UNIDAD No. 3
Aplicaciones de la
integral definida
Trabajo y presión hidrostática
TRABAJO MECÁNICO

En física, cuando una fuerza
constante F desplaza un objeto una
distancia d, en la misma dirección de
la fuerza, el trabajo (mecánico)
realizado se define como el producto
W=Fd.
TRABAJO MECÁNICO…

Supóngase que P es la partición
a = xo < x1 < x2 <… < xn = b y que
Dxk es la longitud del k-ésimo
subintervalo [ xk-1 , xk ].
TRABAJO MECÁNICO…
Supóngase que P es la partición
a = xo < x1 < x2 <… < xn = b y que Dxk es la
longitud del k-ésimo subintervalo [ xk-1 , xk ].
 Sea x*k elegido arbitrariamente en cada
subintervalo.
 Si los números Dxk son pequeños, se puede
considerar como constante la fuerza que
actúa sobre cada subintervalo. Por
consiguiente el trabajo realizado de xk-1 a xk
está dado por la aproximación:
DWk= F(x*k ) Dxk

TRABAJO MECÁNICO…


Así que, una aproximación al trabajo
realizado desde a hasta b es:
F(x*1)Dx1+ F(x*2)Dx2+ …+ F(x*n)Dxn
Es decir:
n
 DW k
k 1

n

 F ( x * k )D x k
k 1
Es natural suponer que el trabajo exacto
realizado por F sobre el intervalo es:
W 
Lim
P  0
n
 F ( x * k )D x k
k 1
TRABAJO MECÁNICO…

Sea F continua en el intervalo [a,b] y
supóngase que F(x) representa la
fuerza en un valor x del intervalo.
Entonces el trabajo W realizado por la
fuerza al mover un objeto desde a
hasta b es:
b
W 
 F ( x )dx
a
PROBLEMA

Se requiere una fuerza de 130 N
para estirar un resorte de 50 cms.
Determinar el trabajo realizado al
estirar el resorte 20 cms más allá de
su longitud natural (sin estirar).

La ley de Hooke establece que cuando un resorte se
estira (o se comprime) más allá de su longitud natural,
la fuerza restauradora elástica ejercida por el resorte
es directamente proporcional a la magnitud del
alargamiento (o acortamiento) F(x) = kx.
PROBLEMA…



Cuando la fuerza se mide en N, la distancia
se mide en mts.
Puesto que x= 0.5 mts. cuando F=130 N
entonces: F=kx nos determina que k=260
N/m.
El trabajo realizado al estirar 20 cms el
resorte será:
1/ 5
1/ 5
26
2
W   260 xdx  130 x

 5 . 2 Joules
5
0
0
PRESIÓN HIDROSTÁTICA

Supongamos que una lámina de área A
está sumergida en posición horizontal en un
líquido de densidad r (Kg/m3) a una
profundidad de x mts. bajo la superficie del
líquido.
x
A
PRESIÓN
HIDROSTÁTICA…
x
A



La columna de líquido por encima de la
lámina tiene un volúmen V=Ax
Su masa está dada por: m=rV=rAx
La fuerza que ejerce sobre la lámina es:
F=mg=rgAx
PRESIÓN
HIDROSTÁTICA…
Por otra parte, la presión ejercida por
la columna de líquido es: P  F
A
 Utilizando la fórmula de la fuerza
obtenida anteriormente: P  ρ gAx
A
 Simplificando: P  ρ gx


Esto quiere decir que la presión sobre la
lámina depende sólo de la profundidad (es
proporcional a la profundidad).
PRESIÓN
HIDROSTÁTICA…

Este resultado está relacionado con el
“Principio de Pascal” que además de establecer
lo anterior, afirma que la fuerza ejercida por la
columna del líquido sobre la lámina es
perpendicular a ésta y se propaga en todas las
direcciones con la misma intensidad a la misma
profundidad.
F
F
F
F
F
PRESIÓN
HIDROSTÁTICA…


El principio de Pascal ayudará a determinar la
fuerza debida a la presión sobre una pared
vertical de un recipiente que contiene a un
líquido.
Para ello, consideraremos una sección de área
A que se encuentra en una de las caras del
recipiente.
A
F
PRESIÓN
HIDROSTÁTICA…
Nuestro objetivo será calcular la
fuerza debida a la presión sobre dicha
sección.
 No todos los puntos de la sección se
encuentran a la misma profundidad,
así que la presión ejercida sobre ellos
NO siempre es la misma.
 Determinaremos la fuerza ejercida en
un elemento diferencial de área.

PRESIÓN
HIDROSTÁTICA…

Consideraremos la siguiente representación:
P  ρ gx
dA
x
dx
L(x)
dA  L ( x ) dx
 dF  ρ gxdA
dF  ρ gxL ( x ) dx
b
F 
 ρ gxL ( x )dx
b
Problema:


Supóngase que la
cortina vertical de
una presa, la cual
está llena a su
máxima capacidad,
tiene la forma
indicada.
10 mts
6 mts
8 mts
Cuál es la fuerza total que ejerce el agua
contra la cortina?
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