EJERCICIOS DE POTENCIA
E
INVERSIÓN
Construcciones Elementales
Ejercicio Nº 1.- Construir una escala gráfica
1º.- Trazamos un triángulo rectángulo de catetos 10 cm.
.
2º.- Se dividen los catetos en diez partes iguales por lo que la escala natural se encuentra
dividida en cm.
1
2
3
5
7
8
10
11
12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3º.- Unimos el vértice vertical O con las divisiones del cateto horizontal.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4º.- Por las divisiones del cateto vertical trazamos paralelas al cateto
horizontal.
5º.- Estos segmentos representan las escalas como vemos.
0
E - 1:10
1
E - 2:10 = 1:5
2
E - 3:10
3
E - 4:10 = 2:5
4
E - 5:10 = 1:2
5
6
E - 6:10 = 3:5
7
E - 7:10
E - 8:10 = 4:5
8
E - 9:10
9
10
11
12
E - 1:1 E scala N atural
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
E - 11:10
E scalas de A m pliación
E - 12:10 = 6:5
6º.- Si deseamos obtener otra escala cualquiera por ejemplo 3:4 realizamos la siguiente operación
3/4=x/10 de donde x=3x10/3=7.5. Se toma sobre el cateto vertical 75 mm y esa es la escala
buscada. partes iguales, cada una de estas partes será 1 mm.
0
E - 1:10
1
E - 2:10 = 1:5
2
E - 3:10
3
E - 4:10 = 2:5
4
E - 5:10 = 1:2
5
6
E - 6:10 = 3:5
7
E - 7:10
E - 7.5:10 = 3:4
E - 8:10 = 4:5
8
E - 9:10
9
10
11
12
E - 1:1 E scala N atural
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
E - 11:10
E scalas de A m pliación
E - 12:10 = 6:5
7º.- Se determina la contraescala tomando un segmento AB igual a una división de la escala y se
divide en diez partes iguales, cada una de estas partes será 1 mm.
0
E - 1:10
1
E - 2:10 = 1:5
2
E - 3:10
3
E - 4:10 = 2:5
4
E - 5:10 = 1:2
5
6
E - 6:10 = 3:5
7
E - 7:10
C ontraescala
E - 7.5:10 = 3:4
A
B
E - 8:10 = 4:5
8
E - 9:10
9
10
11
12
E - 1:1 E scala N atural
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
E - 11:10
E scalas de A m pliación
E - 12:10 = 6:5
Se traza un triángulo equilátero el procedimiento es el mismo.
1º.- Trazamos un triángulo equilátero de 10 cm de lado
2º.- Se dividen los lados en diez partes iguales por lo que la escala natural se encuentra dividida en
cm.
0
1
E - 1:10
E - 2:10 = 1:5
2
E - 3:10
3
E - 4:10 = 2:5
4
5
E - 5:10 = 1:2
E - 6:10 = 3:5
6
7
E - 7:10
E - 8:10 = 4:5
8
E - 9:10
9
10
0
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
E - 1:1 E scala N atural
E - 11:10
Ejercicio Nº 2.- Construir una escala gráfica.
Escala 2:3
1.-Trazamos una recta y sobre esta llevamos las divisiones 1, 2,..dm
2.- Cada división mide 2/3 x 100 = 66,66 mm.
0
1 dm
3.- De divide la contraescala en diez partes iguales, cada división vale 1 cm.
cm s 1 0 9
8
7
6
5
4
C o n traescala
3
2
1
0
1 dm
Escala 1:200
1.-Trazamos una recta y sobre esta llevamos las divisiones 1, 2,..Dm
2.- Cada división mide 1/200 x 10.000 =50 mm.
10
0
1 Dm
2 Dm
3.- De divide la contraescala en diez partes iguales, cada división vale 1 m.
m
10
9
8
7
6
5
4 3
C o n traescala
2 1 0
1 Dm
2 Dm
Ejercicio Nº 3.- Construir una escala gráfica decimal transversal.
Escala 2:3
1.- Construimos la escala grafica correspondiente.
cm s 1 0 9
8
7
6
5
4
C o n traescala
3
2
1
0
1 dm
2.- Trazamos 10 paralelas a la escala a una distancia arbitraria pero iguales
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
cm s 1 0 9
8
7
6
5
4
C o n traescala
3
2
1
0
1 dm
3.- Por los puntos de la contraescala trazamos perpendiculares a la escala.
10
9
8
7
8
7
6
5
4
3
2
1
0
6
5
4
3
2
1
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
cm s 1 0 9
C o n traescala
1 dm
4º.- Se numeran y se unen la división 1 de la paralela superior con la 0 de la inferior la 2 superior
con la 1 inferior y así sucesivamente, formando triángulos rectángulos cuyas bases van
aumentando una décima de la unidad de la contraescala.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
8
7
6
5
4
3
2
1
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
cm s 1 0 9
C o n traescala
1 dm
5.- Para tomar una medición se procede de la forma siguiente para medir 173 mm, tomamos la
división 7 de la contraescala y subiendo 3 décimas hasta la horizontal numero 3.
Para tomar 1,48dm=14,8cm=148 mm, tomamos la división 4 de la contraescala y subiendo 8
décimas hasta la horizontal numero 8.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
9
1 ,4 8 d m = 1 4 ,8 cm = 148 m m
8
7
6
5
4
1 ,7 3 d m = 1 7 ,3 cm = 173 m m
3
2
1
0
cm s 1 0 9
8
7
6
5
4
C o n traescala
3
2
1
0
1 dm
Ejercicio Nº 4.- Dados dos segmentos a=40 mm y b= 30 mm. Hallar gráficamente la
media proporcional.
a
b
1º.-Trazamos una recta y sobre esta llevamos los segmentos a y b uno a continuación de otro.
a
b
2º.- Determinamos la mediatriz del segmento a+b. Punto medio O.
a
b
O
3º.- Con centro en O trazamos una semicircunferencia de diámetro a+b.
a
b
O
4º.- Por la unión de a y b punto 1 trazamos una perpendicular el segmento x es
media proporcional de a y b.
x
1
a
O
b
Ejercicio Nº 4.- Dados dos segmentos a=40 mm y b= 30 mm. Hallar
gráficamente la media proporcional.
2º Método
a
b
1º.-Trazamos una recta y sobre esta llevamos el segmento a.
a
2º.- Determinamos el Punto medio O del segmento a.
O
a
3º.- Con centro en O trazamos una semicircunferencia de diámetro a.
O
a
4º.- Llevamos sobre el segmento a el segmento b Por el punto 1 extremo del segmento b
trazamos una perpendicular el segmento x es media proporcional de a y b.
x
O
b
a
1
Ejercicio Nº 5.- Dado un segmento AB=50 mm, construir gráficamente el
segmento áureo del mismo.
A
B
1º.- Trazamos un segmento AB = 50 mm.
A
B
a
2º.- Por el extremo B trazamos una perpendicular.
A
B
a
3º.- Hallamos el punto O; BO=a/2=25 mm.
a/2
O
A
B
a
4º.- Trazamos con centro en O una circunferencia de diámetro a.
a/2
a
O
A
B
a
5º.- Unimos O con A.
a/2
a
O
A
B
a
6º.- El segmento AC= x es el segmento áureo del segmento dado a.
a
O
a/2
C
x
A
B
a
Ejercicio Nº 6.- Hallar el segmento cuarto proporcional de los tres dados
a=70 mm y b= 40 mm y c= 50 mm.
a= 70
c= 50
b = 40
1º.-Trazamos una recta r y sobre ella a partir del punto O llevamos el segmento a =70 mm.
A
O
a= 70
r
2º.-Trazamos otra recta s concurrente con la primera r en el punto O y sobre ella llevamos el
segmento c =50 mm.
s
c=
50
A
O
a= 70
r
3.- Unimos el extremo A con el extremo B.
s
c=
B
50
A
O
a= 70
r
4.- Sobre la recta r s a partir del punto O llevamos el segmento b=40 mm.
s
c=
B
50
C
O
b= 40
a= 70
A
r
5º.- Por el extremo C trazamos una paralela a la recta AB que corta a la recta s en el punto D
el segmento OD es la cuarta proporcional X buscada.
s
c=
B
50
D
X
C
O
b= 40
a= 70
A
r
Ejercicio Nº 7.- Dado un segmento a=40 mm, hallar gráficamente el cuadrado
de a.
B
A
a= 40
1º.- Trazamos un segmento AB =a = 40 mm.
B
A
a= 4 0
2º.- Por el extremo A trazamos una recta r con un ángulo cualquiera.
r
B
A
a= 4 0
3º.- Sobre el segmento a llevamos la unidad 1cm=10mm= AC.
r
C
B
A
10
a= 4 0
4º.- Sobre la recta r llevamos el segmento a= AD=40 mm.
r
40
D
C
B
A
10
a= 4 0
5.- Unimos C con D
r
40
D
C
B
A
10
a= 4 0
6.- Por el extremo B trazamos una paralela a la recta CD que nos determina el punto E. El
segmento AE es el cuadrado de a.
AE=160mm=16cm= a² =4²
r
16
0
E
40
D
C
B
A
10
a= 4 0
Ejercicio Nº 8.- Dada la figura plana ABCDEF se pide hallar la figura
congruente de la misma.
Dos figuras son congruentes
cuando son iguales. Para
construir dos figuras iguales
tenemos varios procedimientos;
Triangulación, Coordenadas, por
copia de ángulos, translación y
por cuadrícula
D
E
C
F
B
A
Vamos hacerlo por triangulación, para ello descomponemos la figura en triángulos como se
ve en la fig.
D
E
C
F
B
A
1º.- Trazamos un segmento A'B' paralelo e igual al AB.
D
E
C
F
B
A
B'
A'
2º.- Construimos el triángulo A'B'C' igual al ABC.
D
E
C'
C
F
B
A
B'
A'
3º.- Construimos el triángulo A'C'D' igual al ACD.
D'
D
E
C'
C
F
B
A
B'
A'
4º.- Construimos el triángulo A'D'E' igual al ADE.
D'
D
E
E'
C'
C
F
B
A
B'
A'
5º.- Construimos el triángulo A'E'F' igual al AEF.
D'
D
E
E'
F'
C'
C
F
B
A
B'
A'
6º.- Tenemos la fig congruente de la primera
D'
D
E
E'
F'
C'
C
F
B
A
B'
A'
Ejercicio Nº 9.- Dado el polígono ABCDEF hallar el cuadrado equivalente.
E
L o prim ero que tenem os que
hallar es un triángulo para
igualar las áreas
1/2b.h= l²
D onde l es m edia
proporcional entre la m itad
C de la base y la altura o entre
la m itad de la altura y la
base según sea m ás
conveniente.
D
F
A
B
1º.- Para eliminar un vértice se procede de la forma siguiente. Unimos los vértices anterior y
posterior al vértice a eliminar C, vértices B y D, por el vértice C trazamos una paralela a la
recta BD que corta a la prolongación del lado AB en el punto 1. Unimos el vértice D con el
punto 1 y tenemos un polígono con un lado menos y equivalente al anterior.
E
D
F
C
1
A
B
2º.- Repetimos el procedimiento con el vértice F.
Para eliminar un vértice se procede de la forma siguiente. Unimos los vértices anterior y posterior al
vértice a eliminar F, vértices A y E, por el vértice F trazamos una paralela a la recta AE que corta a la
prolongación del lado AB en el punto 2. Unimos el vértice E con el punto 2 y tenemos un polígono con
un lado menos y equivalente al anterior.
E
D
F
C
1
2
A
B
3º.- Repetimos el procedimiento con el vértice E.
Para eliminar un vértice se procede de la forma siguiente. Unimos los vértices anterior y posterior al
vértice a eliminar E, vértices A y D, por el vértice E trazamos una paralela a la recta AD que corta a la
prolongación del lado AB en el punto 3. Unimos el vértice D con el punto 3 y tenemos un polígono con
un lado menos y equivalente al anterior. En este caso un triángulo
E
D
F
C
3
1
2
A
B
4.- Tenemos un triángulo 1D3 de altura h y base b.
E
D
C
3
1
2
A
B
b
h
F
5.- A continuación de la altura h llevamos la mitad de la base obteniendo el segmento D4,
hallamos el punto medio O.
E
D
C
O
3
1
A
B
b
b/2
2
b/2
4
h
F
6.- Trazamos una semicircunferencia de diámetro D4 y centro en O que corta a la perpendicular que
trazamos por la unión de h y b/2 en el punto 5 que es el lado del cuadrado equivalente al triangulo y
al polígono inicial.
E
D
C
O
3
1
A
B
b
b/2
2
b/2
4
l
h
F
5
Ejercicio Nº 10.- Hallar la trayectoria que tiene que seguir una bola de billar
para que partiendo de la posición A golpee a otra situada en B, después de
haber tocado dos bandas.
A
B
1º.- Hallamos el punto A' simétrico de A respecto de la 1º banda que queremos que toque.
A'
A
B
2º.- Hallamos el punto A'' simétrico de A' respecto de la 2º banda que queremos que toque.
A'
A
B
A ''
3º.- Unimos A'' con B que corta a la banda en el punto 1.
A'
A
B
1
A ''
4º.- Unimos A' con 1 que corta a la banda en el punto 2.
A'
A
2
B
1
A ''
5º.- Unimos A con 2.
A'
A
2
B
1
A ''
6º.- La trayectoria resulta A-2-1-B.
A'
A
2
B
1
A ''
Ejercicio Nº 11.- Determinar el punto inverso de un punto dado B en la
inversión definida por el centro y un par de puntos inversos.
O
A
B
A'
L o s p u n to s in verso s cu m p len dos condiciones:
1 º. T ien en q u e esta r en lín ea recta con el centro de
in versión.
2 º. L os d os p ares d e pu ntos inverso s A A ' y B B ' son
co n cíclico s es d ecir p erten ecen a u n a m ism a circunferencia.
Como los puntos se encuentran en línea recta no podemos trazar una circunferencia que pase por los
tres puntos dados, por lo cual hacemos lo siguiente:
1º.- Trazamos una circunferencia cualquiera que pase por A y A' de centro O1.
O
A'
A
O1
2º.- Trazamos una recta cualquiera que pase por O centro de inversión y corte a la
circunferencia anterior punto C y C'. Estos puntos tienen las mismas propiedades de
inversión que los puntos B y B'.
C'
C
O
A
A'
B
O1
3º.- Trazamos una circunferencia que pase por C-C' y B. Para lo que hallamos la mediatriz de
C-C' y la mediatriz de B-C' que se cortan en el punto O2 centro de dicha circunferencia.
C'
C
O
A
O2
A'
B
O1
4º.- Con centro en O2 trazamos la circunferencia que pase por C-C' y B que corta a la recta
en el punto B' que resulta el inverso de B.
C'
C
O
A
O2
B
A'
B'
O1
Ejercicio Nº 12.- Hallar la circunferencia de autoinversión.
L a circu n feren cia de au toin versión o de
pu n tos dobles es el lu gar geom étrico de
los pu n tos in versos de si m ism os
P
P'
O
Los puntos de la circunferencia son puntos dobles y tienen que estar todos a la misma distancia de
punto O centro de inversión.
OP *OP' = K Potencia de inversión
Por lo que tenemos que hallar √K, que resulta la media proporcional de OP y OP'.
1º.- Hallamos el punto medio de OP punto 1
P
1
P'
O
2º.- Trazamos una semicircunferencia de centro 1 y radio 1-O=1-P.
P
1
P'
O
3º.- Por P' trazamos una perpendicular a la recta OP que corta a la semicircunferencia en el punto
2 la distancia P'-2 es la media proporcional buscada P'-2= √K
vK
2
P
1
P'
O
4º.- Con centro en O y radio √K trazamos una circunferencia que resulta la circunferencia de
autoinversión.
2
vK
v
P
1
P'
O
K
Ejercicio Nº 13.- Dada la circunferencia de puntos dobles, hallar los puntos
inversos de A y B.
A
v K
c.p.d
O
B
Punto A
1º.- Unimos el punto A con el centro de inversión O.
A
v K
c.p.d
O
B
Punto A
2º.- Trazamos desde el punto A la tangente a la circunferencia de autoinversión c.p.d.
Determinando el punto de tangencia 1.
A
1
v K
c.p.d
O
B
Punto A
3º.- Desde el punto de tangencia 1 trazamos una perpendicular a la recta OA, que nos
determina el punto A' inverso del punto dado A.
A
1
v K
c.p.d
O
A'
B
Punto B
1º.- Unimos el punto B con el centro de inversión O.
A
1
v K
c.p.d
O
A'
B
Punto B
2º.- Desde el punto B trazamos una perpendicular a la recta OB, que nos determina el punto 2.
A
1
v K
O
A'
B
c.p.d
2
Punto B
3º.- Trazamos desde el punto 2 la tangente a la circunferencia de autoinversión c.p.d.
Determinando el punto B' inverso del punto dado B.
A
1
v K
O
A'
B
c.p.d
2
B'
Ejercicio Nº 14.- Dados el centro de inversión O y una pareja de puntos inversos
A-A'. Hallar el punto inverso de otro dado B y la circunferencia de autoinversión.
L a circu n feren cia de au toin versión o de
pu n tos dobles es el lu gar geom étrico de
los pu n tos in versos de si m ism os
B
O
A
A'
El punto B' tiene que estar en la circunferencia que pasa por A-A' y B y en la línea recta que une B
con O.
1º.- Hallamos la mediatriz de A-A' y la mediatriz de A-B que se cortan en el punto C, centro de la
circunferencia buscada. Trazamos la circunferencia de centro C y que pase por A-A' y B.
B
C
O
A
A'
2º.- Unimos B con el centro de inversión O que nos determina el punto buscado B'.
B'
B
C
O
A
A'
3º.- Trazamos la tangente desde O a la circunferencia anterior que nos determina el punto 1
con centro en O y radio O-1 trazamos una circunferencia que resulta la circunferencia de
autoinversión.
B'
vK
1
B
C
O
A
A'
c.p.d
Ejercicio Nº 15.- Hallar el eje radical de dos circunferencias dadas.
c
O
c1
O1
1º.- Trazamos una circunferencia c2 de centro y radio cualquiera que corte a las otras dos.
c
c2
c1
O
O1
O2
2º.- Hallamos el eje radical e1 de la circunferencia c y c2.
c
e1
c2
c1
O
O1
O2
3º.- Hallamos el eje radical e2 de la circunferencia c1 y c2.
c
e1
e2
c2
c1
O
O1
O2
4º.- Los ejes e1 y e2 se cortan en el punto CR que es el centro radical de las tres
circunferencias y por el que pasan los ejes radicales de las tres circunferencias.
c
e1
e2
c2
c1
O
O1
O2
CR
5º.- Por CR trazamos una perpendicular a la recta que une los centros O y O1. Los ejes
radicales de dos circunferencias son perpendiculares a la recta que une los centros de
ambas.
c
e1
e2
c2
c1
O
O1
O2
eje radical
CR
Ejercicio Nº 16.- Dadas tres circunferencias. Calcular gráficamente el centro
radical de las mismas.
c1
O1
c
O
c2
O2
1º.- Hallamos el eje radical e1 de las circunferencias c y c1.
c1
e1
O1
c
c2
O
O2
2º.- Hallamos el eje radical e2 de las circunferencias c y c2. Mediante los ejes radicales
auxiliares e'1 y e'2.
Trazamos la circunferencia auxiliar c3 de centro un punto cualquiera O3 y radio también
cualquiera, de forma que corte a las otras dos circunferencias c y c2.
c1
e1
O1
c
c2
O
O2
O3
c3
3º.- Hallamos los ejes auxiliares e'1 y e'2.
c1
e1
O1
c
e' 1
e '2
c2
O
O2
O3
c3
4º.- Por donde se cortan los ejes auxiliares e'1 y e'2 punto CR1 trazamos una perpendicular a
la recta que une los centros O y O2 que es el eje e2.
c1
e1
O1
c
e' 1
e '2
c2
O
e2
O2
O3
C R1
c3
5º.- El punto CR donde se cortan el eje e1 y el eje e2, resulta el centro radical CR de las tres
circunferencias dadas.
c1
e1
CR
O1
c
e' 1
e '2
c2
O
e2
O2
O3
C R1
c3
Ejercicio Nº 17.- Hallar el eje radical de las dos circunferencias secantes.
c1
O1
c2
O2
1º.- Unimos los puntos de corte de las dos circunferencias y obtenemos el eje radical.
c1
eje radical
O1
c2
O2
2º.- El eje radical es perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias dadas.
c1
eje radical
O1
c2
O2
Ejercicio Nº 18.- Hallar el eje radical de dos circunferencias exteriores.
c1
O1
c2
O2
1º.- Trazamos una circunferencia c3 de centro y radio cualquiera que corte a las otras dos.
c1
O1
c2
O2
c3
O3
2º.- Hallamos el eje radical auxiliar e1.
c1
O1
c2
e1
O2
c3
O3
3º.- Hallamos el eje radical auxiliar e2. Este se corta con el eje e1 en el punto CR centro
radical de las tres circunferencias y por el cual tienen que pasar los tres ejes.
c1
O1
CR
c2
e1
O2
c3
O3
e2
4º.- Por CR trazamos una perpendicular a la recta que une los centros O1 y O2 y obtenemos
el eje radical de la circunferencias c1 y c2.
c1
eje radical
O1
CR
c2
e1
O2
c3
O3
e2
Ejercicio Nº 19.- Hallar el eje radical de la circunferencia c1 y el punto P.
Un punto puede se puede tomar como una circunferencia de radio 0. Siendo un caso limite
de circunferencia.
1º.- Se toma el punto P como una circunferencia y estamos en el caso de dos circunferencias
exteriores (en nuestro caso).
c1
O
P
2º.- Trazamos una circunferencia de centro O2 y radio cualquiera con la condición de que
corte a la circunferencia dada y pase por el punto P.
c1
O
P
O2
c2
3º.- Hallamos el eje radical e'1 de las circunferencias c1 y c2. El eje radical vemos que es
perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias O y O2 y pasa por el punto
de corte de ambas.
c1
O
P
O2
e' 1
c2
4º.- Hallamos el eje radical e'2 de la circunferencias c2 y el punto P. Como el punto Pse toma
como una circunferencia de radio 0, los puntos de corte con la c2 serán los puntos dobles M y N
que coinciden con el P y como el eje es perpendicular a la recta que une los centros O2 y P, por P
trazamos una perpendicular a la recta P-O2.Y obtenemos el eje auxiliar e'2.
e' 2
c1
O
P=
O2
e' 1
c2
=
5º.- Por donde se cortan los ejes auxiliares e'1 y e'2 punto CR trazamos una perpendicular a la
recta que une el centro O y el punto P que resulta el eje radical de la circunferencia y el punto P.
e' 2
c1
CR
O
P=
O2
e' 1
c2
=
Nº 20.- Hallar el centro radical de dos circunferencias y una recta dada.
El eje radical de una circunferencia y una recta es siempre la propia recta.
O1
O2
r
1º.- El eje radical de la circunferencia O1 y la recta r es la propia recta r =e2.
O1
O2
e2
r
3º.- El eje radical de las circunferencias O1 y O2 es la recta e1.
O1
O2
e2= e3
r
4º.- El centro radical de las dos circunferencias O1 y O2 y la recta r es el punto CR punto de
corte de e1, e2 y e3.
e1
O1
O2
e2= e3
CR
r
Ejercicio Nº 21.- Hallar el triángulo autopolar de la circunferencia dada
correspondiente al punto dado P y con un lado sobre la recta r
c
r
O
P
1º.- Por los punto de intersección de la recta r con la circunferencia c, T1 y T2 trazamos las
tangentes a la circunferencia que se cortan en el punto M, vértice del triángulo autopolar.
Las tangentes son perpendiculares a los radios OT1 y OT2
c
O
T2
P
T1
M
2º.- Unimos el punto M con el punto P y obtenemos la recta t, que corta a la circunferencia en
los puntos T3 y T4.
T4
c
t
O
P
T1
T3
M
3º.- Por los puntos T3 y T4, trazamos las tangentes a la circunferencia que se cortan en el
punto N de la recta r que resulta el polo de la recta t y tercer vértice del triángulo autopolar.
T4
c
N
t
O
T2
P
T1
T3
M
4º.- Unimos los puntos M, P y N y obtenemos el triángulo autopolar.
T4
c
N
t
r
O
T2
P
s
T1
T3
M
Ejercicio Nº 22.- Dadas tres circunferencias. Calcular gráficamente el centro
radical de las mismas. Dibujar las circunferencias idénticas a la c1, que
pasen por CR y sean tangentes a c3.
c3
O3
c1
O1
c2
O2
1º.- Hallamos el eje radical e1 de las circunferencias c1 y c3.
O3
e1
c1
O1
c2
O2
2º.- Hallamos el eje radical e2 de las circunferencias c1 y c2.
2.1.- Mediante los ejes radicales auxiliares e'1 y e'2. Trazando la circunferencia auxiliar c4 de
centro un punto cualquiera O4 y radio también cualquiera de forma que corte a las otras dos
circunferencias c1 y c2.
c3
O3
e1
c1
O1
O2
c4
O4
2º.- Hallamos el eje radical e2 de las circunferencias c1 y c2.
2.2.- Mediante los ejes radicales auxiliares e'1 y e'2. Que se cortan en el punto CR1
c3
O3
e1
c1
O1
c2
O2
O4
CR1
e' 1
e' 2
2º.- Hallamos el eje radical e2 de las circunferencias c1 y c2.
2.3.- Mediante los ejes radicales auxiliares e'1 y e'2. Por el punto CR1 donde se cortan los ejes
auxiliares e'1 y e'2, trazamos una perpendicular a la recta que une los centros O1 y O2 que corta
al eje e1 en el punto CR, que resulta el centro radical de las tres circunferencias dadas.
c3
O3
e1
c1
CR
O1
c2
O2
c4
O4
CR1
e2
e' 1
e' 2
3º.- Con centro en CR trazamos una circunferencia de radio r1.
Los centros de las circunferencias que pasan por CR se encuentran en una circunferencia de
centro CR y radio r1.
r3
r1
c3
r1
O3
e1
c1
CR
O1
c2
O2
c4
O4
CR1
e2
e' 1
e' 2
4º.- Con centro en O3 trazamos una circunferencia de radio r1 + r3. Que corta a la circunferencia
anterior en los puntos O y O' centros de las circunferencias tangentes a c3 y de radio r1.
Los centros de las circunferencias tangentes a otra se encuentran en otra circunferencia del mismo
centro y radio la suma de los radios.
1+
r3
r
r3
r1
c3
r1
O3
e1
c1
CR
O1
c2
O
O2
c4
O4
CR1
e2
e' 1
e' 2
4º.- Con centro en los puntos O y O' trazamos dos circunferencias de radio r1, que pasan por
CR y son tangentes a c3.
1+
r3
r
r3
O'
r1
c3
r1
O3
e1
c1
CR
O1
c2
O
O2
c4
O4
CR1
e2
e' 1
e' 2
Ejercicio Nº 23.- Dadas dos circunferencias y un punto P. Hallar el centro
radical de las dos circunferencias y el punto.
O1
P
O2
1º.- Hallamos el eje radical e1 de la circunferencia c1 y el punto P. Mediante la circunferencia
auxiliar de centro O3
O1
P
O3
O2
1º.- Hallamos el eje radical e1 de la circunferencia c1 y el punto P. Mediante la circunferencia
auxiliar de centro O3
1.1.- Hallamos el eje radical e'1 de las circunferencias c1 y c3.
e' 1
O1
P
O3
O2
1.2.- Hallamos el eje radical e'2 de la circunferencias c3 y el punto P. Que pasa por el punto
P y es perpendicular a la recta O3-P.
e' 2
e' 1
O1
P
O3
O2
1.3.- Los ejes e’1 y e’2, se cortan en el punto N. Por N trazamos la perpendicular a la recta
P-O1 que resulta el eje radical e1 de la circunferencia O1 y el punto P.
e' 2
c1
e' 1
O1
N
c3
O3
c2
O2
2º.- Hallamos el eje radical e2 de la circunferencia c2 y el punto P. Mediante la circunferencia
auxiliar de centro O4
e' 2
c1
e' 1
O1
N
c3
P
O3
c4
O4
c2
O2
2.1.- Hallamos el eje radical e'3 de las circunferencias c2 y c4.
e1
e' 2
c1
e' 1
O1
N
c3
P
O3
c4
O4
c2
O2
e' 3
2.2.- Hallamos el eje radical e'4 de la circunferencias c4 y el punto P. Que pasa por el punto
P y es perpendicular a la recta O4-P.
e1
e' 2
c1
e' 1
O1
N
c3
e' 4
P
O3
c4
O4
c2
O2
e' 3
2.3.- Los ejes e’3 y e‘4, se cortan en el punto M. Por M trazamos la perpendicular a la recta
P-O2 que resulta el eje radical e2 de la circunferencia c2 y el punto P.
e1
e' 2
c1
e' 1
O1
N
c3
e2
e' 4
P
M
c4
O4
c2
O2
3º.- Donde se cortan el eje radical e1 y el e2 es el centro radical CR.
e' 2
c1
e' 1
O1
N
c3
e2
e' 4
P
M
O3
c4
CR
O4
c2
O2
e' 3
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