MEN - Mercados de Energia
Mestrado em Engenharia Electrotécnica
Despacho Económico
de Grupos Térmicos de Produção de
Energia Eléctrica
Jorge Alberto Mendes de Sousa
Professor Coordenador
Webpage: pwp.net.ipl.pt/deea.isel/jsousa
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-1-
Agenda
1. Enquadramento
2. Fundamentos técnicos e económicos da
produção de energia eléctrica
3. O Despacho Económico: Formulação e
solução do problema
4. Exemplos de aplicação
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-2-
Enquadramento
Despacho Económico

O despacho económico tem como objectivo calcular o perfil
óptimo de produção de energia eléctrica considerando
disponíveis várias centrais térmicas para satisfação de um
consumo dado

Pretende-se minimizar o custo total de produção

Cada central possui limites técnicos de operação e caracterizase do ponto de vista económico por uma função de custo

É necessário satisfazer um dado consumo conhecido durante
um determinado período de tempo

A resolução do problema implica conhecimentos técnicos,
económicos e matemáticos (optimização com restrições)
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-3-
Agenda
1. Enquadramento
2. Fundamentos técnicos e económicos da
produção de energia eléctrica
3. O Despacho Económico: Formulação e
solução do problema
4. Exemplos de aplicação
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-4-
Fundamentos técnicos
Produção por tecnologia em Portugal: 2001-2010
Fonte: REN
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-5-
Fundamentos técnicos
Central Hidráulica
F o n te : E n d e sa
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-6-
Fundamentos técnicos
Central Térmica: Carvão, fuel
F o n te : E n d e sa
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-7-
Fundamentos técnicos
Central de Ciclo Combinado
F o n te : E n d e s a
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-8-
Fundamentos técnicos
Central Nuclear
F o n te : E n d e s a
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-9-
Fundamentos económicos
Relação entrada/saída
B
T
G
P
H
Caldeira
Turbina
Alternador
Aux
Serviços
Auxiliares
H (P )  a  b P  c P 2
H : Potência térmica de entrada
P : Potência eléctrica de saída
a, b, c : Parâmetros característicos do grupo
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 10 -
Fundamentos económicos
Custo de produção
C (P ) [€/h]
Custo de produção relativo ao combustível
P min
P max
Potência eléctrica

C (P )  a  b P  c P 2
P [MW]
F
C : Custo de produção
F : Custo do combustível
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 11 -
Fundamentos económicos
Custo marginal
C' (P ) [€/MWh]
Custo marginal de produção

C (P )  a  b P  c P 2
F
P min
P max
Potência eléctrica
C' ( P ) 
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
P [MW]
 b 2cP F
- 12 -
Fundamentos económicos
Custo médio
C (P )/P [€/MWh]
Custo médio de produção

C (P )  a  b P  c P 2
P*
Potência eléctrica
P min
C (P )
p
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
F
P max
P [MW]
a

 
 b  c P F
P

- 13 -
Agenda
1. Enquadramento
2. Fundamentos técnicos e económicos da
produção de energia eléctrica
3. O Despacho Económico: Formulação e
solução do problema
4. Exemplos de aplicação
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 14 -
Despacho Económico
Formulação do problema
C1(P1)
B1
B2
C2(P2)
G1
T1
P1
G2
T2
P2
Pcarga
Bn
Cn(Pn)
Tn
Gn
Pn
n
min
s.a
 C i ( Pi )
CT 
n
i 1
 Pi
 P c arg a
i 1
Pi
min
 Pi  Pi
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
max
i  1,..., n
- 15 -
Despacho Económico
Optimização com restrições
max
f (x)
s.a
g i (x)  0
hi (x )  0
i  1,..., m 1
i  m 1  1,..., m
f : En  E - função objectivo
gi: En  E - funções de restrição
n : número variáveis de decisão
m1 : número de restrições de maior ou igual a zero
m : número total de restrições
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 16 -
Despacho Económico
Teorema de Kuhn-Tucker
Considere-se o problema de programação não linear
max
f (x)
s.a
g i (x)  0
hi (x )  0
i  1,..., m 1
i  m 1  1,..., m
em que f(x), gi(x) e hi(x) são funções diferenciáveis.
Se x* é solução óptima do problema
Então verificam-se as seguintes três condições:
KT1 :
g i ( x *)  0
i  1,..., m 1
h i ( x *)  0
i  m 1  1,..., m
Existem multiplicadores
KT2 :
KT3 :
 i g i ( x *)  0,
 i  0,

e  i irrestrito s,
i  m 1  1,..., m
tais que
i  1,..., m 1
m1
 f ( x *) 
i  1,..., m 1
m
i
 g i ( x *) 
i 1
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa

i
 h i ( x *)  0
i  m1  1
- 17 -
Despacho Económico
Solução do problema
n
max
 CT  
n
h( P ) 
 C i ( Pi )
i 1
 Pi
 P c arg a  0
i 1
g i (P )  Pi  Pi
 0
min
i  1,..., n
g i (P )  Pi
i  1,..., n
max
 Pi  0
As condições de Kuhn-Tucker para este problema são dadas por:
n
KT1 :
 Pi
Pi  Pi
 P c arg a  0
KT3 :
 0
i  1,..., n
Pi
max
 Pi  0
i  1,..., n
i 1
Existem multiplicadores
KT2 :
min
i
 Pi
i
 Pi
 C i' P i
 Pi
min
max

 Pi
 i ,  i  0,

0
i  1,..., n

0
i  1,..., n
  i  i  0
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
i  1,..., n
e
 irrestrito
i  1,..., n
- 18 -
Despacho Económico
Solução do problema
Quatro combinações possíveis para os multiplicadores:
1.
Nenhuma restrição activa
2.
Restrição activa para Pmax
3.
Restrição activa para Pmin
4.
Ambas as restrições activas
i
i
1)
0
0
2)
0
+
3)
+
0
4)
+
+
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 19 -
Despacho Económico
Solução do problema
i
i
1.
Nenhuma restrição activa
1)
0
0
2.
Restrição activa para Pmax
2)
0
+
3.
Restrição activa para Pmin
3)
+
0
4.
Ambas as restrições activas
4)
+
+
KT3 :
 C i' P i
i
=

  i  i  0
i
i  1,..., n
= 0
C i' P i
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa


i  1,..., n
- 20 -
Despacho Económico
Solução do problema
i
i
1.
Nenhuma restrição activa
1)
0
0
2.
Restrição activa para Pmax
2)
0
+
3.
Restrição activa para Pmin
3)
+
0
4.
Ambas as restrições activas
4)
+
+
KT2 :
KT3 :
i
 Pi
i
 Pi
 C i' P i
i
 Pi
min
max

> 0 ,
 Pi

0
i  1,..., n

0
i  1,..., n
  i  i  0
i
i  1,..., n
= 0
i
 Pi
max
 Pi

0

Pi  Pi
max
C i' P i
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa

  i  
- 21 -
Despacho Económico
Solução do problema
i
i
1.
Nenhuma restrição activa
1)
0
0
2.
Restrição activa para Pmax
2)
0
+
3.
Restrição activa para Pmin
3)
+
0
4.
Ambas as restrições activas
4)
+
+
KT2 :
KT3 :
i
 Pi
i
 Pi
 C i' P i
i
 Pi
min
max

=0,
 Pi

0
i  1,..., n

0
i  1,..., n
  i  i  0
i
i
i  1,..., n
> 0
 Pi
 Pi
min

0

Pi  Pi
min
C i' P i
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa

  i  
- 22 -
Despacho Económico
Solução do problema
i
i
1.
Nenhuma restrição activa
1)
0
0
2.
Restrição activa para Pmax
2)
0
+
3.
Restrição activa para Pmin
3)
+
0
4.
Ambas as restrições activas
4)
+
+
KT2 :
i
 Pi
i
 Pi
i
min

0
i  1,..., n
max
 Pi

0
i  1,..., n
> 0,
i
 Pi
> 0
i
i
 Pi
 Pi
 Pi
min

0

Pi  Pi
min
 Pi

0

Pi  Pi
max
max
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
Impossível
- 23 -
Despacho Económico
Solução do problema: Resumo
i
i
1)
0
0
C i' P i

2)
0
+
C i' P i

3)
+
0
C i' P i

4)
+
+
Impossível
e
Pi

e
Pi  Pi
max
 
e
Pi  Pi
min
 
min
 Pi  Pi
max
1.
Todos os grupos têm o mesmo custo marginal
2.
O custo marginal de um grupo pode ser inferior ao
dos restantes desde que esteja a Pmax
3.
O custo marginal de um grupo pode ser superior ao
dos restantes desde que esteja a Pmin
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 24 -
Despacho Económico
Solução do problema
3ª condição de Kuhn – Tucker:
1)
 i  0,
 C i' P i

  i  i  0
i  1,..., n
i  0
Nesta situação o grupo i não tem necessariamente restrições activas e
funciona com o custo marginal do sistema ()
C i  Pi   
'
2)
 i  0,
i  0
Nesta situação a restrição de limite máximo do grupo i está activa uma
vez que o multiplicador respectivo assume um valor positivo. Assim, o
custo marginal do grupo i pode ser inferior ao custo marginal do sistema
()
C i  Pi   
'
3)
 i  0,
i  0
Nesta situação a restrição de limite mínimo do grupo i está activa uma
vez que o multiplicador respectivo assume um valor positivo. Assim, o
custo marginal do grupo i pode ser superior ao custo marginal do sistema
()
C i  Pi   
'
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 25 -
Agenda
1. Enquadramento
2. Fundamentos técnicos e económicos da
produção de energia eléctrica
3. O Despacho Económico: Formulação e
solução do problema
4. Exemplos de aplicação
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 26 -
Aplicação
T1
B1
C1
T2
B2
C2
G1
P1
G2
P2
Pcarga
T3
B3
C3
G3
P3
Grupo
i
Pmin
[MW]
Pmáx
[MW]
Ci(Pi)
[c€/kWh]
1
80
220
15.3 + 1.17 P1 + 0.00145 P12
2
40
150
13.7 + 1.30 P2 + 0.00163 P22
3
25
90
10.3 + 1.48 P3 + 0.00226 P32
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- 27 -
Aplicação #1
Pcarga = 325 MW
G ru p o
i
P m in
[M W ]
P m áx
[M W ]
C i( P i)
[c€/kW h ]
1
80
220
1 5 .3 + 1 .1 7 P 1 + 0 .0 0 1 4 5 P 1 2
2
40
150
1 3 .7 + 1 .3 0 P 2 + 0 .0 0 1 6 3 P 2 2
3
25
90
1 0 .3 + 1 .4 8 P 3 + 0 .0 0 2 2 6 P 3 2
 C 1 ( P1 )  

 C 2 ( P2 )  

 C 3 ( P3 )  


P  P2  P3  P carga
 1
1 . 17

1 . 30

1 . 48

 P1 
 0 . 00290
P1  
 0 . 00326
P2  
 0 . 00452
P3  
P2  P3  325
 P1  171 . 2 MW

 P2  112 . 5 MW

 P3  41 . 3 MW

   1 . 667 cEuro/kWh
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 28 -
Aplicação #1
Pcarga = 325 MW
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 29 -
Aplicação #2
Pcarga = 200 MW
G ru p o
i
P m in
[M W ]
P m áx
[M W ]
C i( P i)
[c€/kW h ]
1
80
220
1 5 .3 + 1 .1 7 P 1 + 0 .0 0 1 4 5 P 1 2
2
40
150
1 3 .7 + 1 .3 0 P 2 + 0 .0 0 1 6 3 P 2 2
3
25
90
1 0 .3 + 1 .4 8 P 3 + 0 .0 0 2 2 6 P 3 2
 C 1 ( P1 )

 C 2 ( P2 )

 C 3 ( P3 )

P  P2
 1
 
 
 
 P3  P carga

1 . 17

1 . 30

1 . 48

 P1 
C 3 (25 )  1 . 593 cEuro/kWh
 0 . 00290
P1  
 0 . 00326
P2  
 0 . 00452
P3  
P2  P3  200
 
e
 P1  121 . 9 MW

 P2  68 . 5 MW

 P3  9 . 6 MW

   1 . 523 cEuro/kWh
P3  P3 min  25 MW
 P1  113 . 7 MW

 P2  61 . 3 MW

   1 . 500 cEuro/kWh
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- 30 -
Aplicação #2
Pcarga = 200 MW
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 31 -
Aplicação #3
Pcarga = 450 MW
G ru p o
i
P m in
[M W ]
P m áx
[M W ]
C i( P i)
[c€/kW h ]
1
80
220
1 5 .3 + 1 .1 7 P 1 + 0 .0 0 1 4 5 P 1 2
2
40
150
1 3 .7 + 1 .3 0 P 2 + 0 .0 0 1 6 3 P 2 2
3
25
90
1 0 .3 + 1 .4 8 P 3 + 0 .0 0 2 2 6 P 3 2
 C 1 ( P1 )

 C 2 ( P2 )

 C 3 ( P3 )

P  P2
 1
 
 
 
 P3  P carga

1 . 17

1 . 30

1 . 48

 P1 
 P1  220 . 0 MW

 P2  150 . 0 MW

 P3  80 . 0 MW
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
 0 . 00290
P1  
 0 . 00326
P2  
 0 . 00452
P3  
P2  P3  450
 C 1 ( P1 )  1 . 808 cEuro/kWh


 C 2 ( P2 )  1 . 789 cEuro/kWh

 C 3 ( P3 )  1 . 842 cEuro/kWh

 P1  220 . 6 MW

 P2  156 . 4 MW

 P3  73 . 0 MW

   1 . 810 cEuro/kWh
 
e
P1  P1 max
 
e
P2  P2 max
 
- 32 -
Aplicação #3
Pcarga = 450 MW
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- 33 -
Exercícios de aplicação
1.
Considere um parque térmico constituído por três grupos cujas
características são apresentadas na tabela seguinte:
Grupo
i
Pmin
[MW]
Pmáx
[MW]
Hi(Pi)
[MBtu/h]
1
150
600
510 + 7.2 P1 + 0.00142 P12
2
100
400
310 + 7.85 P2 + 0.00194 P22
3
50
200
78 + 7.97 P3 + 0.00482 P32
Considere ainda que o custo de combustível para cada um dos grupos é:
F1 = 1,1 €/MBtu, F2 = 1,0 €/MBtu, F3 = 1,0 €/MBtu.
Efectue o despacho económico para uma carga de 850 MW.
2.
Supondo que o custo de combustível do grupo 1 (F1) passa a ser de 0,9
€/MBtu, efectue novamente o despacho económico para a mesma carga.
3.
Efectue novamente o despacho económico dos três grupos, considerando
agora que o custo de combustível do grupo 2 (F2) aumentou para 1,15
€/MBtu (o do grupo 1 é 1,1 €/MBtu) e que a carga aumentou para 1050 MW.
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- 34 -
Exercícios de aplicação (solução)
1.
2.
3.
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- 35 -
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- 36 -
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