Teoría Axiomática General de
Agregados (I)
Jorge Baralt-Torrijos
Universidad Simón Bolívar
Octubre 2003
09/10/03
Jorge Baralt-Torrijos
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Contenido
Plataforma formal
 Relación de pertenencia
 Concepto de agregado
 Concepto de conjunto

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Plataforma formal
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Plataforma formal



Lógica de predicados de primer orden con identidad
El predicado diádico primitivo
EsMbr
El predicado monádico primitivo
EsClsP
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Relación de Pertenencia
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Interp. EsMbr

EsMbr(y)(x) =a x es miembro de y
x  y =a EsMbr(y)(x)
y
x
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Df. Cont

Cont(y)(x) =a EsMbr(x)(y)
Cont(y)(x) =s x contiene a y
y  x =a Cont(y)(x)
x
y
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Df. NoEsMbr

NoEsMbr(y)(x) =a ¬ EsMbr(y)(x)
NoEsMbr(y)(x) =s x no es miembro de y
x  y =a NoEsMbr(y)(x)
y
x
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Df. EsIntegrante

EsIntegrante(x) =a $y x  y
EsIntegrante(x) =s x es un integrante
y
x
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Integrantes
Integrantes
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Df. EsMaximal

EsMaximal(x) =a ¬ EsIntegrante(x)
EsMaximal(x) =s x es maximal
x
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Ts. EsMaximal




$x EsMaximal(x)  ¬ "x EsIntegrante(x)
"x EsIntegrante(x)  ¬ $x EsMaximal(x)
"x EsMaximal(x)  ¬ $x EsIntegrante(x)
$x EsIntegrante(x)  ¬ "x EsMaximal(x)
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Maximales
Maximales
Integrantes
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Df. EsAgrupacion

EsAgrupacion(x) =a $y y  x
EsAgrupacion(x) =s x es una agrupación
x
y
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Ts. EsAgrupacion

$x EsAgrupacion(x)  $x EsIntegrante(x)
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Agrupaciones
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
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Df. EsMinimal

EsMinimal(x) =a ¬ EsAgrupacion(x)
EsMinimal(x) =s x es minimal
x
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Ts. EsMinimal





$x EsMinimal(x)  ¬ "x EsAgrupacion(x)
"x EsAgrupacion(x)  ¬ $x EsMinimal(x)
"x EsMinimal(x)  ¬ $x EsAgrupacion(x)
$x EsAgrupacion(x)  ¬ "x EsMinimal(x)
¬ "x EsMaximal(x)  ¬ "x EsMinimal(x)
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Minimales
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
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Df. EsAgrupante

EsAgrupante(x) =a EsAgrupacion(x) EsIntegrante(x)
EsAgrupante(x) =s x es un agrupante
y
x
z
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Agrupantes
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
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Concepto de agregado
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Interp. EsClsP

EsClsP(x) =a x es una clase primitiva
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Clases Primitivas
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
Clases Primitivas
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Df. EsElemento

EsElemento(x) =a $y (EsClsP(y)  x  y)
EsElemento(x) =s x es un elemento
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Variables de Elementos

"a j(a) =a "x (EsElemento(x)  j(x))
$a j(a) =a $x (EsElemento(x)  j(x))
$!a j(a) =a $!x (EsElemento(x)  j(x))
/*para a,b,c,d,a1,...
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Ts. EsElemento





EsElemento(x)  EsIntegrante(x)
EsIntegrante(a)
¬ $a EsMaximal(a)
EsClsP(x)  "y (y  x EsElemento(y))
$x EsElemento(x) $x EsClsP(x)
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Elementos
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
Elementos
Clases Primitivas
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Df. EsIntNoElem

EsIntNoElem(x) =a EsIntegrante(x)  ¬ EsElemento(x)
EsIntNoElem(x) =s x es un integrante no elemental
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Integrantes no elementales
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
Elementos
Clases Primitivas
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Df. EsClsX

EsClsX(x) =a EsAgrupacion(x) 
"y (y  x  EsElemento(y))
EsClsX(x) =s x es una clase por extensión
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Ts. EsClsX




EsClsX(x)  EsAgrupacion(x)
EsClsX(x)  "y (y  x  EsElemento(y))
EsClsP(x)  EsAgrupacion(x)  EsClsX(x)
$x EsElemento(x)  $x EsClsX(x)
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Clases por extensión
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
Elementos
Clases Primitivas
Clases por Extensión
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Df. EsClase

EsClase(x) =a EsClsP(x)  EsClsX(x)
EsClase(x) =s x es una clase
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Variables de Clase

"X j(X) =a "x (EsClase(x)  j(x))
$X j(X) =a $x (EsClase(x)  j(x))
$!X j(X) =a $!x (EsClase(x)  j(x))
/*para X,Y,Z,X1,...
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Ts. EsClase






EsClsP(x)  EsClase(x)
EsClsX(x)  EsClase(x)
EsClase(x)  "y (y  x EsElemento(y))
EsAgrupacion(x) 
(EsClase(x) "y (y  x EsElemento(y)))
EsClase(x)  EsAgrupacion(x) EsClsX(x)
EsAgrupacion(X) EsClsX(X)
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Clases
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
Elementos
Clases
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Df. EsAgregado

EsAgregado(x) =a EsAgrupacion(x)  EsClase(x)
EsAgregado(x) =s x es un agregado
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Ts. Agregados




EsAgrupacion(x)  EsAgregado(x)
EsClase(x)  EsAgregado(x)
EsAgregado(X)
EsAgregado(x)  EsAgrupacion(x)  EsClsP(x)
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Agregados
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
Elementos
Clases
Agregados
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Df. EsAgregante

EsAgregante(x) =a EsAgregado(x)  EsIntegrante(x)
EsAgregante(x) =s x es un agregante
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Agregantes
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
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Df. EsIndividuo

EsIndividuo(x) =a ¬ EsAgregado(x)
EsIndividuo(x) =s x es un individuo
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Ts. Individuos

EsIndividuo(x) EsMinimal(x)  ¬ EsClase(x)
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Individuos
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
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Df. EsVacio

EsVacio(x) =a EsAgregado(x)  EsMinimal(x)
EsVacio(x) =s x es vacío
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Ts. EsVacio






EsVacio(x)  EsClase(x)
EsVacio(x)  EsMinimal(x)
EsVacio(x)  EsClsP(x)
EsAgregado(x)  EsAgrupacion(x)  EsVacio(x)
EsAgregado(x) 
(EsClase(x) "y (y  x EsElemento(y)))
EsVacio(x) EsAgregado(x) 
"y (y  x  $z (y  z  y  z))
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Vacíos
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
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Df. EsAgrNoCls

EsAgrNoCls(x) =a EsAgregado(x)  ¬ EsClase(x)
EsAgrNoCls(x) =s x es un agregado no clásico
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Agregados no clásicos
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
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50
Ts. EsAgrNoCls


EsAgrNoCls(x)  EsAgrupacion(x)
"x (EsAgrupacion(x) EsClase(x)) 
¬ $x EsAgrNoCls(x) 
"x (EsAgregado(x)  EsClase(x)) 
"x (EsIntegrante(x)  EsElemento(x)) 
¬ $x EsIntNoElem(x)
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51
Si todo agregado es clase
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
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Concepto de Conjunto
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Df. EsConjunto

EsConjunto(x) =a EsClase(x)  EsElemento(x)
EsConjunto(x) =s x es un conjunto
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Variables de Conjuntos

"A j(A) =a "x (EsConjunto(x)  j(x))
$A j(A) =a $x (Conjunto(x)  j(x))
$!A j(A) =a $!x (Conjunto(x)  j(x))
/*para A,B,C,D,A1,...
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55
Ts. EsConjunto







EsConjunto(x)  EsClase(x)
EsClase(A)
EsAgregado(A)
EsConjunto(x)  EsElemento(x)
EsElemento(A)
EsIntegrante(A)
EsAgregante(A)
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Conjuntos
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
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Df. EsClasePrp

EsClasePrp(x) =a EsClase(x)  ¬ EsConjunto(x)
EsClasePrp(x) =s x es una clase propia
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Clases Propias
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
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Ts. EsClasePrp

"x (EsAgrupacion(x) EsClase(x)) 
"x (EsClasePrp(x) EsMaximal(x))
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60
Si todo agregado es clase
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
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Mapa conceptual
EsIntegrante
EsMaximal
EsMbr
EsAgrupacion
EsMinimal
EsElemento
EsClsX
EsVacio
EsClsP
EsClase
EsConjunto
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EsAgregado
EsIndividuo
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Ejemplos
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63
Ejemplos varios
Minimales Agrupaciones
Maximales
Integrantes
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
09/10/03
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64
Ejemplos varios
Minimales Agrupaciones
Maximales
a
a
Integrantes
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
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65
Ejemplos varios
Minimales Agrupaciones
Maximales
a
a
Integrantes
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
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66
Ejemplos varios
Minimales Agrupaciones
Maximales
a
b
b
a
Integrantes
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
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67
Ejemplos varios
Minimales Agrupaciones
Maximales
a
b
Integrantes
b
a
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
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68
Ejemplos varios
Minimales Agrupaciones
c
a
Maximales
b
Integrantes
c
b
a
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
09/10/03
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69
Ejemplos varios
Minimales Agrupaciones
c
a
Maximales
b
Integrantes
c
b
a
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
09/10/03
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70
Ejemplos varios
Minimales Agrupaciones
c
a
Maximales
b
Integrantes
d
d
c
b
a
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
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71
Ejemplos varios
Minimales Agrupaciones
c
a
Maximales
b
Integrantes
d
c
d
a b
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
09/10/03
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72
Ejemplos varios
Minimales Agrupaciones
Clases Primitivas
c
a
Maximales
b
Integrantes
d
c
d
a
Elementos
b
Clases
Agregados
Individuos
09/10/03
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73
Ejemplos varios
Minimales Agrupaciones
Clases Primitivas
c
a
Maximales
c
b
Integrantes
d
Elementos
d
ab
Clases
Agregados
Individuos
09/10/03
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74
Ejemplos varios
Minimales Agrupaciones
Clases Primitivas
c
a
Maximales
c
b
Integrantes
d
d ab
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
09/10/03
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75
Ejemplos varios
Minimales Agrupaciones
Clases Primitivas
c
a
Maximales
c
b
Integrantes
d
d ab
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
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Ejemplo modelo
Clases Primitivas
a
b
c
m
h
n
Minimales Agrupaciones
e
i
d
a
b
c d
e
o
f
g
h
i
j
j
k
l
m n
o
Clases
l
g
k
Agregados
f
Individuos
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Agregados De Orden Superior