TEMA VI
ESQUEMA GENERAL
Consideraciones generales
Diseño de bloques de grupos al azar. Modelo
estructural y componentes de variación
Diseño de Cuadrado Latino. Modelo estructural y
componentes de variación
Diseño jerárquico al azar. Modelo estructural y
componentes de variación
DISEÑOS EXPERIMENTALES MULTIGRUPO
OPTIMIZADOS
Concepto
El principal objetivo de la experimentación es el
control de las fuentes de variación extrañas. La
neutralización o control de las variables extrañas
incide directamente en la reducción de la variación
del error. Es decir, las unidades varían con
respecto a cualquier variable a excepción de la
controlada. Siendo esto así, el margen de variación
es menor que con la presencia de la variable
extraña (o variable no controlada).
..//..
Desde la lógica de la experimentación, una técnica
ideal consiste en eliminar los factores extraños.
Ese ideal es imposible de conseguir,
particularmente en contextos de investigación
social como conductual. Por esta razón, se han
desarrollado unos procedimientos que, asociados a
la propia estructura del diseño, permiten controlar
una o más variables extrañas y neutralizar su
acción sobre la variable dependiente.
Diseño de bloques de grupos al
azar
Técnica de bloques
Mediante la técnica de bloques se pretende
conseguir una mayor homogeneidad entre
los sujetos o unidades experimentales intra
bloque y una reducción del tamaño del error
experimental. La formación de bloques
homogéneos se realiza partir de los valores
de una variable de carácter psicológico,
biológico o social, altamente relacionada
con la variable dependiente.
..//..
Al mismo tiempo, la presencia del azar
queda garantizada ya que, dentro de los
bloques, las unidades son asignadas
aleatoriamente a las distintas condiciones
experimentales. Cada condición representa
un nivel o tratamiento de la variable
independiente.
Diseño de bloques de grupos al azar
Con la técnica de bloques se consigue una
mayor homogeneidad entre los sujetos o
unidades experimentales intra bloque y una
reducción del tamaño del error experimental.
La formación de bloques homogéneos se
realiza partir de los valores de una variable de
carácter psicológico, biológico o social,
altamente relacionada con la variable
dependiente.
..//..
Al mismo tiempo, la presencia del azar
queda garantizada ya que dentro de los
bloques las unidades son asignadas
aleatoriamente a las distintas condiciones
experimentales. Cada condición representa
un nivel o tratamiento de la variable
independiente.
Clasificación
Diseño de un solo sujeto por
casilla
Diseño de bloques de grupos
completamente al azar
Diseño de dos o más sujetos
por casilla
Formato del diseño de bloques de
grupos al azar
Bloques
Tratamientos
1
A1
A2
.....
Aa
2
A1
A2
.....
Aa
...................................................................
b
A1
A2
.....
Aa
Caso 1. Un solo sujeto por tratamiento y bloque (casilla):
Tratamientos
Bloques
A1
A2
···
Aj ···
Aa
B1
S1
S2
··· Sj
··· Sa
B2
S1
S2
··· Sj
··· Sa
………………………………………..
…………………………….………….
Bk
S1
S2
··· Sj
··· Sa
Caso 2. Más de un sujeto por tratamiento y bloque (casilla):
Tratamientos
Bloques
A1
A2
···
Aj ···
Aa
B1
n1
n2
··· nj
··· na
B2
n1
n2
··· nj
··· na
………………………………………..
…………………………….………….
Bk
n1
n2
··· nj
··· na
Ventajas de la técnica de bloques
Según Baxter (1940), son notorias las ventajas del
diseño de bloques en investigación psicológica al
neutralizarse una potencial fuente de variación extraña
que, en caso contrario, incrementaría la variación del
error. En psicología, la mayoría de las fuentes de
variación extrañas, directamente asociadas a la
heterogeneidad de los datos, se derivan de las
diferencias interindividuales. En consecuencia, son
variables de sujeto que no sólo distorsionan la acción
de los tratamientos sino que también incrementan las
diferencias entre las unidades.
..//..
Mediante la técnica de bloques se consigue
un material experimental mucho más
homogéneo, se reduce la magnitud del error
experimental y se incrementa el grado de
precisión del experimento.
Modelos ANOVA del diseño
Modelo aditivo: un sujeto por casilla
Yijk = µ + j + ßk + ijk (1)
Modelo no aditivos: dos o más sujetos por
casilla
Yijk = µ + j + ßk + (ß)jk + ijk (2)
MODELO ESTRUCTURAL DEL AVAR:
DISEÑO DE BLOQUES
n=1
Yijk     j   k   ijk
n>1
Yijk     j   k  (  )jk   ijk
Sobre los modelos
El modelo aditivo asume que la interacción de
tratamientos por bloques es nula y, en consecuencia,
que el dato es explicado por la combinación lineal de
los componentes de ecuación anterior. Cuando no se
cumple el supuesto de aditividad, el efecto cruzado o
componente de no aditividad (interacción de las
condiciones experimentales con los bloques) se
convierte en una fuente de variación extra, es decir, el
efecto de la combinación de tratamientos por bloques
ha de añadirse a los efectos ya presentes en el
modelo.
..//..
En ausencia de interacción, se aplica el
modelo aditivo sin problema alguno. Ahora
bien, cuando los sujetos de un determinado
bloque responden a los tratamientos de
forma diferente a como responden los
sujetos de otro bloque, cabe la posibilidad
de una interacción de bloques por
tratamientos.
..//..
Puesto que, de otra parte, el modelo de la ecuación1 no refleja ese efecto combinado, y puesto que la
variabilidad de este componente no es absorbida ni
por la Suma de Cuadrados de tratamientos, ni por la
Suma de Cuadrados de bloques, el efecto
combinado pasa a engrosar el término de error. En
ese caso, el término de error no sólo contiene la
variabilidad debida al muestreo, sino también la
variabilidad debida al efecto de la interacción. Y
dado que con interacción se incrementa o sesga
positivamente el término de error, cabe esperar que
el valor F sea negativamente sesgado. De esta
forma, se incrementa la dificultad de detectar el
efecto de los tratamientos.
Diseños de bloques aleatorizados
(n=1)
Ejemplo práctico
Un investigador pretende estudiar la efectividad de tres
métodos distintos en la enseñanza de las matemáticas:
método tradicional (A1), método de programación (A2),
y método audio-visual (A3), para un determinado nivel
escolar. Desde la perspectiva experimental, el problema
podría resolverse formando tres grupos al azar de
sujetos, uno para cada método. Al finalizar el estudio,
se pide a los sujetos del experimento que resuelvan un
total de 10 problemas de cálculo matemático. La
resolución de esos problemas de matemáticas es una
medida de ejecución que evalúa la efectividad de los
métodos de enseñanza.
..//..
Ahora bien, como ocurre con la mayoría de
investigaciones del ámbito educativo, se
considera que el nivel intelectual de los
escolares es una probable variable extraña
capaz de contaminar los resultados del
experimento. Para controlar esa variable,
mediante la estructura de diseño, se elige un
diseño de bloques de grupos al azar.
Procedimiento
El experimento se resuelve de la siguiente forma:
en primer lugar, se forman 10 bloques con base a
los valores de la variable Cociente Intelectual (CI).
Cada bloque representa un determinado cociente
intelectual, lo cual requiere la selección previa de
los sujetos. Así, para cada valor de CI se eligen
tres sujetos o unidades del bloque. De esta forma,
la variación de los sujetos intra-bloque es menor
que la de todos los sujetos de la muestra.
En segundo lugar, las unidades de los
bloques se asignan al azar a los tratamientos
de modo que, dentro del bloque, cada sujeto
recibe un tratamiento distinto. Según este
procedimiento, sólo se dispone de un sujeto
por casilla o combinación de bloque por
tratamiento. Así, cada bloque constituye una
réplica entera del experimento.
Ilustración de la técnica de bloques
Variables
Bloques
Tratamientos
I
CI 94
II
CI 96
III
CI 98
IV
CI 100
A1
A1
A1
A1
A2
A2
A2
A2
A3
A3
A3
A3
X
..... CI 112
A1
.....
A2
A3
Modelo de prueba estadística
Paso 1. Se asume, por hipótesis de nulidad, que las
medias de los grupos experimentales proceden de una
misma población y que, por consiguiente, son iguales:
H0: µ1 = µ2 = µ3
Paso 2. En la hipótesis alternativa se especifica que,
por lo menos, hay una diferencia entre las medias de
los tres tratamientos. En términos estadísticos, se
tiene:
H1: por lo menos una desigualdad
Paso 3. Se elige, como prueba estadística, el
Análisis de la Variancia (ANOVA),
asumiendo el modelo aditivo y un nivel de
significación de  = 0.05.
Paso 4. Realizado el experimento, se
obtiene la matriz de datos del diseño. A
partir de estos datos, se calculan las
variancias para estimar el valor empírico de
F, asumiendo el modelo de aditividad.
DISEÑO DE BLOQUES (n=1)
N. Bloque
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TOTALES
MEDIAS
TRATAMIENTOS
A1
A2
A3
6
7
4
5
7
3
5
8
7
6
58
5.8
7
6
8
9
5
4
6
8
7
5
65
6.5
8
7
9
7
8
10
7
9
10
7
82
8.2
TOTAL POR BLOQUE
21
20
21
21
20
17
18
25
24
18
205
6.83
Modelo anova aditivo
Yijk = µ + j + ßk + ijk
se presupone que cada dato u observación (Yijk)
es una combinación aditiva de la media total
del experimento (µ), el efecto de un
determinado tratamiento (j), el efecto de un
bloque específico (ßk) y el componente de
error (ijk).
Cálculo de las Sumas de Cuadrados
En función del modelo estructural de análisis, se
divide la Suma de Cuadrados total en los
siguientes componentes aditivos: Suma de
Cuadrados de tratamientos, Suma de Cuadrados
de bloques y Suma de Cuadrados del error.
SCtotal = SCtrat. + SCbloq. + SCerror
SCtotal = [(6)² + (7)² + ... + (7)²] –
[(205)²/30] = 88.16
SCtrat. = [(58)²/10 + (65)²/10 + (82)²/10] –
[(205)²/30] = 30.47
SCbloq. = [(21)²/3 + (20)²/3 + ... + (18)²/3] –
[(205)²/30] = 19.50
SCerror = SCtotal - SCtrat. - SCbloq. = 88.16
- 30.47 - 19.5 = 38.19
CUADRO RESUMEN DEL AVAR: DISEÑO DE BLOQUES
(n=1)
F.V.
SC
g.l
CM
Trat (A)
Bloques (B)
Error (AxB)
30.47
(a-1)=2
15.23
19.50
(b-1)=9
2.16
38.19 (a-1)(b-1)=18
2.12
Total (T)
88.16
ab-1=29
F0.95(2/18) = 3.55; F0.95(9/18) = 2.46
F
p
7.18
1.02
<0.05
>0.05
Modelo de prueba estadística
Paso 5. Dado que el valor observado de F
es menor que el teórico, a un nivel de
significación de 0.05, se infiere que hay una
diferencia
significativa
entre
los
tratamientos. Por otra parte, es posible
probar la hipótesis sobre los bloques. ..//..
La hipótesis a probar, H0: ß1 = ß2 = ... = ß10,
tiene como término de contraste la variancia
del error. Del análisis se concluye la no
diferencia, estadísticamente hablando, entre
los bloques y se acepta, en consecuencia, la
hipótesis de nulidad.
Diseños de bloques aleatorizados
(n>1)
Ejemplo práctico
A partir del experimento descrito, a raíz del
diseño de bloques de un sólo sujeto por casilla,
considérese que hay tres sujetos por casilla.
Así, se tiene un total de nueve sujetos por
bloque y tres sujetos por tratamiento intrabloque.
Modelo de prueba estadística
Paso 1. Se definen tres hipótesis de nulidad
para los efectos de tratamientos, bloques e
interacción. En términos de efectos, esas
hipótesis de nulidad son:
H0: 1 = 2 = 3 = 0
H0: ß1 = ß2 = ... = ß10 = 0
H0: aß11 = aß12 = ... = aß310 = 0
Paso 2. La primera hipótesis alternativa
coincide con la hipótesis experimental o
hipótesis de efecto de tratamientos, la
segunda se refiere al efecto de la variable de
bloques y, por último, la tercera recoge el
efecto de la interacción entre tratamientos y
bloques. Las tres hipótesis alternativas
toman la misma expresión.
H1: por lo menos una desigualdad
Paso 3. La prueba estadística se basa en el
Análisis de la Variancia (F de Snedecor),
asumiendo el modelo estructural o de
efectos propuesto y un nivel de
significación de  = 0.05.
Paso 4. Realizado el experimento, se
obtiene la matriz de datos del diseño. Con
estos datos, se estiman las variancias para
calcular el valor empírico de F.
DISEÑO DE BLOQUES (n>1)
TRATAMIENTOS
A2
A3
N. Bloque
A1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6,5,3 (14)
7,5,4 (16)
3,5,4 (12)
6,5,5 (16)
7,5,8 (20)
5,3,4 (12)
6,4,5 (15)
7,6,9 (22)
6,8,7 (21)
7,6,7 (20)
168
TOTALES
6,7,5 (18)
5,6,5 (16)
7,6,7 (20)
8,7,9 (24)
5,4,7 (16)
5,6,4 (15)
7,6,5 (18)
8,7,9 (24)
6,9,6 (21)
5,6,4 (15)
187
7,6,9 (22)
7,4,6 (17)
9,10,7 (26)
7,8,6 (21)
9,10,7 (26)
10,9,8 (27)
8,6,5 (19)
9,10,7 (26)
8,10,9 (27)
6,8,7 (21)
232
TOTAL POR
BLOQUE
54
49
58
61
62
54
52
72
69
56
587
Modelo anova no aditivo
Yijk = µ + j + ßk + (ß)jk + ijk
donde Yijk es cualquier dato u observación del
experimento, µ la media total del experimento, j el
efecto de un determinado nivel de tratamiento, ßk el
efecto de un determinado bloque, (ß)jk el efecto
cruzado o efecto de la casilla, y ijk el error
experimental. Por lo general, este modelo es de
efectos fijos tanto para la variable de tratamiento
como para la variable de bloques.
Cálculo de las Sumas de Cuadrados
SCtotal = SCtrat. + SCbloq. + SCtrat.xbloq. + SCerror
SCtotal = [(6)² + (7)² + ... + (7)²] – [(587)²/90] =
276.46
SCtrat. = [(168)²/30 + (187)²/30 + (232)²/30] –
[(587)²/90] = 72.03
..//..
SCbloq. = [(54)²/9 + (49)²/9 + ... + (56)²/9] –
[(587)²/30] = 54.46
SCtrat.xbloq. = SCgrupos - SCtrat. - SCbloq. =
[(14)²/3 + (16)²/3 + ... + (21)²/3] –
[(587)²/90] – 72.03 – 54.46 = 61.97
SCerror = SCtotal – SCtrat. – SCbloq. –
SCtrat.xbloq. = 88.00
CUADRO RESUMEN DEL AVAR: DISEÑO DE BLOQUES
(n>1)
F.V.
Trat (A)
Bloques (B)
Inter (AxB)
Error (S/AxB)
Total (T)
SC
g.l
CM
72.03
(a-1)=2
36.01
54.46
(b-1)=9
6.05
61.97 (a-1)(b-1)=18
3.44
88
ab(n-1)=60
1.47
276.46
F
p
24.50
4.11
2.34
<0.05
<0.05
<0.05
abn-1=89
F0.95(2/60) = 4; F0.95(9/60) = 2.04; F0.95(18/60) = 1.786
Modelo de prueba estadística
Paso 5. Dado que los valores observados de F
son más grandes que los teóricos, al nivel de
significación de 0.05, se infiere la no-aceptación
de las tres hipótesis nulas y que, por tanto, son
significativos los efectos asociados a las
distintas fuentes de variación.
Fin diseños de bloques
Diseño de Cuadrado Latino
Diseño de Cuadrado Latino
El diseño de Cuadrado Latino es un plan
experimental donde cada tratamiento sólo aparece
una vez en cada fila y en cada columna.
Asimismo, el Cuadrado Latino siempre requiere,
por definición, tres dimensiones de variación a d
niveles cada una. Los Cuadrados Latinos se
representan tradicionalmente por tablas d x d, con
letras en las casillas para simbolizar los niveles de
la variable de tratamiento.
Según Dowley y Wearden (1991), los
diseños de Cuadrado Latino son formatos
económicos porque no requieren todas las
combinaciones posibles entre las tres
dimensiones de variación. Así, a título de
ejemplo, el formato de Cuadrado Latino 3 x
3 se representa en la tabla siguiente.
Formato del diseño de Cuadrado
Latino
V. de bloque C
V. de bloque B
A
B
C
B
C
A
C
A
B
Cuadrado Latino y bloques
Las filas (variable B) y las columnas (variable C) son
los valores de las variables de bloques o extrañas, y
las casillas los niveles de la variable de tratamiento
(variable A). Si el experimento se resolviera con un
diseño de doble bloqueo; es decir, con tres
dimensiones a tres niveles, se tendría un total de
3x3x3 = 27 casillas. Con el formato de Cuadrado
Latino, sólo se realiza un 1/d parte del total; es decir,
1/3(27) = 9 casillas. Se tiene, por lo tanto, un formato
más económico para probar el efecto de las distintas
dimensiones o variables.
Propiedades básicas
Con respecto al diseño de Cuadrado Latino,
hay que tener en cuenta dos aspectos básicos:
a) en primer lugar, como se ha indicado, cada
nivel o valor de la variable de tratamiento
(variable A), debe aparecer una y sólo una vez
en cada fila y columna; b) en segundo lugar, la
colocación de las letras dentro de las casillas
puede tomar varias formas asumiendo, como
es obvio, la condición anterior.
..//..
Cada disposición de Cuadrado Latino, 3x3, 4x4,
5x5, etc, tiene una o más formas estándar o
prototípicas. Según la forma estándar del
Cuadrado Latino, las letras de la primera fila y la
primera columna siguen el orden natural (el
Cuadrado Latino 3x3 representado en la tabla es
estándar). El Cuadrado Latino 3x3 tiene una forma
estándar, pero a medida el orden del cuadrado es
mayor se tiene más de un formato estándar. A
partir de las formas estándar, mediante
intercambio de filas y columnas, se obtienen las
formas derivadas.
..//..
Así, el formato cuadrado 3x3 tiene una forma
estándar, y (3!)(2!) - 1 = 11 formas derivadas. El
total de Cuadrados Latinos de orden 3x3 son 12
(una estándar y 11 derivadas). El formato
cuadrado 4x4 tiene cuatro formas estándar, cada
una de las cuales genera (4!)(3!) - 1 = 143 forma
derivadas. El total de disposiciones cuadradas 4x4
es de 4(144) = 576 Cuadrados Latinos. A medida
que se aumenta el tamaño de la dimensión, se
dispara la cantidad de posibles formatos. Las
principales formas estándar de los Cuadrados
Latinos se encuentran en tablas publicadas Fisher
y Yates (1953), y Cochran y Cox (1957).
Cuadrado Latino 3 x 3
Formato estándar o prototípico
A
B
C
B
C
A
C
A
C
Formatos derivados del estándar: (3!)(2!) = 11
Total de formatos 3 x 3, incluyendo la prototípica: 11 + 1 = 12
Cuadrado Latino 4 x 4
Formatos estándares o prototípicos
(1)
(2)
A B C D
A B C D
A
B C D A
B D A C
B
C D A B
C A D B
C
D A B C
D C B A
D
(3)
B C
A D
D A
C B
D
C
B
A
A
B
C
D
(4)
B C
A D
D B
C A
D
C
A
B
Formatos derivados de cada uno de los estándares:
(1): (4!)(3!) – 1 = 143
(2): (4!)(3!) – 1 = 143
(3): (4!)(3!) – 1 = 143
(4): (4!)(3!) – 1 = 143
Total de formatos 4 x 4, incluyendo los prototípicos: 4 x 144=
576
Ejemplo práctico
Supóngase, por ejemplo, que un investigador
estudia el efecto de la longitud de lista sobre la
memoria de recuerdo, con la técnica de pares
asociados; es decir, con listas de palabras
asociadas al número uno o dos. Estas listas varían
en longitud, de modo que la primera lista tiene
cuatro palabras (condición A1), la segunda seis
palabras (condición A2), y la tercera ocho palabras
(condición A3). Se trata de contabilizar la cantidad
lecturas requeridas por el sujeto para conseguir
asociar correctamente los dígitos a las palabras
correspondientes.
..//..
Según este procedimiento, cada sujeto
realiza una lectura de la lista de pares
asociados o lista de recuerdo y a
continuación recibe la misma lista o lista de
prueba sin dígitos. La tarea del sujeto
consiste en asociar el dígito uno o el dos a
las palabras de la lista. Se prosiguen las
lecturas y las pruebas hasta que el sujeto
logra asociar correctamente todos los
dígitos.
Experimento en Cuadrado Latino
Dadas las especiales características del experimento, el
investigador considera oportuno controlar dos
potenciales variables extrañas, para extraer su efecto del
error experimental. Estas variables son nivel de
ansiedad del sujeto (variable B), y fatiga física o
momento del día en que ejecuta el experimento
(variable C). Se pretende, mediante la aplicación del
diseño de Cuadrado Latino, controlar esas dos fuentes
extrañas por su implicación en la variable de respuesta.
Asimismo, debido a la dificultad de encontrar sujetos
con características ansiógenas similares, se ha
desestimado resolver el problema mediante la técnica de
doble bloqueo completo.
..//..
El formato de Cuadrado Latino requiere la
selección de tres niveles de variable B, ansiedad
baja (B1), ansiedad media (B2) y ansiedad alta
(B3), y tres niveles de la variable fatiga física,
mañana (C1), tarde (C2) y noche (C3). Puesto que
se trata de un diseño con un sujeto por casilla y
con formato cuadrado 3x3, hay un total de d² = 9
sujetos (siendo d la cantidad de valores por
dimensión).
Modelo de prueba estadística
Paso 1. Se especifican las hipótesis de nulidad. La
hipótesis principal recoge el efecto de los
tratamientos, y las hipótesis secundarias los efectos
de filas y columnas.
Hipótesis principal
H0: 1 = 2 = 3 = 0
Hipótesis secundarias
H0: ß1 = ß2 = ß3 = 0
H0: 1 = 2 = 3 = 0
Paso 2. La primera hipótesis alternativa está
asociada a la hipótesis experimental o
hipótesis sobre los tratamientos, y las dos
hipótesis alternativas están asociadas a los
efectos
de
filas
y
columnas,
respectivamente. Estas tres hipótesis
alternativas tienen la misma expresión.
H1: por lo menos una desigualdad
Paso 3. La prueba estadística se basa en el
Análisis de la Variancia (F de Snedecor),
asumiendo el modelo aditivo y un nivel de
significación de 0.05.
Paso 4. Terminado el experimento, se
obtiene la correspondiente matriz de datos.
De estos datos, se estiman las variancias
para el cálculo del valor empírico de F.
Matriz de datos del diseño de
Cuadrado Latino 3 x 3
C1
C2
C3
Totales
B1
(A1) 6
(A2) 10
(A3) 15
31
B2
(A3) 17
(A1) 6
(A2) 12
35
B3
(A2) 15
(A3) 18
(A1) 7
40
38
34
34
106
Totales:
Modelo anova
El modelo aditivo del diseño Cuadrado Latino es:
Yijk = µ + i + ßj + k + ijk
donde Yijk es cualquier dato de la matriz, µ constante o
media global del experimento, i el efecto del i
tratamiento, ßj el efecto de la j fila, k el efecto de la k
columna, y ijk el error experimental o de muestreo. Se
asume que el error tiene una distribución independiente
y normal con media cero y variancia constante (s²). La
aplicación correcta del modelo requiere, también, asumir
la no presencia de interacciones entre i y ßj, i y k, y
entre ßj y k; es decir, se asume que (ß)ij = 0, ()ik = 0,
y (ß)jk = 0.
Cálculo de las Sumas de Cuadrados
Según el modelo estructural propuesto, la
Suma de Cuadrados total se divide en: Suma
de Cuadrados de tratamientos, Suma de
Cuadrados de filas, Suma de Cuadrados de
columnas, y Suma de Cuadrados del error.
SCtotal = SCtrat. + SCfilas + SCcolum. + SCerror
SCtotal = (6)² + (17)² + ... + (7)² - (106)²/9 =
179.56
..//..
El cálculo de las Sumas de Cuadrados de
tratamientos (Variable A) requiere, como
paso previo, la agrupación de los distintos
valores de la matriz por cada tratamiento.
Tratamiento A1 = 6 + 6 + 7 = 19
Tratamiento A2 = 10 + 12 + 15 = 37
Tratamiento A3 = 15 + 17 + 18 = 50 ..//..
De esos totales se deriva la variación de los
tratamiento.
SCtrat. = [(19)²/3 + (37)²/3 + (50)²/3] (106)²/9 = 161.55
SCfilas = [(31)²/3 + (35)²/3 + (40)²/3] (106)²/9 = 13.55
SCcolum. = [(38)²/3 + (34)²/3 + (34)²/3] (106)²/9 = 3.55
SCerror = SCtotal - SCtrat. - SCfilas - SCcolum. =
0.91
Resultado del anova
Cuadro resumen del ANOVA: diseño Cuadrado Latino 3x3
F.V.
SC
g.l.
CM
F
p
Tratamientos(A) 161.55
(d -1) = 2 80.77 179.49 < 0.01
Filas(B)
13.55
(d -1) = 2
6.77 15.04 > 0.05
Columnas(C)
3.55
(d -1) = 2 1.77 3.93 > 0.05
Error(residual)
0.91 (d -1)(d -2) = 2 0.45
Total
179.56
d²- 1 = 8
F0.95(2/2) = 19; F0.95(2/2) = 99
Modelo de prueba estadística
Paso 5. De los resultados del análisis se
infiere que el efecto de los tratamientos es
muy significativo, con probabilidad de error
del uno por ciento. En cuanto a las variables
extrañas, tanto el efecto de filas como el de
columnas no son significativos al 5% y se
aceptan las hipótesis de nulidad.
Diseños jerárquico o anidado
Diseño anidado o jerárquico
El diseño anidado, conocido también por diseño
jerárquico, es un formato de investigación
frecuentemente utilizado en ámbitos educativos,
sociales y clínicos aplicados. Inicialmente, recibió el
nombre de diseño de grupos intra-tratamientos, dado
que los grupos se anidan dentro de los distintos
valores de la variable de tratamiento. Así, los distintos
grupos son asignados a los niveles de la variable
independiente, no dándose una relación de
combinación entre la variable de grupos y la variable
de tratamiento.
..//..
En otras palabras, los valores de la variable
de grupos no se repiten para los valores de
la variable de tratamiento. Definida la
estructura de anidación de los grupos intra
tratamientos, de cada grupo se eligen al azar
los sujetos experimentales
Formato del diseño jerárquico
Representación gráfica del diseño jerárquico simple.
Tratamientos
A1
Grupos anidados
intra-tratamientos G1(1) G2(2) G3(3)
Sujetos
intra-grupos
A2
G4(1) G5(2) G6(3)
S1
S1
S1
S1
S1
S1
S2
.
.
Sn
S2
.
.
Sn
S2
.
.
Sn
S2
.
.
Sn
S2
.
.
Sn
S2
.
.
Sn
Diseño jerárquico al azar
A1
A2
A3
B1(1) B2(2) B3(3) B4(1) B5(2) B6(3) B7(1) B8(2) B9(3)
G1
G2
G3
G4
G5
G6
G7
G8
G9
Sujetos
Sujetos
Sujetos
Sujetos
Sujetos
Sujetos
Sujetos
Sujetos
Sujetos
Ventajas
Desde el punto de vista práctico, esta estructura de
diseño permite estimar el efecto de los grupos; es
decir, el posible efecto social o institucional que el
grupo ejerce sobre el individuo. La pertenencia a un
grupo determinado (aula, centro, barrio, etc.) es capaz
determinar, en muchos casos, la actuación de los
individuos. De ahí, la ventaja de los diseños
jerárquicos ya que se introduce en el modelo ese
posible efecto y, por esa razón, se controla.
Fuentes de variación del diseño
1. La variación de los tratamientos o niveles de la
variable independiente (A).
2. La variación de los grupos o variable anidada
(B). Téngase en cuenta que la especial
composición del grupo puede afectar a la
variabilidad de las unidades y los datos.
3. Por último, la variación de las diferencias
individuales es una fuente residual y determina la
variación del error.
Clasificación
De un nivel
Diseño
jerárquico
De dos o más niveles
Caso paramétrico. Ejemplo
Se pretende estudiar la eficacia de tres métodos
distintos de comprensión verbal, en escolares de
primer nivel de enseñanza básica. A tal propósito,
se eligen los tres métodos siguientes: método
tradicional (A1), audio-visual (A2) y economía de
fichas (A3). Para ejecutar el experimento, se
obtienen muestras aleatorias de n = 6 sujetos de
seis escuelas diferentes con idéntico nivel escolar.
..//..
Al mismo tiempo, se pretende controlar el
posible efecto institucional de la escuela
sobre los individuos. Finalizada la
experiencia, se aplica a los escolares una
prueba de comprensión verbal de 40 ítems.
Modelo de prueba estadística
Paso 1. En términos de efectos de la variable
de tratamiento, se asume su
nulidad.
Es
decir, asume que los tres efectos son cero:
H0: 1 = 2 = 3 = 0
La hipótesis secundaria relativa al factor
anidado se expresa por:
H0: ß1 = ß2 = ß3 = ß4 = ß5 = ß6 = 0
Paso 2. La hipótesis alternativa, asociada a
la hipótesis experimental, especifica que
hay al menos una diferencia o desigualdad
entre los tres niveles de tratamiento.
H1: por lo menos una desigualdad
Esta hipótesis es común tanto para la
variable de tratamientos como para la
variable de grupos.
Paso 3. La prueba estadística es el Análisis
de la Variancia (estadístico F), con modelo
aditivo y nivel de significación de  = 0.05.
Paso 4. De la ejecución del experimento, se
obtienen la correspondiente la matriz de
datos. Con estos datos se estiman las
variancias y se computan los valores
empíricos de las F correspondientes a las
hipótesis nulas planteadas.
Datos del experimento
Matriz de datos del diseño jerárquico simple
Tratamientos A1
A2
A3
Grupos
G1(1) G2(2) G3(1) G4(2) G5(1) G6(2)
S
u
j
e
t
o
1
2
3
4
5
6
6
14
20
13
10
18
10
25
11
18
16
21
11
16
19
24
30
29
31
19
27
24
27
28
14
25
35
20
34
40
18
35
37
38
29
33
Totales: 81
101
156
129
168
190
825
Modelo ANOVA del diseño
Yijk = µ + j + ßk/j + ij
Yijk = cualquier observación o dato del
experimento.
µ = la constante o media total del experimento.
j = el efecto de un determinado nivel jota de la
variable de tratamiento.
ßk/j = el efecto del k nivel del factor de grupos o
factor anidado de carácter aleatorio y se asume
que tiene una distribución normal e independiente
con media cero y variancia constante (s²ß).
ijk = la variable aleatoria de error que se asume es
independiente y normalmente distribuida con
media cero y variancia constante (s²).
Descomposición de las Sumas de
Cuadrados del ANOVA
SCtotal = SCgrupos + SCintra-grupos
Según esa primera descomposición, la variable de
grupos está formada por ab grupos (siendo a la
cantidad de tratamientos, y b la cantidad de grupos por
tratamiento). Nótese que la variación total se divide en
dos grandes fuentes, la variación entre grupos (B) y la
variación intra-grupos. A su vez, la variabilidad
asociada a los grupos se divide en: variabilidad entre
los tratamientos (A) y variabilidad de los grupos intra
niveles de A.
..//..
Sumas de Cuadrados del ANOVA
SCgrupos = SCA + SCB/A
Así, se consigue la estructura definitiva del
diseño:
SCtotal = SCA + SCB/A + SCS/B/A
Cálculo de las Sumas de cuadrados
SCtotal = (6)² + (14)²+ ... + (33)² - (825)²/36 =
2877.75
SCgrupos = [(81)²/6 + (101)²/6 + ... + (190)²/6] –
(825)²/36 = 1437.58
SCerror = (6)² + (14)² + ... + (33)² - [(81)²/6 +
(101)²/6 + ... + (190)²/6] = 1440.17
Cálculo de las Sumas de
cuadrados
SCtrat. = [(81+101)²/12 + ... +
(168+190)²/12] - (825)²/36 =
1303.17
SCgrupos/trat. = SCgrupos - SCtrat. =
[(81)² + (191)² + ... + (190)²]/6
- [(81+101)²/12 + (129+156)²/12
+ (168+190)²/12] = 134.41
Resultado del ANOVA
Diseño jerárquico simple
F.V.
SC
g.l. CM
F
p
Entre grupos
1437.58 5
Tratamientos (A) 1303.17 2 651.59 14.54 <0.05
Grupos intra (B/A) 134.41
3 44.80
0.93 >0.05
Error (S/B/A)
1440.17 30 48.01
Total
2877.75
35
F0.95(2/3) = 9.55; F0.95(3/30) = 2.92
Hipótesis de nulidad del diseño
Términos de contraste o denominadores de las
razones F de las pruebas de las hipótesis de
nulidad del experimento
F.V.
F
F0.95
Entre tratamientos CMA/CMB/A = 14.54
Entre grup. intra A CMB/A/CMS/B/A = 0.93
9.55
2.92
Modelo de prueba estadística
Paso 5. Del resultado del análisis de del
diseño anidado o jerárquico de un solo factor,
se concluye la no-aceptación de la hipótesis de
nulidad para la variable de tratamiento y sí, en
cambio, para la variable de grupos.
Fin del tema VI
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