MODELACIONES
MATEMÁTICAS
02/10/2015
DANIEL MONTOYA YEVENES
PROFESOR ESTADO
MATEMATICA Y FISICA
ES UNA HERRAMIENTA QUE NOS PERMITE
INTERPRETAR GRÁFICAMENTE UN PROBLEMA
EXISTEN DISTINTOS TIPOS DE MODELACIONES
CONJUNTISTAS
LINEALES
TABULARES
RAMIFICADAS
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CONJUNTISTAS: CUANDO SE DAN CIERTAS
CARACTERÍSTICAS QUE CUMPLEN
ELEMENTOS DE UN CONJUNTO.
LOS
MODELACION LINEAL: CUANDO EL
PROBLEMA INVOLUCRA UNA SOLA VARIABLE.
MODELACION TABULAR: SE USA CUANDO
EL PROBLEMA INVOLUCRA MÁS DE UNA
VARIABLE.
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MODELACIÓN RAMIFICADA: SE
UTILIZA CUANDO SE TRATA DE
PROBLEMAS DE MULTIPLICACION
ITERADAS,
PREFERENTEMENTE
PROBLEMAS QUE TIENEN QUE VER
CON
COMBINACIONES,
PERMUTACIONES Y ARREGLOS.
CADA
UNA
DE
ELLAS
SE
APLICA
DEPENDIENDO DE LAS CARACTERÍSTICAS
PROPIAS DEL PROBLEMA.
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ES
IMPORTANTE
DESTACAR
QUE
ESTAS
MODELACIONES SON UN INSTRUMENTO
AYUDA. SON UN MEDIO AL SERVICIO
DETERMINADOS OBJETIVOS O CONTENIDOS.
¡EL MODELO NO ES EL CONTENIDO!
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DE
DE
NO DEBEMOS DEDICAR DEMASIADO TIEMPO A
ELLO Y MENOS ENSEÑARLO O INSTRUIRLO
COMO MATERIA.
PODEMOS RECURRIR SIEMPRE A ELLOS, HASTA
QUE LOS ESTUDIANTES LO HAGAN PROPIO Y
SE TRANSFORME CON EL USO EN UN
“MODELO MENTAL”
LA IDEA ES QUE POR EL USO PERMANENTE DE
ESTOS MODELOS LO ASIMILE DE TAL FORMA
QUE
LUEGO
HAGA
SOLO
REFERENCIA
ABSTRACTA DE ELLOS.
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MODELACIÓN
CONJUNTISTA
SE APLICA O USA PREFERENTEMENTE
CUANDO
SE
DAN
CIERTAS
CARACTERÍSTICAS QUE CUMPLEN LOS
ELEMENTOS DE UN CONJUNTO.
ES
IMPORTANTE
CONCEPTOS
ACLARAR
ALGUNOS
UN CONJUNTO ES UNA AGRUPACIÓN DE
ELEMENTOS DE CUALQUIER NATURALEZA.
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EJEMPLO:
A=(CUADRADO, RECTÁNGULO,MANZANA,
CAMISA)
CUYA MODELACIÓN GRÁFICA
CORRESPONDE A:
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EN LA MODELACIÓN CONJUNTISTA ES
IMPORTANTE TENER EN CUENTA ALGUNOS
CONCEPTOS QUE SON CLAVES
CONJUNTO UNIVERSO:
SE REFIERE AL CONJUNTO “CONTEXTO” EN EL
CUAL SE ESTABLECEN LAS RELACIONES
MATEMÁTICAS, OPERACIONES,
ABSTRACCIONES U OTRAS DEFINICIONES QUE
INVOLUCREN UN PROBLEMA.
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ESTE CONJUNTO PUEDE SER DE
NATURALEZA FINITA:
“LAS SILLAS DEL LICEO SAN ANTONIO”
DE NATURALEZA INFINITA:
“EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS
NATURALES.
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GRÁFICAMENTE PODEMOS UTILIZAR ESTE MODELO
PARA REPRESENTAR OTRAS IDEAS O CONCEPTOS
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ESTA FORMA DE MODELAR ESTOS
CONCEPTOS CONJUNTISTAS NOS PERMITE
RESOLVER MÚLTIPLES PROBLEMAS O
INTRODUCIR NUEVOS CONCEPTOS.
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U
CONJUNTO UNIVERSO,TIENE QUE VER CON EL TODO
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•UNION DE CONJUNTOS . TIENE QUE VER CON LAS
PARTES QUE CONFORMAN O CONSTITUYEN EL TODO
• EL LENGUAJE INSTITUCIONAL MATEMÁTICO
RIGUROSO EXPRESA QUE:
AUB
SSI XEA V x EB
LA IDEA DE LA MODELACIÓN NO ES EL LENGUAJE
RIGUROSO DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS, ESO
DEJÉMOSLO PARA NUESTRA PROPIA DISCUSIÓN.
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LA UNIÓN
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INTERSECCIÓN
02/10/2015
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DIFERENCIA ENTRE A Y B (A-B)
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DIFERENCIA ENTRE B Y A (B-A)
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 UN CONCEPTO FUNDAMENTAL EN
MATEMÁTICA Y QUE LOS PROFESORES DEBEMOS
ESTAR SIEMPRE REFORZANDO ES EL QUE
ESTABLECE QUE:
“LA SUMA DE LAS PARTES ES EL TODO”

SI AHORA ESTE CONCEPTO TAN ELEMENTAL,
PERO TAN IMPORTANTE LO APLICAMOS A
SITUACIONES SENCILLAS Y LO REFORZAMOS
REITERADAMENTE, SERÁ MÁS FÁCIL Y NATURAL
CONSTRUIR OTROS A PARTIR DE ESTO.
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MODELACIÓN ADITIVA
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“LA SUMA DE LAS PARTES ES IGUAL AL TODO”
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NUEVAMENTE LA MISMA IDEA
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EL MISMO PROBLEMA PUEDE TENER
VARIACIONES
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EL PROCESO DE CÓMO EL ALUMNO
OBTIENE LA RESPUESTA CORRECTA
TIENE
VARIOS
CAMINOS,
ÉSTOS
PUEDEN SER DISTINTOS PARA LLEGAR
A
UN
MISMO
RESULTADO,
LO
IMPORTANTE
ES
EL
CONCEPTO
COGNITIVO QUE ESTÁ EN JUEGO.
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Y SI AHORA ESTE MODELO LO APLICAMOS A
UN PROBLEMA COTIDIANO, COBRA ENTONCES
MÁS SENTIDO:
“MI PADRE ME REGALÓ $1.265.- MI MAMÁ
$680.- ¿CUÁNTO TENGO EN TOTAL?
• NOTE QUE EL PROBLEMA PUEDE SER MUY
SENCILLO, PERO LO QUE ESTÁ DETRÁS DE
ELLO ES LA MODELACIÓN PARA RESOLVERLO.
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¿QUE VAMOS A CALCULAR?
¿EL TODO O UNA PARTE?
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DE ESTE MISMO PROBLEMA PODEMOS
HACER
MÚLTIPLES
VARIACIONES,
INCLUSO LOS ALUMNOS NOS PUEDEN
AYUDAR A PLANTEAR SUS PROPIAS
INTERROGANTES.
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“TENÍA 12 GALLETAS, ME COMÍ 3 EN EL RECREO
Y LE DI A MI AMIGA 2. ¿CUÁNTAS ME QUEDAN?
EL ESQUEMA CONJUNTISTA SERÁ ENTONCES:
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PARA NIVELES MENORES SE PUEDE ADAPTAR
ESTE PROBLEMA DE LA SIGUIENTE FORMA:
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Y PARA NIVELES MAYORES…
- DE UN LIBRO LEÍ EL LUNES LA SEXTA PARTE, EL
MARTES LOS 2/5 DE ESTE.
¿QUÉ PARTE ME QUEDA POR LEER?
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EL RAZONAMIENTO QUE SE EMPLEA ES QUE UN
LIBRO EQUIVALE A 1.
ES IMPORTANTE NOTAR QUE EL CÁLCULO SE
REFIERE A UNA PARTE DEL TODO.
ESTE MISMO MODELO SE PUEDE APLICAR A
PROBLEMAS QUE SON UN POCO MÁS COMPLEJOS
PARA LOS ALUMNOS, PERO QUE CON UN BUEN USO DE
ESTE PROCEDER SE SIMPLIFICA LA TAREA
EJEMPLO: EN UN CURSO HAY 15 ALUMNOS (AS) QUE
SON RUBIOS, EN EL MISMO CURSO 5 ALUMNOS DEL
TOTAL SON RUBIOS Y USAN LENTES, Y 20 DE ELLOS NO
TIENEN NINGUNA DE LAS CARACTERÍSTICAS
ANTERIORES. ¿CUÁNTOS ALUMNOS EN TOTAL TIENE
EL CURSO?
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LA INFORMACIÓN LA DISPONEMOS EN
MODELO CONJUNTISTA:
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¿QUÉ NOS PERMITE VISUALIZAR MEJOR EL PROBLEMA?
SI COMPLEJIZAMOS MÁS TODAVÍA LA SITUACIÓN:
•TENGO UNA CANTIDAD DE FICHAS EN UNA CAJA LAS CUÁLES
CUMPLEN CIERTAS CONDICIONES:
3 DE ELLAS ESTAN PINTADAS COMPLETAMENTE DE ROJO
1 DE ELLAS ESTA PINTADA DE ROJO Y VERDE
2 DE ELLAS ESTAN PINTADAS DE ROJO VERDE Y NEGRO
1 DE ELLAS ES TOTALMENTE VERDE
5 DE ELLAS CONTIENEN EL COLOR NEGRO
¿CUÁNTAS FICHAS TENGO EN TOTAL?
¿HAY ALGUNA FICHA COMPLETAMENTE NEGRA?
¿CUÁNTAS SOLUCIONES TIENE EL PROBLEMA?
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SI DISPONEMOS NUESTRO MODELO DE LA
SIGUIENTE FORMA:
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EN UN A CONVENCIÓN DE UN TOTAL DE 70, 40 DE ELLOS
SON PROFESORES DE MATEMÁTICA, 8 DE ELLOS SON
PROFESORES DE MATEMÁTICA Y FÍSICA, Y EL RESTO
SOLO DE FÍSICA.
¿CUÁNTOS DE ELLOS SON
PROFESORES DE FÍSICA?
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AHORA, TAMBIÉN PODEMOS USAR ESTE MODELO
CONJUNTISTA PARA INTRODUCIR OTROS CONCEPTOS DE
UNA MANERA NATURAL Y NO MECANIZANTE.
EN LA MULTIPLICACIÓN: SI TODAS LAS PARTES SON
IGUALES.
EJEMPLO:
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LO QUE PUEDE INTERPRETARSE COMO:
CUATRO VECES UNA PARTE QUE
CONTIENE CINCO UNIDADES ( 4 x 5 = 20 )
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AHORA SI AL MISMO PROBLEMA LE HACEMOS UNA
VARIACIÓN Y PEDIMOS QUE CALCULE UNA DE LAS
PARTES IGUALES, PODEMOS INTRODUCIR EL CONCEPTO
DE LA PARTICIÓN O DIVISIÓN.
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ESTO LO PUEDE LOGRAR “TACHANDO” UNO POR UNO
LOS ELEMENTOS DEL TODO.
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INCLUSO NOS PUEDE AYUDAR A INTRODUCIR
CONCEPTO DE DIVISIÓN EXACTA O DE RESTO CERO
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EL
O DIVISIÓN NO EXACTA DE RESTO DISTINTO A CERO
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¿CUÁNTO SOBRA?
¿CUÁL ES EL RESTO?
EN FIN LA MODELACIÓN CONJUNTISTA NO ES
UN CONTENIDO, ES UN MEDIO, UNA
HERRAMIENTA
QUE
NOS
PERMITE
INTERNALIZAR CONCEPTO QUE CON EL USO
Y LA PRÁCTICA PUEDE TRANSFORMARSE EN
UNA DESTREZA MENTAL EFICAZ.
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La suma de dos números es 106, y el mayor excede al
menor en ocho. ¿Cuáles son los números?
Se puede proceder como se indica:
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LO QUE QUEDA AHORA ES REPARTIR A
PARTES IGUALES EL 98, EN CADA UNO DE
LOS
RECTÁNGULOS
IGUALES,
QUE
REPRESENTAN CANTIDADES IGUALES.
Cada una de ellas tiene el valor de:
49
Por lo tanto el menor de los números es: 49
Y el mayor: 49 + 8, es decir: 57
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Dividir o repartir el número 106 en dos partes tales
que la mayor exceda a la menor en 24.
106
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Lo que pueden disponerse de la siguiente manera:
106
De donde una de las partes iguales equivale a: 41
El otro valor se deduce de la diferencia de este número
con el total, en este caso 65
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Una botella llena de miel pesa 600 grs.
botella llena con parafina pesa 450 grs.
Problema 3. -Una botella llena de miel pesa 600 grs. , La misma botella llena con parafina pesa 450 grs.
¿Cuánto pesa la botella vacía?
¿Cuánto pesa la botella vacía?
600
450
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La misma
No parece ser muy difícil deducir que lo que
hace la diferencia de peso es lo que contiene el
envase, y en este caso la miel es doblemente
mas pesada que la parafina, por lo que esta
última pesa 150 grs.
Envase + parafina (150 grs.) = total (450 grs.)
El envase entonces pesa 300 grs.
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ACTIVIDAD:
-CREAR UN PAR DE PROBLEMAS EN RELACIÓN A UN
CONTENIDO DE NUESTRA PROPIA COMPETENCIA
QUE INVOLUCRE MODELACIÓN CONJUNTISTA.
FINALMENTE, LES INVITO A EJERCITAR ESTE
MODELO A CADA NIVEL, Y LES ASEGURO QUE SE
ENCONTRARÁN CON GRATAS SORPRESAS.
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EN LA PRÓXIMA OPORTUNIDAD
TRATAREMOS EL TEMA:
“MODELACIÓN LINEAL”
02/10/2015
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