INTELIGENCIA ARTIFICIAL
Lógica de Predicados
Ing. Samuel Oporto Díaz (Msc)
Mapa Conceptual del Curso
2 /40
Tabla de Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
Lógica de Predicados.
Sintaxis
Fórmulas Bien Configuradas
Semántica.
Bibliografía
3 /40
Objetivos
• Presentar los conceptos básicos de la lógica de predicados.
• Presentar una lógica suficiente para construir agentes
basados en el conocimiento.
4 /40
LOGICA DE PREDICADOS
Lógica de Primer Orden
5 /40
Lógica de Predicados
• Lógica de primer orden.
• Es una lógica con suficiente expresividad para
representar nuestro sentido común.
• La lógica de predicados tiene alcances
ontológicos más amplios.
• Considera el mundo constituido por objetos y
propiedades que los distingan, a diferencia
de la lógica proposicional que sólo permite
representar hechos.
6 /40
Lógica de Predicados
• Está basada en la idea de que las sentencias realmente
expresan relaciones entre objetos, así como también
cualidades y atributos de tales objetos.
• Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o
conceptos.
• Las cualidades, relaciones o atributos, se denominan
predicados. Los objetos se conocen como argumentos o
términos del predicado.
• Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un
valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones,
su valor de veracidad, depende de sus términos. Un
predicado puede ser verdadero para un conjunto de
términos, pero falso para otro.
7 /40
Ejercicio 1
Para las siguientes oraciones indique donde existe una
relación y donde un atributo.
1. Aijo vive en la misma casa que Chucho.
2. Tuka y Pika vuelvan.
3. Yaku y Amarú vuelan juntos.
4. A + B
5. A + B = C
6. f(A)
7. f(A) = φ, f(B) = Φ y f(C) = Ω
8. Ana 17 años, Erika 19 años, Julia 18 años
9. Ana, Erika y Julia van a la universidad
10.Edo administra la empresa donde Rai trabaja.
8 /40
Predicado
Un predicado es lo que se afirma del sujeto.
Predicado.
• Propiedades
• Cualidades
• Relaciones
• Atributos.
• Funciones
Sujeto.
• Argumentos
• Términos
• Objetos, Personas, Conceptos
predicado
sujeto
objeto
sentencia
9 /40
Proposiciones y Predicados
• Un proposición es una oración completa donde se afirma
algo acerca de un sujeto identificado.
• Una sentencia en lógica de predicados es una oración
completa donde se afirma algo acerca de un sujeto. El
sujeto puede ser una constante o una variable.
sentencia = oración = enunciado
10 /40
Ejemplos
• Objetos:
– personas, casas, números, la SUNAT, UNI, colores,
guerras, siglos, . . . .
• Relaciones:
– diferente_que, hermano-de, cerca_de, amigo_de,
de_color, hijo_de_y_padre_de, vive_en, es_el_dueño.
• Propiedades:
– Rojo, redondo, pisos,
• Funciones:
– el_siguiente, mayor_que, sumatoria,
11 /40
Ejercicio 2
Identifique para las siguientes expresiones el sujeto y el
predicado. Indique el tipo de predicado:
1. Uno más dos es igual a tres.
2. R = S + Y2
3. Todos los alumnos de IA llevarán su LT a la capacitación del
sábado a las 2:30 PM
4. Los cuadros cercanos al wumpus apestan
5. Wayra vive en la provincia de condorcanqui y chaccha coca.
6. Todos los gatos comen ratones y los ratones comen quesos.
7. Ayer, hoy y mañana son días festivos.
12 /40
Aplicaciones
• Especificación
formal
de
programas,
la
cual
permite
describir lo que el usuario desea
que un programa realice, mediante
piezas de código.
• Verificación formal de programas,
las piezas de código son
acompañadas por pre y post
condiciones, las cuales se escriben
como fórmulas del Cálculo de
Predicados.
13 /40
SINTAXIS
  
  
14 /40
Sintaxis (1)
El alfabeto está formado por:
• Sentencia atómica:
predicado (término, ....)
termino = término
• Sentencias:
 sentencia
sentencias_atómicas.
(sentencia conectiva sentencia)
cuantificador variable, ....,
sentencia
• Símbolos de conectivas:
(, , , , y  )
• Cuantificador universal:
 (para todos)
• Cuantificador existencial:
 (existe al menos uno)
• Término:
función término
constante
variable
15 /40
Sintaxis
• constantes lógicas:
Verdadero, Falso
• símbolos de constantes
A, D (letras mayúsculas).
• símbolos de variables
x, z (x, y, z)
• símbolos de predicados y funciones (letras minúsculas).
16 /40
Sintaxis
• Oraciones atómicas
– Los términos y signos de predicado se combinan para formar
oraciones atómicas, mediante las que se afirman hechos.
– Una oración atómica está formada por un signo de predicado y por
una lista de términos entre paréntesis, ejemplo
Hermano (Ricardo, Juan)
Casado (PadreDe (Ricardo), MadreDe (Juan))
– Se dice que una oración atómica es verdadera si la relación a la que
alude el signo de predicado es válida para los objetos a los que
aluden los argumentos.
17 /40
Sintaxis
• Oraciones
– Mediante los conectores lógicos se pueden construir
oraciones más complicadas, ejemplo:
Hermano (Ricardo, Juan)  Hermano (Juan, Ricardo)
Mayor (Juan, 30)  Menor (Juan, 30)
Mayor (Juan, 30)  Menor (Juan, 30)
Hermano (Robin, Juan)
18 /40
Sintaxis
• Términos.
– Es una expresión lógica que se refiere a un objeto.
– Es el argumento del predicado.
– Cuando un término no tiene variables se le conoce como
término de base.
19 /40
Cuantificadores
• Cuantificadores
– Los cuantificadores permiten expresar propiedades de
grupos completos de objetos en vez de enumerarlos por
sus nombres.
– La lógica de primer orden contiene dos cuantificadores
estándar, denominados universales y existenciales.
 
20 /40
Cuantificación universal ()
• Cuantificación universal ()
– Facilita la expresión de reglas generales, ejemplo: en vez de decir
“Mancha es un gato” y “Mancha es un mamífero” se usa:
• x Gato (x)  Mamífero (x)
– Lo cual equivale a
• Gato (Mancha)  Mamífero (Mancha)  Gato (Rebeca) 
Mamífero (Rebeca)  Gato (Félix)  Mamífero (Félix)  Gato
(Juan)  Mamífero (Juan)  …
– Por lo tanto la primera expresión será valida si y sólo si todas estas
últimas son también verdaderas, es decir, si P es verdadera para
todos los objetos x del universo. Por lo tanto, a  se le conoce como
cuantificador universal.
21 /40
Ejercicio 3
Representa en LP1 las siguientes expresiones:
1. Todos los alumnos deben matricularse para llevar el curso
de IA.
2. Todos los perros del barrio fueron vacunados en el
VANCAN2005.
3. Todos los congresistas fueron elegidos para ocupar el
cargo.
4. Todos los alumnos del curso de IA serán aprobados.
22 /40
Cuantificación existencial ()
• Cuantificación existencial ()
– Con ella podemos hacer afirmaciones sobre cualquier objeto del
universo sin tener que nombrarlo, ejemplo, si queremos decir que
Mancha tiene un hermano que es un gato:
• x Hermano (x, Mancha)  Gato (x)
– En general, x P es verdadero si P es verdadero para cierto objeto
del universo.
– x Hermano (x, Mancha)  Gato (x) equivale a las oraciones:
• (Hermano (Mancha, Mancha)  Gato (Mancha))  (Hermano (Rebeca,
Mancha)  Gato (Rebeca))  (Hermano (Félix, Mancha)  Gato (Félix))
 (Hermano (Ricardo, Mancha)  Gato (Ricardo)) …
– Así como  es el conector natural para 
–  es el conector natural para .
23 /40
Ejercicio 4
Representa en LP1 las siguientes expresiones:
1. El hermano de Alejandro molesto al intocable periodista.
2. Dos hijos de María salieron a pasear.
3. Juan hijo de María salio a pasear.
4. Algunos estudiantes no entregaron su trabajo.
5. El congresista dijo por dios y por la plata
24 /40
Cuantificadores anidados
• Para toda x y toda y, si x es el padre de y, entonces y es el
hijo de x
– x,y Padre (x,y)  Hijo (y,x)
• Para toda x y toda y, si x es hermano de y, entonces y es
hermano de x
– x,y Hermano (x,y)  Hermano (y,x)
• Todas las personas aman a alguien
– x y Aman (x,y)
• Siempre hay alguien a quien todos aman
– y x Aman (x,y)
25 /40
Ejercicio 5
Representa en LP1 las siguientes expresiones:
1. Todas ciudades tienen un policía que ha sido mordido por
todos los perros de la Ciudad.
2. Para cada conjunto x, hay un conjunto y tal que el
cardinal de y es mayor que el cardinal de x.
3. Todos los bloques que están encima de bloques que han
sido movidos o que están unidos a bloques que han sido
movidos, también han sido movidos.
26 /40
Ejercicio 6
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Algunos estudiantes llevaron Chino en el verano
Todos los estudiantes que llevaron Chino, pasaron
Únicamente un estudiante llevó Inglés en el verano
La mejor nota en Inglés es siempre mayor que la mejor
nota en Chino.
Toda persona que compra un político es inteligente.
Ninguna persona compra un político caro.
Este es un agente quién vende políticos únicamente a
personas que no son seguras.
Hay un barbero en la ciudad, quien afeita a todos los
hombres quienes no se pueden afeitar por si mismos.
27 /40
Solución
•
 x [estudiante(x)  llevo_curso (x, Chino, Verano)]
•
 x [[estudiante(x) Λ llevo_curso(x, Chino)]  paso(x, Chino)]
•
! x estudiante(x) Λ llevo_curso(x, Ingles, Verano)
alternativamente
 x [estudiante(x) Λ llevo_curso(x, Ingles, Verano)] Λ
 y [estudiante (y) Λ llevo_curso (y, Ingles, Verano) Λ (x = y))]
•
 x, y [ [mejor_nota(x, Ingles) Λ mejor_nota (y, Chino)]  mayor(x,y) ]
•
 x,y [ [persona(x) Λ politico(y) Λ compra(x, y)]  inteligente(x) ]
alternativamente
 x compra(x, Politico)  inteligente(x)
•
¬[ x persona(x) Λ compra (x, Politico) Λ caro(Politico)]
•
x y [ vende_politicos(x, y)  persona_insegura(y) ]
•
 x barbero(x) Λ  y [ hombre(y) Λ ¬ afeita_a(y, y)  afeita_a(x, y)]
28 /40
FORMULAS BIEN
CONFIGURADAS
29 /40
Fórmula bien configurada
• Una oración como x P (y), en la que y
carece de cuantificador, es incorrecta.
• El término fórmula bien configurada o
fbc se emplea para calificar oraciones en
las que todas sus variables se han
introducido adecuadamente.




fbc
~ f (A)
f (P(A))
Q{ f (A), [P (B)  Q (C) ] }
A V ( ~)
30 /40
Relaciones entre  y 
• Relaciones entre  y 
– Ambos
cuantificadores
están
estrechamente
relacionados entre sí mediante la negación.
– A todos les desagradan las espinacas  No hay alguien
a quien le gusten las espinacas
x LeGustan(x, espinacas)  x LeGustan (x, espinacas)
– A todos les gusta el helado  No hay alguien a quien no
le guste el helado
x LeGusta(x, helado)  x LeGusta (x, helado)
31 /40
Relaciones entre  y 
• Relaciones entre  y 
– Puesto que  es una conjunción (Λ) de objetos del
universo y  es su disyunción (V), es natural que
obedezcan las leyes de De Morgan:
x P 
x P 
x P

x P

x P
x P
x P
x P
P  Q
(P  Q)
P Q
P Q




(P  Q)
P  Q
 (P  Q)
 (P  Q)
32 /40
Igualdad
• Igualdad
– Para formular aseveraciones en las que los dos términos
se refieren a un mismo objeto se utiliza el símbolo de
igualdad:
Padre(Juan) = Enrique
– El signo de igualdad sirve para describir las propiedades
de una función determinada o se puede emplear en la
negación para insistir en que dos términos no son el
mismo objeto:
x,y Hermano(Mancha, x)  Hermano(Mancha, y)  (x=y)
33 /40
SEMÁNTICA
34 /40
Semántica
• En lógica de proposiciones para definir la semántica nos
apoyamos en los conceptos de interpretación y
satisfacción.
• En lógica de predicados se debe de añadir el de
asignación, que consiste en «dar valores» a las variables y,
en general, a los términos.
Estructura
Una estructura está constituida por un conjunto que se designa como
universo U y la interpretación I de las relaciones que actúan sobre los
elementos de dicho universo, su notación es: < U, I>
35 /40
Interpretación
• Interpretación Lógica Proposicional.
– Una fórmula tiene una interpretación cuando al asignar
valores de verdad a sus átomos se obtiene un valor de
verdad (cierto o falso) para la fórmula completa.
• Interpretación Lógica de Predicados.
– Una interpretación está asociada a un dominio, que es
un conjunto de valores que las variables pueden tomar.
– Para cualquier interpretación de una fórmula sobre un
dominio, la fórmula puede ser evaluada como cierta o
falsa.
36 /40
Asignación
• Asignación de variable:
Una asignación es una función que va desde el conjunto de
las variables a un determinado universo.
A: V → U
37 /40
Satisfacción
• Satisfacción en Lógica Proposicional.
– La satisfacción de una sentencia es relativa a la interpretación.
• Satisfacción en Lógica de Predicados.
– Las satisfacción es relativa a la asignación de términos.
– En lugar de variables proposicionales hay átomos formados con
predicados, y un predicado representa a una relación de la
conceptuación.
– Diremos que un átomo se satisface («es verdadero» ) para una
determinada interpretación y una determinada asignación si
asignando los valores a sus términos e interpretándolo, el resultado
es una tupla de la relación representada.
38 /40
Bibliografía
• AIMA. Capítulo 7, primera edición.
• AIMA. Chapter 8, second edition.
• http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/glossary.htm
39 /40
PREGUNTAS
40 /40
Descargar

Lógica de Predicados