Cap. 2 – Movimiento en Una
Dimension
Posición y Tiempo
• Lo fundamental del movimiento es un
cambio de posición que ocurre durante un
intérvalo de tiempo.
• Desplazamiento = Cambio de posición
• Matemáticamente
 Δx = x2 – x1
 Δt = t2 – t1
Posición se mide con un sistema de coordenada(s)
donde se escoge un origen arbitrariamente.
El signo del desplazamiento corresponde a la dirección
del movimiento.
Descripción Detallada
• Si conozco sólo el desplazamiento total y
el intérvalo de tiempo total, tengo una
descripción general del movimiento pero
no detallada.
• Una detallada se logra conociendo la
posición para cada instante de tiempo
entre el inicio y el fin del movimiento.
• Matemáticamente: x(t), una función.
Cuatro movimientos que son muy diferentes pero que tienen todos el
mismo desplazamiento.
Gráfica de Posición
• Una ayuda matemática.
• Esta es la gráfica de algo que no se está
moviendo.
Gráfica de Algo en Movimiento
• La gráfica
• Herramienta matemática
• El movimiento
• La realidad física
Descripción Alterna - Velocidad
• Porqué necesito otra descripción?
• Porque será útil para ciertas cosas.
• Nuevo concepto – nueva manera de mirar la
misma realidad. Esto ocurre frecuentemente en
la física. El poder mirar la misma realidad desde
muchos puntos de vista diferentes es bueno.
Cada uno puede ser útil para diferentes
propósitos.
• La simple razón entre desplazamiento y tiempo
me da un nuevo concepto que no es ni uno ni lo
otro.
Gráficamente, velocidad es la pendiente. En el ejemplo se ve claramente
la diferencia entre una descripción general en términos de la velocidad
promedio y una descripción detallada. La línea rosa es el detalle de un
movimiento donde primero se va en truck y después a pie. La línea azul
que va en recta desde la posición inicial a la final tiene una pendiente que
equivale a la velocidad promedio.
Fíjate que la pendiente del movimiento en truck es mayor que el de
caminar (velocidad del truck es mayor).
Fíjate que la velocidad promedio es intermedia pero no es igual al
promedio matemático de las velocidades que componen el movimiento.
Velocidad Instantanea
Al tomar la derivada de la función de posición,
puedo definir la velocidad en un instante de tiempo
en el cual el objeto está en una sola posición. Esta
es la magia del cálculo….
Así obtengo otra función del tiempo, v(t), que
también es una descripción detallada del
movimiento.
Otro ejemplo. Aquí los colores están al revés del último.
En este movimiento la velocidad instantanea cambia continuamente (linea
curveada). Esto corresponde a que la pendiente de tal linea nunca se
mantiene constante.
La velocidad promedio es la pendiente de un movimiento imaginario con
velocidad constante que tiene el mismo desplazamiento total y tiempo
total.
Aceleración
Promedio
Instantanea
Podemos repetir la historia calculando la razón entre cambio de
velocidad y tiempo. A esto le llamaremos aceleración. Podemos
calcular la aceleración promedio y la aceleración instantanea.
Gráficamente será la pendiente de la gráfica de velocidad. También
provee una descripción detallada del movimiento que tiene gran
utilidad. Afortunadamente, la derivada de la aceleración no es útil y
podemos terminar aquí nuestro juego de tomar derivadas.
Sentidos de Velocidad y Aceleración?
¿Has viajado a velocidad constante en carro en una carretera
plana y lisa? Sentías la velocidad? Podías decir a qué velocidad
iba el carro? El cuerpo no tiene sentido de velocidad.
¿Qué sentías cuando el carro cambiaba de velocidad ya sea que
acelerara fuertemente o que pegara frenos de momento? El
cuerpo sí tiene un sentido de aceleración.
Hay una buena razón física para esto que entenderemos más
adelante cuando estudiemos la relación entre aceleración y los
objetos que rodean a un cuerpo acelerado.
Las tres gráficas para un movimiento de
aceleración constante
La gráfica de posición es una parábola y la de velocidad una linea recta.
Un ejemplo un poco complicado compuesto
por tres movimientos de velocidad constante y
dos movimientos de transición.
Empieza en reposo y termina en reposo.
Velocidad constante de cero. Gráfica de
posición horizontal. Velocidad y aceleración
también horizontal (en cero).
En el medio hay un movimiento de velocidad
constante. Gráfica de posición linea recta.
Gráfica de velocidad es una linea horizontal no
igual a cero. Gráfica de aceleración es una
linea horizontal en cero.
Durante las transiciones, la velocidad varia
uniformemente (aceleración constante). La
gráfica de velocidad es una linea recta con
pendiente. La gráfica de aceleración es una
linea horizontal no igual a cero.
Resumen
• Posición, velocidad y aceleración son tres
maneras diferentes de describir el
movimiento aunque están relacionadas.
• El cambio con el tiempo es lo más
importante en el movimiento.
• Los casos de:
– A) velocidad constante.
– B) aceleración constante.
se dan a menudo. Debemos estudiarlos
en detalle.
Ten cuidado
• Puedo tener posición = 0 y velocidad ≠ 0.
• Puedo tener velocidad = 0 y aceleración ≠ 0.
• Algo puede tener velocidad (estar moviéndose
hacia) una dirección y tener aceleración en dirección
contraria. En ese caso su rapidez (la magnitud de la
velocidad) estaría disminuyendo. A esto se le llama
deceleración.
• Hay una diferencia entre “estar en reposo” y
“permanecer en reposo”. En el segundo, la
velocidad es constantemente cero. En el primero la
velocidad instantanea es cero pero podría estar
cambiando, o sea, podría haber aceleración.
Caida Libre - Aceleración Constante
Caida Libre - Aceleración Constante
Comparación entre dos “caidas libres”
Ambas son tiradas hacia arriba
Gráficas de posición versus tiempo.
Se tiran desde la misma altura. La que se
tira con más rapidez (curva anaranjada)
está más tiempo en el aire y llega a su
altura máxima más tarde.
Gráficas de velocidad versus tiempo.
Ambas son lineas rectas con la misma pendiente negativa (misma aceleración = - g).
Ambas empiezan con velocidad positiva
(hacia arriba) y se detienen (v=0) en el
instante en que llegan a su altura máxima.
Luego tienen velocidad negativa (se
mueven hacia abajo).
Ecuaciones de Relación entre Desplazamiento,
Velocidad y Aceleración para el caso de
Aceleración Constante
v = velocidad final, v0 = velocidad inicial, t es el intervalo de tiempo
x - x0 = Δx = desplazamiento total.
Ecuaciones de Relación entre Desplazamiento,
Velocidad y Aceleración para el caso de
Aceleración Constante, cont.
Hay dos ecuaciones independientes.
que contienen cinco variables, Δx, v, v0 , a, t .
Si conocemos tres de estas variables, podemos usar estas ecuaciones
para encontrar las otras dos.
En vez de hacer manipulaciones algebráicas durante el examen,
muchos estudiantes prefieren memorizar otras ecuaciones que se
deducen de estas dos.
Ecuaciones de Relación entre Desplazamiento,
Velocidad y Aceleración para el caso de
Aceleración Constante, cont.
Consideraciones prácticas.
Ninguna de las ecuaciones contiene todas las cinco variables. A todas les
falta una variable. Así que podemos resolver cualquier problema con una
sola ecuación considerando cuál es la variable que ni me dan ni me piden.
ECUACION
VARIABLE QUE NO TIENE
x – x0
v
t
a
v0
Ecuaciones para “Caida Libre”
Para no estar cambiando, siempre tomamos positivo hacia arriba. La aceleración
está fija en – g así que el número de variables se reduce a cuatro.
Las otras tres ecuaciones se pueden escribir de forma análoga.
En estos problemas sólo me tienen que dar dos variables.
Fíjate que en estas ecuaciones y en las de la página anterior, t ahora se
refiere al intervalo de tiempo. Aquí “y” no es la posición sino el
desplazamiento.
Los signos de las variables son muy importantes. Velocidad hacia arriba es
positiva, hacia abajo es negativa. Desplazamiento negativo quiere decir que
termina por debajo de donde empezó, positivo que termina por encima. g es
+9.8 m/s2 .
Los signos en las ecuaciones no cambian con el problema. Los que
cambian son los signos de las variables.
Problema de Ejemplo – Caida Libre
Un objeto es soltado del reposo.
(a) ¿Cuánto tiempo le toma caer 48m?
Solución: Dado a = -g, v0 = 0, Δy = -48. (tres variables)
Me piden t.
Ecuación que selecciono.
Sustituyo en la ecuación
Resuelvo
(Positivo!)
(b) ¿Cuál es su velocidad final?
Solución: Dado a = -g, v0 = 0, Δy = -48. (tres variables)
Me piden v.
Ecuación que selecciono.
Resuelvo
Escojo la solución negativa porque sé
que se está moviendo hacia abajo!
Otro Ejemplo de Caida Libre
Un objeto es tirado hacia arriba a 12 m/s.
(a) ¿Cuánto tiempo le toma llegar a su altura máxima?
Solución: Dado a = -g, v0 = +12, v = 0. (tres variables)
Me piden t.
Ecuación que selecciono.
Resuelvo
(b) ¿Cuál es su altura máxima?
Solución: Dado a = -g, v0 = +12, v = 0. (tres variables)
Me piden y.
Ecuación que selecciono. V 2 = V02 – 2 g y
Resuelvo
(c) ¿ Cuánto tiempo le toma llegar a una altura de 5m?
Solución: Dado a = -g, v0 = +12, y = +5. (tres variables)
Me piden t.
Ecuación que selecciono.
Resuelvo
Hay dos soluciones porque alcanza esa altura dos veces.
Problemas con Dos Movimientos
Hay problemas complicados donde hay dos movimientos.
•
•
•
Las ecuaciones aplican a cada movimiento por separado pero hay que
diferenciar entre las variables de un movimiento versus el otro.
Algunas variables serán diferentes entre los dos movimientos pero
algunas serán iguales. Por ejemplo, si los desplazamientos de ambos
son iguales o si ambos toman el mismo tiempo. Esto permite reducir
el número de variables en el problema y hacer la solución mucho más
fácil.
En los casos en que el segundo movimiento es la continuación del
primero, entonces la velocidad final y la posición final del primero es
la velocidad inicial y la posición inicial del segundo.
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