Clase 2
Autor: M.A.R.F - 2011- Salta
1
Introducción
En esta etapa veremos teoremas y
funciones especiales que
emplearemos en el desarrollo de los cálculos de las variables eléctricas. Es
imprescindible conocer el Teorema de Pitágoras y las Funciones
Trigonométricas básicas, siendo la vedette el coseno phi , llamado factor
de potencia . Veremos representaciones vectoriales y sus operaciones
para comprender los triángulos de potencia o energía (Activas, reactivas y
aparente. Si no profundizamos en estos temas difícilmente comprenderán
como corregir el factor de potencia, o calcular la energía que deberá
entregar un grupo electrógeno para nuestros consumos, entre otros
temas de nuestras tareas cotidianas.
Matricula de AIEAS Nª 237/2012
Autor: M.A.R.F - 2013- Salta
2
Repetimos la Metodología:
Se enviaran por correo electrónico en forma semanal, el contenido
de las clases que incluirán conceptos, definiciones, ejercicios, etc; e
incluirán trabajos prácticos. Estos trabajos deberán ser
completados en el transcurso de la semana y se autoevaluaran con
los resultados que recibirán antes de comenzar la clase siguiente.
Para realizar consultas utilizaremos la red social Facebook con la
dirección se AIEAS SALTA, para lo que tendrás que abrir una cuenta
o si la tienes solicitar “amistad” para ingresar en el foro de grupo
“Curso WEB”. Las consultas en tiempo real podrán hacerse los días
lunes y jueves de 21:30 a 24hrs. (este horario podrá modificarse
informándose con antelación). No obstante las consultas podrán
enviarse en cualquier momento por modo “mensaje de facebook a
“Curso WEB” y serán contestadas dentro de las 48hrs.
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3
Curso de Nivelación
Contenido del primer modulo
Cálculos Eléctricos
• Nociones básicas de la
matemáticas: potencia,
radicación. Operación
con fracciones, Teorema
de Pitágoras.
Trigonometría. Ejes
cartesianos.
Representaciones graficas.
Vectores. Ejercicio
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4
Curso Nivel 1
Cálculos Eléctricos
•
•
•
•
Objetivos:
Aplicar teoremas para la resolución de los cálculos
eléctricos.
Comprender el uso delas funciones trigonométricas.
Resolver sistemas de vectores que representaran luego a
Tensiones, intensidades, potencio y energías.
Entender sobre representaciones gráficas, para
comprender fenómenos eléctricos como por ejemplo la
generación de energía.
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5
Clase 1
Conocimientos básicos de
matemáticas
Se desarrollaran temas básicos que luego serán
aplicados para el desarrollo de los cálculos eléctricos.
En este curso se registraron electricistas, técnicos,
docentes, e Ingenieros, los que representa distintos
niveles de conocimiento, pero debemos nivelar de abajo
hacia arriba, así es que el contenido de estas clases y las
posteriores tendrán en cuenta esos conocimientos
básicos.
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6
Pitágoras
• Teorema de Pitágoras: Sea un triangulo rectángulo ABC, el cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
h
a
La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de
mayor longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo .
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo
90º
h2
b
=
a2 + b 2
Para que nos sirve esta ecuación?
Como veremos y justificaremos mas adelante , en un instalación tradicional,
vivienda por ejemplo, el consumo de energía estará representado por tres
vectores: Energía Activa (Ea) energía reactiva (Er) y energía aparente (Eap) que se
representa: (ver grafico en pagina siguiente)
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7
Pitágoras
Epa
Er
Estamos en presencia de un triángulo
rectángulo por lo que nos permitiremos aplicar el
teorema de Pitágoras, armando la ecuación
siguiente:
Eap2 = Ea2 + Er2 (1)
Ea
Mas Adelante justificaremos como determinamos las posiciones de los vectores y sus valores.
Nos importa ver ahora cual es la aplicación de la ecuación del Teorema de Pitágoras.
Como ya vimos en la clase anterior, dada una igualdad podemos determinar el valor de uno de
los términos, conociendo los otros. En una factura de luz actual, por ejemplo la de Edesa en
Salta, se indica los valores de Energía Activa (Ea) energía reactiva (Er) , lo que nos permitiría
con la ecuación (1) determinar la Energía aparente de nuestra instalación :
Eap =
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Ea2
+
Er2
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Pitágoras
C
5
3
A
4
B
Otra aplicación habitual en las obras, y
aplicadas por los “maestros”, es el de trazar
perpendiculares utilizando reglas o
simplemente el “metro”. Marcan 4 mts sobre el
muro, luego apoyan en A una medida de 5mts
y en B otra de 3 mts. Giran ambas tomando
los centros en A y B respectivamente, hasta
que se encuentran en C. Han determinado así
un triangulo rectángulo, y encontrado la
perpendicularidad al muro perfecta BC.
Verifiquemos
52 = = 42 + 32
25 = 16 + 9
25 = 25
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9
Trigonometría
Se preguntaran para que vemos este tema? Tengan paciencia
y lo profundicemos ahora:
La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las
relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de
las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en
cálculos técnicos.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno,
coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o
indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos
aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión.
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre
dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones
trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de
razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia
unitaria(de radio unidad).
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Trigonometría
Definiciones respecto de un triángulo
rectángulo
Para definir las razones trigonométricas del
ángulo: a , del vértice A, se parte de un triángulo
rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo.
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sen a =
opuesto
a
=
Hipotenusa
h
cos a =
adyacente
b
=
Hipotenusa
h
tg a =
opuesto
adyacente
=
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a
b
11
Trigonometría
Repetimos:
Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las
funciones trigonométricas para ángulos a de 0 a 90º:
El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la
longitud de la hipotenusa:
opuesto
a
sen a =
=
Hipotenusa
h
El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto
adyacente y la longitud de la hipotenusa:
adyacente
b
=
Hipotenusa
h
La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto
opuesto y la del adyacente:
a
opuesto
=
tg a =
b
adyacente
cos a =
El valor de estas relaciones no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre
que tenga el mismo ángulo, en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
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Ejes Cartesianos Ortogonales
Dos ejes perpendiculares entre si se cortan en el
puno O, llamado Origen. El eje “x” se llana de
abscisas y el “y” de ordenadas.
Se determinas cuatro zonas llamadas cuadrantes.
Cualquier punto en los cuadrantes se ubicaran por
sus coordenadas que corresponden a la distancia
desde 0 hasta la proyección del punto sobre
ambos ejes, Asi, A se podrá ubicar con las
coordenadas (a, b).
Los valores de abscisas a la derecha del origen
serán positivos, y los valores a la izquierda
negativos. Los valores de ordenadas hacia arriba
del origen serán positivos, hacia abajo de “0”
negativos.
Las unidades de x e y pueden ser iguales o
distintas. Por ejemplo en las ordenadas podemos
representar valores de tensión continua de una
batería 1,5v, y en las abscisas el tiempo de
duración de carga, en horas (línea en azul).
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13
Trigonometría:
Representación en coordenadas cartesianas:
Los ejes cartesianos están formados por las
rectas:
OF o ordenada
OE ó abscisa,
que se cortan en el punto 0, llamado Origen de
las coordenadas.
Un círculo de radio unitario (radio = 1, se muestra
solo un sector) corta a la recta AB en B. Se
puede graficar entonces el triangulo rectángulo
ABC. Quedo formado el ángulo a .
Aplicando las funciones trigonométricas nos
queda:
sen a =
opuesto
BC
BC
=
=
= BC
Hipotenusa
AB
1
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F
Coordenadas rectangulares
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Trigonometría
cos a =
adyacente
AC
AC = AC
=
=
Hipotenusa
AB
1
F
opuesto
BC
sen a
=
=
= ED
AC
cos a
adyacente
Entonces en un triangulo rectángulo cuya
hipotenusa tenga el valor de la unidad (1),
el seno del ángulo a corresponderá al
modulo del lado BC . De la misma
manera en coseno del ángulo a
corresponderá al modulo del lado AC
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sen a
tg a =
cos a
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Trigonometría + Pitágoras
b
1
sen a
a
90º
En este triangulo rectángulo muy
particular con hipotenusa igual a la
unidad, podemos deducir unas de las
principales relaciones de la trigonometría,
útil en nuestro estudio:
Aplicando el Teorema de Pitágoras:
cos a
12 = sen2 a + cos2 a
ó
Relación Pitagórica
sen2 a + cos2 a = 1
Nota: Una propiedad importante de los triángulos es que la suma de los ángulos interiores es igual a 180ª
Así en nuestro triangulo rectángulo: a + b +90º = 180º
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Trigonometría
Volviendo a la representación en coordenadas cartesianas, podemos determinar los
valores que van tomado las funciones seno y coseno del ángulo de rotación de un vector
de longitud equivalente a la unidad.
En el 1º cuadrante el triangulo A0B con al
ángulo a1 tendrá un valor de seno positivo
(+). Lo mismo ocurre para el 2º cuadrante.
Si tomamos la hipotenusa cono un vector
que gira con centro en “0”, vemos que en los
primeros 180º el valor del seno varia de 0 a
1 y concluye en 0. En el 3º y 4º cuadrante ,
el valor del seno toma valores negativos,
también desde 0 a -1 y vuelve a 0.
Podemos representar esta variación de la
función sen a en otros ejes tomando en las
ordenadas el valor del “sen a“ entre +1 y -1
y en las abscisas el ángulo a. (ver a
continuación)
Nota; conociendo el valor del seno o coseno de un
Angulo , podemos encontrar su valor con las
funciones:
a= arc sen n o a = arc cos n
(n valor de seno o coseno resp.)
También puede encontrarse la notación
a = sen-1 n o a = cos-1 n
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17
Trigonometría
Mas adelante demostraremos que la corriente alterna, al ser generada por un
movimiento de rotación de una bobina en un campo magnético, la fem generada
variara según la función sen a
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Resumen de trigonometría y
Pitágoras
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19
Conceptos sobre ángulos
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20
Curso de Nivelación
Trabajo Practico 3
A)
D)
B)
C)
E)
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F)
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Vectores
Un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud
física definida por su módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que
distingue el origen del extremo).
Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el
plano. Algunos ejemplos de mangitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se
desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de
un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección y el sentido (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa
sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que actúa;
también, eldesplazamiento de un objeto. La fuerza, el campo eléctrico y magnético, etc., que no quedan
completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección.
Las magnitudes escalares quedan representadas por el ente matemático más simple; por un número. Las
magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector.
Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su
longitud representa el módulo del vector, la recta indica la dirección, y la "punta de flecha" indica su sentido
Punto de
aplicación
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Composición grafica de vectores
V1
V2
0
A
V2
R
V1
0
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Dos vectores aplicado en el punto 0, se
sumaran vectorialmente obteniéndose una
resultante R cuya dirección y sentido estará
determinado por el proceso grafico
siguiente:
Trasladar V2 haciendo coincidir su inicio
con el extremo de V1. Para determinar la
Resultante unir el inicio de V1 con el
extremo de V2 obteniéndose la magnitud,
dirección y sentido de R.
De la misma manera podemos pensar que
teniendo el vector R lo podemos
descomponer en dos vectores conociendo
las direcciones de estos.
Un ejemplo practico es el que vemos en la
diapositiva
siguiente,
aprovechando
nuestros conocimientos de trigonometría y
Pitágoras
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23
Descomposición de un vector
Dado el vector V1, que forma un ángulo a con la
horizontal, podemos descomponerlo en dos vectores Vx y
Vy como se ve en el grafico.
Como vemos hemos formado un triangulo rectángulo
por que es aplicable las funciones trigonométricas
ya estudiadas y el teorema de Pitágoras:
El modulo o magnitud del vector se puede determinar
por:
V = Vy2 + Vx2
Vy = V* sen a
Vx = V* cos a
Los valores obtenidos
corresponden a las magnitudes o
medidas. La dirección y sentido
las determinamos gráficamente
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Composición de un vector
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25
Composición de vectores
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26
Curso de Nivelación
Trabajo Practico 4
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27
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Diapositiva 1