Gerenciamiento Técnico de
Proyectos
Clase Nro 16 b
Elementos de Estadísitica – Nociones
de Probabilidad
Probabilidad
La probabilidad es una medida de la
posibilidad de ocurrencia futura de un
evento.



Puede asumir sólo valores entre 0 y 1
Un valor cercano a cero significa que el evento
es poco posible que ocurra. Un valor cercano a
uno indica que es muy probable que ocurra.
Hay tres definiciones de probabilidad: clásica,
empírica y subjetiva.
Clase 16b - Nociones de probabilidad
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Definiciones continuación



La definición Clásica se aplica cuando hay
n resultados equiprobables (que tienen la
misma probabilidad de ocurrencia).
La definición Empírica se aplica cuando la
cantidad de veces que el evento ocurre se
divide por la cantidad total de
observaciones.
La probabilidad Subjetiva se basa en
cualquier información disponible.
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Definiciones continuación



Un experimento es la observación
de cierta actividad o el acto de
tomar alguna medida.
Una observación es el particular
resultado de un experimento.
Un evento es el conjunto de
resultados de un experimento.
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Eventos Mutuamente Excluyentes


Dos o más eventos son mutuamente
excluyentes si la ocurrencia de
cualquiera de ellos implica que ninguno
de los otros puede suceder al mimo
tiempo.
Dos o más eventos son independientes si
la ocurrencia de uno de ellos no afecta la
ocurrencia de otro
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Eventos Colectivamente
Exhaustivos
Dos o más eventos son
colectivamente exhaustivos si
al menos uno de ellos debe
ocurrir cuando se realiza un
experimento.
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Ejemplo 1
Un dado se lanza una vez.
 El experimento es lanzar el dado.
 Los resultados posibles son los
números 1, 2, 3, 4, 5, 1 6.
 Un evento es la ocurrencia de un
número par. Es decir, anotaremos
los resultados 2, 4, y 6.
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Ejemplo 2


Durante su carrera, la profesora Varela ha
calificado con 10 a 186 de 1200 alumnos.
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno
en su clase reciba un 10 como calificación el
próximo año?
Este es un ejemplo de probabilidad empírica.
Para encontrar la probabilidad de que un
alumno reciba un 10:
P (10 ) 
186
 0 . 155
1200
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Probabilidad Subjetiva
Algunos ejemplos de probabilidad
subjetiva son:


estimar la probabilidad de que Boca
Juniors gane el torneo apertura este
año.
estimar la probabilidad de que la
tasa de interés para prestamos
hipotecarios alcance al 8 por ciento.
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Reglas Básicas de Probabilidad
Si dos eventos A y B son
mutuamente excluyentes, la
regla especial de suma indica
que la probabilidad de que
ocurra A o que ocurra B es
igual a la sima de sus
respectivas probabilidades:
P(A o B) = P(A) + P(B)
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Ejemplo 3
Una compañía de aviación ha
suministrado la siguiente
información sobre sus vuelos de
Boston a Nueva York:
L leg ad a
F re cu en cia
A n ticip ad a
100
E n h o rario
800
T ard e
75
C an celad o
25
T o tal
1000
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Ejemplo 3



continuación
Si A es el evento de un vuelo llegando en
forma anticipada, entonces P(A) =
100/1000 = 0,10.
Si B es el evento de un vuelo llegando
tarde entonces P(B) = 75/1000 = 0,075.
La probabilidad de que un vuelo llegue
tarde o en forma anticipada es:
P(A o B) = P(A) + P(B) = 0,10 + 0,075 =0,175.
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Regla del Complemento
La regla del complemento se utiliza para
determinar la probabilidad de que un evento
ocurra restando la probabilidad de que el
evento no ocurra a 1.
Si P(A) es la probabilidad del evento A y P(~A)
es el complemeto de A,
P(A) + P(~A) = 1 o
P(A) = 1 - P(~A).
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Regla del Complemento continuación
 Un
diagrama de Venn
ilustrando la regla del
complemento aparece
como:
A
~A
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Ejemplo 4
Con los datos del ejemplo 3 y usando la
regla del complemento encontrar la
probabilidad de que un vuelo llegue
anticipadamente (A) o tardeo (B)
Si C es el evento de un vuelo llegando en horario,
entonces P(C) = 800/1000 = 0,8.
Si D es el evento de un vuelo cancelado, entonces
P(D) = 25/1000 = 0,025.
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Ejemplo 4
continuación
P(A or B) = 1 - P(C or D)
= 1 - [0,8 +0,025] =0,175
C
0,8
D
0,025
~(C o D) = (A o B)
0,175
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La Regla General de la Suma
Si A y B son dos eventos que no
son mutuamente excluyentes,
entonces P(A o B) se calcula con
la siguiente fórmula:
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)
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La Regla General de la Suma
 El
diagrama de Venn que
ilustra la regla:
B
A and B
A
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Ejemplo 5
En una muestra de 500
estudiantes, 320 dicen tener
un stereo, 175 dicen tener un
TV y 100 dicen tener ambos:
Stereo
320
Ambos
100
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TV
175
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Ejemplo 5 continuación
 Si
un estudiante es elegido al azar,
¿cuál es la probabilidad de que ese
estudiante tenga solo un stereo, sólo
una TV o ambos, stereo y TV?
P(S) = 320/500 = 0,64.
P(T) = 175/500 = 0,35.
P(S y T) = 100/500 = 0,20.
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Ejemplo 5 continuación
 Si
un estudiante es elegido al azar,
¿cuál es la probabilidad de que ese
estudiante tenga un stereo o un TV?
P(S o T) = P(S) + P(T) - P(S y T)
= 0,64 +0,35 – 0,20 = 0,79.
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Probabilidad Conjunta
La probabilidad conjunto mide la
chance de que dos o más eventos
ocurran simultáneamente.

Un ejemplo sería el evento en que
un estudiante tenga un stereo y un
TV.
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Regla Especial de la Multiplicación


La regla especial de la multiplicación
requiere que ambos eventos A and B
sean independientes.
Dos eventos son independientes si la
ocurrencia de uno no afecta a la
probabilidad de ocurrencia del otro.
La regla se traduce en:
P(A y B) = P(A)*P(B)
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Ejemplo 6
Cristina posee dos acciones, IBM y
General Electric (GE). La
probabilidad de que la acción de IBM
aumente su valor el próximo año es
de 0,5 y la probabilidad de que la
acción GE aumente su valor el
próximo año es de 0,7. Asumiendo
que las dos acciones se comportan en
forma independiente, ¡cuál es la
probabilidad de que ambas
aumenten?
P(IBM y GE) = (0,5)*(0,7) = 0,35.
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Ejemplo 6 continuación
¿Cuál es la probabilidad de que al menos
una de esas acciones aumente su valor
durante el próximo año? (Significa que
una de ellas o ambas pueden aumentar.)
P(al menos una) =
= (0,5)*(0,3) + (0,5)*(0,7) +(0,7)*(0,5) = 0,85.
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Probabilidad Condicional
La probabilidad condicional es
la probabilidad que que un
evento particular ocurra,
cuando otro evento y ha
ocurrido.
 La probabilidad del evento A
dado que el evento B ha
ocurrido se escribe P(A|B).
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Regla General de la Multiplicación
La regla general de la multiplicación se
emplea para encontrar la probabilidad
conjunta de ocurrencia de dos eventos.
La regla establece que para dos eventos A
y B, la probabilidad de que ambos eventos
ocurran se encuentra multiplicando la
probabilidad de ocurrencia del evento A
por la probabilidad condicional de B dado
que A ha ocurrido.
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Regla General de la Multiplicación
La probabilidad conjunta , P(A y B)
está dada por la siguiente fórmula:
P(A y B) = P(A)*P(B/A)
o
P(A y B) = P(B)*P(A/B)
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Ejemplo 7
El rector de la escuela de negocios de
la universidad del salvador ha
recolectado la siguiente información
sobre los alumnos no graduados de
su escuela:
C a rre ra
M a sc u lin o
F e m e n in o
T o ta l
E co n o m ía
170
110
280
F in a n z a s
120
100
220
M a rk e tin g
160
70
230
M anagem ent
150
120
270
T o ta l
600
400
1000
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Ejemplo 7
continuación
Si un estudiante es elegido al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que el estudiante sea femenino
(F) y estudie economía (A)
P(A y F) = 110/1000.
Si un estudiente es de sexo femenino, ¿cuál es
la probabilidad de que ella estudie economía
P(A|F) = P(A yF)/P(F)
= [110/1000]/[400/1000] = 0,275
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