)=0 y
v
;  
2h
v
;  r 
r
2h
v
2h
v 2
v 2
v 2 
2
2
2
2
2
0 ,5

   ·( z     r )]
  ·{( )  (
) (
) }
h
2h
2h
3
3

Aplicando el principio del límite superior, considerando roce pero no
superficies de discontinuidad, se tiene:
  Y ; r 
m
3
Y
W 
v
 Y ·h dV
V


Sr
mY
3
·u r ·dS r
0 ,5

v
h
Forja de disco circular
W 
Yv
h
R
· ·R ·h  2 
2
0
mY
·
v
·r ·2  ·r ·dr
3 2h
El 2 fuera de la integral viene porque hay roce en la placa superior y en la inferior.
La potencia de forja es:
2 mY v
2m R
2
3
2

W  Yv  ·R 
· ·2 ·R  Yv · ·R (1 
· )
3 3 2h
3 3 h
La fuerza de forja es:
2m R
F  Y · ·R (1 
· )
3 3 h
2
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