Capítulo 26A - Capacitancia
Presentación PowerPoint de
Paul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State University
©
2007
Objetivos: Después de completar
este módulo deberá:
• Definir la capacitancia en términos de carga
y voltaje, y calcular la capacitancia para un
capacitor de placas paralelas dados la
separación y el área de las placas.
• Definir la constante dieléctrica y aplicarla a
cálculos de voltaje, intensidad de campo
eléctrico y capacitancia.
• Encontrar la energía potencial almacenada en
capacitores.
Máxima carga sobre un conductor
Una batería establece una diferencia de potencial que
puede bombear electrones e- de una tierra (Tierra) a un
conductor
Conductor
Batería
Tierra
-
e-
e- - ---
Existe un límite a la cantidad de carga que un
conductor puede retener sin fuga al aire. Existe
cierta capacidad para retener carga.
Capacitancia
La capacitancia C de un conductor se define
como la razón de la carga Q en el conductor al
potencial V producido.
Batería
Tierra
Capacitancia:
eC 
Q
V
Conductor
- - - - e- - - Q, V - ---
Unidades: Coulombs por volt
Capacitancia en farads
Un farad (F) es la capacitancia C de un conductor que
retiene un coulomb de carga por cada volt de potencial.
C 
Q
;
farad (F) 
V
coulom b (C )
volt (V )
Ejemplo: Cuando 40 mC de carga se colocan en un
conductor, el potencial es 8 V. ¿Cuál es la capacitancia?
C 
Q
V

40 m C
8V
C = 5 mF
Capacitancia de conductor esférico
En la superficie de la esfera:
E 
kQ
r
2
;
V 
Recuerde: k 
Y:
V 
kQ
r
C 
Q
V

kQ
Capacitancia, C
r
r
+Q
1
E y V en la superficie.
4  0

Q
4 0 r
Q
Q 4 0 r
Capacitancia: C 
Q
V
C  4 0 r
Ejemplo 1: ¿Cuál es la capacitancia de
una esfera metálica de 8 cm de radio?
Capacitancia, C
r
+Q
r = 0.08 m
Capacitancia: C = 4or
C  4 (8.85 x 10
-12 C
N m
2
)(0.08 m )
C = 8.90 x 10-12 F
Nota: La capacitancia sólo depende de parámetros
físicos (el radio r) y no está determinada o por la carga
o por el potencial. Esto es cierto para todos los
capacitores.
Ejemplo 1 (Cont.): ¿Qué carga Q se
necesita para dar un potencial de 400 V?
Capacitancia, C
r
+Q
r = 0.08 m
C = 8.90 x 10-12 F
C 
Q
;
Q  CV
V
Q  (8.90 pF)(400 V )
Carga total sobre el conductor:
Q = 3.56 nC
Nota: El farad (F) y el coulomb (C) son unidades
extremadamente grandes para electricidad estática. Con
frecuencia se usan los prefijos micro m, nano n y pico p.
Rigidez dieléctrica
La rigidez dieléctrica de un material es aquella
intensidad eléctrica Em para la que el material
se convierte en conductor. (Fuga de carga.)
Em varía considerablemente
con condiciones físicas y
ambientales como presión,
humedad y superficies.
r
Q
Dieléctrico
Para el aire: Em = 3 x 106 N/C para superficies
esféricas y tan bajo como 0.8 x 106 N/C para
puntos agudos.
Ejemplo 2: ¿Cuál es la carga máxima que se
puede colocar en una superficie esférica de
un metro de diámetro? (R = 0.50 m)
Máxima Q
r
Q
Em 
Aire
Em = 3 x 106 N/C
Q 
kQ
r
2
k
(3 x 10
Carga máxima en aire:
Q 
;
Em r
2
6 N
C )(0.50 m )
9 x 10
9 Nm 2
C
2
2
Qm = 83.3 mC
Esto ilustra el gran tamaño del coulomb como
unidad en aplicaciones electrostáticas.
Capacitancia y formas
La densidad de carga sobre una superficie se afecta
significativamente por la curvatura. La densidad de
carga es mayor donde la curvatura es mayor.
+ + + ++
+
+
+ + + + + ++
Em 
kQ m
r
2
+ + + + ++
++
+
+
+
+
+ + +
La fuga (llamada descarga corona) ocurre con
frecuencia en puntos agudos donde la curvatura
r es más grande.
Capacitancia de placas paralelas
+Q
Área A
-Q
d
Para estas dos
placas paralelas:
C 
Q
y
E 
V
V
d
Recordará que, de la ley de Gauss, E también es:
E 
E 

0
V
d


Q
0A
Q
0A
Q es la carga en cualquier
placa. A es el área de la placa.
y
C 
Q
V
 0
A
d
Ejemplo 3. Las placas de un capacitor
de placas paralelas tienen una área de
0.4 m2 y están separadas 3 mm en
aire. ¿Cuál es la capacitancia?
C 
Q
V
C 
(8.85 x 10
 0
-12
C
A
A
d
2
0.4 m2
2
)
2 )(0.4 m
Nm
(0.003 m )
C = 1.18 nF
d
3 mm
Aplicaciones de los capacitores
Un micrófono convierte las ondas sonoras en una
señal eléctrica (voltaje variable) al cambiar d.
d cambiante
C  0
micrófono
d
V 
A
d
Q
C
Área
cambiante
++
++
- ++
-- + A
---
Capacitor
variable
El sintonizador en un radio es un capacitor variable. El
área cambiante A altera la capacitancia hasta que se
obtiene la señal deseada.
Materiales dieléctricos
La mayoría de los capacitores tienen un material dieléctrico
entre sus placas para proporcionar mayor rigidez dieléctrica
y menos probabilidad de descarga eléctrica.
Eo
+
+
+ aire +
+
+
Co
E reducido
+-+-+ +
+-+-+ +-+-++
+
dieléctrico
E < Eo
+
+ +++ -+
++ +
C > Co
La separación de la carga dieléctrica permite que más carga
se coloque en las placas; mayor capacitancia C > Co.
Ventajas de los dieléctricos
• Menor separación de placas sin contacto.
• Aumenta la capacitancia de un capacitor.
• Se pueden usar voltajes más altos sin descarga
disruptiva.
• Con frecuencia permite mayor resistencia
mecánica.
Inserción de dieléctrico
Disminuye el campo
E < Eo
aire +Q
dieléctrico
Co Vo Eo o
-Q
+ +
+
+ +
+
Inserción de
dieléctrico +Q
C V E 
Igual Q
Q = Qo
-Q
Disminuye el voltaje
V < Vo
Aumenta capacitancia
C > Co
+ +
Aumenta permitividad
 > o
Constante dieléctrica, K
La constante dieléctrica K para un material es la
razón de la capacitancia C con este material a la
capacitancia Co en el vacío.
K 
Constante dieléctrica:
K = 1 para el aire
C
C0
K también se puede dar en términos de voltaje V,
intensidad de campo eléctrico E o permitividad :
K 
V0
V

E0
E


0
La permitividad de un medio
La capacitancia de un capacitor de placas paralelas
con un dieléctrico se puede encontrar de:
C  KC0
or
C  K0
A
or
A
C 
d
d
La constante  es la permitividad del medio que
relaciona la densidad de las líneas de campo.
  K0;
 0  8.85 x 10
-12
C
2
Nm
2
Ejemplo 4: Encuentre la capacitancia C y la
carga Q si se conecta a una batería de 200-V.
Suponga que la constante dieléctrica es K = 5.0.
  K0 5(8.85 x 10-12C/Nm2)
  K0
o  44.25 x 10-12 C/Nm2
C 
A
d

(44.25 x 10
-12
C
2
A
0.5 m2
2
)
2 )(0.5 m
Nm
0.002 m
C = 11.1 nF
¿Q si se conecta a V = 200 V?
Q = CV = (11.1 nF)(200 V)
d
2 mm
Q = 2.22 mC
Ejemplo 4 (Cont.): Encuentre el campo E entre
las placas. Recuerde Q = 2.22 mC; V = 200 V.
Ley de Gauss  E 

  K0
Q


  44.25 x 10-12 C/Nm2
A
A
0.5 m2
-6
E 
2.22 x 10 C
(44.25 x 10
-12
C
2
2
200 V
)
2 )(0.5 m
Nm
E = 100 N/C
d
2 mm
Dado que V = 200 V, el mismo resultado se encuentra
si E = V/d se usa para encontrar el campo.
Ejemplo 5: Un capacitor tiene una capacitancia de
6mF con aire como dieléctrico. Una batería carga el
capacitor a 400 V y luego se desconecta. ¿Cuál es
el nuevo voltaje si se inserta una hoja de of mica
(K = 5)? ¿Cuál es la nueva capacitancia C ?
K 
C

C0
V 
400 V
V0
;
V 
V0
V
K
;
V = 80.0 V
Dieléctrico aire
Vo = 400 V
5
C = Kco = 5(6 mF)
Dieléctrico mica
C = 30 mF
Mica, K = 5
Ejemplo 5 (Cont.): Si la batería de 400 V se
reconecta después de insertar la mica, ¿qué
carga adicional se agregará a las placas debido
a la C aumentada?
Aire Co = 6 mF
Q0 = C0V0 = (6 mF)(400 V)
Vo = 400 V
Q = 2400 mC
0
Q = CV = (30 mF)(400 V)
Mica C = 30 mF
Q = 12,000 mC
Mica, K = 5
DQ = 12,000 mC – 2400 mC
DQ = 9600 mC
DQ = 9.60 mC
Energía de capacitor cargado
La energía potencial U de un capacitor
cargado es igual al trabajo (qV) que se
requiere para cargar el capacitor.
Si se considera que la diferencia de
potencial promedio de 0 a Vf es V/2:
Trabajo = Q(V/2) = ½QV
U 
1
2
QV ;
U 
2
1
2
CV ;
U 
Q
2
2C
Ejemplo 6: En el Ej. 4 se encontró que la
capacitancia era be 11.1 nF, el voltaje 200 V y la
carga 2.22 mC. Encuentre la energía potencial U.
U 
U 
1
2
1
2 CV
2
(11.1 nF)(200 V)
2
U = 222 mJ
1
2
QV ;
U 
C = 11.1 nF
200 V
Verifique su respuesta con
las otras fórmulas para E.P.
U 
Capacitor del
ejemplo 5.
Q
U = ¿?
2
2C
Q = 2.22 mC
Densidad de energía para capacitor
La densidad de energía u es la energía por unidad de
volumen (J/m3). Para un capacitor de área A y
separación d, la densidad de energía u se encuentra del
modo siguiente:
Densidad de
energía u para un
campo E:
Recuerde
C 
0 A
A d
y V  Ed :
d
U 
1
2
CV
2
0A
1 
 2
 d

2
(
E
d
)


u 
U
U

V ol .
Ad
1energía u: 2
Densidad
de
 AdE
U
u
uAd


1
2
2
0
0
2
Ad
E
Resumen de fórmulas
C 
Q
farad (F) 
;
coulom b (C )
V
C 
Q
 K0
V
K 
C

C0
U 
volt (V )
V0

V
1
2 QV ;
A
C  4 0 r
d
E0

E
U 

u 
0
1
2
2 CV ;
U 
1
2
0E
Q
2
2C
2
CONCLUSIÓN: Capítulo 25
Capacitancia
Descargar

Capacitance