Universidad Nacional de Ingniería
DIDÁCTICA BASADA EN LA
ACTIVIDAD CONTEXTUALIZADA DE
LA MATEMÁTCIA
Maestro
Julio Rito Vargas Avilés
UNI-Norte, Estelí – Nicaragua / 2009
ACTIVIDAD
MATEMÁTICA
Creación
de Métodos
Planteamiento y
Verificación de
Conjeturas
Resolución
de Problemas
Capacidad
de Abstracción
EN
CONTEXTO
Utilización de
Herramientas
Vocabulario, conceptos,
propiedades, teoremas,
métodos
Actividad Matemática
Tiene como eje central la RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS.
En esta actividad el alumno debe crear y
aplicar métodos y utilizar herramientas que le
permitan resolver el problema al que se enfrenta.
Durante este proceso transita por el
planteamiento y la contrastación de conjeturas, el
control y verificación de resultados y; en forma
paralela, por la adquisición de conceptos,
propiedades, teoremas, métodos, técnicas y
vocabulario formal (no extenso pero si rico y claro)
Necesidad de la matemática
Necesidad de contar
Necesidad de la matemática
El siguiente problema tiene una particularidad: en apariencia, parece un acertijo. Pero
no lo es. El problema tiene una lógica impecable. Puede que no sea sencillo, pero si
uno se dedica a pensarlo seguro que lo resuelve. Podrás no tener ganas ni disponer de
tiempo, pero no me queda duda de que se presenta un desafío que cualquier persona
puede enfrentar.
Aquí va:
"Se denunció el robo de dinero y la policía detuvo a cuatro sopechosos. Los cuatro
fueron interrogados, y se sabe que uno solo dijo la verdad. El problema consiste en leer
lo que dijo cada uno, y encontrar razones que demuestren quién fue el que dijo la
verdad, o sea, encontrar al único que no mintió.
El sospechoso número 1 dijo que él no robó el dinero. (f)
El sospechoso número 2 dijo que el número 1 mentía.(v)
El sospechoso número 3 dijo que el número 2 mentía. (f)
El sospechoso número 4 dijo que el número 2 fue quien robó el dinero“ (f)
Les propongo resolverlo tomarse su tiempo, pues no necesitan sentarse a pensar, solo
deben pensar el problema estando en cualquier lugar y hora.
El Objetivo de la Educación Matemática
Desarrollar la capacidad de abstracción en
los alumnos.
Esto implica propiciar las condiciones para
realizar
un
pensamiento
reflexivo,
independiente, crítico y capaz de acceder a lo
mejor de la cultura y del conocimiento
universal.
¿Por qué la necesidad de un contexto?
La mente busca, de forma natural,
el significado en el contexto (ámbito
donde la persona se encuentra) y lo
hace buscando relaciones que tengan
sentido y le parezcan útiles.
¿Dónde encontrar contextos
adecuados en Matemática?
Antecedentes Generales
En EEUU, se ha desarrollado un
movimiento que lidera el proceso de
reforma educativa llamado Tech Prep,
orientado a apoyar a los alumnos cuyos
estilos de aprendizaje no responden a las
formas abstractas de la enseñanza.
Según investigaciones, este grupo
corresponde a aproximadamente un 65%
de los estudiantes (algunos lo denominan
la mayoría olvidada)
Objetivo de la Enseñanza
Contextualizada
La enseñanza contextual, sin perder
el rigor académico, introduce ejemplos
y actividades del mundo real con
aplicaciones
y
problemas
que
mantienen
ocupados
al
alumno
acercando los contenidos de la
disciplina al ambiente de la vida y/o del
mundo laboral.
La enseñanza contextualizada, no
pretende que la matemática y las
ciencias que se enseñan sean más
fáciles y de menor nivel; sino se
procura que sean más fáciles de
aprender sin disminuir su rigor
científico.
Enfoque Contextual de
Aprendizaje-Enseñanza
El aprendizaje tiene lugar sólo cuando el
alumno procesa información y conocimiento
nuevo, de tal manera que les da sentido en
su marco de referencia (su propio mundo
interno
de
memoria,
experiencia
y
respuesta).
La mente busca, de forma
natural, el significado en el contexto y que lo
hace buscando relaciones que tengan
sentido y parezcan útiles.
Estrategia REACT
Relación
Experiencia
Aplicación
Cooperación
Transferencia
RELACIÓN
Aprender en contexto de las experiencias
de la vida.
Al intentar poner el aprendizaje en
contexto de las experiencias de la vida, se
debe, en primer lugar, llamar la atención del
alumno hacia los eventos, situaciones y
percepciones diarias.
El alumno debe entonces relacionar las
situaciones diarias con la información nueva
a ser absorbida o con un problema.
Ejemplo: Aritmética-Algebra
EXPERIMENTACIÓN
Aprender en contexto de la exploración, del
descubrimiento y/o de la invención.
Los alumnos parecen aprender más
rápidamente cuando manipulan equipos y
materiales y llevan a cabo formas activas de
investigación.
El objetivo no es capacitar alumnos para
realizar trabajos específicos, sino permitirles
experimentar
actividades
que
están
directamente relacionados con la variedad de
trabajos que hay en la realidad.
APLICACIÓN
Aplicar conceptos e información en
un contexto útil.
Esta aplicación puede ayudar a que
el alumno se proyecte imaginariamente
hacia su futuro, ya sea pensando en
una posible carrera o en un trabajo
que, hoy por hoy, pueda ser
desconocido.
COOPERACIÓN
Aprender en contexto de compartir,
interactuar y comunicarse con otros
alumnos.
La experiencia del trabajo cooperativo no
solo ayuda a los alumnos a aprender los
temas, sino que también permite a los
alumnos compartir libremente información,
desarrolla habilidades para organizar,
delegar, sugerir, es decir, aprenden a
trabajar en equipos.
TRANSFERENCIA
Aprender usando el conocimiento
que ya tiene el alumno en un nuevo
contexto o una nueva situación.
Como profesores, podemos ayudar a
nuestros alumnos a ganar confianza si
hacemos un hábito en nuestra tarea
docente,
el
construir
nuevas
experiencias de aprendizaje sobre lo
que nuestros alumnos ya conocen.
En resumen, el desafío de la tarea
docente en el mundo de hoy consiste en
facilitar el aprendizaje de los alumnos
para que los mismos aprendan en forma
más eficiente. Para lograr esto, los
docentes deberán crear condiciones,
ámbitos o atmósferas de aprendizaje
conforme a las estrategias antes
mencionadas.
La Estrategia REACT implica que
el profesor deberá presentar problemas
relacionados con un contexto conocido por el
alumno, para que al trabajar experimentando
cooperativamente, resuelva dichos problemas,
aprenda y aplique lo aprendido y esté en
condiciones
de
transferir
los
nuevos
conocimientos aprendidos a otros contextos
útiles en su vida.
Los números: Etapas
Los niños
aprenden los
números desde el
preescolar en
forma concretasemiconcretaabstracta
1
1
1
1
Los números: Etapas
Los niños
aprenden los
números desde el
preescolar en
forma concretasemiconcretaabstracta.
2
2
2
2
Los números: Etapas
Los niños
aprenden los
números desde el
preescolar en
forma concreta,
semi-concretaABSTRACTA
3
3
3
Conjunto números Naturales N={0, 1, 2, 3, ...}
Si x=7
Si x=19
Si x=0
No hay elemento en N
a) 7x + 5 = 12
b) 19
x + 11 = 30
c) 0x + 7 = 7
d) x + 12 = 5
Conjunto enteros Z = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
a) 2x + 25 = 27
d) 6x - 6 = 0
b) 16x + 4 = 20
e) -3
x+4=1
c) 11
x -7 = 4
f)
4x = 34
?
Sumas de Números enteros
positivos y negativos
Tomando en cuenta los siguientes
ejemplos:
+1 + -1
=
0
-1
0
1
analicemos un ejemplo :
- 5 + 3 =- 2
-1
+ +1
= 0
-1
+ +1
=
0
-1
+ +1
=
0
-1
-1
¿Cuántas sobran?
-2
Analicemos otro ejemplo:
- 5 - 6= (- 5)+(- 6) = - 11
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-12 -11-10 -9 -8 -7
=-1
-6 -5 -4 -3 -2
-1 0
¿ cuantos (-1) tenemos en total?
1
2
11
Realiza los siguientes ejercicios
utilizando los cubos de color
 -9 + 12=
 7 – 15=
 - 5 – 6=
 15 – 19=
 -18+21=
 -6 +9 -11 +8 =
El tratamiento didáctico de la ley de los signos
en la multiplicación.
+ : comprar TV
- : no comprar TV
+ : TV comprado es bueno
- : TV comprado es defectuoso
+ : Decisión es afortunada
- : Decisión fue desafortunada
Si una persona debe
comprar 4 tv 5 veces al año
y toma la decisión no
comprar por que eran
defectuoso.
(-4) . (-5) = +20 decisiones
correctas.
El tratamiento didáctico de la ley de los signos
en la multiplicación.
(+) . (+) = (+) Comprar Tv y que resulte bueno es una decisión afortunada.
(+) . (-) =. (-) Comprar Tv y que resulte defectuoso es una decisión desafortunada
(-) . (+) = (+) No Comprar Tv y que resulte bueno es una decisión desafortunada
(-) . (-) = (+) No Comprar Tv y que resulte defectuosa es una decisión afortunada.
El tratamiento didáctico de la ley de los signos
en la multiplicación.
Común mente los niños confunden la ley de los signos de la multiplicación
en la suma.
(+4) + (-9) = (-5) bajo la lógica (+) . (-) = (-)
(+9) + (-5) = (-4)
(+4) +(+6) = (+10)
(-4) +(-6) = (+10)
Asociar + con tener una cantidad
(ejemplo dinero) y el – asociarlo a
deuda. Eso ayuda a visualizar mejor,
para entender los singos.
Problemas
Conjunto números racionales Q ={a/b|a,bZ}
Un padre de familia tiene dos
hijos y quiere repartir C$1
en partes iguales.
Q
Z
N
C $a
2 hijos
C $1
2 hijos

C $a
b hijos

a
b

1
 0 .5
2
En general
Fracciones, Razones y Proporcions
Como entender los conceptos de fracción,
razón y proporción así como los métodos
abordados
para
su
enseñanza
y
aprendizaje.
¿Qué son para mí la fracción, la razón y
proporción?. ¿En que se diferencian? ¿En que se
relacionan? ¿Qué es un factor de conversión?
Fracciones, Razones y Proporcions
Los profesores tendemos a enseñar la fracción
en un contexto de operación numérica,
desligada de otras nociones al concepto de
fracción, en especial del concepto de razón y al
de proporción. Ello obstaculiza la transferencia
del concepto a otros contextos no matemáticos,
como la química, la física, la geografía,
historia, ciencias naturales
Fracciones, Razones y Proporcions
El concepto matemático de fracción corresponde a la idea
intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales; por ejemplo,
tres cuarto de hora o tres cuarto de un pastel. Tres cuartos de
hora no son, evidentemente, la misma cosa que las tres cuartas
partes de un pastel, pero se “calculan” de la misma manera:
dividiendo la totalidad (una hora, o el pastel) en cuatro partes
iguales y tomando luego tres de esas partes. Por esta razón, en
ambos casos, se habla de dividir dicha unidad (una hora, un
pastel, etc.) en 4 partes iguales y tomar luego 3 de dichas
partes.
3
4
Fracciones, Razones y Proporcions
Una fracción se representa matemáticamente por números que están escritos
uno sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal
llamada raya fraccionaria.
5
8
La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador.
El numerador es el número que está sobre la raya fraccionaria y el
denominador es el que está bajo la raya fraccionaria.
Numerador
5
Denominador
8
Fracciones, Razones y Proporcions
TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN
El Numerador indica el número de partes iguales que se han
tomado o considerado de un entero. El Denominador indica el
número de partes iguales en que se ha dividido un entero.
Por ejemplo, la fracción 5/8 (se lee cinco octavo) tiene como
numerador al 5 y como denominador al 8. El numerador
significa que se han considerado 5 partes de un total de 8 partes
en que se dividió el entero o el todo.
La fracción 1/6 (se lee un sexto) tiene como numerador al 1 y
como denominador al 6. El numerador indica que se ha
considerado 1 parte de un total de 7 (el denominador indica que
el entero se dividió en 7 partes iguales)
Fracciones, Razones y Proporcions
REAFIRMANDO EL CONCEPTO DE FRACCIÓN
Podemos finalizar diciendo que:
Una fracción es el cociente de dos números enteros. Este cociente se deja
indicado, sin hacer la división.
2

3
6

9
5
6

8
1
3
Fracciones equivalentes
 ...
12

5
6

2
6

3
6

1
2
Son útiles para simplificar cálculo
Fracciones, Razones y Proporcions
Una razón es una manera de comparar dos magnitudes.
En términos generales, una RAZÓN informa la
comparación por división de dos números o de las
medidas de dos cantidades. (razones geométricas)
a
b
o a:b o a es a b o para cada a hay b
Hay varias maneras de escribir una razón: como
fracción, o usando “:” o la palara “es a”, o “por cada”
entre los valores o magnitudes que se comparan
Fracciones, Razones y Proporcions
Una aula tiene 10 muchachos y 20 muchachas..
Decimos. Por cada muchacho hay dos muchachas.
También es válido decir “Hay un muchacho por cada
tres alumnos”
10 muchachos

20 muchachas
10 muchachos
30 alumn(o)as
10

20

10
30
1
2

Un muchacho es a 2 muchachas
1:2
1
Un muchacho en cada tres
3
alunmo(a)s 1:3
Fracciones, Razones y Proporcions
Pueden ver que
hay
treinta
alumnos.
10
muchachos y 20
muchachas y se
pueden formar
10 grupos de 3
alumnos. Con
un muchacho y
dos muchachas.
Fracciones, Razones y Proporcions
Qué es una proporción: En una proporción intervienen dos
razones. Si el cociente de ambas razones da el mismo
resultado numérico
entonces esa igualdad
se llama
proporción.
Como se escriben y lee las proporciones?
a

b
1 min
60 seg
c
 k
d

a : b :: c : d
7 min
1 km
420 seg
1000 mts

67 kms
x mts
Fracciones, Razones y Proporcions
1. Si por una libra de harina se hacen 10 panecillos, con 100
libras cuantos panecillos se harán?
2. Un auto recorre 240 kms en cuatro horas a velocidad
constante. Otro auto viaja en la misma dirección que el
anterior por 5 horas,, cuantos kms ha recorrido en ese
tiempo?
3. La Lic. Grisel ha asignado a sus alumnos la elaboración
del plano de un terreno rectangular que tiene (10x30) 300
mts cuadrados y les ha pedido que usen una escala de 1
cm2 por cada 2 mts2.. Qué área tendrá el dibujo en cm2.?
Fracciones, Razones y Proporcions
1. La Lic. Grisel ha asignado a sus alumnos la elaboración
del plano de un terreno rectangular que tiene (10x30) 300
mts cuadrados y les ha pedido que usen una escala de 1
cm2 por cada 10 mts2.. Qué área tendrá el dibujo en cm2.?
1
cm2
3mts
1 cm
2
10 m
2

x cm
300
2
m
2
x 
300
10
 30 cm
2
3.33 mts
10 mts2
Problemas didácticos con los números decimales
Ciertos aprendizajes pueden convertirse en obstáculos epistemológico para
futuros aprendizajes. En particular analizaremos la didáctica de los números
decimales racionales y plantearemos sugerencias didácticas para lograr
superarlas.
3.5 < 3.46
Problemas didácticos con los números decimales
0.1 < 0.09
Problemas didácticos con los números decimales
Steinle (2004) encontró que los dos principales comportamientos
incorrectos exhibidos por los estudiantes al comparar números decimales
son:
• Más largo es mayor (comportamiento L)
• Seleccionar como mayor el decimal que tenga un mayor número de
dígitos después del punto decimal.
• Más corto es mayor (comportamiento S)
• Seleccionar como mayor el decimal que tenga un menor número de
dígitos después del punto decimal.
Problemas didácticos con los números decimales
Steinle (2004) logró detectar algunas causas de los errores cometidos por
los estudiantes al comparar decimales. Por ejemplo, estudiantes que
seleccionaron 0.3 como mayor que 0.4 utilizaron:
• Pensamiento recíproco
Debido a la identificación de 0.3 con 1/3 y 0.4 con 1/4. Ellos conocían del
estudio de fracciones que 1/3 > 1/4 y que por lo tanto 0.3 > 0.4
• Pensamiento negativo
Al confundir los decimales con los números negativos.Como -3>-4
entonces 0.3> 0.4
La explicación
Problemas didácticos con los números decimales
La explicación más generalizada dada por los estudiantes que
exhibieron
un
pensamiento
correspondiente
al
comportamiento S que lograron comparar correctamente pero
que seleccionaron incorrectamente es que cualquier número
con un decimal tiene que ser mayor que cualquier número con
dos decimales pues los décimos son mayores que los
centésimos, es decir, 3 décimos en 4.3 es mayor que 65
centésimos en 4.65. Esta conexión descuidada de los
decimales con el sistema métrico decimal puede conducir a
estas concepciones inadecuadas
Problemas didácticos con los números decimales
Por otro lado, el comportamiento L se debe a una
generalización inapropiada de las propiedades de los números
naturales. Así por ejemplo, 0.3425>0.751 porque 3425>751,
es decir, si eliminamos el 0. en ambos números entonces
podemos comparar los decimales como si fueran enteros. Esto
también se presta a comparaciones correctas pero utilizando
razonamiento incorrecto como 0.0071<0.123 porque (los ceros
antes del 7 no son significativos).
Problemas didácticos con los números decimales
Otro tipo de obstáculo ocurre al utilizar conocimientos que son
verdaderos con los números enteros y generalizarlos
equivocadamente con los decimales. Respecto a la densidad de
los números, sabemos que no existe un número entero entre
dos enteros consecutivos, por ejemplo entre 3 y 4. Algunos
estudiantes consideran que no existe ningún número entre dos
decimales aparentemente consecutivos como por ejemplo 0.3
y 0.4.
Situación
Biblioteca
2.6 kilómetros
casa
6.45 metros
Sala de clase
2.606 kilómetros
Números decimales
En nuestro sistema de
numeración,
las
distintas unidades se
forman por agrupación
de 10 unidades del
orden
inmediato
inferior.
Números decimales
Números decimales
0
Números decimales
0
Números decimales
0
Números decimales
0
Números decimales
0
Números decimales
0
Números decimales
0
Intenta probar lo siguiente: “Si sumas 3 números
consecutivos cualquiera, siempre obtienes un número
múltiplo de tres”
Sean n+1, n+2, n+3 los tres números.
( n+1)+ (n+2)+(n+3) = (n+n+n) + (1+2+3)
= 3n + 3
= 3(n+1) uno de los dos factores es 3,
por lo que la suma de tres consecutivos siempre será siempre
múltiplo de 3.
Intenta probar esta afirmación: “Cuando elevas un número
impar al cuadrado, el resultado es siempre un número
impar”
Sea (2n + 1) un número impar, donde n es algún número entero.
(2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1
= 2 (2n2 + 2n) + 1 Donde (2n2 + 2n)
es algún numero entero k
=2k + 1
Entonces (2n + 1)2 es un número impar
Demuestra la siguiente propiedad utilizando los datos dados:
“Si sumas tres números pares consecutivos, el resultado es siempre
múltiplo de 6”
Datos: 2n, (2n + 2), (2n + 4) son números pares consecutivos.
2n + (2n + 2), (2n + 4) = (2n + 2n + 2n )+ (2+ 4)
2n + (2n + 2), (2n + 4) = 6n+ 6
2n + (2n + 2), (2n + 4) = 6(n+1) como puede verse el resultado es el
producto de dos números 6 y (n+1), que obviamente será siempre divisible
por 6.
Una empresa ha previsto que desde el momento de su funcionamiento, que
las ganancias en millones de córdobas vendrán dadas por la función y = 2x –
4. Dibuja la gráfica y determina los intervalos en los que tiene pérdidas o
ganancias durante los próximos 10 años.
Solución:
-Representamos gráficamente el modelo
,matemático y analizamos el gráfico.
x
0
2
4
6
8
10
y
-4
0
4
8
12
16
2
Una empresa ha previsto que desde el momento de su funciona las
ganancias en millones de euros vendrán dadas por la función y = 2x – 4.
Dibuja la gráfica y determina los intervalos en los que tiene pérdidas o
ganancias durante los próximos 10 años.
Solución:
-Representamos gráficamente el modelo
,matemático y analizamos el gráfico.
-Observamos que en el [0,2] años hay
pérdida que van de [-4,0] y que (2,10]
hay ganancias (0,16]
2
Aprender matemática es disfrutar del
paisaje de la vida
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Actividad Matemática - MSc. Ing. Julio Rito