Homotecias
Cuando cambias una figura de tamaño se hace más grande o más
pequeño.
... pero es similar:
• los ángulos no cambian
Los tamaños relativos son los mismos (por ejemplo
la cabeza y el cuerpo mantienen la proporción)
Nota: aquí llamamos a esto homotecia, pero otros lo llaman
dilatación, contracción, compresión, alargamiento o reescala.
La misma idea con otros nombres.
Para cambiar el tamaño, haz lo siguiente con cada esquina:
dibuja una línea del punto central a la esquina
aumenta (o disminuye) la longitud de esa línea
marca el nuevo punto
¡Ya sólo tienes que unir esos nuevos puntos!
Si quieres doblar el tamaño usa el valor 2, si quieres reducirlo a la
mitad de su tamaño usa 0.5.
También puedes probar a poner el punto central en distintos sitios.
Homotecia
Una homotecia es una trasformación geométrica
que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las
distancias por un mismo factor. Es una
amplificación. Su definición rigurosa es vectorial:
Definición
Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Sea
Ω un elemento (visto como un punto) de E, y kεK un
escalar.
La homotecia de centro Ω y de razón k, denotada
hΩ, k envía un punto M del espacio vectorial sobre
el punto M' tal que:
Homotecia, de centro el punto O y razón el número
real k ≠ 0, es una transformación geométrica que
hace corresponder a cada punto P otro punto P′ tal
que (el vector es igual al resultado de multiplicar el
vector por el número k). Si k es positivo, P′ está en
la semirrecta de origen O que pasa por P. Veremos
en lo siguiente las propiedades de la homotecia:
Propiedades
La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva:
• el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
• el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro
de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
• el paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (BE) // (CD) porque (BE)
//(CD).
Además la homotecia conserva:
• el cociente de longitudes: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura
• los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.
Más aún:
• La imagen de una recta es otra recta paralela.
• Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
• Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos
los puntos son fijos)
• Si k ≠ 0, hΩ k admite como trasformación recíproca hΩ 1/k. (cuando k = 0, no es biyectiva)
• Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón
es el producto de las razones de las homotecias iniciales: hΩ k o hΩ k' = hΩ k·k'.
• Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón
k·k' cuando k·k' ≠1, y una traslación sino. Se dice que el conjunto de las homotecias y las
translaciones forman un grupo.
k = - 1 corresponde a la simetría de centro Ω, o una rotación alrededor de Ω de ángulo π radianes (180·)
|k| > 1 implica una ampliación de la figura.
|k| < 1 implica una reducción.
k < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro Ω con una homotecia sin
inversión.
Homotecias en el plano
Una homotecia en el plano es una transformación del plano en sí
mismo en donde una recta y su homóloga son paralelas. De esta
definición, se sigue fácilmente que las homotecias conservan
ángulos, es decir son transformaciones conformes del plano, que el
conjunto de homotecias forman un grupo y que las traslaciones son
casos particulares de las homotecias.
Consideremos la homotecia en la cual la recta OA se transforma en la
recta O'B, siendo O' el homólogo de O y B el homólogo de A.
Necesariamente, las rectas OO' y AB son invariantes en esta
homotecia y el punto H1, centro de la homotecia, es invariante. En
esta homotecia la circunferencia de centro O y radio OA se
transforma en la circunferencia de centro O' y de radio O'B y la
razón de la homotecia es la razón (positiva) de los segmentos O'B y
OA.
Si por el contrario, el punto A se transforma en B' entonces la recta
AB' es invariante y es el punto H2 el centro de homotecia. En este
caso, la razón de la homotecia es negativa. Es todo por el momento
gracias por su atención.
Ejes de Homotecia
Dadas dos circunferencias, estas siempre se pueden considerar como
homotéticas una de la otra.
En la figura, la circunferencia S2 puede considerarse homotética de s1
bien es en la homotecia de razón positiva, con centro en P1, o de
razón negativa, con centro de homotecia en N1.
Consideremos las homotecias, una con centro en P1 en la cual la
circunferencia S2 es homotética de la circunferencia s1, y la homotecia
de centro P3 en la que la circunferencia s3 es homotética a la
circunferencia s2. La composición de estas dos homotecias es la homotecia de
centro en P2 que transforma la circunferencia s1 en la circunferencia s3. Es
por esta razón que los centros de homotecia positivos, P1, P2 y P3 están
alineados. En general, dadas tres circunferencias existen seis centros de
homotecia, alineados tres a tres sobre cuatro rectas.
Estas rectas son las llamadas ejes de homotecia de las tres circunferencias
dadas.
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