MICROECONOMÍA III
El Intercambio
Presentación gráfica elaborada por:
María Flor Chávez Presa
basa en :
Walter Nicholson, Teoría Microeconómica
Principios básicos y aplicaciones, Capítulo 8, pagina
147-164, Ed. Mc. Graw Hill., sexta edición, 1997
Agradezco la colaboración de Nancy Monroy Ávila para la
elaboración de este material.
1
Una sencilla situación de
intercambio
Supongamos que:
•Sólo existen dos bienes hamburguesas (Y) y bebidas
refrescantes (X).
•Las cantidades son fijas X = 15 e Y = 15
•Hay dos personas que tienen cantidades desiguales de X
eY
2
Cantidad Inicial
X
Y
5
10
10
5
Persona 1
Persona 2
Persona 1
Persona 2
3
Para
examinar
los
intercambios
voluntarios
necesitamos saber las preferencias de estas personas
(que se encuentran representadas en las curvas de
indiferencia), lo que permitirá estudiar los
intercambios que mejorarían el bienestar de las dos.
4
Hamburguesas por
semana (y)
Hamburguesas por
semana (y)
10
5
u1
u1
5
10
Bebidas refrescantes por
semana (x)
a) Persona 1
Bebidas refrescantes por
semana (X)
b) Persona 2
5
Supongamos ahora que estas dos personas llegan a
un acuerdo según el cual la persona uno intercambia
una hamburguesa por una bebida refrescante con la
persona dos.
6
Cantidad
Inicial
X
Resultado del
Intercambio
Y
X
Cantidad Final
Y
X
Y
Persona 1
5
10
+1
-1
6
9
Persona 2
10
5
-1
+1
9
6
Persona 1
Persona 2
7
Ambas personas ganan realizando el intercambio
Hamburguesas por
semana (y)
Hamburguesas por
semana (y)
10
9
6
u2
5
u1
u2
u1
5 6
Bebidas refrescantes
Por semana (x)
a) Persona 1
9
10
Bebidas refrescantes por
semana (X)
b) Persona 2
8
En los intercambios voluntarios, una persona puede
quedarse con la mayor parte de las ganancias. Por ejemplo
si la persona uno decide cambiar dos hamburguesas por una
bebida refrescante.
9
Cantidad
Inicial
X
Resultado del
Intercambio
Y
X
Cantidad Final
Y
X
Y
Persona 1
5
10
+1
-2
6
8
Persona 2
10
5
-1
+2
9
7
Persona 1
Persona 2
10
En tal caso, la persona 2 gana al realizar el
intercambio y la persona 1 permanece igual.
Hamburguesas por
semana (y)
Hamburguesas por
semana (y)
10
7
6
8
5
u3
u2
u1
u1
5
6
9
Bebidas refrescantes por
semana (x)
a) Persona 1
10
Bebidas refrescantes por
semana (X)
b) Persona 2
11
Otro ejemplo es en el que la persona uno consigue
mucho mejor trato. Ahora las dos personas han
acordado realizar un intercambio en una relación de
una hamburguesa por dos bebidas refrescantes.
12
Cantidad Resultado del
Inicial
Intercambio
X
Y
X
Y
Persona 1
Persona 2
5
10
10
5
+2
-2
-1
+1
Cantidad
Final
X
Y
7
8
9
6
Persona 1
Persona 2
13
Ahora la persona 1 es la que gana con el
intercambio
Hamburguesas por
semana (y)
Hamburguesas por
semana (y)
10
9
6
5
u3
u2
u1
u1
5
a) Persona 1
6
7
8
Bebidas refrescantes por
semana (x)
b) Persona 2
10
Bebidas refrescantes por
semana (X)
14
El Diagrama de la Caja de Edgeworth
Puede demostrarse que cualquier asignación en la que
dos personas tengan una Relación Marginal de
Sustitución (RMS en adelante) diferente y en la que
consuman ambos bienes es <<ineficiente>>, en el sentido
de que estos bienes pueden redistribuirse de una forma
inequívocamente mejor; es decir, es posible encontrar
una asignación <<mejor>>. Sin embargo, puede haber
muchas asignaciones de ese tipo, como mostró
Edgeworth.
15
Francis Ysidro Edgeworth
(1845-1926)
Fue un economista irlandés. Estudió Lenguas
antiguas y modernas en el Trinity College de
Dublín. Sabía alemán, español, francés e
italiano. Posteriormente estudia leyes en
Oxford. Parece ser que estudió matemáticas
por su cuenta, sin atender clases formales. En
1880 está dando clases de lógica. Finalmente,
en 1888, fue nombrado profesor de Economía
Política en el King's College de Londres.
16
Casi todos sus escritos están dirigidos a
economistas. Son ensayos sobre impuestos, los
precios en el monopolio y el duopolio, teoría pura
del comercio internacional y teoría de los
números índice. Su obra "Psíquica Matemática"
(1881) es una aplicación cuantitativa de la ética
del utilitarismo a la vida económica.
17
Su uso de las curvas de indiferencia fue aceptado
muy lentamente y la del "núcleo" de una economía
de intercambio solo ha conseguido atraer la
atención muy recientemente como resultado de
los desarrollos de la teoría de juegos. De hecho
muchas de sus ideas están siendo redescubiertas
en la actualidad.
18
Construcción de la Caja de Edgeworth
Considérese a dos personas Sánchez y Jiménez. Sus
espacios de bienes respectivos se presentan en los ejes
que miden lo mismo para ambos. Al origen del espacio de
bienes correspondiente a Sánchez se le denota OS,
mientras OJ es el origen para el espacio de bienes de
Jiménez.
Y
OS
Y
X
OJ
X
19
A continuación deseamos unir estos espacios de bienes,
para lo que rotamos 180° el espacio de Jiménez, de tal
manera que OJ, el origen del espacio de bienes para
esta persona, se encuentra en la esquina superior
derecha del gráfico.
OJ
Y
OS
X
20
DIAGRAMA DE LA CAJA DE EDGEWORTH
OJ
Cantidad
Total de Y
OS
Cantidad total
de X
El diagrama de la Caja
de Edgewoth permite
observar
todas
las
asignaciones posibles de
dos bienes (X e Y).
Nótese
que
las
cantidades de bienes X
e Y son fijas para ambas
personas.
21
DIAGRAMA DE LA CAJA DE EDGEWORTH
OJ
XAJ
YAJ
Cantidad
Total de Y
A
YAS
XAS
OS
Cantidad total
de X
En
la
asignación
representada por el
punto
A
Sánchez
recibiría XAS e YAS y
Jiménez recibiría lo que
queda (XAJ e YAJ). El
objetivo del diagrama es
descubrir cuáles de las
asignaciones
posibles
dentro de la caja de
Edgeworth
son
eficientes.
22
Una asignación es eficiente en el
sentido de Pareto
Cuando se asignan los recursos existentes de tal
forma en que no deja de aprovecharse ninguna
oportunidad de realizar intercambios mutuamente
beneficiosos.
Es decir, es una asignación en la que no es posible
mejorar el bienestar de ninguna persona sin
empeorar el de ninguna otra.
23
Justo en donde las curvas de indiferencia de cada uno
de los individuos hacen tangencia, es decir, en donde
sus RMS se igualan son puntos eficientes (Ms).
OJ
U1J
U3J
U4j
U2J
M6
U6S
M5
U5J
M4
Y total
U5S
M3
U6J
U4S
M2
M1
Os
U1S
U2s
U3S
X total
24
Veamos como se pierde la eficiencia al salirse de la curva de
contrato. Por ejemplo, un movimiento del punto M2 al punto A,
reduce la utilidad de Jiménez de U5J a U4J aún cuando no
empeore el bienestar de Sánchez.
OJ
U1J
U3J
U4j
U2J
M6
U6S
M5
U5J
M4
Y total
U5S
M3
U6J
U4S
M2
M1
A
Os
U1S
U2s
U3S
X total
25
Curva de Contrato
Todo los puntos eficientes de la caja conforman una
curva de contrato. Los puntos fuera de la curva son
necesariamente ineficientes, ya que es posible mejorar
inequívocamente el bienestar de los individuos
trasladándose a la curva. A lo largo de la curva de
contrato sólo es posible mejorar la situación de una
persona si se empeora la otra, por lo que se dice que las
preferencias de los individuos son rivales.
26
Trazo de la Curva de Contrato
OJ
U1J
U3
J
U4j
U2J
M6
U6S
M5
U5J
M4
Y total
U5S
M3
U6J
U4S
M2
M1
Os
U1S
U2s
U3S
X total
27
En una economía de intercambio
formada por dos personas
Consideraremos una economía de intercambio en la
que hay exactamente 1000 bebidas refrescantes
(X) y 1000 hamburguesas (Y). Si la utilidad de
Sánchez se representa por medio de:
US(XS,YS)=XS2/3 YS1/3
y la de Jiménez por medio de:
UJ(XJ,YJ)=XJ1/3 YJ2/3
Podemos calcular las asignaciones eficientes de las
bebidas refrescantes y las hamburguesas.
28
Obsérvese al principio que Sánchez tiene una
preferencia relativa por las bebidas refrescantes,
mientras que Jiménez tiende a optar por las
hamburguesas, como lo reflejan los diferentes
exponentes de las funciones de utilidad de las dos
personas. Es de esperar que en las asignaciones
eficientes Sánchez obtenga relativamente más
hamburguesas.
29
Para hallar los puntos eficientes, supongamos que
Sánchez comienza teniendo un nivel de utilidad
asignado de antemano, US.
Ahora nuestro problema consiste en elegir XS, YS, XJ e
YJ de tal manera que la utilidad de Jiménez sea la
mayor posible, dada la restricción de la utilidad de
Sánchez. Formulando el lagrangiano de este problema,
tenemos que.
L = U (X ,Y ) + l[U (X ,Y ) – U ]
J
J
J
S
S
S
S
= XJ1/3 YJ2/3 + l[XS2/3 YS1/3– US]
30
Hay que tomar en cuenta que Jiménez obtiene
simplemente lo que no recibe Sánchez y viceversa.
Por lo que podemos plantear que la cantidad que
recibe Jiménez tanto de bebida refrescante como
de hamburguesa es de la manera siguiente:
XJ = 1000 - XS
YJ = 1000- YS
Por lo que nuestro lagrangiano es solamente una
función de las dos variables XS e YS:
L=
(1000 - XS )1/3 (1000- YS)2/3 + l[XS2/3 YS1/3– US]
31
Las condiciones de primer orden para obtener un
máximo son:
L
1  1000  Ys 
 

 Xs
3  1000  Xs 
L
2/3
2  1000  X s 
 

 Ys
3  1000  Ys 
2 l  Ys 



3  Xs 
1/ 3
l  Xs 
2/3
1/ 3



3  Ys 
0
0
32
Trasladando los términos en l al segundo miembro de
estas ecuaciones y dividiendo la ecuación superior por
la inferior, tenemos que:
1  1000  Ys 
 Ys 

2




2  1000  X s 
 Xs 
RMS de Sánchez
=
RMS de Jiménez
Que es la condición necesaria para alcanzar la
eficiencia.
33
Si reordenamos la ecuación anterior y ponemos a la
izquierda todos los términos relacionados con XS,
mientras que los términos relacionados con YS los
colocamos a la derecha tendremos:
XS
1000 
XS 

4Y S
1000  Y 
S
Podremos
calcular
cualquier
número
de
asignaciones eficientes, que se muestran en el
siguiente cuadro
34
Asignaciones eficientes en el sentido de Pareto de
1000 bebidas refrescantes y 1000 hamburguesas a
Sánchez y Jiménez
XS
YS
0
0
100
27
200
59
300
97
400 143
500 200
600 273
700 368
800 500
900 692
1000 1000
US =
XS2/3 YS1/3
0
65
133
206
284
368
461
565
684
825
1000
XJ = 1000 - XS YJ = 1000- YS
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
1000
973
941
903
857
800
727
632
500
308
0
UJ =
XJ1/3 YJ2
1000
948
891
830
761
684
596
493
368
212
0
35
LA CURVA DE CONTRATO EN UNA ECONOMÍA DE
INTERCAMBIO DE BEBIDAS REFRESCANTES Y
HAMBURGUESAS
OJ
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
Bebidas refrescantes (X)
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
Os
0
0
36
Para mostrar por qué en los puntos fuera de la curva
de contrato son ineficientes consideraremos la
asignación A que es equitativa para Sánchez y
Jiménez, es decir, comparten la misma cantidad de
X e Y. Con quinientas unidades de cada artículo,
tanto Sánchez y Jiménez reciben una utilidad de
500.
37
LA CURVA DE CONTRATO EN UNA ECONOMÍA DE
INTERCAMBIO DE BEBIDAS REFRESCANTES Y
HAMBURGUESAS
OJ
1000
900
800
700
600
A
500
400
300
200
100
Bebidas refrescantes (X)
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
Os
0
0
38
Si observamos en la grafica los puntos B y C en
donde Sánchez recibe 600 o 700 bebidas
refrescantes; son los límites precisos de estos
intercambios mutuamente beneficiosos.
Por ejemplo, en el punto D XS =660, YS= 327, XJ=
340 e YJ= 673. La utilidad de Sánchez es de 522 y
la de Jiménez de 536. En D ambos disfrutan
claramente de un mayor bienestar que en A y cabría
esperar que se realizara algún tipo de intercambio
que los trasladara a la curva de contrato.
39
LA CURVA DE CONTRATO EN UNA ECONOMÍA DE
INTERCAMBIO DE BEBIDAS REFRESCANTES Y
HAMBURGUESAS
OJ
1000
900
800
700
600
A
500
400
D
300
200
C
B
100
Bebidas refrescantes (X)
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
Os
0
0
40
El intercambio con dotaciones
iniciales y la distribución de las
ganancias derivadas del intercambio
El análisis sería algo diferente si los individuos que
participan en el intercambio poseyeran al principio
unas cantidades específicas de los bienes. Aún
existiría una posibilidad muy clara de que cada
persona pudiera beneficiarse del intercambio
voluntario, ya que es improbable que las
asignaciones iniciales fueran eficientes.
41
El Intercambio con
dotaciones iniciales
OJ
UAJ
Y total
A
UAS
OS
X total
Si los individuos tienen
dotaciones iniciales
como en A.
Ninguno de los dos
estaría dispuesto a
aceptar una asignación
que prometiera un
nivel
de
utilidad
inferior
al
que
obtendría en el punto
A.
42
En principio ninguna de las dos personas
participará en un intercambio si este le implicara
un bienestar menor. Por lo tanto, sólo un
segmento de la curva que se encuentra dentro de
las
curvas
de
indiferencia
representa
asignaciones que podrían ser resultado de los
intercambios voluntarios.
43
El Intercambio con
dotaciones iniciales
OJ
UAJ
M2
Y total
M1
A
UAS
OS
X total
Por lo tanto, no todos los
puntos de la Curva de
Contrato pueden ser el
resultado
de
un
intercambio voluntario.
Sólo pueden serlo las
asignaciones eficientes
situadas entre M1 y M2.
Si cada individuo es libre
de abstenerse de realizar
intercambios, y se exige
que la asignación final sea
eficiente.
44
El Intercambio con
dotaciones iniciales
OJ
UAJ
Núcleo
M2
Y total
M1
A
UAS
OS
X total
El núcleo de
economía
intercambio
una
de
está
formado
por
todas las asignaciones
de bienes existentes
con las que el grupo de
personas optimiza su
intercambio y por lo
tanto, no le interesa
llegar
a
nuevos
acuerdos.
45
Los Intercambios Eficientes
con Precios
Hasta ahora nuestro análisis podría aplicarse a las
situaciones de trueque. Es decir, cada persona
intercambia uno de sus bienes por el otro y mejoraba la
situación de intercambio.
Ahora podemos pensar que es posible realizar un
razonamiento similar en una situación en la que los
individuos responden a las opciones de intercambio en
función de los precios de mercado.
46
Concretamente mostraremos que si tanto Sánchez
como Jiménez son precio-aceptantes y responden a
los precios de equilibrio de los bienes (PX* y PY*),
también se desplazarán a la curva de contrato. En
Esta situación, los precios de equilibrio de mercado
muestran a los participantes cómo asignar
eficientemente los recursos.
47
Construcción de Una Curva de OfertaDemanda de una persona.
Para representar gráficamente esta demostración,
resulta útil introducir el concepto de curva de oferta –
demanda. Esta muestra las cantidades de X e Y con las
que una persona está dispuesta a renunciar a su
dotación inicial a distintas relaciones de precios.
Para obtener la curva de oferta-demanda de una
persona, consideraremos el conjunto de curvas de
indiferencia. Supongamos que esta persona tiene una
dotación inicial A.
48
Construcción de Una Curva de Oferta-Demanda
de una persona.
Cantidad de Y
U1
U2
U3
U3
U2
YA
A
U1
XA
Cantidad de X
49
Si <<el mercado>> propone a esta persona una
relación de precios (PX/PY), los intercambios que
pueden realizarse con la dotación inicial se
encuentran a lo largo de una línea cuya pendiente
-PX/PY pasa por el punto A. Dada esta
restricción presupuestaria, el punto preferido
del individuo es el B, en el cual se satisfacen las
condiciones de tangencia para alcanzar un
máximo.
50
Construcción de Una Curva de Oferta-Demanda
de una persona.
Cantidad de Y
U1
U2
YB
U3
B
U3
U2
YA
A
XB
XA
U1
Pendiente= -Px/ Py
Cantidad de X
51
Para alcanzar este punto realizando
intercambios en el mercado, el individuo
intercambiará parte de la dotación inicial
de X, (XA - XB), por una cantidad adicional
de Y, (YA - YB). La relación a la que puede
intercambiar estas dos cantidades viene
dada por la relación de precios de mercado
de los bienes (es decir, por la pendiente de
la restricción presupuestaria).
52
Ahora es posible trazar la curva de ofertademanda del individuo uniendo los puntos de
intercambio, como el B, que se obtiene cuando se
presentan todas las relaciones de precios
posibles.
53
Por ejemplo, una restricción presupuestaria
alternativa resultante de una relación de
precios diferente sería la línea de trazo
discontinua,
en
la
que
la
posición
maximizadora de la utilidad se encontrara en
el punto C . El lugar geométrico de todos los
puntos como A, B y C sería la curva de
oferta-demanda, que se denomina OC.
54
Construcción de Una Curva de Oferta-Demanda
de una persona.
Cantidad de Y
U1
OC
U2
U3
C
YB
B
U3
U2
YA
A
XB
XA
OC
U1
Pendiente= -Px/ Py
Cantidad de X
55
La Eficiencia de la Competencia Perfecta en
una Economía de Intercambio.
U2S
U2
U3S
J
U1J
Y total
U3J
A
En
este
diagrama de
la caja de
intercambio,
la dotación
inicial
se
encuentra en
el punto A.
U1S
OS
Pendiente = -P*x/P*y
X total
56
Demostración de la Eficiencia de la
Competencia Perfecta en una Economía de
Intercambio.
U2S
U2
OCS
U3S
J
U1J
Y total
E
U3J
OCJ
Las curvas de ofertademanda se trazan a
partir del punto A; su
intersección
en
el
punto E representa un
intercambio
de
equilibrio.
A
U1S
OS
Pendiente = -P*x/P*y
X total
57
Demostración de la Eficiencia de la
Competencia Perfecta en una Economía de
Intercambio.
U2S
U2
OCS
U3S
J
U1J
Y total
E
U3J
OCJ
A
También se observa
que E se encuentra en
la curva de contrato, ya
que las curvas de
indiferencia son
tangentes y sus RMS
son iguales en E. Por lo
tanto, la relación de
precios P*x/P*y también
fomentan la eficiencia.
U1S
OS
Pendiente = -P*x/P*y
X total
58
FIN
59
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