Ejemplo #3
• Un tren en reposo comienza a
moverse y aumenta su rapidez de
cero hasta 18 m/s en 6 segundos.
¿Cuál es su aceleración?
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
1
Resultado # 3
vi = 0
• vf= 18 m/s
• t=6s
• a=?
a = D V = Vf – Vi =
Dt
t2 – t1
•
• Un tren en reposo
comienza a moverse y
aumenta su rapidez
de cero hasta 18 m/s
en 6 segundos. ¿Cuál
es su aceleración?
• (18m/s -0 m/s)/ (6 s)
=
• 3 m/s2
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
2
Ejemplo 4:
• Un auto de carreras disminuye su
velocidad de 30m/s, E a 15m/s, E en 5
segundos. Determina la aceleración.
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
3
Resultado #4:
•
Un auto de
carreras
disminuye su
velocidad de
30m/s, E a 15m/s,
E en 5 segundos.
Determina la
aceleración.
•
•
•
•
vi = 30m/s, E
vf = 15m/s, E
t=5s
a=?
a = D V = Vf - Vi
Dt
t2 – t1
• =(15m/s – 30m/s)/(5 s)
• - 3 m/s2 , Este
• Un signo negativo en la
aceleración indica que el objeto
aplicó los frenos
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
4
Ecuación de aceleración:
• Debes asumir
que comienzas
con un
tiempo=0
• Despeja para Vf
a = D V = Vf - Vi
Dt
t2 – t1
• Utilizando esta ecuación
podemos obtener otras
ecuaciones para las
variables desconocidas
correspondientes
03/10/2015
• Vf = Vi + at
SERGIO MARTINEZ VELEZ
5
Ejemplo #5:
• Un cohete viaja durante 5 segundos
con una aceleración de 10 m/s2, si
el cohete tiene una velocidad inicial
de 360 m/s, ¿cuál será su velocidad
final?
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
6
Resultado #5
• Un cohete viaja
durante 5
segundos con una
aceleración de 10
m/s2, si el cohete
tiene una
velocidad inicial
de 360 m/s, ¿cuál
será su velocidad
final?
03/10/2015
•
•
•
•
•
•
•
•
Dado
t= 5 seg
a= 10 m/s2
Vi =
Vf =
Vf = Vi + at
360 m/s + 50 m/s
410 m/s, arriba
SERGIO MARTINEZ VELEZ
7
Ejemplo 6:
• Si una bola rueda por una cuesta
durante 3 segundos, a una
aceleración de 6 m/s2. Si la bola tiene
una velocidad inicial de 5 m/s cuando
comienza su recorrido, ¿cuál será su
velocidad final?
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
8
Resultado #6
• Si una bola rueda por
una cuesta durante 3
segundos, a una
aceleración de 6
m/s2. Si la bola tiene
una velocidad inicial
de 5 m/s cuando
comienza su
recorrido, ¿cuál será
su velocidad final?
03/10/2015
•
•
•
•
•
t = 3 seg
a = 6 m/s2, abajo
Vi = 5 m/s, abajo
Vf = Vi + at
= 5 m/s + (6 m/s2) (3
s)
• = 5 m/s + 18 m/s
• Vf = 23 m/s, abajo
SERGIO MARTINEZ VELEZ
9
Ejemplo 7:
• Si un camión acelera uniformemente
desde 20 m/s, N a 30 m/s, N en 5
segundos, el auto pasará
uniformemente por todas las
velocidades hasta llegar a 30 m/s.
• VEAMOS…
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
10
Movimiento uniforme
•
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Vi
Vf
¿Cuál es el valor de la velocidad a la mitad
del tiempo?
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
11
Su velocidad promedio…
• V = (Vf + Vi) /2
• V= (Vf + Vi)/2 = (30 m/s + 20 m/s ) / 2 = 25
m/s
• V = 25 m/s, Norte
•
•
•
•
¿Cuál será su desplazamento?
Sustituyendo en d = vt
d= (Vf + Vi) t /2 = (30 m/s + 20 m/s) (5 s) /2
= 125 m, Norte
03/10/2015
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12
La velocidad es uniforme
03/10/2015
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13
Ecuación independiente Vf
• d = ½ (Vf + Vi) t
• Vf = Vi + a t
d = Vi t + ½ a t2
03/10/2015
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14
Ejemplo #8:
• Un avión parte de reposo y es
acelerado a razón de 5 m/s2, Sur,
¿Cuál será su desplazamiento
transcurridos 10 segundos de
aceleración?
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
15
Resultado # 8
• Un avión parte
de reposo y es
acelerado a
razón de 5 m/s2,
Sur, ¿Cuál será
su
desplazamiento
transcurridos 10
segundos de
aceleración?
03/10/2015
•
•
•
•
•
•
•
Vi = 0
a= 5 m/s2, S
ti = 0 s
tf = 10 s
d=?
d = Vit + ½ at2
(0) (10s) + ½
(5m/s2)(10s)2
• 250 m, Sur
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16
Ecuación independiente del tiempo...
• a = (Vf – Vi) /t
• Resolver para t:
• d = ½ (Vf + Vi) t
• Resuelve para Vf2
• t = (Vf – Vi) / a
Vf2 = Vi2 + 2 ad
03/10/2015
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17
Ejemplo 9:
• Un avión necesita una rapidez de 80
m/s para despegar. Si la pista mide 2
X 103 m, ¿Cuál debe ser su
aceleración?
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
18
Resultado #9:
• Un avión necesita una rapidez de 80 m/s
para despegar. Si la pista mide 2 X 103
m, ¿Cuál debe ser su aceleración?
•
•
•
•
•
Vf = 80 m/s
d= 2 X103 m
Vi = 0 m/s
a= ?
Vf2 = Vi2 + 2ad
03/10/2015
Vf2 = 2ad
2ad=Vf2
a= (Vf2) / (2d) =
= {(80 m/s)2/[(2) (2X103 m)]}
a = 0.04 m/s2
SERGIO MARTINEZ VELEZ
19
Ecuaciones
V = d/t
Vf = Vi + at
a
=
DV
Dt
=
(Vf - Vi)
Vi = Vf - at
Dt
t = (Vf - Vi) /a
V = (Vf + Vi)/2
d = Vi t + ½ a t 2
Vf2 = Vi2 + 2 ad
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
20
Aceleración gravitacional
• Cuando la aceleración de un objeto es la
gravitacional entonces en el conjunto de
ecuaciones cambiamos a por g donde
• g= -9.81 m/s2
• Recuerda que el signo indica la dirección
• Esta constante es utilizada para resolver
problemas de caída libre.
• La aceleración es hacia el centro de la
Tierra y cerca de la superficie.
03/10/2015
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21
Ejemplo 10:
• Se deja caer una bola de
baloncesto desde la
parte más alta de un
coliseo.
– a) ¿Cuál será su velocidad
al cabo de 4 segundos?
– b) ¿Qué distancia
recorrerá en ese tiempo?
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
22
Resultado #10:
• Se deja caer una
bola de
baloncesto desde
la parte más alta
de un coliseo.
– a) ¿Cuál será su
velocidad al cabo
de 4 segundos?
– b) ¿Qué distancia
recorrerá en ese
tiempo?
03/10/2015
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Vi = 0
t = 4s
a= -9.81 m/s2
Vf =?
Vf = Vi + at
Vf = (-9.81 m/s2)(4s)
= -39.24 m/s
= 39.24 m/s , abajo
d= Vit +1/2 at2 = ½ (-9.81 m/s2)
(4s)2
• = -79 m = 79 m, abajo
SERGIO MARTINEZ VELEZ
23
Ejemplo 11:
• Un estudiante deja caer
una piedra desde un
puente que se
encuentra a 12 m sobre
un río.
• ¿A qué velocidad
golpeará la piedra el
agua?
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
24
Solución 11
• Un estudiante deja
caer una piedra
desde un puente
que se encuentra a
12 m sobre un río.
• ¿A qué velocidad
golpeará la piedra
el agua
03/10/2015
•
•
•
•
•
•
•
•
vi = 0
g = -9.81m/s2
d = 12m
vf = ?
vf2 =vi2 + 2gd
= 2(-9.81m/s2)(12m)
= -15.34 m/s
=15.34 m/s, abajo
SERGIO MARTINEZ VELEZ
25
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
26
Un objeto cayendo libremente es un objeto que
está cayendo únicamente debido a la influencia
de la gravedad.
•No existe resistencia del aire
•Todo objeto en caída libre se acelera hacia
abajo a una tasa de 10 m/s2 (exactamente, 9.8
m/s2)
03/10/2015
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27
Caída libre
Cuando dos objetos de diferente peso se dejan caer al mismo tiempo, el objeto más
pesado cae más de prisa, como afirmaba Aristóteles. Pero es posible demostrar que tal
cosa sucede porque el aire produce un efecto retardante en la caída de cualquier
objeto, y que dicho efecto ejerce una mayor influencia sobre el movimiento del objeto
más liviano. En realidad, si dejamos caer los objetos dentro de un tubo del cual se
extrajo el aire (se hizo el vacío), se puede comprobar que ambos objetos caen en forma
simultánea, como afirmó Galileo.
03/10/2015
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28
El valor numérico de la aceleración en caída libre de un objeto es conocido como la
aceleración de la gravedad y se representa con el símbolo g = 9.8m/s2
Hay ligeras variaciones del valor de g dependiendo de la altitud.
Frecuentemente se usa g = 10 m/s2 como una aproximación
03/10/2015
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29
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
30
CAIDA LIBRE DE LOS CUERPOS
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
31
posición
Inicia lentamente
Finaliza con una
gran
velocidad
tiempo
tiempo
velocidad
Arranca del reposo
v=0
03/10/2015
m = g = 9.8m/s2
SERGIO MARTINEZ VELEZ
32
vf = g * t
t=6s
vf = (10 m/s2) * (6 s) = 60 m/s
d = 0.5 * g * t2
t=5s
d = (0.5) * (10 m/s2) * (5 s)2
= 125 m
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
33
Las ecuaciones son:
a=-g
v = v0 - g . t
y = y0 + v0.t – ½ g t²
v ² = v0 ² - 2.g .y
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
34
Signo de la aceleración:
Si el eje X apunta hacia arriba la aceleración de la gravedad vale a=g, g=9.8 o 10 m/s2
Signo de la velocidad inicial:
Si el eje X apunta hacia arriba y el cuerpo es
inicialmente lanzado hacia arriba el signo de la
velocidad inicial es positivo
Situación del origen:
Se acostumbra a poner en el origen, en el
punto en el que es lanzado el móvil en el
instante inicial.
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
35
PROBLEMA
Se lanza una pelota(1) verticalmente hacia arriba con una rapidez de 10 m/s.
Luego de un segundo se lanza una piedra(2) verticalmente con una rapidez
inicial de 25 m/s Determine
a.) el tiempo que tarda la piedra en alcanzar la misma altura que la pelota.
SOLUCION.
Alturas son iguales
t1= t2 + 1
Y1= V1o x t1- 1/2 g t1 ²
Y2= V2o x t2- 1/2 g t 2²
03/10/2015
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36
Ypie= Y pel
V1x(t2 + 1) - 1/2 g (t2 + 1) ² = V2o x t 2- 1/2 g t 2²
V1xt2 + V1- 1/2 g t2² - g t2- 1/2g = V2 x t2- 1/2 g t2²
t2 ( V1-g-V2) = - V1+ 1/2 g
t2 (10-9.8-25) = -10 + 4.9
t2= -5.1/- 24.8
t2 = 0.205 s.
03/10/2015
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37
MOVIMIENTO PARABOLICO
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
38
MOVIMIENTO PARABOLICO
Es la trayectoria que describe un objeto en vuelo en el aire
después de haber sido lanzado desde un punto cualquiera en
el espacio.
Podemos despreciar la resistencia del aire y suponer que la
aceleración del objeto es debida sólo a la gravedad.
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
39
MOVIMIENTO PARABOLICO
Supongamos que un proyectil se lanza de forma que su velocidad inicial v0 forme un ángulo
q con el eje de las x , como se muestra en la figura
Descomponiendo la velocidad inicial, obtenemos las componentes
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
40
Para deducir las ecuaciones del movimiento parabólico, debemos partir del hecho de
que el proyectil experimenta un movimiento rectilíneo uniforme a lo largo del eje x , y
uniformente acelerado a lo largo del eje y . De esta forma tenemos que:
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
41
Trayectoria de un proyectil
Trayectoria de un proyectil arrojado con una
velocidad inicial v0.
03/10/2015
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42
Vector desplazamiento en el tiro
parabólico
El vector desplazamiento r puede
escribirse como: r = v0t + ½gt2
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
43
Algunos parámetros del tiro parabólico
v 0 sen q 0
2
h
2
2g
03/10/2015
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v 0 sen2 q 0
2
R 
g
44
Máximo alcance
Trayectorias de un proyectil con
diferente ángulo inicial
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
45
Un esquiador sale de una rampa de salto con una velocidad de 10 m/s 15° arriba de la
horizontal. La pendiente esta inclinada 50° y la resistencia del aire es despreciable.
Calcule
a.- La distancia a la que aterriza el esquiador
b.- Las componentes de la velocidad antes de aterrizar
SOLUCION
Y= d sen 50°
X= d cos 50°
Vox = 10 cos 15° = 9,65 m/s
Voy = 10 sen 15°= 2.58 m/s
03/10/2015
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46
Desplazamiento eje x
X = Vox. Tv
D cos 50°= 9.65 tv.
Tv= 0.06 d
Desplazamiento eje y
-Yo = Voy. Tv – ½ g t²
Tv = 0.06*42.43
-d sen 50° = 2.58 tv-4,9 t²
Tv = 2.54 s
0.0217d² – 0.92d=0
d= 42.43 m
Vy= voy t – gtv
Vy= -22.36 m/s
Vx=2.58 m/s
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
47
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
48
Movimiento circular
Movimiento circular uniforme y
Dinámica circular. Movimiento
circular uniformemente variado.
Conocimientos previos
• Rapidez lineal:
v 
distancia
tiem po
tiempo
• Segunda ley de Newton:

F RE


a 
03/10/2015
F RE

m
a
SERGIO MARTINEZ VELEZ
50
Movimiento circular
•
•
•
El movimiento del cuerpo rígido, en
general puede interpretarse como la
composición de dos movimientos:
traslación y rotación.
Cuando un sólido rota, el segmento
trazado desde el eje de giro a
cualquiera de sus puntos barre un
ángulo respecto a dicho eje de giro.
Existe una relación entre este ángulo
(expresados  en
r .q radianes) y el
segmento de arco formado:
s  1, 20 
03/10/2015

4
m  0 , 942 m
r = 1,20 m
q 
SERGIO MARTINEZ VELEZ

4
51
Ejercicio
•
•
Un barco carguero de 200 m de
longitud forma un ángulo de /10
radianes con la visual de un
observador. ¿A qué distancia del
observador se encuentra el barco?
Solucións  r .q
200 m  r 

10
r  637 m
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
52
Rapidez angular
•
•
•
•
La rapidez con que rota un cuerpo
rígido depende del tiempo que
demora en barrer un ángulo
determinado.
A dicha rapidez se le denomina
rapidez angular, , y se obtiene
dividiendo el ángulo barrido entre el
tiempo transcurrido.
Rapidez angular media
D q (t )
 m ed 
Dt
Dq ; Dt
Rapidez angular instantánea
  lim
Dt  0
03/10/2015
D q (t )
  
Dt
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rad
s
53
Relación entre rapidez tangencial y angular
•
A partir de la relación que existe
entre el radio y el ángulo, se puede
hallar una relación entre la rapidez
angular y la rapidez tangencial o
s  r .q
lineal.
s
t
 r.
q
t
•
v  r .
•
•
•
Ejercicio
La rapidez angular de un DVD-ROM
de computadora varía entre 200 rpm
y 450 rpm . Si el radio del disco es de
10,0 cm, ¿cuál es la rapidez
tangencial máximaraddel borde del
450 rpm  47 , 3
disco?
s
Solución
v  10 , 0 cm  47 , 3
rad
s
 473
cm
s
La unidad de medida también es la
revolución por minuto o rpm. rad
1 rpm  0 ,105
s
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
54
Periodo y frecuencia en el MCU
•
•
•
Otras magnitudes usadas para
describir el movimiento circular son
el periodo (T) y la frecuencia (f ).
El periodo es el tiempo que demora
un cuerpo en dar una vuelta
completa. Se mide en unidades
tiempo.
1200 rpm
Por ejemplo,
•
•
•
Si el motor rota a 1200 rpm, en 60
segundos dará 1200 vueltas.
60 que su periodo será
Lo que significa
s  0 , 0500 s
de
1200
La frecuencia es el número de veces
 1200por
H z segundo. Se
que rota elf cuerpo
mide en hertz.
Motor asíncrono para ascensor
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
55
Dirección de la velocidad angular
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
56
Causa del movimiento circular uniforme
T paralelo
 fuerza centrípeta
La fuerza resultante está
dirigida hacia el centro de giro.
Esta fuerza recibe el nombre
de centrípeta y es la
responsable de la producción
del movimiento circular.
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
57
Fuerza centrípeta y aceleración centrípeta en el MCU
•
La aceleración centrípeta o radial
también se expresa a través de la
velocidad angular.
ac 
v
2
r
ac  r
03/10/2015
•
La fuerza centrípeta, al igual que la
expresión general de la segunda ley
de Newton, es igual al producto de la
masa por la aceleración centrípeta.
Fc  m a c
2
SERGIO MARTINEZ VELEZ
58
Ejercicio
• Un lanzador de disco
gira el disco un
círculo de radio 80,0
cm.
En
cierto
instante, el lanzador
gira con una rapidez
angular de 10,0
rad/s. Calcule la
aceleración
centrípeta del disco.
03/10/2015
ac  r
SERGIO MARTINEZ VELEZ
2
 80 , 0 m /s
2
59
MCUV: aceleración angular constante
•
La aceleración angular es la rapidez
de cambio de la velocidad angular.
 
d
dt
•
En el caso de que la aceleración
angular es constante se puede hallar
la expresión de la velocidad angular.
 (t )   0   t
•
La expresión de la posición angular.
q (t )  q 0   0 t 
03/10/2015
1
t
2
2
SERGIO MARTINEZ VELEZ
60
Movimiento circular uniformemente variado
03/10/2015
SERGIO MARTINEZ VELEZ
61